《完全平方公式》教材分析

《完全平方公式》教材分析

一、教材的地位和作用

《完全平方公式》是义务教育课程标准鲁教版《六年级数学下

册》第六章第七节完全平方公式第一课时.

在此之前，学生已学习了多项式的乘法，这为过渡到本节的学

习起着铺垫作用。本节课通过学生合作学习，利用图形解释和多项式相乘法则得到完全平方公式，进而理解和运用完全平方公式，对以后学习因式分解，解一元二次方程都具有举足轻重的作用。

在教材作用上：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知

识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，让学生获得数学活动的经验，培养学生探索能力。因此本节课在教学中力图向学生渗透数形结合思想，转化思想和整体思想。

二、本课时教科书的编写线索

教材通过给出两个具有相同特点的等式，即

2222)(b ab a b a ++=+的形式，让学生观察等式的特点，通过对比等式两边代数式的结构，进一步得到一般性的结论。接着，类比和的平方的探索情况分析差的平方的几何解释，并进行简单的运用。

三、确定本节教学重点

基于以上分析确定本节课教学重点如下：

1、了解公式的推导过程，了解公式的几何背景。

2、会应用完全平方公式进行简单地计算。

初二数学利用公式法(完全平方公式)因式分解课堂

设计思路： 教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。 教学过程： 师生问好，组织上课。 师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？ 生1：（答略） 师：你能用符号语言来表示这个公式吗？ 生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2 师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？ 生齐答：两个。 师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？ a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2 生2：（答略） 师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？ 生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。 师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4） 问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？ ○3、○4两个式子由左往右是什么变形？ 生3：（答略） 师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：

a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书） 问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？ 生齐答：因式分解。 师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。 这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题） 师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。 （经过讨论之后） 生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。 生5：左边有两项能够写成平方和的形式。 师：说得很好，其他同学有没有补充的？ 生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。 师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？ 生6：不是，而是刚才两项的底数。 师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。 生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。 教师在学生回答的基础上总结： 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负 4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。

完全平方公式经典题型 (1)

完全平方（和、差）公式： 1． 公式：()2222a b a ab b ±=±+ 逆用：()2 222a ab b a b ±+=± 文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的２倍． 口诀：首平方加尾平方，乘积二倍在中央。 其中,a b 可以是数字、单项式和多项式。其中22,a b 称为二次项，均为正项；2ab 为中间项，符号由括号里的符号确定。 扩展：()222222ax by a x abxy b y ±=±+ a,b 为x 、y 系数，那么展开式的中间项系数为2ab 。 例：1.229124a ab b -+= 2. 2244a ab b -+= 3. 2(23)x -= 4. 221()32x y -= 4. 2102= 6. 299= 题型解析： 一、添括号运用乘法公式计算： （1）2)(b a -- (2)2)(c b a ++ （4） ()()22 225x 4y 5x 4y --+ （5）2)12(-+b a （6）2)12(--y x 二、展开式系数的判断：公式逆用 1、要使k x x +-62是完全平方式，则k=________ 2、要使42++my y 成为完全平方式，那么m=________ 3、将多项式92+x 加上一个整式，使它成为完全平方式，这个整式可以是_______________ 4、多项式()2249a ab b -+是完全平方差公式，则括号里应填 。 5、将下列式子补充完整: （1）24x - xy +216y =( ) 2 （2）225a +10ab + =( )2 （3） -4ab + =(a - )2 （4）216a + + =( +)22b （5）2916x - + =( 223y ?-?? 三、利用公式加减变形 例.已知5=+b a 3ab =，求22b a +和 2)(b a -的值 1. 若a+b=0，ab=11，求a 2﹣ab+b 2的值。 2.已知 x + y = 8，xy = 12，求 x 2 + y 2 的值 3. 已知，（x+y ）2=16，（x ﹣y ）2=8，那么xy 的值是多少？ 4. 如果，求和1a-a 的值。 5. 已知x 2+y 2=13，xy=6，则x+y 的值是多少？

