山东省潍坊市青州市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题 (1)
山东省潍坊市青州市2020-2021学年九年级上学期期末数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，sinA=45
，则cosB 的值等于( )
A ．35
B ．45
C ．34
D 2．下列说法正确的是（ ）
A ．经过三点可以做一个圆
B ．平分弦的直径垂直于这条弦
C ．等弧所对的圆心角相等
D ．三角形的外心到三边的距离相等 3．关于x 的方程2340x mx +-=有一个根是2，则另一个根等于（ ）
A ．-4
B ．23-
C ．43
D ．43- 4．如图，在O 中，弦AB=12，半径OC AB ⊥与点P ，且P 为的OC 中点，则AC 的
长是（ ）
A ．
B ．6
C ．8
D ．5．将抛物线y=x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A ．y=（x+1）2﹣13
B ．y=（x ﹣5）2﹣3
C ．y=（x ﹣5）2﹣13
D ．y=（x+1）2﹣3
6．已知关于x 的二次方程2(12)210k x x ---=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．1k ≤
B ．1k ≤且12k ≠
C ．0k ≥
D ．0k ≥且12k ≠ 7．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的m 个小球，其中8个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球实验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，记下其颜色，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的
列表：
根据列表，可以估计出m 的值是（ ）
A ．8
B ．16
C ．24
D ．32 8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AD∥BC，BD 平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC 的度数为（ ）
A ．100°
B ．105°
C ．110°
D ．115°
9．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A ．8
B ．4
C
D 10．如图，是反比例函数3y x =与7y x
-=在x 轴上方的图象，点C 是y 轴正半轴上的一点，过点C 作//AB x 轴分别交这两个图象与点A 和点B ，P 和Q 在x 轴上，且四边形ABPQ 为平行四边形，则四边形ABPQ 的面积等于（ ）
A ．20
B ．15
C ．10
D ．5
11．如图，AD 是ABC ?的高，AE 是ABC ?外接圆的直径，圆心为点O ，且AC=5，DC=3，45ABC ∠=?，则AE 等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．5
12．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴过点(1,0)且平行于y 轴，若点(4,0)P 在抛物线上，则下列4个结论：①0abc >；②24b ac <；③0a b c ++=；④420a b c -+=．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．3sin 60tan 3045????=__________．
14．二次函数2(12)12y x m x =-+-+，当2x >时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是__________．
15．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()p kPa 是气体体积3
()V m 的反比例函数，其图象如图所示．当气体体积为31m 时，气压是__________kPa ．
16．有一块长方形的土地，宽为120m ，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙均为正方形，现计划甲建住宅区，乙建商场，丙地开辟成面积为3200m 2的公园．若设这块长方形的土地长为xm ．那么根据题意列出的方程是_____．（将答案写成ax 2+bx+c=0（a≠0）的形式）
17．如图，在平面直角坐标系中，已知A 经过点E B O C 、、、，且点O 为坐标原点，点C 在y 轴上，点E 在x 轴上，A (-3，2)，则tan OBC ∠=__________．
18．已知关于x 的一元二次方程2640x x m -++=有两个实数根1x ，2x ，若1x ，2x 满
足1232x x =+，则m 的值为_____________
三、解答题
19．解方程
（1）(21)(3)4x x -+=
（2）22(3)5(3)x x -=-
20．如图，已知一次函数2y x =-与反比例函数3y x
=的图象交于A ，B 两点．
（1）求AOB ?的面积；
（2）观察图象，可知一次函数值小于反比例函数值的x 的取值范围是 ． 21．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了“汉字听写大赛”活动．经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，最终没有学生得分低于25分，也没有学生得满分．根据测试成绩绘制出频数分布表和频数分布直方图（如图）．
请结合图标完成下列各题：
（1）求表中a 的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若本次决赛的前5名是3名女生A、B、C和2名男生M、N，若从3名女生和2名男生中分别抽取1人参加市里的比赛，试用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到女生A和男生M的概率．
22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
（1）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天的盈利是1050元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最大？最大盈利是多少？
23．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1．5
∠为45，此时教学楼顶端G恰好在视线DH 米的测角仪测得古树顶端H的仰角HDE
∠为60，点A、B、C 上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角GEF
三点在同一水平线上．
