2013年高考重庆卷理科数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
（重庆卷）
一、选择题
1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则?U (A ∪B )等于( ) A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3}
D ．{4}
答案 D
解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以?U (A ∪B )＝{4}，故选D. 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 答案 D
解析 由于“对任意x ∈R ”的否定为“存在x 0∈R ”，对“x 2≥0”的否定为“x 2<0”，因此选D.
3.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9
B.9
2
C ．3
D.322
答案 B 解析 因为(3－a )(a ＋6)＝
18－3a －a 2
＝
－????a ＋322＋814
， 所以当a ＝－3
2
时，
(3－a )(a ＋6)的值最大，最大值为9
2
.
4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5
C ．5,8
D ．8,8
答案 C
解析 由于甲组中有5个数，比中位数小的有两个数为9,12，比中位数大的也有两个数24,27，所以10＋x ＝15，x ＝5.又因9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，所以y ＝8，故选C.
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.5603
B.580
3 C ．200 D ．240 答案 C
解析 由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，梯形的面积为1
2(2＋8)×4＝
20，所以棱柱的体积为20×10＝200.
6．若a
A ．(a ，b )和(b ，c )内
B ．(－∞，a )和(a ，b )内
C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内
D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内
答案 A
解析 由于a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是
连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A. 7．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()
A．52－4 B.17－1
C．6－2 2 D.17
答案 A
解析两圆心坐标分别为C1(2,3)，C2(3，4)．C1关于x轴对称的点C1′的坐标为(2，－
3)，连接C2C1′，线段C2C1′与x轴的交点即为P点．
(|PM|＋|PN|)min＝|C2C1′|－R1－R2(R1，R2分别为两圆的半径)＝(3－2)2＋(4＋3)2－1－3＝50－4＝52－4.故选A.
8．执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是()
A．k≤6 B．k≤7
C．k≤8 D．k≤9
答案 B
解析当k＝2时，s＝log23，当k＝3时，s＝log23·log34，当k＝4时，s＝log23·log34·log45.
由s＝3，得lg 3
lg 2×lg 4
lg 3×
lg 5
lg 4×…×
lg(k＋1)
lg k
＝3，即lg(k＋1)＝3lg 2，所以k＝7.再循环时，
k＝7＋1＝8，此时输出s，因此判断框内应填入“k≤7”．故选B. 9．4cos 50°－tan 40°等于()
A. 2
B.2＋3
2
C. 3 D ．22－1
答案 C
解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°
cos 40°
＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°
＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°
cos 40°
＝ 3.
10．在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12
，则|OA →
|的取值范围是
( ) A.?
??
?0，
52 B.??
??
52，72 C.??
?
?52，2
D.??
?
?72，2 答案 D
解析 设B 1(cos α，sin α)，B 2(cos β，sin β)，A (x ，y )，O (0,0)．
由AB 1→⊥AB 2→
，得cos(α－β)－x (cos α＋cos β)－y (sin α＋sin β)＋x 2＋y 2＝0① OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB 1→＋AB 2→
＝(cos α＋cos β－x ，sin α＋sin β－y )． 而|OP →|<12，则0≤|OP →|2<14
，
整理得0≤x 2＋y 2＋2＋2cos(α－β)－2x (cos α＋cos β)－2y (sin α＋sin β)<1
4，②
将①代入②，得0≤x 2＋y 2＋2－2(x 2＋y 2)<1
4，
即0≤2－(x 2＋y 2)<14，整理得7
4 所以|OA →|2∈????74，2，即|OA → |∈????72，2. 二、填空题 11．已知复数z ＝5i 1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝________. 答案 5 解析 |z |＝??????5i 1＋2i ＝|5i||1＋2i|＝5 5 ＝ 5. 12．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________. 答案 64 解析 因为a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 22＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，d ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S 8＝ (a 1＋a 8)×8 2 ＝4×(1＋15)＝64. 13．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答) 答案 590 解析 利用直接法分类求解．一脑一内三骨的选法有C 14C 15C 3 3＝20种，一脑二内二骨的选法有C 14C 25C 23＝120种，一脑三内一骨的选法有C 14C 35C 13＝120种，二脑一内二骨的选法有C 24C 15C 23＝90种，二脑二内一骨的选法有C 24C 25C 13＝180种，三脑一内一骨的选法有C 34C 15C 13 ＝60种，满足题意的选法共20＋120＋120＋90＋180＋60＝590(种)． 14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为______． 答案 5 解析 由题意，得弦切角∠BCD ＝∠A ＝60°，∠C ＝∠D ＝90°，所以△ABC ∽△CBD .所以AB CB ＝AC CD ，CD ＝CB ×AC AB ＝20sin 60°×20cos 60°20＝5 3.又因CD 与圆相切，所以CD 2 ＝DE ×DB ，则DE ＝CD 2DB ＝(53)2CB sin 60°＝25×320×sin 60°×sin 60° ＝5. 15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标 方程为ρcos θ＝4的直线与曲线? ???? x ＝t 2， y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 16 解析 将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入? ???? x ＝t 2， y ＝t 3得t ＝±2，从而y ＝±8.所以A (4,8)，B (4，－8)．所以|AB |＝|8－(－8)|＝16.