数值分析全部
第3章 线性方程组的解法
本章讨论线性方程组
11112211211222221122n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??
?
?+++=? 的求解问题.
线性方程组的矩阵表示
Ax b =
式中A 称为系数矩阵，b 称为右端项。
数值分析中，线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类。
直接法是用有限次计算就能求出线性方程组“准确解”的方法（不考虑舍入误差）；迭代法是
由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜测的向量作为迭代计算的初始向量逐步迭代计算，来获得满足精度要求的近似解。
迭代法是一种逐次逼近的方法。
1 线性方程组的迭代解法
线性方程组迭代解法有Jocobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法及Sor 法等 基本思想（与简单迭代法类比） 将线性方程组
Ax b =等价变形为
x Bx g =+
以构造向量迭代格式
()
()
1k k x
Bx
g +=+
用算出的向量迭代序列
()()
12,,x x 去逼近解。
1. 构造原理
（1） Jacobi 迭代法 将线性方程组的第i 个变元
i x 用其他n-1个变元表出，可得
Jacobi 迭代格式
:
（3.6） （3）取定初始向量()
()()()
(
)
000012,,,T
n
x
x x x = ，代入，可逐次算出向量序列
()()()
12,,,k x x x ，这里()
()()
()
(
)
12,,,T
k k k k n
x x x x = 。
（2）Gauss-Seidel 迭代法 Seidel 迭代格式:
例1对线性方程组
123123123+22=1
+=22+2=3
x x x x x x x x x ?-?
+??
+?
写出Jacobi 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式.
3）SOR 法
SOR 法的迭代格式
式中参数ω称为松弛因子，当ω =1时，SOR 法就是Seidel 迭代法. 2.迭代分析及向量收敛
1） 三种迭代法的向量迭格式 对 Ax=b ，将系数矩阵A 作如下分解
A D L U =--
112212
121212,00000000,0000nn n n n n a a D a a a a a L U a a ??????=????
?
?--????????--????==????
????
--??
??
则Ax=b 可以写成
()D L U x b --=
Jacobi 迭代的向量迭代格式
()
()
1k k J J x
B x
g +=+
1()J B D L U -=+，1J g D b -=. J B 为Jacobi 迭代法的迭代矩阵.
Seidel 向量迭代格式
(
)
()1k k
S S x B x g +=+
()1
S B D L U -=-，()1
S g D L b -=-.s B 为Seidel 迭代法的迭代矩阵.
SOR 法的向量迭代格式
()
()
1k k x
B x
g ωω+=+
()()1
1B D L D U ωωωω-=--+????，()1
g D L b ωωω-=-.B ω为超松弛迭代法的迭代矩
阵。
三种迭代格式可写成迭代格式
()
()
1k k x
B x
g
+=+
2）向量收敛定义
定义1 设向量序列()
()()()
(
)
12,,,T
k k k k n
x x x x = 及向量()*
***1
2,,,T n
x x x x
= 都是n R 中的
向量，如果有
()*lim ,1,2,,k
i i k x x i n →∞
==
成立,则称
()
k x
收敛于
*
x
.简记为
()
*
lim k k x
x
→∞
=。
3）范数定义与科学计算中的常用范数
定义2 设L 是数域K 上的一个线性空间，如果定义在L 上的实值函数()P x 满足 1) x L ?∈，有()0P x ≥, 且()00P x x =?=；
2) ,x L K λ?∈∈，有()()P x P x λλ=；
3) ,x y L ?∈，有()()()P x y P x P y +≤+,
则称
()P ?是L 上的一个范数，称()P x 为x 的一个范数。
范数的定义很象绝对值函数，故常用P
?或
?
表示范数，而范数()P x 常记为P
x
或
x
。
这样，上面范数定义中的3个条件常写为
1）
x L ?∈，有0x ≥, 且00x x =?=；
2）,x L K λ?∈∈，有x x
λλ=?；
3）
,x y L ?∈，有x y x y
+≤+
将其与绝对值比较，是否很象？
实际上，很多有关绝对值的运算和结论可以平行引进到有关范数的运算和证明问题中。
数值分析中常用的线性空间有 ● n 维向量空间
(){}12|,,,,n n k R a a a a a a R ==∈
● 矩阵空间
()
{
}
|,m n m n m n ij ij m n
R A A a a R
????==∈
连续函数空间
[]()(){},|[,]C a b f x f x a b =在上连续
函数空间[],C
a b 是由闭区间[],a b 上所有连续函数组成的集合，其线性运算定义为
加法
()()()():
f g f g x f x g x ++=+
数乘
()()():
f f x f x λλλ=?，λ为数
在这些空间上，数值分析中常用的范数有 (1)n
R
的向量范数
式中向量
()
12,,,T
n x x x x = .
例2 计算向量
()
1,2,3T
x =-的各种范数.
(2) n n R ?的矩阵范数
矩阵范数要满足如下四条
1）n n
A R
??∈，有
0A ≥,
且00A A =?=；
2）
,n n A R K λ??∈∈，有A A λλ=?；
3）,n n A B R ??∈
，有A B A B
+≤+；
4）
,n n
A B R
??∈
由于线性方程组求解问题中，系数矩阵总是与向量联系在一起的，为描述这种联系，引入如下的
算子范数概念.
定义3 设矩阵n n
A R ?∈，称
为矩阵A 的算子范数。
容易证明，矩阵A 的算子范数也是矩阵范数，且满足不等式关系
例3设
?
为矩阵的算子范数，证明若
1B <，则I B +为非奇异矩阵，且
()
1
11I B B -+≤
-
证：用反证法。 若I
B +为奇异矩阵，则其对应的方程组
()0I B x +=
有非零解
x ，即有0x ≠，使()0I B x +=，得出
Bx x =-
两边取范数并作范数运算
B x Bx x x
?≥=-=
01x B >?≥ ，矛盾，得I B +非奇异。
()()()()
(
)
()()
1
1
11
1
1
1I B I B I I B I B I B I B I B I B B
I B ------++=?+=-++≤++≤++
(
)
1
11I B B
-∴+≤
-
常用的矩阵范数有如下4种 1
2
3）F
4）2
max λ是
T A A 最大特征值。
以上4个矩阵范数中，
12,,A A
A
∞
是算子范数，
F
A
不是算子范数。
例4 计算矩阵1
23
4A -??
