高考抛物线强化训练专题汇总,高中数学抛物线试题及答案解析

高中数学抛物线习题精选(带答案)

抛物线习题精选 一、选择题 1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）． A．45°B．60°C．90°D．120° 2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）． A．1条B．2条C．3条D．4条 3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若 ，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）． A．B．C．D． 4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（） A．B．C．D． 5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（） A．B．C．D． 6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（） A．4 B．－4 C．D．

7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（） A．B． C．D． 8．当时，关于的方程的实根的个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（） A．－1 B．1 C．7 D．9 10．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定 11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（） A．10 B．8 C．6 D．4 12．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（） A．小于B．等于C．大于D．不能确定 13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0） 14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（） A．1 B．C．2 D．

高三数学-抛物线专题复习

抛物线 平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2＝2px (p>0) y 2＝－2px(p>0) x 2＝2py(p>0) x 2＝－2py(p>0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 & 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 $ 焦点 F ????p 2，0 F ??? ?－p 2，0 F ? ???0，p 2 F ??? ?0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 。 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 - 向上 向下 题型一 抛物线的定义及应用 例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标. 》

变式练习 1.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为() 题型二抛物线的标准方程和几何性质 例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程. * 变式练习 2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为() ＝±4x ＝±8x ＝4x ＝8x 变式练习 3.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于() ∶ 5 ∶2 ∶ 5 ∶3 题型三抛物线焦点弦的性质 … 例3设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O. ：

高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。 方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于ｘ轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 １、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12,离心率为 54 ; （2） 焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y

解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。 又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +,

高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)

圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： （1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ； （2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ； （3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ； （4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点

抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ； （3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ； （6）焦点： )0,2(p F ； （7）准线： 2p x - =； （8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =； （11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=

高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

一． 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0( p ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出

b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2 122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y = =+=--， 即0 y p k AB = ， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存 在，且不等于零）

高中数学专题：抛物线

抛物线专题复习 通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：d 2= AB 为抛物线px y 22 =的焦点弦，则=B A x x 4 2p ，=B A y y 2 p -，||AB =p x x B A ++ 考点1 抛物线的定义 [例1 ]已知点P 在抛物线x y 42 =上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程 [例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-； (2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质 [例3 ]设B A ,为抛物线px y 22 =上的点,且O AOB (2 π = ∠为原点),则直线AB 必过的定点坐标为_______ [例4 ]设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -， 作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=?→ → FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 二．基本题型 1．过抛物线x y 42 =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果621=+x x ，那么||AB =( )

（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4 2．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()() P x y P x y ，，，，33 3()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+ B ． 3 21y y y =+ C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+ 3．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 4．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，则=+| |1 ||1QF PF （ ） （A ）a 2 （B ） a 21 （C ）a 4 （D ）a 4 5．已知抛物线C ：24y x =的焦点为,F 准线为,l 过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△ AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3：1，则点A 的坐标为( ) A ．(2,22) B ．(2，－22) C ．(2，±2) D ．(2，±22) 6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A （ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 7．两个正数a 、b 的等差中项是 9 2 ，一个等比中项是,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为（ ） A ．1 (0,)4- B ．1(0,)4 C ．1(,0)2- D ．1(,0)4 - 8．抛物线,42 F x y 的焦点为=准线为l l ,与x 轴相交于点,E 过F 且倾斜角等于3 π 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点,,l AB A ⊥垂足为,B 则四边形ABEF 的面积等于（ ） A ．33 B ．34 C ．36 D ．38 9．已知抛物线C ：2 1 2 x y = ,过点(0,4)A -和点(,0)B t 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( ) A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B. (,()22 -∞+∞ C ．(,)-∞-+∞ D ．(,)-∞-+∞ 10．如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线2 4y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21* ∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）． A ．5 B ．6 C ． 7 D ．9 11．设O 是坐标原点，F 是抛物线2 4y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60 ，则OA 为 ． 12．若直线10ax y -+=经过抛物线2 4y x =的焦点，则实数a =

