高中概率知识点、考点、易错点归纳
高中数学第十一章-概率知识要点
3.1．随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。
2、不可能事件：把在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。
3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件。
4、随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件。
5、频数：在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数。
6、频率：事件A 出现的比例
()=A n n A n
f
。 7、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
3.1.2 概率的意义
1、概率的正确解释：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。
2、游戏的公平性：抽签的公平性。
3、决策中的概率思想：从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。 ——极大似然法、小概率事件
4、天气预报的概率解释：明天本地降水概率为70%解释是“明天本地下雨的机会是70%”。
5、试验与发现：孟德尔的豌豆试验。
6、遗传机理中的统计规律。
3.1.3 概率的基本性质 1、事件的关系与运算
（1）包含。对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ），记作(B A ??或A B)。 不可能事件记作?。
（2）相等。若B A A B ??且，则称事件A 与事件B 相等，记作A=B 。
（3）事件A 与事件B 的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生。 （4）事件A 与事件B 的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生。 （5）事件A 与事件B 互斥：A B 为不可能事件，即=A B ? ，即事件A 与事件B 在任何一次试验中并不会同时发生。
（6）事件A 与事件B 互为对立事件：A B 为不可能事件，A B 为必然事件，即事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。
2、概率的几个基本性质 （1）0()1P A ≤≤.
（2）必然事件的概率为1.()1P E =. （3）不可能事件的概率为0. ()0P F =.
（4）事件A 与事件B 互斥时，P(A B)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。 （5）若事件B 与事件A 互为对立事件，，则A B 为必然事件，()1P A B = .
3.2 古典概型
3.2.1 古典概型 1、基本事件： 基本事件的特点：（1）任何两个事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本时间的和。
2、古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等。 具有这两个特点的概率模型称为古典概型。 3、公式：()=
A P A 包含的基本事件的个数
基本事件的总数
3.2.2 （整数值）随机数的产生
如何用计算器产生指定的两个整数之间的取整数值的随机数？——书上例题。
3.3 几何概型
3.3.1 几何概型
1、几何概型：每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型。
2、几何概型中，事件A 发生的概率计算公式：
()P A =
构成事件A 的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3.3.2 均匀随机数的产生
常用的是[]0,1上的均匀随机数，可以用计算器来产生0~1之间的均匀随机数。
本章知识小结
（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。
（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
重难点的归纳：
重点：
1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，正确理解概率的意义．
2、理解古典概型及其概率计算公式．
3、关于几何概型的概率计算
4、体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体．
难点：
1、理解频率与概率的关系.
2、设计和运用模拟方法近似计算概率．
3、把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．
（二）高考概率
概率考试内容：随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验．
考试要求：
（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．
（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．
（4）会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．
以下归纳9个常见考点：
解析概率与统计试题是高考的必考内容。它是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等知识为工具，以考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布列性质及其应用为目标的中档师，预计这也是今后高考概率统计试题的考查特点和命题趋向。
下面对其常见题型和考点进行解析。
考点1考查等可能事件概率计算。
在一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A
包含的结果有m个，那么()m
P A
n
。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计n算公式。
高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。
例1（2004 天津）从4名男生和2名女生中任3人参加演讲比赛.
(I)求所选3人都是男生的概率；
(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；
(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.