=?
?-??
的各种范数. 3）范数等价与向量极限
定义4 设
,p q
??
是线性空间L 上的两个范数，若存在正常数m 和M ，成立
则称范数
,p q
??
是等价范数。
定理1 n
R 上的所有范数都是等价的。
定理
式中
?
是
n
R
上任何一种范数。
4）谱半径及其与范数的关系 定义5 设
n n
A R
?∈，
,1,2,,k k n λ= 是A 的n 个特征值，则称实数
为矩阵A 的谱半径。
注意
k λ如果是复数，。
定理3 设A
为任意算子范数，则有
引理4 设
n n
A R
?∈，则
()lim 01k
k A A ρ→∞
=?<
3. 迭代法的收敛条件与误差估计
1）收敛条件
定理5：线性迭代格式()
()
1k k x B x
g
+=+对任意初始向量
()
0x
都收敛的充要条件是迭代矩阵
谱半径
()1B ρ<.
证明 必要性
设()*lim k k x x →∞
=，在
()()1k k x B x g +=+中令k →∞，得
**
x B x g =+,于是
有
()
()
(
)
()
(
)
()()
12*
*
2
*
*
k k k k x
x B x
x B
x
x B x x ---=-=-==-
由()*lim k k x x →∞
=及()0x 的任意性，有
lim 0k k B →∞
=.再由引理，可得()1B ρ<. 充分性 因为()1B ρ<，则有I-B 非奇异（这里I 为单位矩阵），从而线性方程组()I B x g -=有
唯一解
*
x
，即有
()*I B x g -=
展开有
**
x B x g =+.类似必要性处理，有
()()()
**
k
k x x B x x -=-
由引理，由()1B ρ<有lim 0k k B →∞
=，上式取极限，得()*
lim k k x x →∞
=.
判别条件Ⅰ
若
1B <，则迭代格式()()1k k x B x g
+=+对任意初始向量()
0x
都收敛于线性方程组
x B x g
=+
的唯一解.
B
是矩阵B 的某种算子范数.
定义6设n n
A R ?∈，
1）如果A 的主对角元素满足
则称矩阵A 是严格行对角占优阵；
2）如果A 的主对角元素满足
则称矩阵A 是严格列对角占优.
严格行对角占优阵和严格列对角占优阵统称为严格对角占优阵. 定理 严格对角占优阵是非奇异矩阵。 证明 不妨设矩阵
()
ij n n
A a ?=是严格行对角占优阵. 用反证法证明.
若A 是奇异的，则由矩阵理论可知，齐次线性方程组0Ax =有非零解*x ，即存在
()
*
*
**1
2
,,,0T n
x x x x
=≠ ，满足*0Ax =.
记
**
m x x ∞=，有
将
*0
Ax=的第m个等式*
1
n
mk k
k
a x
=
=
∑写为
**
1
n
mm m mk k
k
k m
a x a x
=
≠
=-∑
等式两边取绝对值有
因为
*0
m
x≠，上式同除*
m
x，有
此与A是严格行对角占优阵矛盾. 故若A是非奇异的. 判别条件Ⅱ
设矩阵A是严格对角占优阵，则线性方程组Ax b
=的Jacobi迭代和Seidel迭代对任意初始
向量
()0
x都收敛.
证明只对A是行对角占优情况证之. 设矩阵A是严格行对角占优阵，则有
Jacobi迭代矩阵
1
J
B I D A
-
=-，故有
由判别条件Ⅰ，可得Jacobi 迭代的收敛性.
对Seidel 迭代，其迭代矩阵()1
S B D L U -=-，设k λ是矩阵S B 的任一特征值，则有特
征方程
()()()1
det det det 0k S k I B D L D L U λλ--=-?--=????
因()
1
det
0D L --≠，故矩阵s B 的特征方程变为
()det 0k D L U λ--=????
这个行列式方程对应的矩阵
()11
1212122212
k n k k n S k k n k n k nn a a a a a a B D L U a a a λλλλλλλ??????=--=???
?
??
如果
1k λ≥，利用矩阵A 的行对角占优定义，可以得出如下不等式
这说明矩阵S B 也是行严格对角占优阵，由定理，有det 0S
B ≠ , 矛盾，故应有1k
λ<成立.
由k λ的任意性有谱半径()1S B ρ<，于是可得Seidel 迭代的收敛性.
定理7 SOR 法收敛的必要条件是松弛因子ω满足0<ω<2. 证明 因为SOR 法的迭代矩阵为
()()1
1B D L D U ωωωω-=--+????
有
()()1
det det det 1B D L D U ωωωω-=-?-+????
()()
1
det det 11n
D D ωω-=?-=-
设
,1,2,,k k n λ= 是B ω的n 个特征值，则有
()
12det 1n
n B ωλλλω==- ，若SOR 收敛，必有()1B ωρ
<，注意到
()12||n
n B ωλλλρ≤????
，得
()()()|1|1n n
B ωωρ-≤<. 解之得02ω<<.
● 判别条件III
设Ax b =，如果
（1）A 对称正定， （2）02ω<<，
则解
Ax b =的SOR 迭代法收敛.
设A 是对称正定矩阵，则Ax b =的Seidel 迭代对任意初始向量()
0x
都收敛.
● 判别条件IV
设
Ax b =，如果
（1）A 为严格对角占优阵， （2）01ω<≤，
则解
Ax b =的SOR 迭代法收敛.