高中数学双曲线抛物线知识点总结

高中数学双曲线抛物线知 识点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨 迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a => (1)c e e a => 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲 线22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 5 4 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； _x _y _x _y

（3） 与双曲线22 1916 x y - =有公共渐进线，且经过点() 3,23A -。 解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==5 4 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x - =。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴222144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 233 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和 （0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥ 4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。

2019人教版 高中数学【选修 2-1】专题05解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题特色专题训练

2019人教版精品教学资料·高中选修数学 一、选择题 1．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】已知点P 是抛物线2 2y x =上的一个动点，则点 P 到点()0,2A 的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ） A . 9 2 B C . 2 D . 2 【答案】D 2．【吉林省舒兰一中2017-2018学年高二上学期期中】如图，已知椭圆 22 13216 x y +=内有一点()122,2,B F F 、是其左、右焦点， M 为椭圆上的动点，则1MF MB +的最小值为（ ） A . B . C . 4 D . 6 【答案】B 【解析】() 122MF MB a MF MB +=-- 2 2BF a ≥-→ == 当且仅当2,,M F B 共线时取得最小值故答案选B

3．【北京朝阳垂杨柳中学2016-2017学年高二上学期期中】已知经过椭圆 22 12516 x y +=右焦点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1AF B 的周长等于（ ） A . 20 B . 10 C . 16 D . 8 【答案】A 【解析】因为椭圆的方程为 22 12516x y +=，所以由椭圆的定义可得1212210,210AF AF a BF BF a +==+==， 1ABF ∴?周长为112220AF BF AF BF +++=，故选A . 4．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中】设为定点，动点满 足 |，则动点的轨迹是（ ） A . 椭圆 B . 直线 C . 圆 D . 线段 【答案】D 5．【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考】已知椭圆： 22 2 1(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ） A . 1 B C . 3 2 D 【答案】D 【解析】试题分析：由椭圆定义，得2248AB AF BF a ++==，所以当线段AB 长度达最小值时， 22BF AF +有最大值．当AB 垂直于x 轴时， 22 2min ||222 b b AB b a =?=?=，所以22BF AF +的最大 值为2 85b -=，所以23b =，即b = D ． 考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系． 【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定

高中数学抛物线的一个重要模型(模型解题法)

【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型 【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于A B 、两点，则称线段AB 为抛物线的焦点弦。 过抛物线)0(22 >=p px y 的焦点弦,A B 分别抛物线准线l 的垂线，交l 构成直角梯形ABCD （图1）.些重要结论呢? 【模型示例】设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥o 轴（）时，称弦AB 为通径。 例1. 求通径长. 例2． 求焦点弦AB 长. 例3. 求AOB ?的面积. 例4. 连,(2)CF DF CF DF ⊥，求证图. 例5. 设准线l 与x 轴交于点E ，求证：FE 是CE 与DE 的比例中项， 即 2 FE CE DE =?. 例6. 如图3，直线AO 交准线于C ，求证：直线 x BC //轴. （多种课本中的题目） 例7．设抛物线)0(22 >=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点.点C 在抛物线的准线上，且x BC //轴. 证明直线AC 经过原点. 例8. 证明：梯形中位线MN 长为 2sin p θ . 例9. 连,AN BN AN BN ⊥、图（5），证明：. 例10. 求证：以线段AB 为直径的圆与准线相切. 例11. 连NF ，证明：NF ⊥AB ，且2 NF AF BF =?. 例12. 已知抛物线y x 42 =的焦点为F ，AB 是抛物线的焦点弦，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M. （I ）证明：点M 在抛物线的准线上； （Ⅱ）求证：FM →· AB → 为定值；

