【真题】2018年全国卷Ⅰ高考数学(文科)试题含答案解析

2018年高考文数真题试卷（全国Ⅰ卷）

一、选择题

1、（2018?卷Ⅰ）已知集合A={0，2}，B={-2，-1，0，1，2},则A ∩B=（ ） A.{0,2} B.{1,2} C.{0} D.{-2,-1,0,1,2}

【答案】A

【解析】【解答】解：{}{}0,2,B 2,1,0,1,2A ==--,∴{}0,2A B =I ,

故答案为：A

【分析】由集合A,B 的相同元素构成交集. 【题型】单选题

【考查类型】高考真题 【试题级别】高三 【试题地区】全国

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2、（2018?卷Ⅰ）设121i

z i i

-=

++则z =（ ）

A.0

B.1

2

C.1

【答案】C

【解析】【解答】解：z=11i

i -++2i =

()2

1222

i i i i -+==, ∴1z =， 故答案为：C 。

【分析】先由复数的乘除运算求出复数z,再由几何意义求模.

【题型】单选题

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3、（2018?卷Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:

则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后,种植收入减少

B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【答案】A

【解析】【解答】解：经济增长一倍，A

中种植收入应为2a ?37%>a ?60%,

∴种植收入增加，则A 错。 故答案为：A

【分析】设建设前的经济收入为1,则建设后的经济收入为2,由建设前后的经济收入饼图对比,对各选项分析得到正确答案. 【题型】单选题

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4、（2018?卷Ⅰ）已知椭圆22

2:14

x y C a +=的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为（ ）

A.13

B.1

2

【答案】C

【解析】【解答】解：22

214

x y a +

=，

∵244a a -=?=

则

c

e a

==

=

故答案为：C 。

【分析】由焦点坐标得c=2,再由椭圆方程求出a 的值,再求离心率. 【题型】单选题

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5、（2018?卷Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为（ ）

A. B.12π C. D.10π

【答案】B

【解析】【解答】解：设上下半径为

r,则高为2r,

∴()2

28r r =?=。

则圆柱表面积为2

2212πππ?+=，

故答案为：B.

【分析】由圆柱的轴截面是面积为8的正方形,得到圆柱的高为8,底面直径为8,由此求圆柱的表面积.

【题型】单选题

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6、（2018?卷Ⅰ）设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线y=f(x)在点（0,0）处的切线方程为（ ） A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x

【答案】D

【解析】【解答】解：∵()()3

2

1f x x a x ax =+-+，且()f x 是奇函数，

∴a -1=0?a=1.

()()32'31f x x x f x x =+?=+,

∴()'01f =.而y-0=x-0?y=x, 故答案为：D.

【分析】解析:由函数f(x)是奇函数,求出a=1得到函数的解析式,再由导数的几何意义求在点(0,0)处的切线方程. 【题型】单选题

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7、（2018?卷Ⅰ）在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为的中点，则EB =uu r

( )

A.3144AB AC -uu u

r uuu r B.1344AB AC

-uu u

r uuu r C.3144AB AC +uu u

r uuu r D.1344AB AC

+uu u

r uuu r

【答案】A

【解析】【解答】解：12EB AB AE AB AD ===-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 122AB AC AB +=-?u u u v u u u v

u u u v =3144

AB AC -u u u v u u u v

,

故答案为：A 。

【分析】以向量AB 和AC 为基底向量,由点E 是AD 的中点,点D 是BC 的中点,将向量BE

再由点D 是BC 的中点,将其表示为基底向量的线性表示形式.

【题型】单选题

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8、（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=2cos 2x-sin 2x+2,则（ ） A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4

【答案】A

【解析】【解答】解：()2

2

2cos sin 2

f x x x =-+=()1

1cos21cos222

x x +--+=

35cos222x +。∴()min 235.4222

T f x ππ===+=， 故答案为：B.

