2020 年高考理科数学《考试大纲》新解
《考试大纲》是高考命题的规范性文件和标准,是考试评价、复习备考的依据. 国家教育部有关部门每
年都邀请专家,依据高校人才选拔需求、国家课程标准调整以及考生实际水平变化,对《考试大纲》进行
修订,以适应高校对新生基本能力和综合素质的要求.
日前教育部考试中心函件《关于 2020 年普通高考考试大纲修订内容的通知》(教试中心函﹝2020﹞ 179 号),公布了 2020 年高考各学科考试大纲的修订内容,其中数学学科的修订内容如下:
1.在能力要求内涵方面,增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求,增加了数学文化的要求,同时
对能力要求进行了加细说明,使能力要求更加明确具体. 具体内容详见(二)考纲综合解读中的第二点内容. 2.在现行考试大纲三个选考模块中删去“几何证明选讲”,其余 2 个选考模块的内容和范围都不变,考生从“坐
标系与参数方程”“不等式选讲” 2 个模块中任选 1 个作答 . 具体内容详见(二)考纲综合解读中的第三点内容 .
“一不变”:核心考点不变
2020 年的高考中,核心考点仍然是函数与导数、三角函数、解三角形、数列、立体几何、解析几何、概率
与统计、选考内容等.
在选择题或填空题中,集合、复数、程序框图、三视图、三角函数的图象和性质、线性规划、平面向量、数
列的概念与性质、圆锥曲线的简单几何性质、解三角形、导数与不等式的结合、函数的性质仍然是高频
考点 . 在解答题中,除数列和三角函数轮流命题外,立体几何、概率与统计、解析几何、函数导数与不等式、选
考内容仍然是必考内容 .
备考锦囊
1.函数或方程或不等式的题目,先直接思考后建立三者的联系. 首先考虑定义域,其次使用“三合一定理”;2.选择题与填空题中出现不等式的题目时,优选特殊值法;
3.求参数的取值范围时,应该建立关于参数的等式或不等式,用函数的定义域或值域或解不等式完成,在
对式子变形的过程中,优先选择分离参数的方法;
4.恒成立问题或它的反面,可以转化为最值问题,注意二次函数的应用,灵活使用闭区间上的最值,分类
讨论的思想,分类讨论应该不重复、不遗漏;
5.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成,直线与圆锥曲线相交问题,若与弦的中点有关,选择设而不
求点差法,与弦的中点无关,选择根与系数的关系求解,使用根与系数的关系时必须先考虑是否为二次方
程及根的判别式;
6.求椭圆或双曲线的离心率,建立关于a、 b、 c 之间的关系等式即可;
7.求三角函数的周期、单调区间或最值,优先考虑化为一次同角弦函数,然后使用辅助角公式解答;解三
角形的题目,重视内角和定理的使用;与向量联系的题目,注意向量角的范围;
8.数列的题目与和有关,优选作差的方法;解答的时候注意使用通项公式及前n 项和公式,体会方程的思想;
9.导数的常规题目一般不难,但要注意解题的层次与步骤,如果要用构造函数证明不等式,可从已知或者
前一问中找到突破口,必要时应该放弃;重视几何意义的应用,注意点是否在曲线上;
10.概率与统计的解答题,应该先设事件,然后写出使用公式的理由,当然要注意步骤的多少决定解答的
详略;
“二变”:数学文化解读
名师解读
教育部考试中心函件《关于2020 年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考
核内容,积极培育和践行社会主义核心价值观,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用. 比如,在数学中增加数学文化的内容”因此我们特别策划了此专题,将数学文化与数学知识相结合,选取典型样题深
度解读,希望能够给广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.
样题展示
一、数学文化与算法
【例 1】在《算法统宗》中有一“以碗知僧”的问题,具体如下“巍巍古寺在山中,不知寺内几多僧.三百六十四只碗,恰合用尽不差争.三人共食一碗饭,四人共进一碗羹.请问先生能算者,都来寺内几多僧.”