【模型解析】 设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥o 轴（）时，称弦AB 为通径。 例1 求通径长. 解： 由于=90AB x θ⊥o 轴（），)0,2 ( p F ， ∴ 当2 p x - =时，代入)0(22 >=p px y 中，得22,.B y p p y p ===-A ，故y ∴ 2AB p =. 例2 求焦点弦AB 长. 解法一：设),(),,(2211y x B y x A ，当90AB θ≠o p 时，设直线的方程为:y=k(x-).2 由22, () 2y px p y k x ?=??=-??得22222 (2)04p k k x p k x -++=， ......① ∴ 1222 (1)x x p k +=+ . ......② Q =AB AF BF AD BC =++，准线方程2 p x -=， ∴ 1212()22 p p AB x x x x p =+++=++. 由②知，2 22.p AB p k =+ ......③ 当90θ=o ，由（一）知2AB p =. 说明：Q tan k θ= ∴ 22222222 11cos sin cos 1 111.tan sin sin sin k θθθθθθθ ++=+=+== 因此，由 ③ 得22122(1).sin p AB p k θ =+ = 特别，当902,AB p θ==o 时，上式为是通径长。 解法二：设),(),,(2211y x B y x A . 902;AB p θ==o 时，上式为 90AB θ≠o 时，设直线的方程为11 ()2tan p x my m k θ =+ ==其中.

高中数学抛物线知识点归纳总结与经典习题

抛物线经典结论和例题

焦 点弦 长 AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦 AB 的几条性质 11(,) A x y 22(,) B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α= 若AB 的倾斜角为α ，则22cos p AB α = 2 124 p x x = 212y y p =- 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? 切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+ 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） o x ()22,B x y F y ()11,A x y

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点 ),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+=

高中数学复习-抛物线知识点归纳总结

高中数学复习-抛物线 抛 物 线 ) 0(22>=p px y )0(22>-=p px y ) 0(22>=p py x )0(22>-=p py x 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离} 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性 关于x 轴对称 关于y 轴对称 焦点 (2 p ,0) (2 p - ,0) (0, 2 p ) (0,2 p - ) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率 e =1 准线 方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 1. 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，有两不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，有一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2 12 212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1 或 212 2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点坐标 ),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点 为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--， 即0 y p k AB = ， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

高中数学抛物线解题方法总结归纳

圆锥曲线抛物线 知识点归纳 1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线 的准线． 2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：2 p OF OK ==。 3抛物线标准方程的四种形式： ，，px y px y 2222-==。，py x py x 2222-== 特点：焦点在一次项的轴上，开口与“±2p ”方向同向 4抛物线px y 22=的图像和性质： ①焦点坐标是：?? ? ??02， p ，②准线方程是：2p x -=。 ③焦半径公式： （称为焦半径）是：02 p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222 p p PQ x x x x p =+ ++=++ ⑤抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2(2,2)P pt pt 5一般情况归纳：题型讲解 （1）过点（－3，2）的抛物线方程为 ；y 2=－3 4x 或x 2=2 9y ， （2）焦点在直线x －2y －4=0 y 2=16x 或x 2=－8y ，

（3）抛物线 的焦点坐标为 ； （4）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点 到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ； 或 或 . （5）已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MF MA +最小时,M 点坐标是 )4,2( 例2．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A B 、两点,求线段AB 的长． 解：法一 通法 法二 设直线方程为1y x =-， 1122(,)(,)A x y B x y 、， 则由抛物线定义得1212||||||||||22p p AB AF FB AC BD x x x x p =+=+=+++=++， 又1122(,)(,)A x y B x y 、是抛物线与直线的交点，由24, 1, y x y x ?=?=-?得2610x x -+=， 则126x x +=，所以||8AB =． 例3．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 证明：（法一）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2 p x =-．设以过焦点F 的弦AB 为直径的圆的圆心M ，A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ， 则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+=， 又111||||2||AA BB MM +=， ∴11 ||||2 MM AB =，即1||MM 为以AB 为直径的圆 的半径，且准线1l MM ⊥， ∴命题成立． （法二）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2 p F ， 准线2 p x =-．过点F 的抛物线的弦的两个端点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的 中点00(,)M x y ，则1212||22 p p AB x x x x p =+++=++， ∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径1211 ||()22 r AB x x p ==++． M 1M