2）误差估计
定理8 设矩阵B 的某种算子范数1B <，则由式()
()
1k k x
B x
g
+=+算出的序列
(
)
{}k x 与
线性方程组
x B x g
=+的准确解
*
x
有如下的误差估计
1）
2）
证明可以参照非线性方程求根定理的证明，注意将那里的绝对值换成这里的范数，那里的函数换成这里的矩阵，并注意范数关系的使用即可。
练习1 设方程组为
1231231236+2=117+2=202314=5
x x x x x x x x x ?+-?
-+??
-+?
写出Jacobi 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式，判别这两种格式的收敛性.
练习2 设方程组为
1212+2=13=2
x x x x ?-??+??
判别Jacobi 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的收敛性.
练习3 设方程组为
123121
3+2=53=1272
x x x x x x x ?-?
-+-??+=?
判别Jacobi 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的收敛性.
练习4 方程组
Ax b =，其中
141001a a A a a ??
??=??
????
确定使Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法均收敛的a 的取值范围.
练习5 证明矩阵
111a a A a a a a ????=??
????
正定的充要条件是11,2a -<<而Jacobi 迭代只对11
,22
a -<<是收敛的. 3.4 线性方程组的直接解法
解线性方程组的直接法有Gauss 消元法，LU 分解法及一些特殊线性方程组的解法等，其中Gauss 消元法是直接法的基础.
本章的重点是在一般公式推导上，要注意学习和体会. 1. Gauss 消元法 基本思想
先将线性方程组通过消元方法化为同解的上三角方程组，然后从该三角方程组中按第n 个方程、第n-1个方程、…、第1个方程的顺序，逐步回代求出线性方程组的解. 1)
构造原理
Gauss 消元法的求解过程分为两个: “消元”：把原方程组化为上三角方程组； “回代”：求上三角方程组的解.
为推导公式的方便，记要求解的原方程组为
()()()()
()
()()()
()()()()
00001111221100002112222200001122
n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ?++=?++=??
?
?++=? Gauss 消元法的算法构造如下 一、消元过程
1）设()
110a ≠,令乘数()()00
1111/i i m a a =- , 做(消去第i 个方程组的x 1
)操作
1i m ?第1个方程+第i 个方程
（i =2,3,…,n ）
则第i 个方程变为
()()()
11122i in n i
a x a x
b ++=
这样消去第2，3，…，n 个方程的变元x 1后，原线性方程组变为
()()()()
()()()
()()()
00001111221111122222
11122n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b ?+++=?++=????++=?
式中()()
1
1
1,,i i ij m b a 的计算公式为
()()
()()(
)
()()()0
1111
1
0111
11/,,2,3,,i i i i i ij ij i j m a a b b m b a a m a i j n
=-=+=+=
这样就完成了第1步消元.
2) 对所得线性方程组中由第2，3，…，n 个方程组成的n-1元线性方程组做同样的处理，可得
到第2步消元后的线性方程组
()()()()()
()()()()
()()()()()()0000011112213311111122223322
2223333322233n n n n n n n nn n n a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x b a x a x b ?++++=?+++=???++=?
?
?++=?
式中()()
222,,i i ij m b a 的计算公式为
()()
()()()
()()()1
1
2222
2
1
1
22
2
1
1
22/,,3,4,i i i i i ij ij i j m a a b b m b a a m a i j n
=-=+=+=
3)第k 步消元过程的计算公式
(
)
()()(
)(
)
()()
()
111111
/,,1,2,,k k ik ik
kk
k k k i i ik k k
k k ij ij ik kj m a a b b m b a a m a i j k k n
------=-=+=+=++
当做到第n -1步消元后，就完成了Guass 消元过程，得到上三角方程组
()()()()
()()()
()()
00001111221111122222
11n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x b --?+++=?++=????=?
二、回代过程
1）在上三角方程组的最后一个方程中解出
n x ，得)
1()
1(/--=n nn
n n
n a
b
x 2）将
n x 的值代入倒数第2个方程，再解出1-n x ，得
(2)(2)(2)
111, 1, 1()/n n n n n n n n n n x b a x a --------=-
3）依次回代，得计算k x 的公式为
(1)(1)(1)1
()/ (2,3,,1)n
k k k k k
kj j kk j k x b
a x a k n n ---=+=-
=--∑
当1=k
时，就完成了回代过程，从而完成了Gauss 消元法的全过程，得到所求解.
