解绝对值不等式的解法
解绝对值不等式题型探讨
题型一 解不等式2|55|1x x -+<． ［题型1］解不等式2|55|1x x -+<．
［思路］利用｜f(x)｜ 2 1551x x -<-+<即22 551(1)551 (2)x x x x ?-+-??求解。 ［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<， 即22551(1)551 (2)x x x x ?-+-?? 由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >， 所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<． ［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。 2）本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的 ［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜ 解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x ) 解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >1 2 } (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x 即22 2226360(3)(2)032(1)(6)0 16263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ??-->-+->+-><->???????????+-<-<<--<-- 所以原不等式的解集是{x |2 ［收获］形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式 这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|()f x |<()g x ?－()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ?()f x >()g x 或()f x <－()g x ［请你试试4—1］ ??? 1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2） 2 34 x x -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2-3x-4 ① 或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1- 解②得：x>-3 故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝ 分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜ 而x 2-x+2＝(x-14)2+7 4>0 所以｜x-x 2 -2｜中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4 解得：x>-3 ∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤234 x x -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为 正，所以可平方后求解. 原不等式等价于2 234 x x -≤1 9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) x 4-17x 2+16≥0 x 2≤1或x 2≥16 -1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4 注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式 ［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。 （2）题可采用零点分段法去绝对值求解。 ［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有： |x －1|2<|x +a |2 即有2x －2x +1<2x +2ax +2a ，整理得(2a +2)x >1－2a 当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x >1 2 (1－a )； 当2a +2=0即a =－1时，不等式无解； 当2a +2<0即a <－1时，不等式的解为x <1 (1)2 a - （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5. 解：当x ≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3. 当-3 22???????? 当x ≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4x>2. 综合得：原不等式解集为｛x ｜x>2或x<-3｝. ［收获］1）形如|()f x |<|()g x |型不等式 此类不等式的简捷解法是利用平方法，即： |()f x |<|()g x |?22()()f x g x 2）所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……， n x 将数轴分为n+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化 为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化 ［请你试试4—2］ 1 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1) 解析：易知－1 ||||lg lg x x a a -+> ∴22|lg(1)||lg(1)|x x ->+ 于是22lg (1)lg (1)0x x --+> ∴[lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0x x x x -++--+> ∴21lg(1)lg 01x x x -->+ ∵－1 ∴1lg 1x x -+<0 ∴1011x x -<<+ 解得0 2．不等式|x+3|-|2x-1|<2 x +1的解集为 。 解： ?? |x+3|-|2x-1|=??? ? ? ? ??? -≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x ∴当2 1 ≥ x 时124+<-x x ∴x>2 当-3 2 3-<<-x 当3-≤x 时12 4+<-x x ∴3-≤x 综上72 - 故填),2()7 2 ,(+∞?--∞。 3．求不等式13 3 1 log log 13x x +≥-的解集. 