浙江省9+1高中联盟2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 含答案

2020学年第一学期9+1高中联盟期中考试

高二年级数学学科试题

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.直线33y x =-+的倾斜角为（ ）

A ． 30°

B ． 60°

C ． 120°

D ．150°

2. 已知直线1:10l mx y +-=，()2:2310l m x my ++-=，m R ∈，则“2m =-”是“12l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

3.椭圆2

2

41x y +=的离心率为 （ ）

A ．

34 B ．3 C ． 2

3

D ． 2

4. 在空间直角坐标系中，已知()()1,0,2,3,2,4M N --，则MN 的中点Q 关于平面xOy 的对称点坐标是（ ）

A ．()1,1,1-

B ．()1,1,1--

C . ()1,1,1--

D ．()1,1,1 5. 已知m 为空间的一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若//,//m ααβ，则//m β B ．若,m αβα⊥⊥，则//m β C . 若//,m ααβ⊥，则m β⊥ D ．若,//m ααβ⊥，则m β⊥ 6. 方程2x y +

=所表示的曲线大致形状为（ ）

A ．

B ．

C .

D ．

7. 已知点F 为椭圆221:

+184

x y C =的右焦点，点P 为椭圆1C 与圆()2

22:218C x y ++=的一个交点，则PF =（ ）

A ． 1

B ．2

C . 2

D ．22 8. 设有一组圆()()()2

2

4

*

:1k C x y k k k N -+-=∈，给出下列四个命题：

①存在k ，使圆与x 轴相切 ②存在一条直线与所有的圆均相交 ③存在一条直线与所有的圆均不相交 ④所有的圆均不经过原点 其中正确的命题序号是（ ）

A ．①②③

B ．②③④

C .①②④

D ．①③④

9. 若三棱锥P ABC -满足，,,PA BC PB AC PC AB ===，则该三棱锥可能是（ ） A ．2,3,4AB BC CA === B ．3,4,5AB BC CA === C . 4,5,6AB BC CA === D ．以上选项都不可能

10. 如图，在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，若点,M N 分别为线段1BD ，1CB 上的动点，点P 为底面ABCD 上的动点，则MN MP +的最小值为（ ）

A ．

2

3

B ．2

C 31+

D ．1

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11.已知直线():10l mx y m m R ++-=∈过定点P ，则点P 的坐标是___________，点P 关于直线

20x y +-=的对称点Q 的坐标是__________.

12.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆弧为1

4

圆周，则该几何体的体积为__________，表面积为___________.

13.已知(),P m n 是椭圆2

214x y +=上的动点，则23m n +的最大值是 ，点P 到直线:2320l x y -+=的最小距离是___________.

14.如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面ABC ，AD PB ⊥，垂足为D ，DE PC ⊥，垂足为E ，若23,2PA AC ==，则PE

EC

= ，三棱锥P ADE -体积的最大值是__________.

15.经过点()2,1M -作圆2

2

:5O x y +=的切线，则切线的方程为 ．

16.已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线AB 与1A C 所成角的余弦值为 ．

17.已知O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，P

为C 上一点，且2PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段2PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，若直线1F M 与y 轴

交于点Q ，且3ON OQ =，则C 的离心率为___________.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18. 已知m R ∈，命题:p 方程22119x y m m

+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题:q 函数()2

f x x x m =-+在[]2,2-上有零点.

（1）若命题p 是真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题,p q 中有且只有一个真命题，求实数m 的取值范围. 19. 如图，三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，113

CC B π

∠=，平面ABC ⊥平面11BCC B ，,E F 分别为

棱11A B 、BC 的中点.

（1）求证：//BE 平面11A FC ； （2）求二面角111F AC B --的大小.

20. 如图，已知三棱锥A BCD -中，点M 在BD 上，2

BAD BDC π

∠=∠=，BM MD DC ==，且ACD

?为正三角形.

（1）证明：CM AD ⊥；

（2）求直线CM 与平面ACD 所成角的正弦值.

21.如图，已知圆()()2

2

1:112C x y -++=，圆()()2

2

2:215C x y +++=，过原点O 的直线l 与圆1C ，2C 的交点依次是,,P O Q .

（1）若2

OQ OP

=

，求直线l的方程；

（2）若线段PQ

的中点为M，求点M的轨迹方程.

22.如图，已知椭圆

22

:1

43

x y

Γ+=，斜率为k的直线l与椭圆Γ交于,A B两点，过线段AB的中点M作AB 的垂线交y轴于点C.

（1）设直线,

OA OB的斜率分别为

12

,k k，若1

k=，直线l经过椭圆Γ的左焦点，求

12

11

k k

+的值；（2）若23

AB=，且2

3

,1

4

k

??