新鲁教版六年级数学下册《完全平方公式(2)》教案

第六章 整式的乘除 第7节 完全平方公式 教学过程 一 引导回顾 搭建桥梁 ［师］同学们,我们已经学完了完全平方公式,那么什么是完全平方公式？学生默写，找几个学生回答. 学生活动：(提问学生积极回答问题，下边学生默写.) ［生1］首平方,尾平方,2倍乘积加减放中央. ［生2］2222)(b ab a b a ++=+ ； 2222)(b ab a b a +-=-. ［师］很好，利用公式完成下面的题目： (1) 2)2(y x + ; (2)2)32(y x +-; (3) 2)32(y x --; (4) 2)31(a - .

学生活动：(同学们积极回答问题，学生板演，运用完全平方公式完成4道题.) ［生1］答案为(1)224y x +;(2) 2294y x +; ［生2］答案为 (3) 229124y xy x ++;(4) 2961a a +-. ［师］大家看做的好不好？ ［生1］第一个学生做错了，他忘了完全平方公式展开的是三项的，他漏掉了中间的二倍的乘积这一项. ［师］很好.同学们平时做题的时候一定要注意展开的项数.今天我们来进一步学习完全平方公式的应用. (导入新课，师板书课题．) (设计意图：本堂课的学习方向首先仍是对于完全平方公式的进一步巩固应用，因而复习是很有必要的，这为后面的学习奠定了一定的基础.) 二 新课讲解 1自主探究: ［师］如果没有计算器，我们该怎样计算2102, 2197更简单呢？给同学们两分钟时间独立思考. ［生1］可以直接用102102?，197197?这样算出来。 ［生2］可以把2102看做()2 2100+，运用完全平方公式展开.同样可以把2197看做()2 3200-,再运用完全平方公式展开. ［师］很好.同学们的思维很敏捷.那同学们观察一下哪个同学的做法简便呀？ ［生1］第二个学生的做法简便. ［师］那同学们尝试把第二种做法写下来，找两个学生黑板板演. ［生1］2102=()22100+=21002221002+??+10404440010000=++=. ［生2］2197=()2 3200-38809912004000033200220022=+-=+??-=. ［师］写的非常好，和你对比一下，看谁写的更好？ (教师对每位答案正确的学生都给予积极的评价和鼓励，如：好！很棒！这位同学思维敏捷！很扎实等，进一步调动学生的积极性.) (设计意图:能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算, 进一步体会完全

完全平方公式(完整知识点)

完全平方公式 完全平方公式即(a±b)2=a2±2ab+b2 该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。 必须注意的： ①漏下了一次项 ②混淆公式（与平方差公式） ③运算结果中符号错误 ④变式应用难于掌握。 学会用文字概述公式的含义: 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

这两个公式的结构特征： 1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方 和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右 边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）. 完全平方公式口诀 前平方，后平方，二倍乘积在中央。 同号加、异号减，符号添在异号前。（可以背下来） 即 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号） 公式变形（习题） 变形的方法 （一）、变符号： 例1：运用完全平方公式计算： （1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2 分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。 解答： (1)原式=16x2-24xy+9y2 (2)原式=a2+2ab+b2 （二）、变项数：

