2019-2020年高三第三次联考文科数学试题
2019-2020 年高三第三次联考文科数学试题
绝密★启用前
三次联考试题
数 学(文科) 2．答卷前，考生务必将自己
的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡及答题纸上。 3．第Ⅰ卷共 2 页，答题时，考生须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效。
4．第Ⅱ卷一律用黑色签字笔写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题。 5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。 参考公式：
1．若事件 A 、B 互斥，则 P(A B) P(A) P(B) ． 2．若事件 A 、B 相互独立，则 P(A B) P(A) P(B) ．
2
4
3
球的表面积公式 S 4 R 2
，球的体积公式 V
R 3
，其中 R 表示球的半径． 3
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
贵州省五校联盟 2012 届高三年级第 1. 若全集U {1,2,3,4} 且C U A {2} ，则集合 B.5个 {a n } 中， a 6 a 3
B. 0 A.3 个 2． 在等差数A. 3. 函数
1
- x
y ＝ 2 ＋
C ．7个
a 8 ， C ．
a
5
1 A. y ＝log (
2 x 1
)， x ∈( 1，2)
C ． y ＝ log (2 x 1) ，x∈(1，2]
D ． A 的真子集共有 (
D.8个 ( D ．以上都不
1
y ＝ 1og 2 ，x ∈( 1，
x1 1
y ＝1og
2 1 ，x∈( 1，2] x1 4
60 x 4
”的
( B.
2)
4. “ a 2”是“ (x a)6
的展开式的第三项是 A. 充分不必要条件 B.
C. 充要条件 D
5. 若向量 →a ，→b 都为单位向量，则 →a 与→b 一定满足
A ． →a ∥ →b B. →a ⊥→b C ． 6.函数 f (x) log a | x| 1 (0 a 1)
夹角为 0 D ．(→a ＋ →b )⊥ (→a － →
b ) 的图象大致为 ( )
如果 sin cos ，且 0,2 ，那么角 的取值范围是
2 y
2
1(a 0,b 0)的焦点， 且被该双曲线的 b
2
13. 直线 l ：y 3x 1的倾斜角 a = _____________ ．
x y 5 0
14．已知点 M (x,y) 在不等式组 x y 0 所表示的平面区域内，
y0
则 z (x 1) (y 2) 的最小值为 ______ ．
1
15. 函数 f x 对于任意实数 x 满足条件 f x 2 ，若 f 1 5, fx
A ． 5
2
B. 2 Ｃ． 3 Ｄ． 5
第Ⅱ卷 (非选择题，共 90 分)
、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 把答案填在题中横
线上
右准线分成弧长为２：１的两段圆弧，那么该双曲线的离心率 7. 某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加某高校自主
招生考试， 有男生又有女生，则不同的选法共有 A ． 140 种 B ． 120 种 8. 如图 , 正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 的棱长为 (
C ． 35 种
D ． 34 种 1，则点 A 1 到平面 ABC 1D 1 的距离为 D 若这 4 人中必须既 ) A ． 1 B.
2
．3
2
9. 过双曲线
x
2
a
2
2
y
b 2
1(a 0,b 0) 上任意一点 P ，引与实轴
B 1 D
平行的直线，交两渐近线于 M 、N 两点，则 PM PN 的值为
B
． b 2
2ab D
b
2
10. A ． 0, 4
． ,
3 ．
2 , 4 C ． 4 ,54 5
,2
4
11．
棱长为 1 的正方体 几何体 ( 球内部分 ) 的体积为 1
π ABCD －A 1B 1C 1D 1被以 A 为球心， AB 为半径的球相截，则所截得 ()
2
π
12. 如果以原点为圆心的圆经过双曲线 2
x 2 a e 等于 (
)
C 1
A 1
B
)
则 f 5 ．
PAB
是等边三角形， DA AB 2 ， 侧面 PAB ，△ 1
BC AD ， 2 (Ⅰ)求证： (Ⅱ)求 PC 与平面
PDE 所成角的正弦值． E 是线段 AB 的中点．
PE CD ；
20. (本小题满分 12 分)
已知数列 b n 是首项为３，公比为３的等比数列， 且 b 1
1 (n N ).