∈??

??

，求OMC

?面积的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:CABDD 6-10:DBCCA 二、填空题

11.

()()1,1,1,3- 12. 26

π

+，(

)

5144

π++

13. 5，

105 14. 3，34

15. 250x y -+= 16. 24 17. 1

3

三、解答题

18.解：（1）命题:91014p m m m ->+>?-<<， 即实数m 的取值范围为()1,4-；

（2）命题p 真：[]2,2x ∈-时，216,4

m x x ??=-∈-???

?

，

p 真q 假时1,44m ??

∈ ???

，

p 假q 真时[]6,1m ∈--，

∴[]16,1,44m ??∈--? ???

. 19.证明：

（1）取11A C 的中点G ，连接,EG FG ， 于是111//

2EG B C ，又111

//2

BF B C ， 所以//BF EG ，

所以四边形BFGE是平行四边形，

所以//

BE FG，而BE?面

11

A FC，FG?面

11

A FC，

所以直线//

BE平面

11

A FC；

（2）连接

11

,

FB B G，∵ 四边形

11

BCC B为菱形，0

11

60

CC B

∠=，

F为BC的中点，∴

111

FB B C

⊥，∵平面ABC⊥平面

11

BCC B，

∴

1

FB⊥平面

111

A B C，又

111

B G AC

⊥，∴

11

FG A C

⊥，

∴

1

FGB

∠就是二面角

11

F A C B

--的平面角，设棱长为2，

则

11

3

FB BG

==，∴

14

FGB

π

∠=，

∴二面角

11

F A C B

--的大小为

4

π

.

20.解：

（1）取AD中点P，连结,

MP CP，由条件CP AD

⊥，

又由,//

2

BAD MP AB

π

∠=得MP AD

⊥，

∴AD⊥面CMP，又∵CM?面MPC，∴CM AD

⊥；

（2）过M作MH CP

⊥于点H，由（1）可知，AD MH

⊥，∴MH⊥面ACD，∴MCP

∠即为直线CM与面ACD所成的角，

不妨设1

CD=，则

33

2,

CM MP CP

===，

∴

2

6

2

cos

3

MCP

∠==

∴sin 3

MCP ∠=

所以直线CM 与平面ACD

21.解：（1）设直线l 的方程为：y kx =，12,C C 到直线l 的距离为12,d d .

由条件=22

1243d d -=，

所以22

43?-=，整理，得240k k -=，解得0k =或4k =， 所以直线l 的方程为：0y =或4y x =；

（2）设:l y kx =；则由()()22

215

y kx x y =??

?+++=??消去y ，得()()221240k x k x +++=， 解得122

24

0,1k x x k

+==-

+.其中2k ≠-， 所以()22

2424,11k k k Q k k +??+-- ?++??

， 由()()22

112

y kx x y =??

?-++=??消去y ，得()()221220k x k x ++-=， 解得342220,1k

x x k -==+，其中1k ≠，所以()22

2222,11k k k P k k -??- ?++??， 设(),M x y ，则()22211211k x k k k y k +?

=-?+?

?+?=-?+?

消去k ，得：2

2

20x y x y +++=，（挖去点33,22??-

- ???和36,55??

- ???

）. 22.解：（1）由已知可得直线l 的方程为：1y x =+，设()()1122,,,A x y B x y ，

由221

14

3y x x y =+???+

=??得：2

7880x x +-=，且121288,77x x x x +=-=-，

所以

12121212121212121221181113

x x x x x x x x k k y y x x x x x x +++=+=+==+++++；

（2）设直线l 的方程为：y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ，由2214

3y kx m x y =+??

?+=??，

得：()

2224384120k x kmx m +++-=，

由韦达定理可知2121222

8412

,4343

km m x x x x k k -+=-=++， 所以2

443

M km

x k =-

+， 线段AB 的中垂线方程为：221434343km m y x k k k ??=-

++ ?

++??，整理得2143

m

y x k m =--+， 所以243

C m

y k =-

+.

又由()

2

22

2

2

121222

8412414234343km m AB x x x x k k k -??

=+-=+--= ?++??

， 整理可得：2

224343k k +-=+，即()2

2

222

4314341

k m k k +=+-

+①， 所以()

2

2222411222434343OMD M km m k S OC x m k k k ?=

==+++

将①代入整理可得：221111

2

231432124OMC k

k S k k k k k k

?=-

=-

++++， 因为2

3,14k

??

∈????，所以2k ?

∈???

，而我们知道，

111

2

,312

4y y k k k

k

==-

+

+都是关于k 在2????

上的单调递减函数，

所以当1k =时，OMC S ?有最小值

1

28

，当k =时，OMC S ?

所以1,2842OMC S ??∈???

.