记该寺内的僧侣人数为S0,运行如图所示的程序框图,则输出的
S 的值为
A. 414B. 504
C. 462D. 540
【答案】 C
【例 2】《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位所著,该著作完善了珠算口诀,确立了算盘用法完成了由筹算到珠算的彻底转变,对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示的
程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题,执行该程序框图,若输出的m
的值为
,则输入
的a
的值为
214593189 A.8B.16C.32D.64【答案】 C
【解析】起始:m2a 3 , i 1 ,第一次循环:m2(2a3)34a 9
, i 2 ;第二次循环:
m2(4 a9)38a 21
, i
3
;第三次循环:m2(8a21)3 16 a
45
, i 4 ;接着可得
93
m2(16a45)332a 93,此时跳出循环,输出m
的值为
32a
93 .令 32a93
,解得
a
32 ,
故选 C.
二、数学文化与数列
【例 3】《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种重量单位),这个问题中,甲所得为
5345
A.3 钱B.2 钱C.3钱D.4钱
【答案】C
【例 4】《孙子算经》是中国古代重要的数学专著,其中记载了一道有趣的数学问题:“今有出门,望见九
堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色.”则这个数学问题中
动物有 ______________只.(数字作答)
【答案】 590490
【解析】由题意,知“堤、木、枝、巢、禽、雏、毛”的数量构成一个首项
a 1
9
,公比
q 9
的等比数列
a n
,其通项公式为 a n 9 9n 1
9n
a 5 a 6 95 96 95
1 9 590490
(只).
,则动物的数量为
三、数学文化与概率统计
【例 5】欧阳修《卖油翁》中写到: (翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,
而钱不湿.可见 “行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为 1.5cm
的圆,中间有边长
为
0.5cm
的正方形孔,现随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为
4
9
A . 9
B . 4
4
C . 9
D . 4
【答案】 A
r
2
(1.5)2
9 (cm 2 )
0.52
0.25
1
(cm 2 )
【解析】圆的面积为
2
16 ,正方形的面积为
4
,所以油(油滴
1
4
P
4
9 9
的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为
16
,故选 A.
【例 6】南北朝时期的数学家祖冲之,利用“割圆术”得出圆周率 π
3.1415927之间,
的值在 3.1415926与 成为世界上第一个把圆周率的值精确到
7 位小数的人,他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值 的时间至少要早一千年,创造了当时世界上的最高水平 . 我们用概率模型方法估算圆周率,向正方形及其内
切圆随机投掷豆子,在正方形中的 80 颗豆子中,落在圆内的有
64 颗,则估算圆周率的值为
A . 3.1
B .3.14
C . 3.15 D
.3.2
【答案】 D
四、数学文化与立体几何
【例 7】中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,古代用它作为长方棱台(上、下底面均为矩形的棱台)
的专用术语。关于“刍童”体积计算的描述, 《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之。亦倍下袤,上袤从之。各以其广乘之,并,以高若深乘之,皆六而一。”,其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的
长相加,再与上底面的宽相乘;将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个
1 数值相加,与高相乘,再取其六分之一。依此算法,现有上、下底面为相似矩形的棱台,相似比为
2 ,高
为 3,且上底面的周长为
6,则该棱台的体积的最大值为
A . 14
B .
56
63
C .
4
D .
63
【答案】 C
【解析】 依算法, 设棱台的上底面的长、 宽分别为 x 、 y( x 0, y
0)
,则下底面的长、 宽分别为 2x 、
2 y
,
V
1
[( 2x 2x) y (4x x) 2 y] 3 7 xy
, 又
x y 3
, 由 基 本 不 等 式 得
则 棱 台 的 体 积
6
7xy 7 (
x y
)2
63 x y 3 2
4 ,当且仅当 2 时取得最大值,故选
C .
【例 8】中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 334 年商鞅造的一种标准量器 ____商鞅铜方升,其
三视图如图所示(单位
: 寸) . 若
取 3 ,其体积为
12.6
(立方寸),则三视图中的 x 为
A . 3.4
B . 4.0
C . 3.8
D . 3.6
【答案】 C
【解析】由三视图可知,商鞅铜方升由一个圆柱和一长方体组合而成,由题意得
3 x 1
1 2 (5.4 x) 12.6
3.8 ,故选 C.
2
,解得 x 五、数学文化与三角函数
【例 9】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为
a, b, c
,三角形的面积 S 可由公式
Sp p a p b
p
c
求得, 其中
p
为三角形周长的一半, 这个
公式也被称为海伦 - 秦九韶公式, 现有一个三角形的边长满足
a
b 12,
c 8
,则此三角形面积的最大值为
A. 4 5
B.