要注意的是，计算公式中分母不能为零，于是可以得到如下Gauss 消元法计算公式。 三、Gauss 消元法计算公式 1. 对1,,2,1-=n k
，计算
(
)
()()
()(
)(
)
()()
(
)
1111111/0
,,1,2,,k k k ik ik
kk
kk
k k k i i ik k k
k k ij ij ik kj
m a a a b b m b a a m a i j k k n
-------=-≠=+=+=++
2.对,1,,1k n n =- ，计算
/)()1(1
)1()1(-+=--∑-
=k kk n
k j j k kj k k
k a x a b
x
2）分析
（1）Gauss 消元法的计算量
Gauss 消元法由消元过程和回代过程两部分组成，消元过程的计算量来自计算)(k ij a ，)(k i b 所用
的乘法和计算
ik m 所用的除法。容易得出Gauss 消元法的消元过程计算量为
1
2
1
2
1)1)(2()1(1
21
--?----n n n n n n n 除法次数
乘法次数消元步
因此消元过程计算量为
∑∑-=-=-+-=
++=11
21
1
)1(2
1
)1(3)1(n k n k n n n n k k k N 消
类似地可算出Gauss 消元法的回代过程的计算量)1(2
1
+=n n N 回，于是得Gauss 消元法的计算量为
当n 很大时，3
3
n N ≈. 由于科学计算中，变元个数n 都很大，因此也常说Gauss
消元法的计算量为
（2）Gauss 消元法的矩阵解释
借助矩阵的理论，能更清楚地看到Gauss 消元法的本质，也可得出易于推广的内容。 Gauss 消元法过程实际是对
Ax b =的增广矩阵（A ，b ）做第三种行初等变换，它对应着用第
三种初等矩阵
北京大学数值分析试题2015 经过订正
北京大学2014--2015学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题(每空3分，共24分) (1) 设1 2A ?-=-?? ，则A 的奇异值为 。 (2) 设0.00013753x =为真值0.00013759T x =的近似值，则x 有 位有效数字。 (3) 设数据123,,x x x 的绝对误差为0.002，那么123x x x -+的绝对误差约为 ____ _。 (4) )x (l ,),x (l ),x (l n 10是以01,, ,,(2)n x x x n ≥为节点的拉格朗日插值基函数， 则 20 (2)()n k k k x l x =+=∑ 。 (5) 插值型求积公式 2 2 =≈∑? ()()n k k k x f x dx A f x 的求积系数之和0 n k k A ==∑ 。 其中2x 为权函数，1≥n 。 （6）已知(3,4),(0,1)T T x y ==，求Householder 阵H 使Hx ky =，其中k R ∈。 H= 。 (7) 数值求积公式 1 1 2()((0)3f x dx f f f -?? ≈ ++???? ? 的代数精度为___。 (8) 下面Matlab 程序所求解的数学问题是 。 （输入向量x , 输出S ） x =input('输入x ：x ='); n=length(x ); S=x (1); for i=2:n if x (i)泰勒定理及其在数值分析中的应用
摘要 因为泰勒公式的形式简单易懂，由此，适用在很多学科。在计算机与物理等各个方面均有着极其广泛的应用，除此之外，也在数值分析、常微分方程、最优化理论这些数学分支中产生着至关重要的作用。可见，泰勒公式的用处很多，所以，更要弄清楚泰勒公式的概念和数学原理。这是数学中非常基础的东西，对学生今后的数学学习将起到非常好的作用。本论文的目的，主要是对泰勒定理在数值分析中的应用做研究，从利用泰勒公式近似计算函数值、利用泰勒公式近似计算导数值、泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用等方面，对泰勒公式在数值分析方面的应用进行研究。泰勒公式在数值分析的各个方面都有着重要的应用，深入探讨泰勒公式的应用,对于我们解决一些复杂问题起到事半功倍的效果.只要在解题中注意分析并注重归纳总结,就能很好地运用泰勒公式.正确的应用泰勒公式使我们的证明和计算题变得简明快捷。 关键词：泰勒公式；数值分析；应用
ABSTRACT Because of the Taylor formula is very simple, so, can be applied to many subjects. In various physical and computer etc, have a very wide range of applications, in addition, also in the ordinary differential equations, numerical analysis, optimization theory, the branch of mathematics plays an extremely important role. Therefore, a lot of, Taylor formula. So, to clarify concepts and mathematical principle of Taylor formula. This is the very basis of mathematics of mathematics learning things, the students will play a very good role. The purpose of this thesis, mainly to do research on the application of Taylor theorem in numerical analysis, calculating the function value, using the Taylor formula to calculate the value of Taylor formula, the numerical solution of ordinary differential equation application, from using Taylor's formula approximation, the Taylor formula is analyzed in terms of the application in the numerical study. Taylor formula has important applications in the numerical analysis, in-depth study of the application of Taylor formula, for us to solve some complex problems play a multiplier effect. As long as the attention and focus on solving problems of the summary, will be able to use Taylor formula. Using Taylor formula to correct the proof and calculation problems we became fast and simple. Key words: Taylor formula; numerical analysis; application
东南大学 数值分析 考试要求
