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初三奥数精选题

奥数题

一.选择题.(每小题7分,共42分)

()1. 在丄,一,0.2002,- (丁3_2庞 _72),乔_祚_2

(门是大于3的整数) 7

这5个数中,分数的个数为：(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

()2.如图1,正方形ABC 啲面积为256,点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线

上,Rt △ CEF 的面积为200,则BE 的长为:(A)10

(B)11 (C)12 (D)15 ()3.已知a,b,c 均为整数，且满足

a 2

b 2

c 2 3 v ab 3b 2c .贝U 以

(B) x 2 2x -8 =0

(C)X 2-4X -5=0 (D) X 2-2X -3=0

()4. 如图 2,在 Rt △ ABC 中 ,AF 是高，/ BAC=90 且

BD=DC=FC 二则 AC 为: (A) 3

2 (B)

2b 亠c

R 丄,则k 的值

二、填空题.(每小题7分,共28分)

1.方程F 二

的实数根是

a ，b~c 为根的一元二次方程是：(A) x 2 -3x 2 = 0

()5.若 k 二

2a b 2c a 为：

(A)1 (B)2 (C)3 ()6. 设 x 亠0, y 丄 0,2 x y = 6 ,则 u 二 (D)

非上述答案

y 2 -6x -3y 的最大值是：

(A)

(B)18 (C)20 (D)

不存在

x2 +1 x23x

2.女口图3,矩形ABCD中，E,F 分别是BC,CD上的点,且

S LABE-2, S_cEF -3, S_ADF - 4 ,则S AEF =

3.已知二次函数y = x2? （a 1）x b （a,b为常数）.当x = 3时，y=3;

当x为

任意实数时，都有y _ x.则抛物线的顶点到原点的距

离为

4.如图4,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的AB

上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA

于点巴设厶OPH的内心为I,当点P在AB上从点A

运动到点B时，内心I所经过的路径长为—.

第二试

.（20分）在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形；将单位正方形的各边n等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连

结起来，如图5所示.若小正方形的面积恰为0

.（25分）一条笔直的公路I穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路30km 的地方有一居民点B,A,B之间的距离为90km. 一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h ,在草地上行驶的最快速度是30km/h .问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短？最短时间是多少？

.（25分）从1, 2, 3,……,3919中任取2001个数。证明: 两

定存在个数之差恰好为98。

参考答案

第一试

一、1?(B)?

y( ^3 - 2^2 -/l) = -y (5/2 - 1 ->/2) = - -y,

当n( n > 3)是整数时,/^与中有一个是无理数，

即71与/1-2不可能同时取到完全平方数. 设 a = 52, n - 2 = t2?有s2 - t2 =2,(s + Z)(5 - z)= 2xl,§ +t = 2,s- t — 1 ?因为.$ =咅，/ = + 不是整

数解，所以，五二匸^不是分数?故分数有3个:

+，0.200 2,y(\/3-241 -/2)?

2.(0.

易证RtACDF^RtACSE?故CF = CE?因为Rt △

CEF的面积是200

即*?CF-C￡ = 200，故C￡ = 20.

而S正方形磁〃 =BC2 = 256,得BC = 16.

由勾股定理得BE = 7~CE2 - BC2 = 12.

3.(D).

因为a、b、t为整数满足

a2 + b2 + c2 + 3< o/> + 3fe + 2c t

所以.

移项、配方得

(?- ) + 3( -y - 1) + (c - l)2 cO-

所以? Q ■ * = 0?寺-1 = O t c - 1 = 0.

解得c=l,6 = 2t a = l.

从而a+6 = 3,c-6 = - !.

因此?求作的方程为X2-2X-3=0.

4.(A).

设AC =「BD 二CD = CF = I, AD =篤-I.由勾股定理得缶二脑-At——1)2.

由射影定理得

M AC22

由勾股定理得

4宀AC2 =脑?

即I2 - (x - 1 )2 + x2 = x4，亦即x4 = 2兀.

又* >0.则/ = 2,故篦=近??

5.(0.

因为"如乜=玄存二如，■所以,

c b a

2ab f 62 = 2c J + or,

2 or + a2 = 2b2 + be.

2bc - c2 = 2a2 + ab ?

