2020-2021学年江苏省涟水中学高二12月月考数学试卷

【最新】江苏省涟水中学高二12月月考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．命题：“2(2,3),3x x ?∈>”的否定是___________

2．抛物线24y x =的准线方程为_____．

3．3x >是25x >的______________条件.（在充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要中选一个填写）

4．函数2()2f x x x =+在区间[1,3]上的平均变化率为______________

5．过点（1,-2）且与直线y=2x 平行的直线方程为_____________

6．已知直线1:310l ax y -+=与直线2:2(1)10l x a y +++=垂直，则a =__________

7．以双曲线22

1916

x y -=的左顶点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_______

8．已知圆22(2)9x y -+=的弦PQ 的中点为M （1，2），则弦PQ 的长为__________

9．设m,n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，以下说法正确的有_____________

（填所有真命题的序号）

①若m ⊥n,n//α，则m ⊥α；

②若m ⊥β，α⊥β，则m//α；

③若m//β，n//β,m,n α?,则α//β；

④若m ⊥α，α//β，则m ⊥β

10．长方体111111

23ABCD A B C D AB AD AA -===中，，，，则四面体1A BCD 的体积为____________.

11．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，点M 为线段AB 的靠近点B 的三等分点，∠MOA=45°，则椭圆的离心率为________________. 12．已知点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上任意一点，点Q 的坐标为（4a,a+3），则PQ 长度的最小值为_______________.

13．已知命题：“2(1,4),0x x ax a ?∈-+<”为真命题，则实数a 的取值范围是 .

14．已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>> 的离心率e=12 ，A,B 是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于AB 的动点，直线PA,PB 的倾斜角分别为α,β，则

()()cos cos αβαβ+- =________.

二、解答题

15．已知命题:||3,:(1)(4)0p x a q x x -<-->

（1）当1a =时，若“p 且q”为真命题，求实数x 的取值范围；

（2）若非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.

16．（1）已知椭圆的中心为坐标原点，且与双曲线2233y x -=有相同的焦点，椭圆的 离心率e=12

，求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆2213

x y m +=

m 的值. 17．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB=AC ，D,E 为棱11,BC A C 的中点

C 1

A

A 1

（1）证明：平面111ADC BCC B ⊥平面；

（2）证明：1//C D ABE 平面

18．已知命题p ：“方程230x ax a -++=有解”，q ：“11042x x

a +->∞在[1,+)上恒成立”，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围.

19．已知圆22

:(2)(2)1C x y -+-=，直线l 过定点A （1,0）

（1）若直线l 平分圆的周长，求直线l 的方程；

（2）若直线l 与圆相切，求直线l 的方程；

（3）若直线l 与圆C 交于PQ 两点，求△CPQ 面积的最大值，并求此时的直线方程.

20．已知椭圆C 的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为4x =-

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求椭圆C被直线y=x+1截得的弦长；

（3）已知点A为椭圆的左顶点，过点A作斜率为

12

,k k的两条直线与椭圆分别交于点

P,Q，若

121

k k?=-，证明：直线PQ过定点，并求出定点的坐标.

参考答案

1．2(2,3),3x x ?∈≤

【解析】

试题分析：命题：“2(2,3),3x x ?∈>”的否定是“2(2,3),3x x ?∈≤”

考点：本题考查全称命题的否定

点评：全称命题否定之否定结论，将全称量词改为特称

2．1x =-

【分析】

本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程．

【详解】

由抛物线方程可知，抛物线24y x =的准线方程为：1x =-．

故答案为1x =-．

【点睛】

本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题．

3．充分不必要

【解析】

试题分析：25x >，则x >x <{}3x x ?{x|x >x <所以是充分不必要条件

考点：本题考查充要条件

点评：小范围能推大范围，大范围不能推小范围

4．6

【解析】 试题分析：由定义可知，平均变化率为

(3)(1)1536312

f f --==- 考点：本题考查平均变化率

点评：平均变化率就是用y 的变化量除以x 的变化量

5．2x-y-4=0

【解析】

试题分析：要求的直线与y=2x 平行，所以斜率k=2，过点（1,-2），所以代入点斜式方程得y+2=2（x-1）,整理得2x-y-4="0"

考点：本题考查直线方程

点评：两直线平行斜率相等

6．-3

【解析】

试题分析：因为直线1:310l ax y -+=与直线2:2(1)10l x a y +++=垂直，所以23(1)03a a a -+=∴=-

考点：本题考查两直线垂直的充要条件

点评：若两直线方程分别为1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=,则他们垂直的充要条件是12120A A B B +=