完全平方公式2

完全平方公式教学设计 【教学目标】 进一步熟悉完全平方公式，能根据题目适当添括号变形，选择适当的公式进行计算. 【教学重点】 掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算． 【教学难点】 活用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算.【教学过程】 一、知识链接，预习导课 1.回忆完全平方公式 （a+b）2= . (a－b) 2= ______________________ 2. 想一想： （1）两个公式中的字母都能表示什么? （2）完全平方公式在计算化简中有些什么作用? （3）根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗? 二、合作探究 (一)活动探究1 有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，…… (1) 第一天有a 个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子____________糖？ (2) 第二天有b 个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子____________糖？ (3)第三天这(a + b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子________________________糖？ (4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？ (二)活动探究2 有一些多项式乘多项式，没有办法直接运用公式，需要在式子中添加括号再运用公式计算.如何加括号呢？它有什么法则呢？ (a + b + c)2= (a – b - c)2= 三、运用新知 例1：利用完全平方公式计算 (1)1022 (2)1972 例2:计算 (1) (x+3)2 - x2 (2) (x+5)2–(x-2)(x-3) (3) (a+b+3)(a+b-3) 四、课堂检测，学习反思 1.运用公式计算： (1) (a－b+3) (a－b－3) (2) (x－2) (x+2) －(x+1) (x－3) (3) (ab+1)2－(ab－1)2 (4) (2x－y)2－4(x－y) (x+2y) 2.已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值. (1)(a-b)2(2)a2+b2 六、课外作业 1、计算： (1)9982 (2)2 (2) x y z -- (3)(23)(23) x y z x y z -++- (4)2 (351)(2)(2) x y x y x y -+-+-

数学教案的运用完全平方公式法

数学教案的运用完全平方公式法 1。使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2。理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。 1。问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。 2。把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。 解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

答：有完全平方公式。 请写出完全平方公式。 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子 a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。

运用公式法

运用公式法 教学设计示例――完全平方公式(1) 教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式.请写出完全平方公式. 完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节1 ————来源网络整理，仅供供参考

课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式. 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3) . (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以25x －10x +1=(5x－1) . (4)不是完全平方式.因为缺第三部分. 请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=? 答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y. ————来源网络整理，仅供供参考 2

完全平方公式

完全平方公式 一、教学目的要求： 1、使学生掌握完全平方公式，并能熟练的进行乘法运算。 2、通过例题的讲解，习题的练习，使学生掌握代换的思想方法，并培养学生灵活 的运用公式解决问题的能力。 二、重点、难点 1、掌握完全平方公式的特点，牢固的记住住公式 2、解答具体问题会运用公式，关键是正确的计算公式中两个数乘积的两倍的项。 三、教学方法 观察、探讨法 四、教具计算机 五、教学过程 复习提问 1、运用多项式的乘法法则计算：（结果用计算机展示） （1）（a+b）(a+b); (2)(a-b)(a-b). 2、叙述平方差公式 导入新课 上一节课，我们学习了第一个乘法公式------(a+b)(a-b)=a2-b2 ,这一节课，我们在学习两个很重要的乘法公式，就是完全平方公式。（计算机展示课题：完全平方公式）

（1）从刚才板演的结果，引导学生得出公式： (a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2 ; 这里，第一个公式是基本的，第二个公式可以由第一个公式导出。如(a-b)2=[a+(-b)]2 =a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2 （2）语言叙述，让学生用语言叙述公式内容，经过教师补充修正，把完整准确的叙述写在黑板上： 两数和（或差）的平方，加上（或减去）它们的积的两倍。 .

首方加尾方，两倍平方中间放。 注意：公式的字母可以是数，也可以单项式或多项式。 例题1 运用完全平方公式计算。（计算机展示） （1）（4a2-b2） (2)(y+o.5)2 练习（1）课本第127页第1，2，3题（指生板演，共同订正） 例题2 运用完全平方公式计算。（计算机展示） （1）1022 （2）1992 练习（2）课本第130 页（A）第1 题（1）、（3）、（5）、（7）（指生板演，共同订正） 达标测试： 1．（a+b）2= 用语言叙述为：。2．（a-b）2=a2+b2+ 。 3．判断：（1）(a-b)2=(b-a)2( ) (2) (a+b)2-(a-b)2=4ab ( ) 4. 选择：（1）对任意自然数n，多项式（n+7）2-n2能够（） （A）被2整除（B）被7整除

因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)