三式相加得

血 + 6c + ar = a? + 沪 + 疋.

等式两边乘以2.移项，配方得

(a — 6)2 4-(6 - c)2 + (c - a)2 = 0?

所以.a - 6= 6- c= c- a = O,

故a= b = c?

因此"如t上二西=3?

c c ?

6?(B)?

由已印得y = 6-2x.代人u=4x2 +3xy + y2 - 力?3八得u = 2t2■ 6x + 18?

而-6-2x>O t M l J 0^x<3?

当“0或x = 3时?= 18?

令？备=y.方幄①变为

则"3或力?寺?

代入得島=3或云丁$

化简得

3d?*令3工0(无实数＜W)或』?3" 20.

经检弱是原方程的解.

2.7.

如图6所示?设4fi=x

C￡=y.因为Zfl = ZC

化简療理得

xV-Wxy-24 = 0.

解得”2.* -2(不合ttft).

而S.眾WQ u*(吕?y) =4+ xy = 4> 12= 16?W s=" S.M - - = 7 ?

b s - 3/1-9 ?

当龙为任也实数时?有yms即

X24(

把6x -3a-9代人得

x2 -￥ ax - 3a -9>0.

则a"■ 4( ■ 3n ■ 9) m ( a ? 6)' w0

?所以a = -6J!| 6 = 9.

冈此，二次隨数解析式为厂J - 5八9.1?点坐标为p(咅?￥)?

则OP=J(訂+(￥)'=*/勿.

如图7?/是Rt A WW的内心?连结01”刚?易证

4 0PI4XAI ?

故ZAIO = ZPIO ?

因I ^Rl^POH的内心. 所

以.

ZP/O= !8(F-(ZO^ZOP/)=

135°.

即ZWx 135° ?

过点A.0.1作圆?恻心为0, ?连结00. MO?

易证ZWMxW.OO, 所以?所求的路彳0长为

第二试

一、过点G作G P丄仏C?垂足为P.因为疋方形?倔,0的而枳为1 ?所以.

AB M HC^ CD^X.A.H^—^.CC,详?由勾股定

理如儿c = /k^4石沪-* (^^)1. 易知Rt

A^.ec^Rt Acre,,有

c.r cc^

解得％

=—s—

?又S皿=2.所以. 寺?*?

BE M 2.

即BE=2?同理?心号?

所以CD - CF =

图7

^BC S A[C ?

3?寺局.

则CM—

把x = 3.y = 3 代人二次函数y=x2*(o*l)x "得'7^(W

因为阴形部分小正方形的面枳是吉?所以.

化简并分解凶式再

(n - 41)( n 4- 40) =0. 由n>0知n

=41.

地上行驶的路线是

DB,〃的路程为x

?由已知条件/W

= 90.BC =

30. 丄AC■知

AB2 - BC2 =60/2.

则CD= .4C- .4D = eoy2-x.

BD = J& + BC，=丿捋 + (60/2 -x)2?

设总的行驶时间为八则

./3tf4(60y2-x)?

IT"

整理为关于x的一元二次万摆得

3*'?(120)?480“)y?3 600y' + 3 600x9 = 0?

因为■必定存在?所W 即

[120(y-4/2)P-4x3x3 600(9?化简得4/ -8/2>

4 5^0.

解得yM庄*豊或yw &■写(舍去).

因此的域小值为厲書.此时.

4D= x = 60/2- 10/3.

三、(1)按98的余数0.1.2.-.97町分成98类. 而2 001 =98 x 20 ^41.111 屉原則有知.在这2 001 个数中必右21个数属于冏一类?即这21个数中任您阿数之杀都是98的倍数.

(2)若这21个数中任怠两数之差都不是98?則这样的最小的21个数为

L2x98 + h2x 2x98* 1,2x3x98+ l, —

2x20x98* I.

而 2 x 20 x 98^1 = 3921>3919.

所以?这2】个数中一定存在曲数之差恰为98.

由(1).(2)可知，从1?2?3?4.???.3 919中任取

2 001个数?一定存在购个数之差恰好为98.

(王盛裕浙江省宁谀市缜海外语实验学校. 315200)

2/i2-2n*l 3 281*

二、如图8所示?设公路上行驶的路线是初■草