7．22144(3)25

x y ++=

【解析】 试题分析：因为双曲线的方程为221916

x y -=所以左顶点为（-3,0），渐近线方程为43y x =±，左顶点到一条渐近线的距离为，所以半径为125

所以圆的方程为22144(3)25

x y ++= 考点：本题考查双曲线的方程和圆的方程 点评：双曲线的焦点在x 轴上，所以左顶点坐标为（-a,0），渐近线方程为b y x a =±

，因为圆与渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离为半径

8．4

【解析】

试题分析：因为圆22

(2)9x y -+=，所以圆心为（2,0），半径为3，弦PQ 的中点为M （1，

2），所以圆心与中点的连线垂直于弦，=

所以弦长为4=

考点：本题考查圆的弦长

点评：圆中的弦长用勾股定理，半径，圆心到弦的距离，弦长一半构成勾股定理求解 9．④

【解析】

试题分析：①若m ⊥n,n//α，则m ⊥α，不正确，m 还可能平行于面α

②若m ⊥β，α⊥β，则m//α，不正确，m 还可能在面内

③若m//β，n//β,m,n α?,则α//β，不正确，只有m,n 相交才是正确的

④若m ⊥α，α//β，则m ⊥β，正确

考点：本题考查空间线与面的平行和垂直

点评：熟练掌握线面的位置关系，面面平行的判定是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行

10．1

【解析】

试题分析：四面体1A BCD 是三棱锥，它的体积为

111111231332

A BCD BCD V S AA -?=?=????= 考点：本题考查空间几何体的体积

点评：求三棱锥的高只要找到高就好求

11

．2

【解析】

试题分析：A （a,0）,B （0,b ）,M 的靠近点B 的三等分点，所以M （2,33

a b ），又因为∠MOA=45°，所以2233a b a b =∴=，

222222223344a c a b e e a a a -====∴=考点：本题考查椭圆的离心率

点评：通过M 是三等分点，相似三角形求得M 点坐标，再利用∠MOA=45°，可得M 的横纵坐标相等，找到a,b 的关系

12

【解析】

试题分析：圆C ：22(1)4x y -+=，圆心为（1,0），半径为2，圆心到点Q 的距离为

）

，当他最小时，PQ 最小，

=，当117a =时，距离最小，

所以PQ 考点：本题考查点与圆的位置关系

点评：求圆上一点到点的距离最小转化为求圆心到点的距离最小，在减去半径

13．a>4

【解析】

试题分析：2(1,4),0x x ax a ?∈-+

(1,4)x ?∈，使得21x a x >-，设2()1

x f x x =-，则222(1)()0(1)x x x f x x --==-'解得x=0,2,当(1,2)x ∈()0,()f x f x <'单调递减，当(2,4)x ∈()0,()f x f x >'单调递赠，所以

2

()1

x f x x =-的最小值为(2)4f =，所以a>4 考点：本题考查二次函数恒成立问题

点评：将存在性问题转化为求最值问题．利用分离参数将x,a 分开，求含x 的函数的最值 14．7

【详解】

由题意，(,0)A a -，(,0)B a ，设(,)P x y ，则tan y x a

α=+，tan y x a β=-， 2

22tan tan y y y x a x a x a

αβ∴==+-- 椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率12e =， ∴22214

a b a -=

2243

a b ∴=， ∴22

22143

x y b b +=， ∴222

34x y b =-， 22234

y x a =--， 3tan tan 4

αβ=-， ∴3

1cos cos -sin 1-tan tan 473

cos cos +sin sin 1+tan tan 14din αβαβαβαβαβαβ+

===-． 故答案为：7

15．14x <<，14a ≤≤

【解析】

试题分析：（1）:24p x -<< 2

:14q x << 4

14x ∴<< 6

（2）:33p x a x a ?≤-≥+或 8

:14q x x ?≤≥或 10

3134

a a -≤??+≥? 12 14a ∴≤≤ 14（转化为pq 的关系的类似评分）

考点：本题考查不等式的解法，充要条件，以及集合间的关系

点评：“p 且q”为真命题是指两个命题都为真，所以求两个集合的交集，非p 是非q 的充分不必要条件也就是说p 是q 的必要不充分条件得到两个集合间的关系，找到不等式