第一章绪论 误差的基本概念：了解误差的来源，理解绝对误差、相对误差和有效数的概念，熟练掌握数据误差对函数值影响的估计式。 机器数系：了解数的浮点表示法和机器数系的运算规则。 数值稳定性：理解算法数值稳定性的概念，掌握分析简单算例数值稳定性的方法，了解病态问题的定义，学习使用秦九韶算法。 第二章非线性方程解法 简单迭代法：熟练掌握迭代格式、几何表示以及收敛定理的内容，理解迭代格式收敛的定义、局部收敛的定义和局部收敛定理的内容。 牛顿迭代法：熟练掌握Newton迭代格式及其应用，掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容，了解Newton法的变形和重根的处理方法。 第三章线性方程组数值解法 （1）Guass消去法：会应用高斯消去法和列主元Guass消去法求解线性方程组，掌握求解三对角方程组的追赶法。 （2）方程组的性态及条件数：理解向量范数和矩阵范数的定义、性质，会计算三种常用范数，掌握谱半径与2- 范数的关系，会计算条件数，掌握实用误差分析法。 （3）迭代法：熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法及SOR方法，能够判断迭代格式的收敛性。 （4）幂法：掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。 第四章插值与逼近 （1）Lagrange插值：熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项式的表达形式和插值余项。（2）Newton插值：理解差商的定义、性质，会应用差商表计算差商，熟练掌握Newton插值多项式的表达形式，了解Newton型插值余项的表达式。 （3）Hermite插值：掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。 （4）高次插值的缺点和分段低次插值：了解高次插值的缺点和Runge现象，掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。 （5）三次样条插值：理解三次样条插值的求解思路，会计算第一、二类边界条件下的三次样条插值函数，了解收敛定理的内容。 （6）最佳一致逼近：掌握赋范线性空间的定义和连续函数的范数，理解最佳一致逼近多项式的概念和特征定理，掌握最佳一致逼近多项式的求法。 （7）最佳平方逼近：理解内积空间的概念，掌握求离散数据的最佳平方逼近的方法，会求超定方程组的最小二乘解，掌握连续函数的最佳平方逼近的求法。
数值分析小论文
“数值分析”课程 第一次小论文 郑维珍2015210459 制研15班（精密仪器系）内容：数值分析在你所在研究领域的应用。 要求：1）字数2500以上；2）要有摘要和参考文献；3）截至10.17，网络学堂提交，过期不能提交！ 数值分析在微流控芯片研究领域的应用 摘要： 作者在硕士期间即将参与的课题是微流控芯片的研制。当前，微流控芯片发展十分迅猛，而其中涉及到诸多材料学、电子学、光学、流体力学等领域的问题，加上微纳尺度上的尺寸效应，理论研究和数值计算都显得困难重重。发展该领域的数值计算，成为重中之重。本文从微流体力学、微传热学、微电磁学、微结构力学等分支入手，简要分析一下数值分析方法在该领域的应用。 微流控芯片(Microfluidic Chip)通常又称芯片实验室(Lab-On-a-Chip )，它是20世纪90年代初由瑞士的Manz和Widmer提出的[1-2]，它通过微细加工技术，将微管道、微泵、微阀、微电极、微检测元件等功能元件集成在芯片材料(基片)上，完成整个生化实验室的分析功能，具有减少样品的消耗量、节省反应和分析的时间、高通量和便携性等优点。 通常一个微流控芯片系统都会执行一个到多个微流体功能，如泵、混合、热循环、扩散和分离等，精确地操纵这些流体过程是微流控芯片的关键。因此它的研究不仅需要生命科学、MEMS、材料学、电子学、光学、流体力学等多学科领域的基础理论的支持，还需要很多数学计算。
1）微流体力学计算[3]： 对微管里的流体动力的研究主要包含了以下几个方面：(1)微管内流体的粘滞力的研究；(2)微管内气流液流的传热活动；(3)在绝热或传热的微管内两相流的流动和能量转换。这三方面的研究涵盖了在绝热、传热和多相转换条件下，可压缩和不可压缩流体在规则或不规则的微管内的流动特性研究。 由此，再结合不同的初值条件和边界条件，我们可以得到各种常微分方程或偏微分方程，而求解这些方程，就是需要很多数值分析的知识。例如，文献[4]里就针对特定的初值和边界条件，由软件求解了Navier-Stodes方程： 文献[4]专门有一章节讨论了该方程的离散化和数值求解。 微流体力学主要向两个方面发展：一方面是研究流动非定常稳定特性、分叉解及微尺寸效应下的湍流流动的机理，更为复杂的非定常、多尺度的流动特征，高精度、高分辨率的计算方法和并行算法；另一方面是将宏观流体力学的基本模型，结合微纳效应，直接用于模拟各种实际流动，解决微纳芯片生产制造中提出来的各种问题。 2）微传热方程计算： 常微分、偏微分方程的数值求解应用较为广泛的另一问题就是微流体传热问题。由传热学的相关知识，我们可以达到如下的传热学基本方程： 该方程在二维情况下经过简化和离散，可以得到如教材第三章所讲的“五点差分格式”的方程组，从而采取数值方法求解[5]。 除此之外，微结构芯片在加工和制造过程中也会有很多热学方面的问题，例如文献[6]所反映的注塑成型工艺中，就有大量的类似问题的解决。 3）微电磁学计算： 由于外加电场的作用，电渗流道中会产生焦耳热效应。许多研究者对电渗流道中的焦耳热效应进行了数值模拟研究。新加坡南洋理工大学的G. Y. Tang等在电渗流模型的基础上，考虑了与温度有关的物理系数，在固一液祸合区域内利用
数值分析5
三对角与块三对角方程组课程设计 一、基于高斯消元法的三对角方程组求解 三对角矩阵是一类重要的特殊矩阵，在数学计算和工程计算中有广泛应用。例如，二阶常微分方程边值问题数值求解，一维热传导方程数值求解，以及三次样条函数计算等都会涉及到三对角方程组求解。由于三对角矩阵的稀疏性质，用直接法求解三对角方程组的算法效率较高，很有实用价值。 考虑n 阶三对角矩阵和n 维向量 A =? ? ???? ??? ???-n n αγβαγβα122111 ，????? ???????=n f f f f 21 求解方程组 Ax = f 的高斯消元法的程序如下 function f=triGauss(gama,alpha,bata,f) %Solving TriDiag(gama,alpha,bata)systems by Gauss method n=length(alpha); for k=1:n-1 m=gama(k)/alpha(k); alpha(k+1)=alpha(k+1)-m*bata(k); f(k+1)=f(k+1)-m*f(k); end f(n)=f(n)/alpha(n); for k=n-1:-1:1 f(k)=(f(k)-bata(k)*f(k+1))/alpha(k); end 由程序知，对于n 阶三对角方程组，高斯消元法只用到 5n –4 次乘法和除法。 例1．求二阶常微分方程边值问题 ? ? ?==∈=+''-0)1(,0)0() 1,0(,y y x x y y 数值解，并与解析解：1 sinh sinh )(x x x y -=作对比。 解：对正整数n ，取h= 1/(n + 1)，令x j = jh ，（ j = 0，1，2，……，n+1），y j ≈ y ( x j )。由 2 1 12h y y y y j j j j +-+-≈'' 得差分方程 j j j j j x y h y y y =++-- +-2 1 12 整理，得 – y j-1 + (2 + h 2 ) y j – y j+1 = h 2 x j ( j = 1，…，n ) 根据边界条件，有 y 0 = 0，y n+1 = 0 形成三对角方程组
浅析数值分析在机械工程领域的应用
