(完整word版)统计学三大分布与正态分布的关系
统计学三大分布与正态分布的关系
[1]
张柏林 41060045 理实1002班
摘要：本文首先将介绍 2分布，t 分布，F 分布和正态分布的定义及基本性质， 然后
用理论说明2分布，t 分布，F 分布与正态分布的关系，并且利用数学软件 MATLAB 来验证之.
1.三大分布函数[2]
1.1 2分布
2（n ）分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅
（Benayme ）赫尔默特（Helmert ）、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发 现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。
定义：若随机变量X 1,X 2,…X n 相互独立，且都来自正态总体 N （0,，）,则称 统计量
2
=x ； X ；…+X ；为服从自由度为n 的2分布，记为
2 2
~ （n ）.
2
分布的概率密度函数为
1 x
e 2 x 0
J
x 0
其中伽玛函数（X ） e t t x 1dt,x 0，
2
分布的密度函数图形是一个只取非负值
的偏态分布，如下图?
x 2 n
2° f(x; n)
2(n2) ,X!,X2相互独立，则X! X2~ 2g n2);
性质3: n 时，2(n) 正态分布;
性质4:设2~ 2(n),对给定的实数
(0 1),称满足条件：
P{ 2 2(n)} 2(、f(x)dx
(n)
的点2(n)为2(n)分布的水平的上侧分位数.
简称为上侧分位数.对不同的与n,分位
数的值已经编制成表供查
分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student的'笔名
布在数理统计中也占有重要的位置.
1), Y?2(n), X,Y相互独立，，则称统计量T —X
VY/ n
分布，记为T~t( n).
为
性质1: E( 2(n)) n,D( 2(n)) 2n ; 性质2:若X! 2(nJ,X2
t 分布具有如下一些性质:
P{T t (n)} t (n )f (x )dx 的点 t(n)为 t( n)分
布的水平的上侧分位数.由密度函数f(x) 的对称性，可得t 1 (n) t (n).类似地，我们 可以给出t 分布的双侧分位数
t /2(
n
)
P{|T|t /2( n)} f (x)dx t ,、f(x)dx
t /2(n)
显然有 P{T t /2
(n)}
-;
P{T t /2 (n)}-.
对不同的与n ，t 分布的双侧分位数可从附
表查得.
t 分布的上分位数
t(x; n)
士 (1J
(”
n
t 分布的密度函数图
t 2
性质1 : f n (t)是偶函数，n
，
f n (t)
性质2 :设T~t (n)，对给定的实数(0
1),称满足条件;
1.3 F分布
F 分布是随机变量的另一种重要的小样本分布，应用也相当广泛.它可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是否相等? F分布还是方差分析和正交设计的理论基础.
定义：设X?2(n ),Y~ 2(m)，X,Y相互独立，令则称统计量F 冬耳服
Y/m 从为第一自由度为n，第二自由度为m的F分布.
F分布的密度函数图
F分布具有如下一些性质:
性质1:若 F ~F(n,m),贝M/F ?F(m,n)；
7
性质2:若X ~t(n)，则X2 ~ F(1,n)；
性质3:设F?F (n,m)，对给定的实数
P{F F (n,m)} f(x)dx
F (n,m)
的点F (n,m)为F(n,m)分布的水平的上侧
(0 1),称满足条件;
艮個］T,叶
1)
分位数.
F 分布的上分位数
F 分布的上侧分位数的可自附表查得?
性质4: F (m,n) 1 .此式常常用来求F 分布表中没有列出的某些上
F i (n,m)
侧分位数. 1.4正态分布
正态分布是数理统计中的一种重要的理论分布 ，是许多统计方法的理论基
础.高斯(GausS 在研究误差理论时首先用正态分布来刻画误差的分布，所以 正态分布又称为高斯分布.正态分布有两个参数，卩和(T,决定了正态分布的位 置和形态.为了应用方便，常将一般的正态变量X 通过u 变换转化成标准正态变
量u ，以使原来各种形态的正态分布都转换为 正态分布的密度函数和分布函数
若连续型随机变量X 具有概率密度f (x)为
为，的正态分布，记为X ~ N( ， 2).
特征1:正态曲线(normal curve )在横轴上方均数处最高;
卩=0 CT =1的标准正态分布N( 0， 1).
,其中,(0)为常数，则称X 服从参数
f(x)
-3-2-10123
正态分布的密度函数图
特征2:正态分布以均数为中心，左右对称； 特征3:正态分布有两个参数，即均数 和标准差 越小，曲线越尖峭?通常用N( , 2)表示均数为 ，方差为 2的正态分布 用N( 0, 1)表示标准正态分布.
特征4:正态曲线下面积的分布有一定规律。
实际工作中，常需要了解
正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的 例数占总例数的百分数(频数分布)或观察值落在该区间的概率
?正态曲线
下一定区间的面积可以通过标准正态分布函数表求得。对于正态或近似正 态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计
?