16．2211612y x +=，34

m = 【解析】

试题分析：（1）双曲线22

33y x -=，则它的标准方程为2

213y x -=，交点坐标为(0,2)±，

所以椭圆的焦点也在y 轴上，切c=2，离心率e=12

，所以a=4，所以椭圆方程为2211612y x += 6

（2）若焦点在x 轴上，则22222,33a m b c a b m ==∴=-=-，所以22334c m a m

-==∴m=12 10

若焦点在y 轴上，则222223,3a b m c a b m ==∴=-=-又因为离心率为2，所以223343c m a -==∴34

m = 14 考点：本题考查椭圆的标准方程

点评：给出椭圆的标准方程，要注意焦点在哪个轴上，只求a,b 是不行的

17．见解析

【解析】（1）,AB AC D =为BC 的中点

AD BC ∴⊥

又因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱

1BB ABC ∴⊥面

1BB AD ∴⊥,1BB BC B ?=

11AD BCC B ∴⊥面,

1AD ADC ?面 所以平面111ADC BCC B ⊥平面 7

（2）取AB 中点F ，连接EF,DF

D,F 为棱,BC AB 的中点

DF

AC ∴且1=2DF AC 又1EC AC 且11=2

EC AC 1DF EC ∴且1=DF EC

所以四边形1DFEC 为平行四边形1C D

EF ∴ 11,C D ABE EF ABE C D ABE ??∴面面面 14

考点：本题考查面面垂直的判定，以及线面平行的判定

点评：求证面面垂直只需要找线面垂直，要证线面平行可找线线平行或面面平行

18．206a a -<≤≥或

【解析】

试题分析：:26p a a ≤-≥或 2 令21,2x

t t t a =+> 4 02t <≤ 6

:0q a ∴≤ 8

∵pq 一真一假， 10

∴260a a a ≤-≥??>?

或 12 或260

a a -<

考点：本题考查命题真假，二次函数最值，二次方程根与判别式

点评：二次方程有解等价于判别式大于或等于0，

11042x x

a +->∞在[1,+)上恒成立，用分离参数，等价于1142x x a +>恒成立，求函数1142x x y =+最值，用换元，求二次函数最值，注意自变量的范围

19．2x-y-2=0，3430x y --=或1x =，面积最大值为

12

y=x-1或y=7x-7 【解析】（1）因为直线l 平分圆的周长，所以直线过圆心（2，2），又因为直线l 过定点A （1,0）,2所以直线的斜率为02212k -==-，所以直线方程为2x-y-2=0 3 （2）直线l 过定点A （1,0），设直线方程为(x 1)y k =-，因为直线与圆相切，所以圆心到

直线的距离等于半径1d ∴==，解得34

k =，直线方程为3430x y --= 因为过圆外一点能做两条切线，所以另外一条斜率不存在，所以直线方程为1x = 所以切线方程为3430x y --=或1x =（漏x=1扣2分） 9

（3）111sin sin 222

CPQ S CP CQ PCQ PCQ ?=??∠=∠≤ 11 “=”成立时，角PCQ=90°

，∴d =

13 由题意，直线l 斜率存在，∴设l 方程为y=k （x-1）解得k=1或7,

∴所求方程为y=x-1或y=7x-7 16

考点：本题考查直线与圆的位置关系

点评：注意求圆的切线方程时，要看是过圆外一点还是圆上一点，确定应该有几条切线

20．22143x y +=，2(,0)7

- 【解析】（1） 长轴长为4，所以2a=4,a=2, 一条准线方程为4x =-,所

以

241a x c b c =-=∴=∴=22

143

x y += 2 （2）联立直线与椭圆，设直线与椭圆的两个交点为A 11(x ,y )B 22(x ,y )

22

1431x y y x ?+=???=+?

消掉y 得27880x x +-=， 121288x ,x 77

x x +=-=-

2477

AB ∴=== 6 （3）设直线PA 斜率为k ，∴PA 方程为y=k （x+2）,代入椭圆方程解得：

222

6812(,)3434k k P k k -++ 8 2226812(,)4343k k Q k k

--++ 10 当k≠±1时，274(1)

PQ k k k =- 12 PQ 方程为2

222

12768()344(1)34k k k y x k k k --=-+-+ 令y=0解得27x =-

，所以PQ 过定点2(,0)7

- 14 当k≠±1，PQ 过定点2(,0)7

- 综上，PQ 过定点2(,0)7- 考点：本题考查直线与椭圆的位置关系

点评：求椭圆里弦长就要联立直线与椭圆得到两根之和与两根之积，代入弦长公式，直线过定点问题将直线表示出来，在考虑过定点