浅谈数值分析在机械工程领域的应用 摘要：MATLAB是目前国际上最流行的科学与工程计算的软件工具, 它具有强大的数值分析、矩阵运算、信号处理、图形显示、模拟仿真和最优化设计等功能。本文浅谈MATLAB在机械设计优化问题的几点应用。 关键词：MATLAB 约束条件机械设计优化数值分析 引言：在线性规划和非线性规划等领域经常遇到求函数极值等最优化问题，当函数或约束条件复杂到一定程度时就无法求解，而只能求助于极值分析算法，如果借助计算器进行手工计算的话，计算量会很大，如果要求遇到求解极值问题的每个人都去用BASIC,C和FORTRAN之类的高级语言编写一套程序的话，那是非一朝一日可以解决的，但如用MATLAB语言实现极值问题的数值解算，就可以避免计算量过大和编程难的两大难题，可以轻松高效地得到极值问题的数值解，而且可以达到足够的精度。 数值分析是一门研究如何在计算机上求解数学问题算法的学科,主要内容有:误差分析,插值法,数值微积分,数值代数, 矩阵计算和微分方程数值解法等, 是工科各专业大学本科及研究生中开设的一门计算量大,算法多,实践性比较强的专业课。在长期的教学实践中,数值分析课程常采用C语言进行教学和实验, 要求学生既要对算法有充分了解,又要熟练掌握C语言的语法和编程技巧, 导致学生和教师将大量的时间和精力都花在繁琐的数值计算以及对各种结果绘图上面，学习效果往往令人不满意。M a t l a b 是M a t h W o r k s 公司开发的一款以数值计算为主要特色的数学工具软件, 在数值计算领域独领风骚。其所带强大的符号运算功能, 几乎包括高等数学所涉及的运算, 如求极限、导数、微分、积分、函数的级数展开、解常微分方程等等, 并且样条工具箱中的命令调用格式极为简单方便, 对工科学生来说, 掌握起来无需费多大力气, 而对机械系等理工科系的同学,通过初步了解M a t l a b还可以进一步挖掘其强大的功能, 对学习其他课程也有帮助。本文讨论基于matlab在机械方面的数值分析。 一．数值分析方法的研究 1、数值分析方法意义
华南理工大学数值分析试题-14年下-C
华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。
（1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。
（1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。
数值分析算法在matlab中的实现
数值分析matlab实现高斯消元法： function[RA,RB,n,X]=gaus(A,b) B=[A b];n=length(b);RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end if RA==RB if RA==n disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1); for p=1:n-1 for k=p+1:n m=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1); end end b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); end else disp('请注意：因为RA=RB
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；
数值分析论文
题目：论数值分析在数学建模中的应用 学院: 机械自动化学院 专业: 机械设计及理论 学号: 学生姓名: 日期: 2011年12月5日
论数值分析在数学建模中的应用 摘要 为了满足科技发展对科学研究和工程技术人员用数学理论解决实际的能力的要求，讨论了数值分析在数学建模中的应用。数值分析不仅应用模型求解的过程中，它对模型的建立也具有较强的指导性。研究数值分析中插值拟合，解线性方程组，数值积分等方法在模型建立、求解以及误差分析中的应用，使数值分析作为一种工具更好的解决实际问题。 关键词 数值分析；数学建模；线性方程组；微分方程 the Application of Numerical Analysis in Methmetical Modeling Han Y u-tao 1 Bai Y ang 2 Tian Lu 2 Liu De-zheng 2 （1 College of Science ，Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134 2 College of Science ，Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134) Abstract In order to meet the technological scientific researchers who use mathematical theory to solve practical problems, the use of numerical analysis in mathematical modeling is discussed.Numerical analysis not only solve the model,but also relatively guide the model.Research on some numerical methods in numerical analysis which usually used in mathmetical modeling and error analysis will be a better way to solve practical problems. Key Words Numerical Analysis ；Mathematical Modeling; Linear Equations ；differential equation 1. 引言 数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合[1]。随着科学技术的迅速发展，运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。数学建模是数值分析联系实际的桥梁。在数学建模过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、拟合法等，那么如何在数学建模中正确的应用数值分析内容，就成了解决实际问题的关键。 2. 数值分析在模型建立中的应用 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。例如，人口普查统计是一个时段的人口增长量，通过这个时段人口数量变化规律建立离散模型来预测未来人口。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。 以非负整数k 表示时间，记k x 为变量x 在时刻k 的取值，则称k k k x x x -=?+1为k x 的一阶差分，称k k k k k x x x x x +-=??=?++1222)(为k x 的二阶差分。类似课求出k x 的n 阶差分k n x ?。由k ，k x ，及k x 的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k 周末体重为)(k w ，第k 周吸收热量为)(k c ，热量转换系数α，代谢消耗系数β，在不考虑运动情况下体重变化的模型
浅谈数值分析在数学建模中模型求解的应用