16．已知曲线 C ：x 2
＋y 2
＝4 (x≥0, y≥0)与函数 f (x)＝log 2x, g (x)＝2x
的图像分
别交于 22
A(x 1, y 1), B(x 2, y 2),则 x 1 ＋x 2 ＝ ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分 10 分)
13
在△ ABC 中， tanA= ， tanB= ．
45
(1) 求角 C 的大小；
(2) 若 AB 边的长为 17 ，求 BC 边的长．
18. (本小题满分 12 分) 在贵阳市举办的第九届全国少数民族传统体育运动会的某个餐饮点上， 遵义市某种茶饮料一 天的销售量与该天的日平均气温 (单位：℃ )有关，若日平均气温不超过 23 ℃，则日销售量 为 100 瓶；若日平均气温超过 23 ℃但不超过 26 ℃，则日销售量为 150 瓶；若日平均气温 超过 26 ℃，则日销售量为 200 瓶．据气象部门预测，贵阳市在运动会期间每一天日平均气 温不超过 23 ℃，超过 23 ℃但不超过 26 ℃，超过 26 ℃这三种情况发生的概率分别为 P 1， 3
P 2， P 3，又知 P 1+P 2= 且 P 2＝ P 3.
5
(1)求： P 1，P 2，P 3 的值；
(2)记 ξ表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和 (单位：瓶 ) ， 求： ξ在 [200 ， 300] 的概率 19. (本小题满分 12 分)
如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， DAB 90 ，AD//BC ，AD
21. (本小题满分12 分)
22
已知椭圆x2y21(a b 0)的左右焦点分别为F1,F2 ，短轴两个端点为A、B，且a2b2四边形F1AF2B是边长为 2 的正方形 . (I)求椭圆方程； (II)若C, D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足MD CD，连结CM ，交椭圆于点P.求证：OM OP 为定值 .
22. (本小题满分12 分) 已知函数f (x) x3ax23x
(Ⅰ) 已知a 6, 且g(x) f (x) f '(x) 3x2，求g(x) 的单调区间；
(Ⅱ) 若函数f (x) 在［1 2, )是增函数，导函数f '(x)在( ,1］上是减函数，求a 的值 .
贵州省五校联盟2012 届高三第三次联考参考答案
13
tanC tan(A B) 4 5 1 ．又0 C π，C 3π．?? 5 分
11 3 4
2)若S a m a m 1 ... a2m 1 (m N ) 证明：1 2 3
m 1
数学理文科)
命题单位：遵义四中一、选择
题： C B B A D A D B A
C A B
二、填空
题：
理科 13．4 9 1
14．15．16．
5 2 5 3
文科 13．2 9
14．15．5 16． 4
3 2
三、解答
2012.03 17．解(Ⅰ) C π (A B) ，
45
? 7 分
2
P 1
＋P 2
＋ P 3
＝ 1
P 2＝ P 3
(2)ξ的可能取值为 200,250,300,350,400.
1 1 1 1
2 4 1 2 2 2 8 P(ξ＝200)＝15×15＝215，P(ξ＝250)＝2×15×25＝24
5，P(ξ＝300)＝2×15×25＋52
×52＝285， 2 2 8 2 2 4
P(ξ＝350)＝2×5×5＝25，P(ξ＝400)＝5×5＝
25. ???????? 10 分 理科）随机变量 ξ的分布列为
所求的数学期望为 E ξ＝ 200× ＋250× ＋300× ＋350× ＋
400× ＝320（瓶）
1 4 8 13
文科) P (200 ξ 300)= + + = ???????? 12 分
25 25 25
25
19．（Ⅰ）证明：因为 AD 侧面 PAB ， PE 平面 PAB ， 所以 AD PE .
又因为△ PAB 是等边三角形， E 是线段 AB 的中点，所以 PE AB ． 因为 AD AB A ，所以 PE 平面 ABCD ．
而 CD 平面 ABCD ，所以 PE CD ．???????????????? 5 分
Ⅱ）解： 以 E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 E
xyz ．
则 E(0,0,0) ， C(1, 1,0) ， D (2,1,0) ， P(0,0, ED
(2,1,0) ， EP (0,0, 3) ， PC (1, 1,
设 n （x, y,z ） 为平面 PDE 的z P
sin A 1 tanA ，
π Ⅱ)由 tanA
cosA 4，
且 A 0，2
π
22
sin A cos A ，得
sin A
17
17
AB
10 分
18．解： （1）由已知得 P 1＋P 2＝3
5
1 ，解得： P 1＝ 2
P 2＝5，P 3＝5.
