卡方分布及其它分布
卡方分布
一、 卡方分布的定义：
若n 个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-square distribution ），其中参数 n 称为自由度。
二、 卡方分布的性质：:
2
代入（1），第一条结论可得证。直接计算可得
.
36,1,,1,3244
n i EX n i EX 于是
,1,,1,
213)()(2
24
2
n i EX EX X Var i i i
.42)()(2
242 n n n EX EX X Var
代
入
（
2
）
便
证
明
了
第
二
条
结
论
。
三、 卡方分布的概率密度函数：
当0,1
212x e x x n n
11
11212cos sin 2cos sin sin cos n n n n n n r x r x r x
与这变换相应的函数行列式为：
1
-n 111,,,,,r r
r r
r r r r x x n n
其中括号和 都表示1,,1 n 的函数。因此。当z>0时，
C P z
z 0dr r -1-n 2
n 22
r 21
z
n n 0
12
22
z
n
n d n 0
212
12
22
1
即，2 的密度函数为
，其他当00,221
21222z e z n x f z n n
z 称这个密度函数所定的分布为自由度为n 的2 分布，记作2
）（n 。它的图像
如下：
图（一）2
分布密度函数图
四、卡方分布的累积分布函数为：
dx x f x F x k
2
dx e x
n x n n
2
122
221
22,2k x k x F k
，
其中γ(k,z)为不完全Gamma 函数。其图像如下：
分布的分布函数图
图（二）2
五、卡方分布的特征函数及其推导：
特征函数：ψ(t)
= f(x)dx
=dx
=
六、论证过程中的心得体会：
首先通过对卡方的研究和证明，提高了我们对数学的兴趣。其次，通过这次的推导和搜索资料进行分析，大大提高了我们的独立思考的能力，我们当中很多同学之前都很害怕类似的证明题，这一次的合力解决难题使我们信心倍增。当然同时，这个合作锻炼了我们团队合作的能力，分工合作解决问题，有的人负责收集资料，有点人负责推导公式，有的人负责输入文章，整理公式，等等。这让大家明白了团结的力量。做出合理的时间安排，做任何事情，合理的时间安排非常重要，多元课程设计也是一样，事先要做好一个规划，课程设计一共分5个板块（定义，性质，特征函数，密度函数，分布函数，心得体会）。你每天要做完哪几个板块事先要确定好，这样做才会使自己游刃有余，保证在2周时间内内完成论文，以避免由于时间上的不妥，以致于最后无法完成论文。
另外，写论文的过程中也使我们对论文的格式有了一个了解，更规范更具
体，为以后的学业报告做了一次很好的准备。论文属于科学性的文章，它有严格的书写格式规范，因此一篇好的论文一定 要有正确的格式，论文格式错误就不能得到好成绩，因此我们写论文时要端正态度，注意书写格式。
多元课程的设计更加是丰富了我们的业余生活，让大家聚在一起讨论题目，其乐融融。这样的课程设计也能使我们找到志同道合的朋友，发现生活中的点滴数学趣事，从实际出发思考题目，同时我们对计算机的知识也有了一定的加深，matlab 的使用等等。 检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布
由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s 作为σ的估计值，为了与u 变换区别，称为
t 变换t =
x
s u
x ，统计量t 值的分布称为t 分布。 t 分布的分布函数及证明
用);(n x T 表示n t 分布的分布函数，则
00
)21,21(121)21,21(21);()2/(22)/(
x x n I n I n x T x n x x n n 证明 根据分布函数的定义有
dy n y n B dy n y t n x T n x
x
2
/)1(21()
2
1,21(1);();(
?
当0 x 时，上式为
2
则
dt
x x
然后利用刚刚的讨论可知
)2
1,21(21)21,21(2121);()/()/(222n I n I n x T x n n x n x
综上所述便得我们所要的结论。
t 分布的密度函数及证明
设z , 为相互独立随机变量， 服从正态z N ),1,0(服从自由度为n 的2
—分布，则
t=n
z
的密度函数为 21
2//
)
1()
2
()21
(
)()( ?
n n
z t n x n n n x f x f 称)(x f t 是自由度为n 的t —分布（或Student 分布）的密度函数， 证：首先，易知与
n
z 相互独立，事实上，
,2,212(2(2)(.