浅谈数值分析在数学建模模型求解中的应用 姓名：孙亚丽 学号：2013G0602015 专业：计算机技术 1. 引言 数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合[1]。随着科学技术的迅速发展，运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。数学建模是数值分析联系实际的桥梁。在数学建模过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、拟合法等，那么如何在数学建模中正确的应用数值分析内容，就成了解决实际问题的关键。 2.数值分析在模型求解中的应用 2.1．插值法和拟合法在模型求解中的应用 2.1.1．拟合法求解 在数学建模中，我们常常建立了模型，也测量了（或收集了）一些已知数据，但是模型中的某些参数是未知的，此时需要利用已知数据去确定有关参数，这个过程通常通过数据拟合来完成。最小二乘法是数据拟合的基本方法。其基本思想就是：寻找最适合的模型参数，使得由模型给出的计算数据与已知数据的整体误差最小。 假设已建立了数学模型),(c x f y =，其中，T m c c c c ),,,(21 =是模型参数。已有一组已知数据),(1,1y x ，),(22y x ，…，),(,k k y x ，用最小二乘确定参数c ，使 ∑=-=k i i i c x f y c e 12)),(()(最小。 函数),(c x f 称为数据),,2,1)(,(,k i y x i i =的最小二乘拟合函数。如果模型函数),(c x f y =具有足够的可微性，则可用微分方程法解出c 。最合适的c 应满足必要条件m j c c x f c x f y c c e k i j i i i j ,,2,1,0),()),((2)(1 ==??--=??∑=。 2.1.2．插值法求解 在实际问题中，我们经常会遇到求经验公式的问题，即不知道某函数)(x f y =的具体表达式，只能通过实验测量得到该函数在一些点的函数值，即已知一部分精确的函数值数据),(1,1y x ，),(22y x ，…，),(,k k y x 。要求一个函数 )(i i x y ?=，k i ,,1,0 =， （2） 这就是插值问题。函数)(i i x y ?=称为)(x f 的插值函数。),,1,0(k i x i =称为插值节点，式（2）称为插值条件[2]。多项式插值是最常用的插值方法，在工程计算中样条插值是非常重要的方法。 2.2.模型求解中的解线性方程组问题 在线性规划模型的求解过程中，常遇到线性方程组求解问题。线性方程组求解是科学计算中用的最多的，很多计算问题都归结为解线性方程组，利用计算机求解线性方程组的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是将线性方程组转化为便于求解的三角线性方程组，再求三角线性方程组，理论上直接在有限步内求
西北工业大学数值分析(附答案)
西北工业大学数值分析习题集 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设 028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =-
数值分析在生活中的应用举例及Matlab实现
Matlab 实验报告 学院：数学与信息科学学院班级：信息班 学号：20135034027 姓名：马永杉
最小二乘法，用MATLAB实现 1.数值实例 下面给定的是郑州最近1个月早晨7：00左右的天气预报所得到的温度，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。下面用MATLAB编程对上述数据进行最小二乘拟合。 2、程序代码 x=[1:1:30]; y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9 ,7,6,5,3,1]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合% a2= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合% a3= polyfit(x,y,15) %十五次多项式拟合% b1=polyval(a1,x) b2=polyval(a2,x) b3=polyval(a3,x) r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和% r2= sum((y-b2).^2) %九次次多项式误差平方和% r3= sum((y-b3).^2) %十五次多项式误差平方和% plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像% hold on plot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像% hold on plot(x,b2, 'g') %用绿色线画出x,b2图像% hold on plot(x,b3, 'b:o') %用蓝色o线画出x,b3图像% 2.流程图
4．数值结果分析 不同次数多项式拟合误差平方和为： r1=67.6659 r2=20.1060 r3=3.7952 r1、r2、r3分别表示三次、九次、十五次多项式误差平方和。 5、拟合曲线如下图
数值分析5-1
3.复化求积公式的收敛性与收敛阶 定义：设有一个复化求积公式)(f I n ，如果存在与步长h 无关的非零常数c ，使得 1 ) ()(lim +→-p n h h f I f I =c 则称求积公式)(f I n 是p 阶收敛的. 显然，从复化梯形公式和复化Simpson 公式的余项可以看出，)(f T n 是二阶收敛的，而)(f S n 是4阶收敛的. 对插值型求积公式的收敛性，我们不作证明地给出如下结论： 定理：设)(x f 在区间],[b a 上黎曼可积，则当插入分点无限增多，即∞→n 且0→h 时，)(f T n 与 )(f S n 收敛到积分?b a dx x f )(. 最后，我们介绍一下步长的自动选择问题.由上面的收敛性定理可知：加密节点可以提高求积公式的精度.但在使用之前必须给出合适的步长，这却是一个难题.步长取得太大，满足不了精度要求，步长取得太小，又增加了不必要的运算.在计算机上通常采用将区间逐次二等分，反复利用求积公式进行计算，直到所求得前后二次积分的差满足精度为止. §5.3 Gauss 求积公式 前面讨论的对积分 ? b a dx x f )(的插值型求积公式)(f I n =∑=n k k k x f A 0 )(中，其节点0x ，1x ，…，n x 是给定的且使)(f I n 至少具有n 次代数精度.这样实际上是限定了求积公式的代数精度，若求积点 ),,2,1,0(n k x k =也可任意选取，则求积公式中含有22+n 个待定参数),,2,1,0(,n k A x k k =，适 当选取这些参数可使求积公式具有12+n 次代数精度，称这种用1+n 个求积点而具有12+n 次代数精度的求积公式为高斯求积公式，1+n 个求积点称为高斯点. 1Exp 对于积分?-1 1 )(dx x f 构造求积公式 ? -1 1 )(dx x f ≈)(00x f A +)(11x f A 使其至少有代数精度3次. 解：按要求，为了使求积公式具有3次代数精度，分别令1)(=x f ，x ，2x ，3 x 代入上式有 1)(=x f ，?0A +1A =2 ① x x f =)(，?0A 0x +1A 1x =0 ② 2)(x x f =，?0A 20x +1A 21x = 3 2 ③ 3)(x x f =，?0A 30x +1A 3 1x =0 ④ 由②得：（0A +1A ）0x +1A （1x -0x ）=0，利用 ①得
数值分析在材料研究中的应用
数值分析在复合材料研究中的应用 摘要数值分析（有限元、插值多项式等）在材料研究中计算细观力学及物性常数等是近十年来计算力学等发展的主要特征和推动力，本文综述了有限元、插值多项式等方法应用于复合材料力学等行为分析研究方面的进展，并对其设计前景进行了展望。 关键词有限元插值多项式复合材料数值分析 1引言 复合材料的就位特性、各向异性和呈层性所产生的各种复杂的力学现象,使得有限元计算技术对于求解复合材料及其结构的力学问题得到了相当广泛的应用。在这一领域可分为两个分支:一是有限元法应用于复合材料结构(如板、壳等)力学问题;二是有限元技术应用于复合材料细观力学行为的模拟分析。前者追求真实工程环境下的工程结构问题的解决,后者侧重于材料细观结构与力学性能的关系分析。有限元法与细观力学和材料科学相结合产生了有限元计算细观力学。作为细观计算力学的最主要的组成部分,有限元计算细观力学的发展一直是近十年来细观计算力学发展的主要特征和推动力。它主要研究组分材料间力的相互作用和定量描述细观结构与性能间的关系。由于复合材料综合了不同单相材料的长处,对其材料力学行为的有意义的研究必须借助于细观力学进行。界面行为,损伤和动态行为对复合材料尤为重要。因此,有限元计算细观力学在求解复合材料细观力学问题中的应用正是在70年代随着细观力学的起飞而发展起来的。但是,该领域却是在80年代末随着计算材料科学或称计算机辅导材料设计兴起而真