（1）求古树BH的高；
（2）求教学楼CG的高．
24．如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．
25．如图，平面直角坐标系xOy中点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N 两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当四边形ABNO的面积最大时，求点N的坐标并求出四边形ABNO面积的最大值．
参考答案
1．B
【解析】
在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A +∠B =90°，则cos B =sin A =45
．故选B ． 点睛：本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．
2．C
【解析】
【分析】
根据确定圆的条件、垂径定理的推论、圆心角、弧、弦的关系、三角形的外心的知识进行判断即可．
【详解】
解：A 、经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，A 错误；
B 、平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，B 错误；
C 、等弧所对的圆心角相等，C 正确；
D 、三角形的外心到各顶点的距离相等，D 错误；
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的推论和三角形外心的知识，掌握相关定理并灵活运用是解题的关键．
3．B
【分析】 利用根与系数的关系，12c x x a
?=
，由一个根为2，以及a ，c 的值求出另一根即可． 【详解】
解：∵关于x 的方程2340x mx +-=有一个根是2， ∴1243
?=
=-c x x a ， 即2423
x =- ∴2412323=-?=-x ，
【点睛】
此题主要考查了根与系数的关系，熟练地运用根与系数的关系可以大大降低计算量．4．D
【分析】
根据垂径定理求出AP，连结OA根据勾股定理构造方程可求出OA、OP，再求出PC，最后根据勾股定理即可求出AC．
【详解】
解：如图，连接OA，
∵AB=12，OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AP=BP=1
2
AB=6，
∵P为的OC中点，
设⊙O的半径为2R，即OA=OC=2R，则PO=PC=R，
在Rt△OP A中，由勾股定理得：AO2=OP2+AP2，
即：(2R)2=R2+62，
解得：R=
即OP=PC=
在Rt△CP A中，由勾股定理得：AC2=AP2+PC2，
即AC2=62+2
解得：AC=
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出AP的长是解此题的关键．5．D
因为y=x 2-4x-4=（x-2）2-8，
以抛物线y=x 2-4x-4的顶点坐标为（2，-8），把点（2，-8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（-1，-3），
所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-3．
故选D ．
6．B
【分析】
根据一元二次方程根的判别式让?=b 2?4ac ≥0，且二次项的系数不为0保证此方程为一元二次方程．
【详解】
解：由题意得：2(2)4(12)(1)0---?-≥k 且120k -≠，
解得：1k ≤且12
k ≠
， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，方程有2个实数根应注意两种情况：?≥0，二次项的系数不为0．
7．C
【分析】
利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．
【详解】 解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于
3332911000003≈， 由题意得：813=m ， 解得：m =24，
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
8．B
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数，进而利用平行线的性质得出∠ABC的度数，利
用角平分线的定义和三角形内角和解答即可．
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=130°，
∴∠C=180°-130°=50°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠A=50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=25°，
∴∠BDC=180°-25°-50°=105°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数．
9．D
【解析】
【分析】
由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
【详解】
如图1，
∵OC=1，
∴OD=1×
sin30°=12
； 如图2，
∵OB=1，
∴OE=1×
sin45°； 如图3，
∵OA=1，
∴OD=1×cos30°
则该三角形的三边分别为：12、2、2
，
∵（12）2+（2）2=2，
∴该三角形是以12、2
∴该三角形的面积是
1122?=， 故选：D ．
【点睛】
考查正多边形的外接圆的问题，应用边心距，半径和半弦长构成直角三角形，来求相关长度是解题关键。
10．C
【解析】
【分析】
分别过A 、B 作AD 、BE 垂直x 轴，易证?ADQ BEP ，则平行四边形ABPQ 的面积等于矩形ADEB 的面积，根据反比例函数比例系数k 的几何意义分别求得矩形ADOC 和矩形BEOC 的面积，相加即可求得结果．
【详解】
解：如图，分别过A 、B 作AD 、BE 垂直x 轴于点D 、点E ，则四边形ADEB 是矩形，
易证?ADQ BEP ，
∴=ABPQ S S 矩形ABED ，
∵点A 在反比例函数3y x =
上， 由反比例函数比例系数k 的几何意义可得：
S 矩形ADOC =|k |=3，
同理可得：S 矩形BEOC =7，
∴=ABPQ S S 矩形ABED = S 矩形ADOC +S 矩形BEOC =3+7=10，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义，熟练运用比例系数k 的几何意义是解决本题的关键．
11．C
【分析】
由AD 是ABC 的高可得ABD △和ACD 为直角三角形，由勾股定理求得AD 的长，解三角形得AB 的长，连接BE ．由同弧所对的圆周角相等可知∠BEA =∠ACB ，解直角三角形ABE 即可求出AE ．
【详解】
解：如图，连接BE ，
∵AD 是ABC 的高，