因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -

4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+

1.8完全平方公式(2).doc

1.8完全平方公式（2） 教学目标： 1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力． 2．会运用完全平方公式进行一些数的简便运算． 3．综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算．教学重点： 1．运用完全平方公式进行一些数的简便运算； 2．综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算．教学难点：灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算．活动准备：学生熟记公式教学过程：（一）课前复习：算下列各题： 1．；2．；3．；4．； 5．；6．；7．．通过教科书中一个有趣的分糖果场景，使学生进一步巩固，同时帮助学生进一步理解与的关系．（二）提出问题，引入新课：若没有计算器的情况下，你能很快算出9982的结果吗？（三）新课： 1．例：利用完全平方公式计算：（1）1022；（2）1972．先分析，再课件演示解答过程 2．练习：利用完全平方公式计算：（1）982；（2）2032． 3．例：计算：（1）；（2）．方法一：按运算顺序先用完全平方公式展开，再合并同类项；方法二：先利用平方差公式，再合并同类项．注意：（2）中按完全平方公式展开后，必须加上括号 4．练习：计算：（1）；（2）；（3）． 5．例：计算：（1）；（2）．练习：． 6．补例：若，则k＝_________；若是完全平方式，则k＝________．（四）小结：利用完全平方公式可以进行一些简便的计算，并体会公式中的字母既可以表示单项式，也可以表

示多项式．（五）作业：第38页习题1、2、3 教后记：简便计算完成得较好，但形如的计算多数同学没有掌握，不会分组拆项． 教学目标： 1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力． 2．会运用完全平方公式进行一些数的简便运算． 3．综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算．教学重点： 1．运用完全平方公式进行一些数的简便运算； 2．综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算．教学难点：灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算．活动准备：学生熟记公式教学过程：（一）课前复习：算下列各题： 1．；2．；3．；4．； 5．；6．；7．．通过教科书中一个有趣的分糖果场景，使学生进一步巩固，同时帮助学生进一步理解与的关系．（二）提出问题，引入新课：若没有计算器的情况下，你能很快算出9982的结果吗？（三）新课： 1．例：利用完全平方公式计算：（1）1022；（2）1972．先分析，再课件演示解答过程 2．练习：利用完全平方公式计算：（1）982；（2）2032． 3．例：计算：（1）；（2）．方法一：按运算顺序先用完全平方公式展开，再合并同类项；方法二：先利用平方差公式，再合并同类项．注意：（2）中按完全平方公式展开后，必须加上括号 4．练习：计算：（1）；（2）；（3）． 5．例：计算：（1）；（2）．练习：． 6．补例：若，则k＝_________；若是完全平方式，则k＝________．（四）小结：利用完全平方公式可以进行一些

12.5.3因式分解完全平方公式法

12.5.3因式分解 （完全平方公式法） 教学目标： 1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解. 2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力. 重点： 掌握公式法进行因式分解. 难点： 找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 学习过程: 一、课前导入： 1、分解因式学了哪些方法? ⑴提取公因式法：ma +mb +mc =m (a +b +c ) ⑵运用公式法： ①a 2－b 2=(a +b )(a －b ) 练习 把下列各式分解因式 ① ② x 4－16 2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？ 完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么？ 仔细观察，试着发现以上式子所具有的特征： 从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数 (或整式)的乘积的2倍. 从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项） 二、讨论探究： 填一填 四、巩固提高 练习填空： （1）a 2+ +b 2=(a +b )2 （2）a 2－2ab + =(a －b ) 2 （3）m 2+2m + =( ) 2 （4）n 2－2n + =( ) 2 （5）x 2－x +0.25=( ) 2 （6）4x 2+4xy +( ) 2=( ) 2 例题（先观察再因式分解） ① x 2＋14x ＋49 ② ③ 3ax 2＋6axy ＋3ay 2 ④ －x 2－4y 2＋4xy ⑤ ⑥ 16x 4－8x 2＋1 判断因式分解正误，并写出正确过程 (1） －x 2－2xy －y 2= －(x －y )2 （2）a 2+2ab －b 2 2 4ax ax -9)(6)(2 ++-+n m n m 229124b ab a ++2)(b a -=

完全平方公式(2)