8 5
C. 4 15
D. 8 15
【答案】 B
六、数学文化与推理与明
【例 10】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖,有一列数:,,,,,?.数列的特点是:前两个数都是,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人把的一列数
成的数列{ a
n
}
称“斐波那契数列”,(a1a3a22 )( a2 a4a32 )(a3a5a42 )( a2015a2017a20162)
A. 1
B. 1
C.2017
D.2017【答案】 B
【解析】由意得,根据斐波那契数列可知,
(a1a3 a22 ) 1,( a2 a4a32 )1
,
(a
3
a
5a42 )1,( a4a6a52 )
1
,?
所以根据算的律可得,当n 偶数,( a
n
a
n 2a n21
)1
,当 n 奇数,
(a
n
a
n 2a n2 1
)
1,
所以 (a1a3 a22 )( a2 a4a32 )(a3a5 a42 ) (a2015a2017a20162)1
,故 B.
考囊
弘中国文化,尤其是数学文化,是2020 年高考数学命的新的“考向”
增加数学文化的要求,是践行社会主核心价、弘中国秀文化的具体体,通些
的解答使考生深刻到中民族秀的博大精深和源流. 相信2020 年在数学命中,仍会适
当增加中国文化行考的内容,如将四大明、勾股定理等所代表的中国古代科技文明作背景材料,遵循
承、弘、新的展路径,注重文化在中的造性化和新展,体中
国科技文化人展和社会步的献,从而考的社会意和目的.
“三”:考模的整
名解
在考内容与范方面,去了修 4-1 里的“几何明” . 去的理由是几何明考的是初中平面几何的知,作基知,可以在立体几何、解析几何知中考,不需要再独置考,
同在以前的教学大和 2020 年修的程准中都不包含 . 考模的由三道两道,可以减了生考的担,于大多数学生来,可以从原来面平面几何尬的境地解放了出来!可
以更具有性的复考另外两个考模.
最后一个大题的选择性减少,这就要求我们在备考阶段的聚焦点只能在“坐标系与参数方程” 、“不等式选讲”两部分上下功夫 .
样题展示
x x
x22cos2
C1 :
y sin y y C2【例 1】在平面直角坐标系中,曲线(为参数)经伸缩变换后的曲线为,
以坐标原点 O 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
( 1)求曲线C
2的极坐标方程;
AOB
π
( 2)若A, B
是曲线
C
2上的两点,且 3 ,求
OA OB
的取值范围 .
x22cos x22
2
1
【解析】(1)曲线C
1的参数方程y sin4
y
化为普通方程为,
x x
x2x
2
2
y2
1
,即 x2y2
又y
y 即y y
C
2的方程为
x12x ,,代入上式,可知曲线
故曲线C
2的极坐标方程为2cos .
( 2)设A
1
,B 2 ,π
π,π
, 3 ( 2 6 ),
OA OB2cos2cos π
23cos
π
12
36
则,ππ π
,
,所以OA OB
的取值范围是
3, 23
因为633.
【例 2】已知函数f
x x2x 1 .
( 1)解不等式f
x5;
f x 2
log 2 a
( 2)若log 2a
对任意实数
x
恒成立,求
a
的取值范围 .
x11x2x2
【解析】(1)原不等式可化为12x 5 或35或2x15,
解得x
2 或 x
3
,所以不等式f x
5
的解集为,2U 3,.
( 2)因为
x 2
x 1 x 2 x 1
3
,所以
f
x
3 ,即 f
x
min
3 .
log 2 a
2
3
log 2 a
2
3
01 log 2a 3
由题意知
log 2 a
2log 2a
,
1
8
a
得 2
.
备考锦囊
坐标系与参数方程中主要的考查点有三个:
( 1)极坐标方程、参数方程与直角坐标方程之间的相互转化,此内容相对比较容易,在备考的时候熟记公 式,以及各个曲线的参数方程即可得到满分
.
( 2)极坐标的几何意义(即对应的点到极点的距离)
,由于有时利用极坐标的几何意义能快速求解,降低
解题难度,提高解题效率,所以理解极坐标的几何意义就刻不容缓 .
