高一数学2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算

2. 3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

教学过程

对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？——上节课针对这一问题我

们做出了肯定的回答，接下来我们共同探究：把任意一个向量用两个互相垂直的向量来表示会给解决问题带来哪些方便。

正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。

提出问题

我们知道,在平面直角坐标系中

,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?能不能象点一样也用坐标来表示？

解答问题

如图,在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、

j 作为基底.对于平面内的一个向量

a ,由平面向量基本定理可知,有且只有

一对实数x 、y,使得a =x i +y j

①这样,平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作

a =(x,y)

②其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示. 显然,i =(1,0), j =(0,1),0=(0,0).

提出问题

在平面直角坐标系中

,一个向量和坐标是否是一一对应的？解答问题

如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA ，则点A 的位置由a 唯一确定. 设j y i x OA ，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

例题讲解

例1、如图,分别用基底i、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.

例2、请在平面直角坐标系中作出向量a、b，其中a=（1,-3）、b=（-3，-1）.

课堂小结：（1）什么是正交分解？

（2）平面直角坐标系中，向量与坐标有什么关系？

（3）如何根据平面直角坐标系中的向量求出其坐标？如何根据给出的坐标在平面直角坐标系中画出其对应的向量？

2．3．3平面向量的坐标运算

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性

.

教学过程：

情景平台:我们用有向线段表示向量时会进行线性运算，现在我们用坐标来表示向量还能不能进行线性运算？

讲解新课：

1．平面向量的坐标运算

思考1：已知：a ),(11y x ，),(22y x b ，你能得出b a 、b a 、a 的坐标吗？结论：（1）若),(11y x a ，),(22y x b ，

则b a ),(2121y y x x ，b a )

,(2121y y x x 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

结论：（2）若),(y x a 和实数，则),(y x a .

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

思考2：已知),(11y x A ，),(22y x B ，怎样求B A 的坐标？

结论：（3）若),(11y x A ，),(22y x B ，则1

212,y y x x AB AB OB OA ( x 2，y 2) (x 1，y 1)(x 2 x 1， y 2 y 1)

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

.

思考3：你能标出坐标为(x 2 x 1， y 2 y 1)的P 点吗？

结论：（4）向量AB 的坐标与以原点为始点、点

P 为终点的向量的坐标是相同的。

讲解范例：例1 已知a r =(2，1)，b r =(-3，4)，求a r +b r ，a r -b r ，3a r +4b r 的坐标. 练习1、课后练习1,2，3题

例2 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(

1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点

. 练习2已知：四点

A(5， 1)，B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，求证：四边形ABCD

是梯形. 例3已知三个力

1F =(3， 4)，2F =(2，5)，3F =(x ， y)的合力1F +2F +3F 0，求3F 的坐标.

课堂小结：平面向量的坐标运算；

课后作业：习题 2.3 A 组1,2,3题