15.2.2 完全平方公式 教学任务分析 教学过程设计 一、 激发学生兴趣，引出本节内容 活动1 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p ＋1）2 =（p ＋1）（p ＋1）＝_________； （2）（m ＋2）2=（m ＋2）（m ＋2）＝_________； （3）（p －1）2 =（p －1）（p －1）＝_________； （4）（m －2）2=（m －2）（m －2）＝_________． 答案：（1）p 2+2p +1； （2）m 2+4m +4； （3）p 2－2p +1； （4）m 2－4m +4． 活动2 在上述活动中我们发现（a ＋b ）2＝222b ab a ++，是否对任意的a 、

b，上述式子都成立呢？ 学生活动设计 学生利用多项式与多项式相乘的法则实行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并实行归纳，用多项式乘法法则可得 （a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2． （a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2 =a2－2ab+b2． 所以 （a+b）2 = a2+2ab+b2， （a－b）2 = a2－2ab+b2． 教师活动设计 引导学生利用多项式的乘法法则实行推理，证明活动1中发现的结论的准确性． 二、问题引申，总结归纳完全平方公式 活动3 学生活动设计 分组讨论，合作交流，归纳完全平方公式的特点． 归纳 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即 （a+b）2=a2+2ab+b2， （a－b）2=a2－2ab+b2． 教师活动设计 在交流中让学生归纳完全平方公式的特征： （1）左边为两个数的和或差的平方； （2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍． 活动4 你能根据教材中的图15．2-2和图15．2-3中的面积说明完全平方公式吗?

公式法第二课时教案

14.3.2公式法教案（第2课时） 教学目标：1．理解并掌握完全平方公式法分解因式的意义，灵活用完全平方公式进行因式分解。 2．了解运用完全平方公式因式分解的一般步骤。 3．在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力,通过综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力。 教学重点：运用完全平方公式法分解因式。 教学难点：完全平方式的特点、识别及运用完全平方公式法分解因式。 教学方法：采用“情境——探究”教学方法，让学生掌握完全平方公式法因式分解。 教学过程： 一、创设情境导入新课 上节课我们利用整式的乘法与因式分解互逆的关系得到了因式分解的平方差公式， 即 x2–y 2 =(x+y)(x-y)。 利用平方差公式分解因式要注意多项式是否符合平方差公式的特点（即：多项式一定是两项，并且是 两个数的平方的差的形式）。 1、【做一做】把下列各式分解因式： （1）x2－9 （2）x3－x （3）9a－ab2（4）(a+b)3－4(a+b) 请同学们独立完成上面两题，完成后互相校对你们的结果。在上面的因式分解中，你都用了哪些 因式分解的方法？并且你认为还要注意什么？ 从上面的第（4）题我们知道公式中的a,b可以是单项式也可以是多项式。 2、请大家思考：你会分解多项式a2+2a+1吗？这就是我们这节课所要研究的内容 二、探索新知： 你能否类似上面的平方差公式写出因式分解中的完全平方公式呢？ a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2. 一般地形如a2+2ab+b2和a2－2ab+b2的式子称为完全平方公式因式分解，完全平方式具备什么特点呢？ 学生小组内合作交流：（代表发言） （1）这个多项式都有三项；（2）三项中都有两数的平方和，加或减这两个数的乘积的2倍。 多项式x2–4xy+4y2是完全平方式吗？ x2 - 2 x (2y) + (2y)2 a2 - 2 a b + b2 是一个完全平方式。 1、【做一做】1.下列哪些式子是完全平方式？ （1）x 2 +4xy–4y 2（2）4m2–6mn+9n 2（3）m2 +6mn+9n 2 2、在下面的空线上填上一项，使之构成一个完全平方式。 (1)4x 2–_____+9y 2 (2) x 2 +_____+4 3、（1）例5、利用完全平方公式分解因式： （1）16x2 +24x+9 （2）- x2 +4xy -4y2 分析：在（1）中，16x2=（4x）2 9=32 24x=2·4x·3所以16x2 +24x+9是一个完全平方公式，即：