( 3)参数方程的几何意义,由于有时在解决最值问题时,利用三角知识能够快速求解,尤其是对圆锥曲线 上的动点问题( 2020 年高考新课标Ⅲ卷有所涉及) ,直线参数方程中参数“ t ”的考查非常频繁,考生备考
时应注重了解参数“
t ”的含义和应用方法,特别地,应用直线的参数方程时,需先判断是否为标准形式,
再考虑参数 t
的几何意义
.
对于不等式选讲,从历年全国高考中进行分析,绝对值不等式的解法与证明、恒成立问题,用基本不等式
证明不等式是高考考查的热点和重点,难度中等 . 预计 2020 年,仍会考查绝对值不等式的求解、证明及恒成立问题 .
高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔,这就使得临场发挥显得尤为重要,研究和总结临场解题策略,进行应试训练和心理辅导,已成为高考数学的重要内容之一,正确运用数学高考临场解题策略,不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误,而且能挖掘思维和知识的潜能,
考出最佳成绩 .
一、“内紧外松” ,集中注意力,消除焦虑怯场
集中注意力是考试成功的保证,一定的神经亢奋和紧张,能加速神经联系,有益于积极思维,要使注意力高度集中,思维异常积极,这叫内紧,但紧张程度过重,则会走向反面,形成怯场,产生焦虑,抑制
思维,所以又要清醒愉快,放得开,这叫外松 .
二、一“慢”一“快” ,相得益彰
有些考生只知道考场上一味地要快,结果题意未清,条件未全,便急于解答,岂不知欲速则不达,结
果是思维受阻或进入死胡同,
导致失败 . 应该说, 审题要慢, 解答要快 . 审题是整个解题过程的
“基础工程” ,
题目本身是“怎样解题”的信息源,必须充分搞清题意,综合所有条件,提炼全部线索,形成整体认识, 为形成解题思路提供全面可靠的依据 . 而思路一旦形成,则可尽量快速完成
.
三、确保运算准确,立足一次成功
时间很紧张,不允许做大量细致的解后检验,所以要尽量准确运算
( 关键步骤,力求准确,宁慢勿快
) ,
立足一次成功 . 解题速度是建立在解题准确度基础上的,更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上,
而且从“性质”上影响着后继各步的解答 . 所以,在以快为上的前提下,
要稳扎稳打, 层层有据, 步步准确,
不能为追求速度而丢掉准确度,甚至丢掉重要的得分步骤
.
四、讲求规范书写,力争既对又全
考试的又一个特点是以卷面为唯一依据
. 这就要求不但会而且要对,对且全,全而规范
. 会而不对,令
人惋惜;对而不全,得分不高;表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学非智力因素失分的一大方面. 字迹潦草,会使阅卷老师的第一印象不良,进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬,“感情分”也就相应低了,此所谓心理学上的“光环效应”. “书写要工整,卷面能得分”讲的也正是这个道理.
五、执果索因,逆向思考,正难则反
对一个问题正面思考发生思维受阻时,用逆向思维的方法去探求新的解题途径,往往能得到突破性的
进展 . 顺向推有困难就逆推,直接证有困难就反证. 如用分析法,从肯定结论或中间步骤入手,找充分条件;
用反证法,从否定结论入手找必要条件.
六、面对难题,讲究策略,争取得分
会做的题目当然要力求做对、做全、得满分,而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分,
下面有两种常用方法:
1.缺步解答 . 对一个疑难问题,确实啃不动时,一个明智的解题策略是:将它划分为一个个子问题或一
系列的步骤,先解决问题的一部分,即能解决到什么程度就解决到什么程度,能演算几步就写几步,每进行
一步就可得到这一步的分数 .
2.跳步解答 . 当解题过程卡在一中间环节上时,可以承认中间结论,往下推,看能否得到正确结论,如得不
出,说明此途径不对,立即改变方向,寻找其他途径;如能得到预期结论,就再回头集中力量攻克这一过
渡环节 . 若因时间限制,中间结论来不及得到证实,就只好跳过这一步,写出后继各步,一直做到底;另外,若题目有两问,第一问做不上,可以第一问为“已知”,完成第二问,这都叫跳步解答.