考点2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算。
不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)计算。
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则A、B叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为AB。用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)计算。
高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。
例2.（2005 全国卷Ⅲ）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率。
考点3 考查对立事件概率计算。
必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。用概率的减法公式
P(A)=1-P(A)计算其概率。
高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。
例3．(2005 福建卷文）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为1
2
2和
5
。
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；
考点4 考查独立重复试验概率计算。
若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做n次独立重复试验。若在1次试验中事件A发生的概率为P，则在n次独立重复试验中，事
件A恰好发生k次的概率为Pn(k)=
n ()(1)
k k n k
n
P A C p p-
=-。
高考结合实际应用问题考查n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。
例4．（2005 湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2。从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）
考点5考查随机变量概率分布与期望计算。
解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。
例5．（2005 湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率。
考点6考查随机变量概率分布列与其他知识点结合
1、考查随机变量概率分布列与函数结合。
例 6.（2005 湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率。
2、考查随机变量概率分布列与数列结合。
例7甲乙两人做射击游戏，甲乙两人射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中，就由对方接替射击。已知甲乙两人射击一次击中的概率均为7，且第一次由甲开始射击。
（1）求前4次射击中，甲恰好射击3次的概率。
（2）若第n次由甲射击的概率为a
n ，求数列{a
n
}的通项公式；求lim a n，并说明极n→∞
限值的实际意义。
3、考查随机变量概率分布列与线形规划结合。
例8（2005 辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品。
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概P(甲)、P(乙)；
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元。设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，y为何值时，z=xEξ + yEη x最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）
考查随机变量概率分布列性质性质应用
考点7 考查随机变量概率分布列性质应用。
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.，高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查。
例9(2004 年全国高考题)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得0分。假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响.。
①求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；
②求这名同学总得分不为负分(即ξ≥0)的概率。
考点8 样本抽样识别与计算。
简单随机抽样，系统抽样，分层抽样得共同特点是不放回抽样，且各个体被抽取得概率
相等，均为n
N
(N为总体个体数，n为样本容量)。系统抽样、分层抽样的实质分别是等距抽
样与按比例抽样，只需按照定义，适用范围和抽样步骤进行，就可得到符合条件的样本。
高考常结合应用问题，考查构照抽样模型，识别图形，搜集数据，处理材料等研究性学习的能力。
例11 （2005 年湖北湖北高考题）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是（）
A．②、③都不能为系统抽样
B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样
D．①、③都可能为分层抽样
考点9 考查直方图。这是统计的知识，不是概率的吧？
例12.（2005 江西卷）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a、b的值分别为（）
A．0,27,78 B．0,27,83 C．2.7,78 D．2.7,83
方法小结：
解决概率问题时，一定要根据有关概念，判断问题是否是等可能性事件、互斥事件、相互独立事件，还是某一事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的情况，以便选择正确的计算方法，同时注意上述各类事件的综合问题，要全面考虑，特别是近几年高考概率与期望的综合，体现了高考对概率知识要求的进一步提高。下面仅以几个例题作以小结。
一、用排列组合求概率
例1从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个三位数不能被3整除的概率为（）
(A)19/54 (B)35/5 (C)38/54 (D)41/60
分析：等可能事件的概率关键是利用排列组合出基本事件数。
答案：B
点评：本题将等可能事件与对立事件的概率，以及分类讨论综合在一起，体现了知识交汇点的命题精神，是高考的热点。
二、互斥事件有一个发生的概率
例2某厂生产A产品,每盒10只进行包装,每盒产品都需要检验合格后才能出厂,规定以下,从每盒10只中任意抽4只进行检验,如果次品数不超过1只,就认为合格,否则就认为不合格,已经知道某盒A产品中有2只次品
（1）求该盒产品被检验合格的概率
（2）若对该盒产品分别进行两次检验,求两次检验的结果不一致的概率
分析：对一个复杂事件的概率可以分拆成几个互斥事件的概率或者转化为求其对立事件的概率。
点评：求相互独立事件同时发生的概率，要保证两者确是“相互独立”事件。本例的“比赛型”题，分析比较简单，只要结合有关比赛规则即可解决，此类题也是高考的热点题。三、对立重复试验
例3一位学生每天骑自行车上学,从他家到学校有5个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的,且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p，其余3个交通岗遇到红灯的概率均为1
。
2
(1) 若p=2/3，求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率;
(2) 若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过5/18，求p的取值范围。
分析：首末两个交通岗遇红灯的概率相同，其余3个交通岗遇红灯的概率也相同，可看作独
立重复试验。
点评：要注意恰有k 次发生和某指定的k 次发生的差异。对独立重复试验来说，前者的概率为
总结：概率初步的考题一般以（1）等可能事件；（2）互斥事件有一个发生；（3）相互独立事件同时发生；（4）独立重复试验为载体。有的考题可能综合多个概率题型；在等可能事件的概率计算中，关键有二：一是谁是一次试验（一次事件所含的基本事件的总数）；二是事件A 所含基本事件数。当然，所有基本事件是等可能的是前提；善于将复杂的事件分解为互斥事件的和与独立事件的积是解题的关键。
（三）高考数学概率中的易错题辨析
一、概念理解不清致错
例1．抛掷一枚均匀的骰子，若事件A ：“朝上一面为奇数”，事件B ：“朝上一面的点数不超过3”，求P （A+B ）
错误解法1：事件A ：朝上一面的点数是1，3，5；事件B ：趄上一面的点数为1，2，
3，∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=
2
16363=+ 错因分析：事件A ：朝上一面的点数是1，3，5；事件B ：趄上一面的点数为1，2，3，很明显，事件A 与事件B 不是互斥事件。
即P （A+B ）≠P （A ）+P （B ），所以上解是错误的。实际上： 正确解法为：A+B 包含：朝上一面的点数为1，2，3，5四种情况
∴P （A+B ）=3
2
64=
错误解法2：事件A ：朝上一面的点数为1，3，5；事件B ：朝上一面的点数为1，2，3，即以A 、B 事件中重复的点数1、3
∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （A ·B ）
=4
321212121=?-+ 错因分析：A 、B 事件中重复点数为1、3，所以P （A ·B ）=6
2
；这种错误解法在于简
单地类比应用容斥原理)()()()(B A Card B Card A Card B A Card -+=致错
正确解答：P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （A ·B ）
=
3
2622121=-+ 例2．某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列}{n a ，使?