解：因为对数必须有意义，即解不等式组 01 03x x >???>?-?，解得03x << 又原不等式可化为()33log log 31x x +-≥ (1)当01x <≤时，不等式化为()33log log 31x x -+-≥即()33log 3log 3x x -≥ ∴ 33x x -≥ ∴ 34x ≤ 综合前提得：3 04 x <≤。 (2)当1 ∴ 2330x x -+≤ x ∴∈?。 (1) 当23x <<时，()333log log 3log 3x x --≥ (2) ∴()33x x ≥- ∴94x ≥ ，结合前提得：9 34 x ≤<。 综合得原不等式的解集为390,,344???? ??????? U 第3变 解含参绝对值不等式 ［变题3］解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成 3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。 ［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x 当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或 当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3- ［收获］1）一题有多解，方法的选择更重要。 2）形如|()f x |a (a R ∈)型不等式 此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ① 当a >0时，|()f x |a ?()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |a ?()f x ≠0 ③ 当a <0时，|()f x |a ?()f x 有意义。 ［请你试试4—3］ 1．解关于x 的不等式：()09 22 >≤-a a a x x 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解：当()? ??≤--≥???≤-≥≥0299292 22a ax x a x a a x x a x a x 即时，不等式可转化为 a b x a 17 3+≤ ≤∴ ???≥+- 22a ax x a x a x a ax a x a x 即时不等式可化为当 ]?? ? ???+?-∞<≤≤ ∴a a a a x a a x 6173,323 , (3 23故不等式的解集为或。 2．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。 按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k 值的不确定，要以k 的不同取值分类处理。 解：原不等式可化为－4≤kx ≤6 当k >0时，进一步化为46x k k -≤≤，依题意有4 433632k k k k ?-=-??= ???????==???，此时无解。 当k =0时，显然不满足题意。 当k <0时，64x k k ≤≤-，依题意有4 2263k k k ?-=???=-? ?=-?? 综上，k =－2。 第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 ［变题4］若不等式|x －4|+|3－x | ［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，便把问题简化。 ［解题］解法一 (1)当a ≤0时，不等式的解集是空集。 (2)当a >0时，先求不等式|x －4|+|3－x | ① 当x ≥4时，原不等式化为x －4+x －3 解不等式组474272x a x x a ≥?+?≤< ?-1 ② 当3 ③ 当x ≤3时，原不等式化为4－x +3－x 解不等式377337222x a a x x a ≤?--?<≤?1 综合①②③可知，当a >1时，原不等式有解，从而当0 由(1)(2)知所求a 取值范围是a ≤1 解法二由|x －4|+|3－x |的最小值为1得当a >1时，|x －4|+|3－x | 解法三： ∵a >|x －4|+|3－x |≥|x －4+3－x |=1 ∴当a >1时，|x －4|+|3－x | ［收获］1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。 2）()f x a ≤有解()min a f x ?≥；()f x a ≤解集为空集()min a f x ?<；这两者互补。 ()f x a ≤恒成立()max a f x ?≥。 ()f x a <有解()min a f x ?>；()f x a <解集为空集()min a f x ?≤； 这两者互补。()f x a < 恒成立()max a f x ?>。 ()f x a ≥有解()max a f x ?≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ?>； 这两者互补。()f x a ≥恒成立()min a f x ?≤。 ()f x a >有解()max a f x ?<；()f x a >解集为空集()max a f x ?≤； 这两者互补。()f x a >恒成立()min a f x ?≤。 ［请你试试4—4］ 1．对任意实数x ，若不等式|x +1|－|x －2|>k 恒成立，求k 的取值范围。 思维点拨：要使|x +1|－|x －2|>k 对任意实数x 恒成立，只要|x +1|－|x －2|的最小值大于k 。因|x +1|的几何意义为数轴上点x 到－1的距离，|x －2|的几何意义为数轴上点x 到2的距离，|x +1|－|x －2|的几何意义为数轴上点x 到－1与2的距离的差，其最小值可求。 此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察k 的取值范围。 解法一 根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，则原不等式即求|PA|－|PB|>k 成立 ∵|AB|=3，即|x +1|－|x －2|≥－3 故当k <－3时，原不等式恒成立 解法二 令y =|x +1|－|x －2|，则3,121,123,2x y x x x -≤-?? =--< 要使|x +1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要k <－3即可。 故k <－3满足题意。 2．对任意实数x ，不等式|x+1|+|x-2|>a 恒成立，求实数a 的取值范围。 分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a 应比最小值小。 解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)≤0, 即 21≤≤-x 时取等号。