完全平方公式

年级八年级课题完全平方公式课型新授教学媒体多媒体 教学目标知识 技能 1．经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一 步发展符号感和推理能力． 2．会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．过程 方法 进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力． 情感 态度 了解数学的历史，激发学习数学的兴趣．鼓励学生自己探索算法的多样化，有意 识地培养学生的创新能力． 教学重点(a±b)2＝a2±2ab＋b2的推导及应用． 教学难点完全平方公式的推导和公式结构特点及其应用． 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习旧知 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________； （2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________； （3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________； （4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________． 答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4． 二、探究新知 1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2． （a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab －ab+b2=a2－2ab+b2． 2.归纳完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即学生利用多项式与 多项式相乘的法则 进行计算，观察计算 结果，寻找一般性的 结论，并进行归纳 教师让学生利用多 项式的乘法法则进 行推理. 教师让学生用自己 的语言叙述所发现 的规律，允许学生之 间互相补充，教师不 急于概括． 这里是对前边 进行的运算的 复习，目的是 让学生通过观 察、归纳，鼓 励他们发现这 个公式的一些 特点，如公式 左右边的特 征，便于进一 步应用公式计 算 公式的推导既 是对上述特例 的概括，更是 从特殊到一般 的归纳证明， 在此应注意向 学生渗透数学

公式法(完全平方公式分解因式).doc

15.4. 3公式法 --- 运用完全平方公式分解因式 教学目标 （1）在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用完全平方公式对多项式进行因式分解. （2）在运用公式法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力. （3）进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识. 教学重点与难点 重点：运用完全平方公式法进行因式分解. 难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解. 教学设计 复习回顾： 完全平方公式：（0+。）2=6?+2沥+屏，（ci—bf-a —2沥+。 2. 两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍。 探究思考： 你能将多项式W+2汕+疽与a^-2ab+b2分解因式吗? 这中个多项式有什么特点? （白+》）2=白2+2 a2+2ab+b2=(a+b)2a —2ab+b2=(a —b)2

中间一 沥+。2, （。—A ）」。?—2ab+b 1 . 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两 个数的和（或差）的平方. 建议：由于受到前面用平方差公式分解因式的影响，学生对于这 两个多项式因式分解比较容易想到用完全平方公式，学生容易接受， 教师要把重点放在研究公式的特征上来. 形如 a 1 + 2ab*b ，, a 2 -2ab + b 2的式了称为完全平方式. 议一议 完全平方式的特点： 1、必须是二次三项式 2、其中首末两项分别是两个数（或两个整式）的平方, 项是两个数（或两个整式）的积的2倍（或-2倍） 曰诀：首平方，尾平方，积的2倍夹中央 注：可采用让学生自主讨论的方式进行教学，引导学生从多项式 的项数、每项的特点、整个多项式的特点等几个方面进行研究.然后 交流各自的体会. 例1、分解因式 （1）1 6X 2+24X +9 （2）-x 2+4xy-4y 2 ⑶ ^2+3xy + 9/ 注：训练学生运用完全平方公式分解因式，要尽可能地让学生说 和做，引导学生把多项式与公式进行比较找出不同点，把多项式向公 式的方向转化. 例2、分解因式

完全平方公式2

完全平方公式 西外学校代声亮 教学建议 一、知识结构：引入完全平方公式几何意义、代数特征 公式应用 二、重点、难点分析 本节教学的重点是完全平方公式的熟记及应用．难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)．完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。 1．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．即： (a+b)2=a2 +2ab+b2 (a-b)2=a2 -2ab+b2 这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的． 这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．

2．只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式． 在运用公式时，有时需要进行适当的变形，例如(a+b+c)2可先变形为[a+(b+c)]2或[(a+b)+c)]2或者[(a+c+b)]2，再进行计算在运用公式时，防止发生(a±b)2=a2±b2这样错误． 3．运用完全平方公式计算时，要注意： （1）切勿把此公式与公式(ab)2 =a2b2混淆，而随意写(a+b)2=a2+b2 （2）切勿把“乘积项”2ab 中的2丢掉． （3）计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．4．(a+b)2 =a2+2ab+b2与(a-b)2 =a2-2ab+b2都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． 三、教法建议 1．在公式的运用上，与平方差公式的运用一样，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，教科书把公式中的字母同