??-=)(,1)
(,1次掷出奇数当第次掷出偶数当第n n a n ，记
n n a a a S +++= 21 求)4,3,2,1(0=≥i S i 且28=S 的概率。
错解：记事件A ：28=S ，即前8项中，5项取值1，另3项取值－1
∴28=S 的概率85
8)2
1()(?=C A P
记事件B ：)4,3,2,1(0=≥i S i ，将)4,3,2,1(0=≥i S i 分为两种情形： （1）若第1、2项取值为1，则3，4项的取值任意
（2）若第1项为1，第2项为－1，则第3项必为1第四项任意
∴P （B ）=8
3
)21()21(32=+
∴所求事件的概率为P=P （A ）·P （B ）=8
58)2
1(83??C
错因分析：0≥i S 且28=S 是同一事件的两个关联的条件，而不是两个相互独立事件。
0≥i S 对28=S 的概率是有影响的，所以解答应为：
正解：∵)4,3,2,1(0=≥i S i ∴前4项的取值分为两种情形
①若1、3项为1；则余下6项中3项为1，另3项为-1即可。即83
61)2
1(?=C P ；
②若1、2项为正，为避免与第①类重复，则第3项必为-1，
则后5项中只须3项为1，余下2项为-1，即83
52)2
1(?=C P ，
∴所求事件的概率为783
5362
15)21()(=?+=C C P
二、有序与无序不分致错
例3．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙依次各抽一题。
求：（1）甲抽到选择题，乙提到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？
错误解法：（1）甲从选择题抽到一题的结果为1
6C 乙从判断题中抽到一题的结果为14C 而甲、乙依次抽到一题的结果为210C
∴所求概率为：
15
8210
1
416=
C C C 错因分析：甲、乙依次从10个题目各抽一题的结果，应当是先选后排，所以应为2
10A 。为避免错误，对于基本事件总数也可这样做：甲抽取一道题目的结果应为1
10C 种，乙再抽取余下的9道题中的任一道的结果应为19C 种，所以
正确解答：
15
4
19
1101416=
C C C C （2）错误解法：从对立事件考虑，甲、乙都抽到判断题的结果为2
4C 种，所以都抽到判
断题的概率为
15119
1102
4=
C C C ，所求事件的概率为15
14
1511=- 错因分析：指定事件中指明甲、乙依次各抽一题，那么甲、乙都提到判断题的结果应为
1
314C C 种，所以所求事件概率应为15
2
119
1101
314=
-
C C C C 说明：对于第（2）问，我们也可以用这样解答：
15
2
1210
24=
-
C C ，这里启示我们，当基本事件是有序的，则指定事件是有序的（指定事件包含在基本事件中）；当基本事件是无序的，则指定事件也必无序。关键在于基本事件认识角度必须准确。
例4．已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支，求：A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率。
错解：将8支球队均分为A 、B 两组，共有4
448
C C 种方法：A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的分法为：先从3支弱队取2支弱队，又从5支强队取2支强队，组成这一组共有2
325
C C 种方法，其它球队分在另一组，只有一种分法。
∴所求事件的概率为：
7
3
44
482
225=
C C C C 。 错因分析：从基本事件的结果数来看，分组是讲求顺序的，那么指定事件：“A 、B 组中有一组有2支弱队”应分为两种情形。即“A 组有”或“B 组有”，所以正确解答为：
正解：
76244
482
225=C C C C 或7
6
/2244482225=A C C C C 说明：这道题也可从对立事件求解：
3支弱队分法同一组共有：1515C C +种结果。
∴所求事件概率为7
6
144
481
515=
+-
C C C C 三、分步与分类不清致错
例5．某人有5把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，试问他恰在第3次打开房门的概率？
错误解法：由于此人第一次开房门的概率为
5
1
，若第一次未开，第2次能打开房门的概
率应为
41；所以此人第3次打开房门的概率为3