故a<3 说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R 等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……） 3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3| 当|x-4|+|x-3|1 （二）如图，实数x 、3、4在数轴上的对应点分别为P 、A 、B 则有： y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB| Θ |PA|+|PB|≥1 ∴ 恒有y ≥1 数按题意只须 （三）令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象 由f(x) （四）考虑|z-4|+|z-3| 当a>1时，表示复平面上以3、4为焦点，长轴长为a 的椭圆内部，当z 为实数时，a>1原不等式有解∴a>1即为所求 （五） 可利用零点分段法讨论. 将数轴可分为(-∞，3)，［3，4］，(4，+∞)三个区间. 当x<3时，得(4-x)+(3-x)72 a -. 有解条件为72 a -<3 即a>1 当3≤x ≤4时得(4-x)+(x-3)1 当x>4时，得(x-4)+(x-3) a - 有解条件为72 a ->4 即a>1 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1. 变题： 1、若不等式|x-4|+|x-3|>a 对于一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 2、若不等式|x-4|-|x-3| 3、若不等式|x-4|-|x-3|>a 在R 上恒成立，求a 的取值范围 评注： 1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法。 4、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法 设0 5 ≤,若满足不等式b a x <-的 一切实数x ，亦满足不等式 2 1 2<-a x 求正实数b 的取值范围。 简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化: 设集合A ＝}(){b a b a b a x x +-=<-,|， B=? ????? ??+-=???<-21,2121|222a a a x x ?? 由题设知A ?B ，则： 2 1 2-≥-a b a 212+ ≤+a b a 于是得不等式组： 2+-≤a a b 2+-≤a a b 又 =-+-212 a a 43212 +??? ? ? --a ，最小值为163； ,4 1 21212 2+??? ??-=+-a a a 最小值为41； ∴ 16 3 ≤ b , 即 ：b 的取值范围是?? ? ??163,0 第5变 绝对值三角不等式问题 ［变题5］已知函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，当[1,1]x ∈-时|()|1f x ≤，求证： (1)||1b ≤； (2)若2()(,,)g x bx ax c a b c R =++∈，则当[1,1]x ∈-时，求证：|()|2g x ≤。 ［思路］本题中所给条件并不足以确定参数b a ,，c 的值，但应该注意到：所要求的结论不是()b g x 或的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用()1-f 、(0)f 、()1f 来表示b a ,,c 。因为由已知条件得|(1)|1f -≤，|(0)|1f ≤，|(1)|1f ≤。 ［解题］证明：(1)由()()()()11,1[11]2 f a b c f a b c b f f =++-=-+?=--，从而有 11 ||[(1)(1)](|(1)||(1)|),|(1)|1,|(1)|1, 221 ||(|(1)||(1)|) 1. 2 b f f f f f f b f f =--≤+-≤-≤∴≤+-≤Q (2)由()()()()()()111,1[11],[11],(0),2 2 f a b c f a b c b f f a c f f c f =++-=-+?=--+=+-= 从而 ()()1[11](0)2 a f f f =+-- 将以上三式代入 2()(,,)g x bx ax c a b c R =++∈，并整理得 222222 11 |()||(0)(1)(1)(1)(1)(1)| 2211 |(0)(1)||(1)(1)||(1)(1)| 2211 |(0)|1||(1)||1||(1)||1|221111 |1||1||1|1(1)(1)22222 2g x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x x x x x =-+++--≤-+++--=-+++--≤-+++-=-+++-=-≤ ［收获］1） 二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 2）本题变形技巧性强，同时运用公式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+及已知条件进行适当的放大。要求同学们做题时要有敏锐的数学观察能力。 ［请你试试4—5］ 1．已知函数f(x)=21x +，a,b ∈R ，且b a ≠，求证|f(a)-f(b)|<|a-b|。 分析：要证|||11|22b a b a -<+-+，考察左边，是否能产生|a-b|。 证明：|f(a)-f(b)|=| |||| |||11|||11|2 2222 2 b a b a b a b a b a b a +-?+< +++-=+-+ ||||| |||| |||b a b a b a b a -=-?++≤ （其中||122a a a =>+，同理|,|12b b >+∴ | |||1 1112 2b a b a +< +++） 回顾：1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步。此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键。如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等。 2、本题的背景知识与解析几何有关。函数21x y +=是双曲线，122 =-x y 的上支， 而||2 12 1x x y y --（即|) ()(| b a b f a f --） ，则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值。（学过有关知识后），很显然这一斜率的范围是在（-1，1）之间。 2．（1）已知不等式|x-3|+|x+1| 分析：“有解”即“解集非空”，可见（1）（2）两小题的答案（集合）互为补集（全集为R ） 当然可以用|x-3|+|x+1|=?? ? ??-≤-<<-≥-)1(22)31(4) 3(22x x x x x 这种“去绝对值”的方法来解，但我们考虑到“三角形不 等式”：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|