2.三大分布与正态分布的密度函数比较[3]
2.1 2分布收敛于正态分布
2(n)，则对任意x ，有n m P (帶
x)
t 2/2
dt
证明：因为 n
n
2
(n)分布的 E( 2) E( x 2)
E(X j 2)
i 1
i 1
D(X )
i 1
n
D( 2) D( X i 2)
i 1
n
D(x 2)
2n
所以由独立同分布中心极限定理得 Y X 」，N(0,1)
v2n
因为X ~
n 1 x 2 2
x 2
e
2,x
(n
)2n/2 2
所以 x n ?. 2ny 因为 f Y (y)dy
f x (x)dx
是位置参数, 固定不变时， 越大，曲线沿横轴越向右移动；反之, 越小，则曲线沿横 轴越向左移动
是形状参数，当
固定不变时,
越大，曲线越平阔;
n 1
所以 f Y (y)
1
—(n 、,2Hy)21e*n 旳
(尹2
n
1
n 2 (1 ,2n (-)2n/2
2
2 占1 ；(n ?阿 y)
y)2 e 2 n
■. 4m(m 1)!2m
(2m
)m1(1
所以2分布的极限分布为正态分布.
F 面用MATLAB 来验证上面结论，首先定义 2
(n)分布函数和相应的正态分布
令n 2m ，利用Stirling 公式 m! , 2 m m m e m e m
,0
m
1 12m
则上式 ^4^
(2m)m1(1
I .m 1 (m . my)
■m
y) e
dx dy
4m.2 m m ^ e m e m
:心八
(m , my)
m
(1
: IE
m 1
m(1
e
m 1
e
N(n,2n)，再依次增大n ，比较两者关系：⑷
从上面三个图形可以看出，n 越大，2 3 4(n)分布密度函数与正态分布N(n,2n)度函 数越接近，这就和所证结论相符合?
2.21分布收敛于标准正态分布
证法1:由于自由度为n 的t 分布的概率密度函数为 (
n 1) () x 2 U
p(x; n)= .(1 —) 2
X (n ) n
(□)
2
因此(1)式等价于lim p(x;n)二 一一 e
n
2
4 利用函数的性质
先利用 Stirling 公式：m! 、、2 m m m
e
m
,0
1 12m
若X n 服从自由度为n 的t 分布，n im P(X n x)
t 2/2
t
dt
(1)
x 2/2
(2)
(
2
丿1
(卫
2k 1) n 1 n 3 n 2k 1 n
2 . 2 …… 2( 2
一n 2 n 4 n 2k 2 n 2k 2 n ( ........ )
2 2 2 2
证明lim
n
事实上,
n 2k 1
(n 1)(n 3)……(n 2k 1) (n ；、 2、、n (n 2)(n 4)……(n 2k 2)(n ? 2 当n 2k 时
1
(2k 1)(2k 3)……1 (卫 2、.2k(2k 2)(2k 4)……2 ⑴
1)2k 1 e
2忌 22k 2 2 (k 1) (k 2k
)2
e
2k 1 1 严 1 1 / 2k (1 亍)e 』n
2k 1时亦可推出同样的结果。
综合上诉，即证明（2）式 所以，t 分布的极限分布是正态分布?
F 面用MATLAB 来验证上面结论，首先定义t （n ）分布函数和相应的正态分布
1)!厂 (2 k 2、2k22k2((k 1)!)2
、不药刁（心）2k1广
e 2 2k 22k 2 C.2
(k 1)
i )2
e
22厂1
另外, 由特殊极限公式可得
lim(1
n
n 1 ~2~
n
2 n x _ lim[(1 )
x 「] n
n
n 1 x 2
x 2
2 ?( ) x 2 n 2
2
] e
数越接近，这就和所证结论相符合?
2.3F分布收敛于标准正态分布
证明：当m 时Y/m P1
所以F L X /n
所以F分布的极限分布是正态分布.
F面用MATLAB来验证上面结论，首先定义F(m, n)分布函数和相应的正态分2
卄n 2n (m n 2) 古八、-叶丄
布N( , 2)，再依次增大n 2 m(n 2) (n 4)n 2
若F竽m服从为第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，则n im P(X n x) L X t2/2
e dt.
因为E(X/n) 1,D(X/n) 2n
~~2 n
所以由中心极限定理，当时L N(0,1)
2
n，比较两者关系
从上面三个图形可以看出，n 越大，F(m, n)分布密度函数与正态分布
在实际应用中我们往往在取得总体的样本后，通常是借助样本的统计量对 未知的总体分布进行推断，为此须进一步确定相应的统计量所服从的分布， 正态
分布、 2(n)分布、t 分布、F 分布是统计学最基本的四种分布， 而2(n)分布、 t 分布和F 分布又都收敛于正态分布，可见正态分布在统计学中的地位.实际上, 证明2
(n)分布、t 分布和F 分布收敛于正态分布的方法很多，本质上都是应用 了大数定理
2n 2(m n 2) 2
2 m(n 2) (n 4)
)度函数越接近，这就和所证结论相符合
和中心极限定理.既然三大抽样分布都收敛于正态分布，则当样本容量很大时，就可以用正态分布来近似三大抽样分布. 本文主要还利用了计算机软件来验证数学上的理论证明，在现代数学学习中，我们是离不开计算机的，因此我们也应多学习一些软件的使用.
参考文献：
[1] XX学士学位论文.统计学三大分布与正态分布的差异.扬州大学.2010
[2] 范玉妹，汪飞星，王萍，李娜. 概率论与数理统计. 机械工业出版社．2007
[3] 宗序平，赵俊，陶伟. 统计学上三大分布推导方法.2009
[4] 王福昌，曹慧荣.2(n)分布、t分布和F分布的近似计算.2008
[5] 李贤平，沈崇圣，陈予毅. 概率论与数理统计. 复旦大学出版社. 2005