苏科版八年级数学上册全书知识点归纳汇总大全
苏教版八年级数学上册全书知识点归纳汇总大全
第 1 章全等三角形
一、全等三角形概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形的表示
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC ≌△ DEF ，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形有哪些性质
（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
4、学习全等三角形应注意以下几个问题：
1）:要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；
2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
3）有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等；
（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角” 、“公共边”、“对顶角”
5、全等三角形的判定
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ SSS” ）
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS” ）
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA” ）
角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS” ）
直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“ HL）” 6、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全
等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180 ，°这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换
5、证明两个三角形全等的基本思路：一般来讲，应根据题设并结合图形，先确定两个三角形已知相等的边或角，然后按照判定公理或定理，寻找并证明还缺少的条件.其基本思路是：
１）.有两边对应相等，找夹角对应相等，或第三边对应相等.前者利用SAS判定，后者
利用SSS判定.
２）.有两角对应相等，找夹边对应相等，或任一等角的对边对应相等.前者利用ASA判定，后者利用AAS 判定.
３）.有一边和该边的对角对应相等，找另一角对应相等.利用AAS判定.
４）.有一边和该边的邻角对应相等，找夹等角的另一边对应相等，或另一角对应相等前者利用SAS判定，后者利用AAS 判定.
二、角的平分线：
1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；
2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：① 平分线上的点；
②点到边的距离；
3、角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上
4、方法规律（1）有角平分线，通常向角两边引垂线。
（2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。常用方法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。
3）注意：证题时可直接应用角平分线性质定理和判定定理，不必去找全等三角形。
第2 章轴对称图形
一、轴对称图形
1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就
叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
区别：
（1）轴对称是指两个图形间的位置关系,轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；
（2）轴对称涉及两个图形,轴对称图形是对一个图形而言的．
联系：（1）定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合；
（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分（即看成两个图形）,那么这两个图形就
关于这条直线成轴对称；反过来,如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形．
4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直
平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线
对称。
二、线段的垂直平分线
1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等
三、画轴对称图形的步骤：
1、点出关键点。找出所有的关键点，即图形中所有线段的端点。
2、确定关键点到对称轴的距离。关键点离对称轴多远，对称点就离对称轴多远。
3、点出对称点。
4、连线。按照给出的一半图形将所有对称点连接成线段。
5、轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合。
四、等腰三角形的性质
1、有关定理及其推论
定理：等腰三角形有两边相等；
定理：等腰三角形的两个底角相等。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶
角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
推论2：等边三角形的各角相等，且每一个角都等于60 °.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
（二）等腰三角形的判定
1、有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（等角对等边）
推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则b/2 ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2 ∠B，∠B=∠C= （180 °-∠A） /2 等腰三角形的性质与判定 中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角； 2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。 判定1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形； 2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形 角平分线 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。 判定; 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。 高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的 高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。 判定：1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。 角边等边对等角底的一半＜腰长＜周长的一半 判定：等角对等边两边相等的三角形是等腰三角形 4、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 第 3 章勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a1 2 3＋b2=c2。 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a2＋b2=c2。，那么这 个三角形是直角三角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做4.直角三角形的性质 1）、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90° ∠A+ ∠B=90° 2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 ∠A=30° 可表示如下：BC= 1 AB ∠C=90° 3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 2 可表示如下：CD= AB=BD=AD 3 D 为AB 的中点 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直 角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 原命 题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） ∠ACB=9°0 CD 2AD BD AC2 AD AB CD⊥AB BC 2 BD AB 6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC 7、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这 个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 有关系 a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形。 