)()()(2
2
22222
02222222
2
2212
1
? n nx n x x n
z
x n x u dx e x e n n x f
dx x x f x x f x f
则上式变为令故
1、t 分布是对称分布，且其均值为0
2．t 分布是一簇曲线，其形态变化与n （确切地说与自由度ν）大小有关。自由度ν越小，t 分布曲线越低平；自由度ν越大，t 分布曲线越接近标准正态分布（u 分布）曲线，如图1。
3、t 分布是一个分布族，对于不同的样本容量都对应不同的分布，且其均值都为0。
4、与标准正态分布相比，t 分布的中心部分较低，2个尾部较高。
5、变量t 的取值范围在 到之间
图1自由度为1、5、∞的t 分布
t 分布有如下性质：
性质1 令2
/)1(2)1()( n n x x g 则x n
x n n x g n ? 2
/)3(2)1(1)( )
31()1(1)(2
22/)5(2x n
n n x n x n n x g n
故
)( x g 的解为
)2/( n n x ，即分布密度在)2/( n n x 处有拐点。
性质2 22
1
21);(lim x n e
n x t
性质3 设n t X ~，若n r ，则)(r X E 存在；若n r ，则)(r
X E 不存在。此点由微积分
中判别积分收敛的法则很容易看出。
若n r ，且r 为奇数，由于函数2
/)1(2)/1( n r n x x 是x 的奇函数，因此，0
r ；
若n r 且r 为偶数，可以算得)
()4)(2()
1(5312/r n n n r n
r r r ??
特别
,4,3,2)(,0)(
n n n X Var X E ,6,5,4
6,021 n n r r 性质4 n t 分布由于只有1 n 阶矩存在，故没有矩母函数存在。 性质5 如1X 和2X 独立同分布于n 2
，则随机变量
n t X X X X
Y ~/)(2
1
2112
。
t 分布的 分位数
t 分布的 分位数记作 n t .如图所示，
当X~ n t 时， n t X P
= .给出概率 和自由度n ,可从t 分布的分为表中查出 n t .与标准正态分布相类似,根据t 分布密度曲线的对称性,也有
132
.24025.0 t
n n
定理1：设),(~f Gt t n ，则t 的密度是
（*1）
t dy y y y f t n n n n n n ,)2()
()2
1()
(20
212)1(2
1
2
2
1 ，
其中2
12
1)/(t n t 。
证：设),,(~11f I EC x n n ，其中)0,,0,( 且)(?h 是Borel 函数使得 ))((t h E 。
利用)21()21()()()2
1()(,,)(112
1
0121
2
111
2m f I m dy y f y m dx dx x f m m m m m
i
对于12,, n X X ，则我们有112
21012
1
21))(()/(1(2))((drdx r r x f r x n h t h E n n
,其
推论2：设 k t E ，则（*5）122)2(2
1
2]2[0
2
1)!2(!2)2
1(!))(21()( j k n j j k j k k j k c j k j n k k n n t E
其中]
[x表示x的整数部分，且c由
2
1
2
1
)
(
2
)
2
1
(
~
dr
r
f
r
l
c
l
l
l
定义。特别（注意1
1
n
c）（*6）
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
))
)
2
1
(
/(
))
1
(
2
1
(
(
]1
2
[
2
)
var(
2
]1
2
[
2
)
(
1
)
2
1
(
))
1
(
2
1
(
)
(
)(
n
n
n
n
c
n
n
n
c
n
n
t
n
c
n
n
t
E
n
c
n
n
n
t
E
由（*3），（*4）和Legendre倍量公式)
2
1
(
)
(
2
)
2(
2
1
1
2
a
a
a
a
，结论得证。
分布
一、定义
如果随机变量的密度函数为
则称随机变量服从第一自由度为，第二自由度为的分布，记为。
二、性质
1、设随机变量与相互独立，且，，则随机变量。证明：因为随机变量与分别分布，所以其密度函数分别为
，
由商的密度函数公式，故得
令，得
，其中
所以，随机变量。
2、设随机变量，则，D。解：
令，得
令，得
同理可得，
D
3、设随机变量，则。
证明：因为随机变量，所以其密度函数为
。
则的密度函数为
所以，。
4、若随机变量，则。
证明：因为随机变量，所以其密度函数为
的密度函数为
所以，。
三、非中心分布
设，，且与相互独立，令，则称服从自由度为，非中心参数为的非中心分布，记为。
随机变量的密度函数为
证明：的联合分布为
作变换
则
的联合分布为
的边沿分布为
将改为，即为所证。
二次型的分布
1
1
1/2
1/2
1
~(0,),()(12)
itA ij i j p p i j r
j x N I A a x x y t it j
?定义：设随机向量为p 阶对称阵，则称y=x Ax=为随机变量x 的二次型.
二次型分布的性质：
①特征函数：我们考虑标准正态向量的二次型，有y 的特征函数为：
2
=[(E X X tr A