【分析】由二倍角余弦公式将函数为一个角的三角函数的形式,再求周期与最值. 【题型】单选题

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9、（2018?卷Ⅰ）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为（ ）

C.3

D.2

【答案】B

【解析】【解答】解：画出圆柱侧面展开图如图：

MN ==,

故答案为：B 。

【分析】侧面上MN 的最短距离就是圆柱的侧面展开图MCDE 中的MN,其中MC=2,CN=4,在直角三角形MCN 中求出MN. 【题型】单选题

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10、（2018?卷Ⅰ）在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AC 1与平面BB 1CC 1所成的角为30°,则该长方体的体积为（ ）

A.8

【答案】C

【解析】【解答】解：AC 1与面

BB 1C 1C 所成角平面角为130AC B ∠=o ,

∴BC 1

∴C C 1.长方体体积为22?2， 故答案为：C.

【分析】由长方体的结构特征找到直线与与平面所成的角,求出长方体的高,再求体积. 【题型】单选题

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11、（2018?卷Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边

上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2a=2

3

,则|a-b|=（ ）

A.1

5

C. D.1

【解析】【解答】解：

cos 2b a α=

=

?=，

又2222cos 22cos 1113

a αα=-=-=

+，a =

又a b a -==

， 故答案为：B.

【分析】由二倍角公式求出αtan 即直线OAB 的斜率,再由三角函数的定义求出a,b 的值,然

后求|a-b|的值. 【题型】单选题

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12、（2018?卷Ⅰ）设函数()2,0

1,0x x f x x -?≤=?>?,则满足f(x+1)

（ ）

A.(-∞,-1]

B.(0,+∞)

C.(-1,0)

D.(-∞,0)

【答案】D

【解析】【解答】函数()20

10x x f x x -?≤=?>?

图象如图：

满足f （x+1）﹤f （2x ）

可得：2100x

x x +≤?<﹤或201x x <<+ 解得：(-∞,0)

【分析】由分段函数的单调性将函数不等式去掉f(),得到关于x 的不等式,解不等式求出x 的范围.

【题型】单选题

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二、填空题

13、（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=log 2(x 2+a).若f(3)=1,则a=_____.

【答案】-7

【解析】【解答】解：∵()()22log f x x a

=+，又

()()231log 91927f a a a =?+=?+=?=-。

【分析】由f(3)=1得到关于a 的方程,求出a 的值. 【题型】填空题

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14、（2018?卷Ⅰ）若x ，y 满足约束条件220,10,0,x y x y y --≤??

-+≥??≤?则32z x y =+的最大值为

_____.

【答案】6

【解析】【解答】解：z=3x+2y,过点

A （2,0）时，z max =3?2+2?0=6.

【分析】作出平面区域,平移目标直线,得到最优解,求出最大值. 【题型】填空题

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15、（2018?卷Ⅰ）直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A,B 两点,则|AB|=_____.

【答案】

【解析】【解答】解：()2

22223014x y y x y ++-=?++=。

∴圆心到直线距离

=,

∴AB ==

【分析】作出AB 的中点D,圆心为C,由三角形OAD 为直角三角形,即由半径,弦心距,半弦长构成直角三角形,求弦长. 【题型】填空题

【考查类型】高考真题 【试题级别】高三 【试题地区】全国

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16、（2018?卷Ⅰ）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知 bsinC+ csinB=4asinBsinC,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的面积为_____.

【解析】【解答】解：∵bsinC+csinB=4asinBsinC.

由正弦定理得：

2sin sin sin a b c

R A B C

===sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C ?+=1

4sin 2sin 2

A A ?=?=,

又22282cos 0b c a bc A +-==

>6

A bc π

?==

=

且，

则111sin 222ABC S bc A =?==

V 。 【分析】由正弦定理将边角关系化为角的关系,求出角A,再由余弦定理求出bc 的值,然后用

面积公式求面积.