5分
ξ 200 250
1 4
25 25
300
350 400 8
8
4
25 25 25
25 25 25 25 25
2
BC
， BC AB sinC sin A
? 7 分2
设 PC 与平面 PDE 所成的角为 ．
sin cos PC,n |PC n |
|PC||n | 3
所以 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 3
．
5
12 分
20．解：( 1)由 a
a 1
a n
,得 1 3 2
， 3 2a n
a n 1 a n
1
1 3( 1
1) ，∴数列｛ a n 1 a n 1
1 ｝是首项为３，公比为３的等比数列， a n 1
1 3n 1 3n ，
4分
a n
∴
a n
3n
.(n N )
1
6分
２）
由1 知 a m a m 1
a 2 m1
11
m m 1 2m 1
3
m 1 3m 1 1 32m 1 1
11
3
m
3m 1
21
m 1
3
2m 1
1
1
31m
1 1 1 1
1
(1 1 1 ) 1
3
m
3 3m 1 3m
1
1
3 11
2 3
1m 1(1 3
1m ) ?10分
3
m 1
令
2 3
m 1
1
，解得 m 5 故所求 m 的最小值为 5. 150
本题文科参考理科相应评分标准）
12 分 21．（I ） a 2,b c,a II)
C( 2,0),D(2,0)
， 22 b 2 c 2 ， b 2 2， 椭圆方程为 x y 1
.??? 42
设 M(2,y 0),P(x 1,y 1)
，则 OP (x 1,y 1),OM (2,y 0). 4分
直线 CM ： x 2 y y 0
y 0 即 y y 0 x 1
y 0 ， 42 y 0 )x 2 1
y 02x 1
y 02
4 0 。? 822
22 x( 2) 4(y 02 8)
, x 2(y
02 8)
, y x 1( 2) y02 8 , x 1 y02 8 , y 1
y 02 8
2 代入椭圆 x 2 2y 2
4, 得 (1
8y
0 2(y 0 8) 8y 0 . OP ( y02 8 , y02 8) ，
y 02
8
10
分
OPOM
4(y y
20 88) y 802y 08 4y y002 832
4 (定值) .
12分
22．(理)解析 因为 f (x) (1 x)2
ln(1 x)2
(x -1 ),
2
所以f (x) 2(1 x) .?? .?? .??? . ?? .??? .??? 1分
1x
(1) 令f (x) 2(1 x) 22x(x 2)0
1 x 1 x
2 x 1或x 0 ，
所以f (x) 的单调增区间为( 2, 1) 和(0, )；
2 x(x 2)
令f (x) 2(1 x) 2 0 1 x 0或x 2,
1 x 1 x
所以f (x) 的单调减区间为( 1,0)和( , 2). ?? .??? 4 分
2
( 2)令f (x) 0 2(1 x) 0 x 0或x 2,
1x
1
函数f(x) 在[ 1,e 1]上是连续的，
e
1 1
2 又f ( 1) 2 2, f (0) 1, f (e 1) e22, ee
12 所以，当x [ 1,e 1]时，f (x) 的最大值为e22.
e
12
故x [ 1,e 1] 时，若使f (x) m 恒成立，则m e22. ?? 8分
e
2
3)原问题可转化为：方程a (1 x) ln(1 x)2在区间[0,2] 上恰好有两个相异的实根
22
令g(x) (1 x) ln(1 x)2,则g(x) 1 ,令g (x) 0,解得：x 1,
1x
当x (0,1)时，g (x) 0, g(x)在区间(0,1) 上单调递减，
当x (1,2)时，g (x) 0, g(x)在区间(1,2) 上单调递增 .
g(x)在x 0和x 2处连续，
又g(0) 1,g(1) 2 ln4,g(2) 3 ln9,且2 ln 4 3 ln9 1,
当x [0,2]时，g(x)的最大值是1,g(x) 的最小值是2 ln4.
在区间[ 0,2]上方程f (x) x2x a恰好有两个相异的实根时，
实数a的取值范围是：2 ln4 a 3 ln9. ??12 分
22． ( 文) 解：
(Ⅰ)当a 6时,
g(x) x36x23x (3x212x 3) 3x2x36x2+9x 3
'2
g (x) 3x 12x 9 0 x1 1,x2 3 ?????? 3 分
x,g'(x),g(x) 的变化如下表：
??? 5 分∴增区间为：( ,1),(3, ); 减区间为：(1,3)?????? 6 分
(Ⅱ) f '(x) 3x22ax 3, ?????? 7分
f (x)在［1 2, )上是增函数，∴ f '(x) 0在［1 2, )恒成立
3x 3 3x 3
即a 3x 3在［1 2, )恒成立a (3x 3)min3 ????? 9 分
2x 2x
'a
又f '(x)在( ,1］上是减函数，∴ 1 a 3, ???????? 11分3
∴ a 3. ??????? 12分