完全平方公式讲解

完全平方公式讲解 第一部分概念导入 1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______； （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______； 2．学生计算 3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1 （m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4 （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1 （m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+4 4．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。（1）（2）之间只差一个符号。 推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___ 【2】 得到公式，分析公式 （1）．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （2）公式特征 左边：二项式的平方 右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和． 注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”． （3）公式中字母可代表的含义 公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式． （4）几何解释 图1－5 图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性． 【学习方法指导】 ［例1］计算 （1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2 点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．

142.2完全平方公式2

14.2.2 （乘法的）完全平方公式2 一、学习目标 1掌握添括号法则． 2.并熟练运用公式进行计算。 3.综合运用乘法公式进行计算。 温故知新 1.填空： (1)平方差公式(a+b)(a-b)= ； (2)完全平方公式(a+b)2= ，(a-b)2= . 2、若2210a a k ++是一个完全平方式，则k = ； 代数式4x 2＋3mx ＋9是完全平方式，则m ＝___________． 3.计算：(1) (x+6)2 (2) (y-5)2 (3) ()2 25;x -+ (4) (x-y)2 (5) 2)1(x x + (6) 2)1(x x - 新知学习：添括号法则 1.去括号： ①()________;a b c ++=②()________.a b c -+= 2.根据以上算式及其运算结果填空： ①________;a b c ++=②________.a b c --= 3.添括号法则：添括号时，如果括号前面是 “+”号，括到括号里的各项都 符号；如果括号前面是“-”号，括到括号 里的各项都 符号。 练习： (1)a+b+c=( )+c ； (2)a-b+c=( )+c ； (3)-a+b-c=-( )-c ； (4)-a-b+c=-( )+c ； (5)a+b-c=a+( ) (6)a-b+c=a-( )； (7)a-b-c=a-( )； (8)a+b+c=a-( ). 例1.运用乘法公式计算： [][]()()(_____)(_____)a b c a b c a a +--+=+-① [][] (2)(2) (____)(____)(____)(____)a b c a b c ----+=+-② (3) (a+2b-1)2 (4) (2x+y+z)(2x-y-z) 34 23

沪科版数学七年级下册【教案】 公式法——完全平方公式

公式法——完全平方公式 教学目标 （一）教学知识点 用完全平方公式分解因式 解中的作用． 4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式． （三）情感与价值观要求 通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力． 重点用完全平方公式分解因式． 难点灵活应用公式分解因式． 教学方 法 探究与讲练相结合的方法． 教具准 备 投影片施教时间 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，?分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？ 问题2：把下列各式分解因式． （1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2 [生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式． [师]能不能用语言叙述呢？ [生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，?等于这两个数的和（或差）的平方． 问题2其实就是完全平方公式的符号表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2（a-b）2． [师]今天我们就来研究用完全平方公式分解因式． Ⅱ．导入新课

出示投影片 下列各式是不是完全平方式？（1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）4a2+2ab+1 4 b2 （4）a2-ab+b2 （5）x2-6x-9 （6）a2+a+0.25 （放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）．结果：（1）a2-4a+4=a2-2×2·a+22=（a-2）2 （3）4a2+2ab+1 4 b2=（2a）2+2×2a· 1 2 b+（ 1 2 b）2=（2a+ 1 2 b）2 （6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2 （2）、（4）、（5）都不是． 方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．例题解析 出示投影片 [例1]分解因式： （1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y2 [例2]分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2-12（a+b）+36 学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验． [例1]（1）分析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+14x+9是一个完全平方式，即 解：（1）16x2+24x+9 =（4x）2+2·4x·3+32 =（4x+3）2． （2）分析：在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式，因为4y2=（2y）2，4xy=2·x·2y．