【题型】填空题

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三、解答题

17、（2018?卷Ⅰ）已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n ,设b=n

a n

(1)求b 1,b 2,b 3

【答案】解： 11211,1,222n a a b b a ===

==，3343

a

b == (2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由;

【答案】解：()1111,2121n n n n a a

a na n a n n

++==+?=?+ ∴12n n b b += 则{}n b 是以

11

111

b a ==为首项，以2位公比的等比数列 (3)求{a n }的通项公式

【答案】解：

1122n n n

n a a n n

--=?=? (2) 【解析】【分析】(1)由数列的递推式结合首项为1,依次求出321,,a a a ,再求321,,b b b ;由递推式变换,得到数列}{n b 的递推式,从而证明数列}{n b 为等比数列;由数列}{n b 为等比数列,得到其通项公式,再求数列}{n a 为等比数列.

【题型】解答题

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18、（2018?卷Ⅰ）如图,在平行四边形ABCM 中，AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB ⊥DA

(1)证明:平面ACD ⊥平面ABC:

【答案】解：证明：AB CM P ，90ACM ∠=o ∴AC⊥CM,AB⊥AC

又∵AB⊥DA ，DA I BC=A ， ∴AB⊥面ACD ，AB ?面ABC ∴面ACD ⊥面ABC

(2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上点,且BP=DQ=2

3

DA,求三棱锥Q-ABP 的体积.

【答案】由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =

又2

3

BP DQ DA ==

，所以BP = 作QE ，AC ，垂足为E ，则QE P 1

3

DC ，

由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1， 因此，三棱锥Q ABP -的体积为

111

131332

Q ABP ABP V QE S -=??=?????=V ，

【解析】【分析】（1）在翻折过程中,由于DA AB ⊥,连接DB,在三角形ABD 中求出BD,再在

三角形BCD 中求出角DCB 为直角,于是BC DC ⊥,又CA DC ⊥,则⊥DC 平面ABC,从而得到面面垂直;(2).由于点P ,Q 分别是BC,DA 上的分点,求出三角形ABP 的面积,高即为DC 的三分之一,由其体积. 【题型】解答题

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19、（2018?卷Ⅰ）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图

【答案】解：

(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m 3的概率

【答案】解：（0.2+1.0+2.6+1）?0.1=0.48 ∴所用水量小于0.35的概率为0.48

(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

【答案】解：该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

()11

0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850

x =

?+?+?+?+?+?+?=， 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

()21

0.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550

x =

?+?+?+?+?+?=， 估计使用节水龙头后，一年可节省水()()

30.480.3536547.45m -?=，

【解析】【分析】(1)根据频率分布表中的数据完成频率分布直方图;(2)由直方图得到日用水量小于0.353m 所对应的组,由频率和为概率；(3)由直方图求日用水量的出平均值,与节水前比较得到一年中节约水量. 【题型】解答题

【考查类型】高考真题 【试题级别】高三 【试题地区】全国

【试题来源】2018年高考文数真题试卷（全国Ⅰ卷）

20、（2018?卷Ⅰ）设抛物线C ：y 2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点

(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程;

【答案】解：当l 与x 轴垂直时，l:x=2，代入C ：y 2=4?2y =± ∴()2,2M 或（2，-2） ∴()()201201

222222

BM BM k k ---=

===-----或

∴()11

:21122

BM BM l y k x x y x =+=

+=-+或 (2)证明:∠ABM=∠ABN

【答案】解：设()()1122,,,M x y N x y 设,BM BN l l 的斜率分别为12,k k ，

12

1212,22

y y k k x x =

=++ 则有：()()()()()()

22

12

12121122121212112222222222y y y y y y y x y x k k x x x x +++++++==++++

设212122

:212442022l my x y my y y y y y x

=-??=+?=-?+=?