∴ABD △和ACD 为直角三角形，
∵AC =5，DC =3，45ABC ∠=?，
∴AD =4，4sin sin 45=
==∠?AD AB ABC ∵AB AB =，
∴∠BEA =∠ACB ，
∵AE 是的直径，
∴90ABE ∠=?，即ABE △是直角三角形，
sin ∠BEA =sin ∠ACB =45AD AC ， ∴52sin AB
AE BEA ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等、解直角三角形和勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
12．B
【分析】
根据二次函数的图象与性质对各个结论进行判断，即可求出答案．
【详解】
解：∵抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴过点(1,0)，
∴抛物线的对称轴为1x =，即12b a
-=，可得2b a =- 由图象可知0a >， 0c <，则0b <，
∴0abc >，①正确；
∵图象与x 轴有两个交点，
∴240b ac ?=->，即24b ac >，②错误；
∵抛物线的顶点在x 轴的下方，
∴当x =1时，0y a b c =++<，③错误；
∵点(4,0)P 在抛物线上，即(4,0)P 是抛物线与x 轴的交点，
由对称轴1x =可得，抛物线与x 轴的另一个交点为(2,0)-，
故当x =?2时，420=-+=y a b c ，④正确；
综上所述：①④正确，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点，解题的关键是逐一分析每条结论是否正确．解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键． 13．52
【分析】
原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】
解：原式=353123222
??=+=，
故答案为：
52
【点睛】 本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．
14．8m ≥
【分析】
先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当2x >时，函数值y 随x 的增大而减小可知二次函数的对称轴22b x a =-
≤，故可得出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可．
【详解】
解：∵二次函数2(12)12y x m x =-+-+，a =?1<0，
∴抛物线开口向下，
∵当2x >时，函数值y 随x 的增大而减小， ∴二次函数的对称轴22b x a
=-≤， 即1222
-≤m ， 解得8m ≥，
故答案为：8m ≥．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
15．96
【解析】
【分析】
设出反比例函数解析式，把A 坐标代入可得函数解析式，再将V =1代入即可求得结果．
【详解】 解：设=k p x
，代入(0.8,120)A 得： 1200.8
=k ，解得：96k =，
故96=p x
， 当气体体积为31m ，即V =1时，96961=
=p (kPa )， 故答案为：96．
【点睛】
本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．
16．x 2﹣360x+32000=0
【分析】
根据叙述可以得到：甲是边长是120米的正方形，乙是边长是（x ﹣120）米的正方形，丙的长是（x ﹣120）米，宽是[120﹣（x ﹣120）]米，根据丙地面积为3200m 2即可列出方程．
【详解】
根据题意，
得（x ﹣120）[120﹣（x ﹣120）]=3200，
即x 2﹣360x+32000=0．
故答案为x 2﹣360x+32000=0．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意找到合适的等量关系是解题的关键． 17．23
【解析】
【分析】
分别过A 点作x 轴和y 轴的垂线，连接EC ，由∠COE =90°，根据圆周角定理可得：
EC 是⊙A 的直径、∠=∠OBC CEO ，由A 点坐标及垂径定理可求出OE 和OC ，解直角三角形即可求得tan OBC ∠．
【详解】
解：如图，过A 作AM ⊥x 轴于M ，AN ⊥y 轴于N ，连接EC ，
∵∠COE =90°，
∴EC 是⊙A 的直径，
∵A (?3，2)，
∴OM =3，ON =2，
∵AM ⊥x 轴，AN ⊥y 轴，
∴M 为OE 中点，N 为OC 中点，
∴OE =2OM =6，OC =2ON =4，
∴tan OBC ∠=42tan 63
∠=
==OC CEO OE ． 【点睛】
本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、垂径定理和锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．
18．4
【解析】
【分析】
由韦达定理得出x 1+x 2=6，x 1·x 2=m +4，将已知式子3x 1= | x 2|+2去绝对值，对x 2进行分类讨论，
列方程组求出x 1、x 2的值，即可求出m 的值.
【详解】
由韦达定理可得x 1+x 2=6，x 1·
x 2=m +4， ①当x 2≥0时，3x 1=x 2+2， 1212326x x x x =+??+=?，解得12
24x x =??=?， ∴m =4；
②当x 2＜0时，3x 1=2﹣x 2，
1212326x x x x =-??+=?，解得12
28x x =-??=?，不合题意，舍去. ∴m =4.
故答案为4.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，其中对x 2分类讨论去绝对值是解题的关键. 19．（1）11x =，272x =-
；（2）13x =，212
x = 【分析】
（1）方程整理成一般形式后，利用公式法求出解即可；
（2）将方程右边的项移到方程左边，用因式分解法将方程转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
解：（1）(21)(3)4x x -+=
方程可化为：22570x x +-=， 2a =，5b =，7c =-，
∵22
4542(7)810?=-=-??-=>b ac ，
∴5592224
b x a -±-±-±===?， ∴11x =，272
x =-； （2）22(3)5(3)x x -=-，
移项得：22(3)5(3)0---=x x ，
因式分解得：(3)(21)0--=x x ，
∴30x -=或210x -=，
∴13x =，212
x =
． 【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法与公式法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．