9、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 第4章实数 平方根 1) 平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a，那么这个数x 就叫做a 的 平方根．即：如果 x2 a ，那么x 叫做a 的平方根． 2) 开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的 被开方数必须是非负数才有意义。 3) 平方与开平方互为逆运算：3 的平方等于9，9 的平方根是3 4) 一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算； 0 的平方根是0. 5) 符号：正数a 的正的平方根可用 a 表示， a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用- a 表示． 6) x2a<—>xa a 是x 的平方x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 1)算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即 x2 a ， 那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a的算术平 方根记为 a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数． 规定：0 的算术平方根是0. 也就是，在等式 x a （x ≥ 0中），规定 x a 。 （2） a 的结果有两种情况：当a是完全平方数时， a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时， a 是一个无限不循环小数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩 大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩 小。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5） x2 a （x ≥0） <—> x a a是x 的平方x 的平方是a x是a 的算术平方根a 的算术平方根是x （6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （ a 0 ） a 0 a2a ；注意 a 的双重非负性： -a （ a<0） a 0 （7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系： 区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 二、立方根 （1）立方根的定义：如果一个数x 的立方等于 a ，这个数叫做 a 的 立方根（也叫做三次方根），即如果 x3 a ，那么 x 叫 做 a 的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立 方。 （2）一个数 a的立方根，记作3 a ，读作：“三次根号 a”，其中a叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 （3）一个正数有一个正的立方根； 0 有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。 （4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即3a 3a a 0 。 （5）x 3 a < —> x 3 a a 是x 的立方x 的立方是a x是a的立方根a的立方根是x （6）3 a 3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 三、实数 一、实数的概念及分类无理数：像前面的很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数。 实数：有理数和无理数统称实数。 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数或无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 正实数 实数0 负实数 整数包括正整数、零、负整数 零和正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 7,3 2 等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8 等； 3 （3）有特定结构的数，如0.1010010001 ?等； 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 数a的相反数是—a，这里a 表示任意一个实数。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a| 。≥零0的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥；0若|a|=-a，则a≤。0 一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是0。 正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1 和-1。零没有倒数。 4.实数与数轴上点的关系：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。 三、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做 a 10n的形式，其中1 a 10 ，n 是整数，这种记数法叫做 科学记数法。 四、实数大小的比较 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 （画数轴时， 要注意三要素 缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想， 理解实数与数轴的点是一一对应的， 并 能灵活运用。 2、实数大小比较的几种常用方法 1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）求差比较：设 a 、b 是实数， a b 0 a b, a b 0 a b, a b 0 a b 3 ） 求 商 比 较 法 ： 设 a 、 b 是 两 正 实 数 aaa 1 a b; 1 a b; 1 a b; bbb 4）绝对值比较法：设 a 、b 是两负实数，则 a b a b 。 5）平方法：设 a 、b 是两负实数，则 a 2 b 2 a b 5、乘法对加法的分配律 a （b c ） ab ac 五、实数的运算 1、加法交换 律 2、加法结合 律 3、乘法交换 a b b a ( a b) c a ( b c) ab ba ( ab) c a( bc) 6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？ 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二能 为运算， 乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先 算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 7、有理数除法运算法则是什么？ 两有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。 8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？相同因数相乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作: a n 9、有理数乘方运算的法则是什么？ 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。 10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。 第5 章平面直角的坐标系 （一）有序数对 1．有序数对：用两个数来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的 意 义，我们把这种有顺序的两个数组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b）2.坐标：数轴（或平面）上的点可以用一个数（或数对）来表示，这个数（或数对）叫做这个点的坐标。 （二）平面直角坐标系 1．平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点的数轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。 2．X 轴：水平的数轴叫X 轴或横轴。向右方向为正方向。 3．Y 轴：竖直的数轴叫Y 轴或纵轴。向上方向为正方向。 4．原点：两个数轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。 对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。 坐标：对于平面内任一点P，过P 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别在x 轴，y 轴上，对应的数a,b分别叫点P 的横坐标和纵坐标。 （三）象限 1．象限：X 轴和Y 轴把坐标平面分成四个部分，也叫四个象限。右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。一般，在x 轴和y 轴取相同的单位长度。 2．象限的特点： 1、特殊位置的点的坐标的特点： （1）x 轴上的点的纵坐标为零；y 轴上的点的横坐标为零。 （2）第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。