=? ∴12k k +分子为0，故12k k +=0，从而ABM ABN l l =

【解析】【分析】(1)由点A 的坐标为(2,0)得直线l 的方程为x=2,代入抛物线的方程中求出点M,N 的坐标,再求出直线BM 的方程;(2)B N ∠=∠A ABM 等价于直线BM,BN 的斜率互为相反数,设出直线l 的方程代入到抛物线的方程中,消去x 得到关于y 的二次方程,由韦达定理计

算直线BM,BN 的斜率的和为0,得证. 【题型】解答题

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【试题来源】2018年高考文数真题试卷（全国Ⅰ卷）

21、（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=ae x -lnx-1 (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间

【答案】解： ()1

,0x f x ae x x

'=-

＞ ∵x=2是()f x 极值点，∴()20f '=

∴11022x x ae a e

-

=?= 又x e 在()0,+∞Z 0a ＞ ∴x ae 在()0,+∞Z ，又

1

x

在()0,+∞] ∴()f x '在()0,+∞Z ，又()20f '= 所以()0,2x ∈时，()0f x '＜，()f x ] 当()2,x ∈+∞时，()0f x '＞，()f x Z

综上所述1

2x

a e =

，()0,2]，()2,+∞Z (2)证明:当a ≥1

e

时,f(x)≥0

【答案】解：∵0x e ≥ 当1a e ≥

时，11

x x x ae e e e

-≥?= ∴()1

ln 1ln x

x f x ae x e

x -=--≥-

令()()111

ln 1,0x x g x e x x g x e x

--'=--?=-＞ 同理()g x '在()0,+∞Z 又()0

110g e '=-=

∴()0,1x ∈时，()0g x '＜，()g x ]

()1,x ∈+∞，()0g x '＞，()g x Z

∴()()min 10g x g == 即1

a e

≥

时，()()0f x g x ≥≥ 21. 【解析】【分析】求出函数的导数,由x=2是函数f(x)的极值点求出a 的值,再由导数研究函数的单调区间;从而证明不等式. 【题型】解答题

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【试题来源】2018年高考文数真题试卷（全国Ⅰ卷） 四、选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]

22、（2018?卷Ⅰ）在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为

22cos 30ρρθ+-=

(1)求C 2的直角坐标方程

【答案】解：22

2:230C x y x ++-=

(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程

【答案】解：()2

22:14C x y ++=

2,0

22,0kx x y k x kx x +≥?=+=?

-+?

＜ ∵12,C C 有公共点，∴0k ≠ 当x ＜0时，12,C C 有两个公共点 当x ＞0时，12,C C 有且仅有一个公共点 则圆心（-1,0）到2y kx =+

距离()4

20-3d k =

=?=舍去或

∴14

=-

23

C y x +： 22. 【解析】【分析】(1)由互化公式将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)曲线1C 是一条折线,两曲线有三个公共点,则折线的一条与圆相交,另一个与圆相切,由此求出k 的值得到曲线1C 的方程.

【题型】解答题

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【试题来源】2018年高考文数真题试卷（全国Ⅰ卷） 五、选考题[选修4-5：不等式选讲]

23、（2018?卷Ⅰ）已知f(x)=|x+1|-|ax-1| (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集

【答案】解：当a=1时，()2,1

2,112,1x f x x x x --??

-≤??≥?

＜＜

当1x -＜时，-2＞1舍

当11x -≤＜时，2x ＞11

2

x ?＞ ∴1(,1]2

x ∈

当1x ＞时，2＞1,成立，综上所述()1f x ＞结果为1,2??+∞

???

(2)若x ∈(0,1)时不等式f(x)>x 成立,求a 的取值范围

【答案】解：∵()0,1x ∈

∴()111102f x x ax x ax ax =+--?-?＞＜＜＜ ∵ax ＞0 ∴a ＞0. ax ＜2min

2a x ??

?

???＜ 又()0,1x ∈所以2a ≤ 综上所述(0,2]a ∈

【解析】【分析】通过对x 分类讨论去掉绝对值,解不等式,求出解集;(2)不等式恒成立等价于f(x)-x>0对于)1,0(∈x 恒成立,即函数f(x)-x 的最小值大于0,由此求出a 的范围. 【题型】解答题

【考查类型】高考真题 【试题级别】高三 【试题地区】全国

【试题来源】2018年高考文数真题试卷（全国Ⅰ卷）