高中数学抛物线经典性质的总结

抛物线

焦点弦长 AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦 AB 的几条性质 11(,) A x y 22(,) B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α= 若AB 的倾斜角为α ，则22cos p AB α = 2 124 p x x = 212y y p =- 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? 切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+ 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） （4） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： o x ()22,B x y F y ()11,A x y

???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--， 即0 y p k AB = ， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点

高考数学抛物线试题汇编

第三节 抛物线 高考试题 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2010年陕西卷, 理8)已知抛物线y 2 =2px(p>0)的准线与圆x 2 +y 2 -6x-7=0相切, 则p 的值为( ) (A) 12 (B)1 (C)2 (D)4 解析:圆x 2 +y 2 -6x-7=0化为标准方程为(x-3)2 +y 2 =16, ∴圆心为(3, 0), 半径是4, 抛物线y 2 =2px(p>0)的准线是x=-2 p , ∴3+ 2 p =4, 又p>0, 解得p=2.故选C. 答案:C 2.(2011年辽宁卷, 理3)已知F 是抛物线y 2 =x 的焦点, A, B 是该抛物线上的两点, |AF|+|BF|=3, 则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) (A) 34 (B)1 (C) 54 (D) 74 解析:∵|AF|+|BF|=x A +x B +12 =3, ∴x A +x B = 52 . ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2 A B x x += 5 4 .故选C. 故选C. 答案:C 3.(2020年四川卷, 理8)已知抛物线关于x 轴对称, 它的顶点在坐标原点O, 并且经过点M(2, y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3, 则|OM|等于( ) (C)4 解析:由题意设抛物线方程为y 2 =2px(p>0), 则M 到焦点的距离为x M + 2p =2+2 p =3, ∴p=2, ∴y 2 =4x.∴ 2 0y =4×2, ∴故选B. 答案:B 4.(2010年上海卷, 理3)动点P 到点F(2, 0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等, 则点P 的轨迹方程是 . 解析:由抛物线的定义知, 点P 的轨迹是以F 为焦点, 定直线x+2=0为准线的抛物线, 故其标准方程为y 2 =8x. 答案:y 2 =8x 5.(2020年陕西卷, 理13)如图所示是抛物线形拱桥, 当水面在l 时, 拱顶离水面2 m, 水面宽4 m.水位下降

高中数学抛物线的常见结论

抛物线的常见结论 一、知识点总结 1. 抛物线的弦长公式 2122122124)(11x x x x k x x k l -+?+=-+=， 其中k 是弦所在直线的斜率，21,x x 是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。 2122122124)(11y y y y m y y m l -+?+=-+=，其中弦长所在直线 方程为b my x +=，21,y y 是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。 2. 抛物线的焦点弦 对于抛物线，022 >=p px y ，，倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，过A,B 做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D ，那么有： ①2212 21,4 p y y p x x -== A B F C D O α

由?????+==222p my x px y 得0222=--p pmy y （＊） ，因此?? ???==-=44)(2222121221p p y y x x p y y ②焦点弦长 p x x AB ++=21，焦点弦长α 2 sin 2P AB = α αsin 4)(sin 212212 1y y y y y y AB -+= -=，结合（＊）式与αtan 1 =m 得： α ααααααααα sin sin sin sin cos 2sin 1tan 12sin 4tan 4sin 442 22222 222 22+= +=+= += p p p p p m p AB α αα22sin 2sin sin 1 2p p == ③ P BF AF 211=+ 简单证明如下:p p p y y p y y P BF AF BF AF BF AF 222sin sin sin 211221212====+=+ααα ④焦点三角形面积α sin 22 P S = 简单证明如下：以 AB 为底，以O 到AB 的距离为高，该三角形面积课表示为： α αααsin 2sin 2sin 221sin 2122p p p OF AB S AOB =??== ⑤焦点弦相关的几何关系： a. 以AF/BF 为直径的圆与y 轴相切 b. 以AB 为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB. c. 以CD 为直径的圆与AB 相切 d. A,B 在准线上的投影对F 的张角为90°，?=∠90CFD