正得到迅猛发展。这主要由于下述因素促成的:(1)细观力学理论解析的方法,至今还主要限于解决复合材料有效刚度混合效应的问题,尚不能解决与复杂损伤强度相关的协同效应、非比例加载响应和其有尖棱角(非旋转体)增强相的细观结构等问题;(2)复合材料在力学加载下的细观结构信息不可能在实验中以系统的方法获得;(3)超级计算机的发展和有限元计算软件的商业化,基本克服了有限元细观计算力学的最大缺点--输入数据工作量大和花费比较长的计算机时;(4)最重要的还是在于有限元细观计算力学方法能够描述复合材料的细观结构对宏观响应的影响的关系,使得特别设计的细观结构对载荷是如何响应和如何失效的问题可以进行数值模拟。有限元细观计算力学的最大优点在于它能够获得纤维(或颗粒)直径尺度下的完整的应力-应变场来反映复合材料宏观应力-应变响应特征。这样,它能够分析宏观有效性能对细观结构的依赖关系。例如:能定量描述诸如纤维(或颗粒)的形状、尺寸、分布和体积含量等这些细观结构参量对宏观力学性能的影响。而这些优点正是计算材料科学在材料细观结构设计时所必需的。在复合材料结构设计中,可以控制界面条件,纤维-基体的排列方式,颗粒(纤维)的形状和尺寸,这样就可能修改其强度和其他有关的力学性质,满足指定的功能要求。这种在计算机指导下设计具有特殊性能的复合材料细观结构的要求给有限元计算细观力学发展提供了机会和挑战。另外别的一些数值分析方法如插值多项式等也得到了长足的发展。 2有限元在复合材料研究中的应用 复合材料有效性能
常州大学数值分析
4.(1)T=1/2(3+1)=2 S=1/6(3+8+1)=2 计算其准确的结果为2 与精确值比较，T的误差为0 S的误差为0 7（1）复合梯形公式T2n的matlab 实现： function I= trapezoid(fun,a,b,n) n=2*n; h=(b-a)/(n-1); x=a:h:b; f=feval(fun,x); I=h* (0.5*f(1)+sum(f(2:n-1))+ 0.5*f(n)); function trapezoid_and_sinpsom clc; format long syms x Iexact= int(x*exp(x^2),x,0,1); a=0; b=1; for n=2:1:4 t=trapezoid(@f,a,b,n) s=simpson(@f,a,b,n) err1=vpa(Iexact-t,5) err2=vpa(Iexact-s,5) end function y=f(x)y= x*exp(x^2); return 从而得出的结果： n=2 t=1.000576811286697 s=0.860997139578795 err1=-0.14144 err2=-0.0018562 n=3 t=0.923798756293777 s=0.859533825596209 err1=-0.064658 err2=-0.00039291 n=4 t=0.895892057505771 s=0.859268455239111 err1=-0.036751 err2=-0.00012754 13.function [Dc,err]=dfDc(f,x0,h) d0=1/x0; Dc=(f(x0+h)-f(x0-h))/(2*h); err=Dc-d0; return function [Sc,err]=dfSc(f,x0,h) d0=1/x0; Sc=4/3*dfDc(f,x0,h/2)... -1/3*dfDc(f,x0,h); err=Sc-d0; return function [Cc,err]=dfCc(f,x0,h) d0=1/x0; Cc=16/15*dfSc(f,x0,h/2)... -1/15*dfSc(f,x0,h); err=Cc-d0;return f=@(x)log(x); x0=2;h=0.1; [Dc,err]=dfDc(f,x0,h) [Sc,err]=dfSc(f,x0,h) [Cc,err]=dfCc(f,x0,h) Dc=0.500417292784913 err=4.172927849132035e-04 Sc=0.499999843400513 err= -1.565994868224507e-07 Cc=0.500000000017481 err=1.748101663423540e-11 14. 3.示位法的MATLAB实现：Function [c,k]=fapo(f,a,b,epsilon,max1) Use false position to find the toot of function Input:f=the function a,b=left and right brachets of root
数值分析论文 (16)
浅谈数值分析在数学建模中的应用 摘要 为了满足科技发展对科学研究和工程技术人员用数学理论解决实际的能力的要求，讨论了数值分析在数学建模中的应用。数值分析不仅应用模型求解的过程中，它对模型的建立也具有较强的指导性。研究数值分析中插值拟合，解线性方程组，数值积分等方法在模型建立、求解以及误差分析中的应用，使数值分析作为一种工具更好的解决实际问题。 关键词 数值分析；数学建模；线性方程组；微分方程 1. 引言 数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究 并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合[1]。随着 科学技术的迅速发展，运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。数学建模是数值分析联系实际的桥梁。在数学建模过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、拟合法等，那么如何在数学建模中正确的应用数值分析内容，就成了解决实际问题的关键。 2. 数值分析在模型建立中的应用 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。例如，人口普查统计是一个时段的人口增长量，通过这个时段人口数量变化规律建立离散模型来预测未来人口。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。 以非负整数k 表示时间，记k x 为变量x 在时刻k 的取值，则称k k k x x x -=?+1为k x 的一阶差分，称k k k k k x x x x x +-=??=?++1222)(为k x 的二阶差分。类似课求出k x 的n 阶差分k n x ?。由k ，k x ，及k x 的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k 周末体重为)(k w ，第k 周吸收热量为)(k c ，热量转换系数α，代谢消耗系数β，在不考虑运动情况下体重变化的模型为)()1()()1(k w k c k w k w βα-++=+[2]， ,2,1,0=k ，增加运动时只需将β改为ββ+1，1β由运动的形式和时间决定。 此外，在研究经济变化趋势，人口增长等问题时，都要按照一定的周期建立差分模型。这样，连续模型就通过数值分析中研究的对象——差分方程，转化成离散模型，简化了求解过程。 3.数值分析在模型求解中的应用 3.1．插值法和拟合法在模型求解中的应用 3.1.1．拟合法求解 在数学建模中，我们常常建立了模型，也测量了（或收集了）一些已知数据，但是模型中的某些参数是未知的，此时需要利用已知数据去确定有关参数，这个