1。 错因分析：此人第3次打开房门实际是第1次未打开，第2次未打开，第3次打开“这三个事件的积事件” ，或者理解为“开房门是经过未开、未开、开”这三个步骤，不能理解为此事件只有“开房门”这一个步骤，所以，正确解答应为：
正解：第1次未打开房门的概率为54；第2次未开房门的概率为4
3
；第3次打开房门
的概率为31，所求概率为：5
1
314354=??=P 。
例5．某种射击比赛的规则是：开始时在距目标100m 处射击，若命中记3分，同时停止射击。若第一次未命中，进行第二次射击，但目标已在150m 远处，这时命中记2分，同时停止射击；若第2次仍未命中，还可以进行第3次射击，此时目标已在200m 远处。若第3次命中则记1分，同时停止射击，若前3次都未命中，则记0分。已知身手甲在100m 处
击中目标的概率为2
1
，他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立
的。求：射手甲得k 分的概率为P k ，求P 3，P 2，P 1，P 0的值。
：设射手射击命中目标的概率P 与目标距离x 之间的关系
为2x k P =，由已知 5000100212
=?=k k
错误解法：2
1
3=P
92150
50002
2==P 8120050002
1==P 144
49
)811)(921)(211(0=
---=P 错因分析：求P 2时，将第150m 处射击命中目标的概率作为第2次命中目标的概率，隔离了第1次射击与第2次射击的关系，实际上，第2次射击行为的发生是在第1次未击中的前提下才作出的。
∴P 2应为“第1次未击中，第2次击中”这两个事件的积事件的概率。求P1时也如此。
正解：2
1
3=P
91
92)211(2=?-=P
1447
81)921)(211(1=
?--=P 144
49
)811)(921)(211(0=
---=P 四、考虑不周致错
例6．某运动员射击一次所得环数x 的分布列如下：
x 7 8 9 10 P 0.2 0.2 0.2 0.2
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为ξ，求：ξ的分
布列。
错误解法：ξ的取值为8，9，10。ξ=7，两次环数为7,7；ξ=8，两次成绩为7，8或8，8；ξ=9，两次成绩7，9或8，9或9，9；ξ=10，两次队数为7，10或8，10或9，10或10，10。
∴04.02.02.0)7(=?==ξP
15.03.03.02.0)8(2=+?==ξP
23.03.03.03.03.02.0)9(2=+?+?==ξP 2.02.03.03.02.03.02.0)10(2=+?+??==ξP
（分布列略） 错因分析：
8=ξ，即两次成绩应为7，8或8，7或8，8实际为三种情形，
21.03.03.02.02)8(2=+??==ξP
9=ξ两次环数分别为7,9（或9,7）；8,9（或9,8），9.9 ∴
39.03.03.03.023.02.02)9(2=+??+??==ξP
同理36.02.042.03.0212.0)10(22=+??+?==ξP
例7．将n 个球等可能地放入到N （n ×n ）个有编号的盒子中（盒子中容纳球的个数不限）。求A ：某指定的n 个盒子中恰有一球的概率。
错误解法：将n 个球等可能地放入到N 个盒子中，共有N n 种方法。
而指定的n 个盆中各有一球的放法有：n!种，则所求概率：m N
n A P !
)(=
错因分析：这种解法不全面，如果球是有编号的，则答案是对的。若球是不可辨认的，则答案错了，若球是不可辨认的，则若考虑盒子中球的个数而不考虑放的是哪几个球，为此，我们用“□”表示一个盒子；用“○”表示一个球，先将盒子按编号
把n 个球放入N 中盒子中，形如：1010011……10001，正好看作N+1个“1”和n 个“0”
的全排列。由于两边必为“1”所以排法只有n
n N C 1-+种；而指定的n 个盒子中恰有一球的放
法只有1种，故)!
1()!
1(!1
)(1
-+-=
=
-+n N N n C A P n
n N
五、混淆“互斥”与“独立”出错
例8．甲投篮命中概率为0.8，乙投篮命中概率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
错解：设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ，则两人恰好投中2次为A+B 。
所以P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=825.03.07.02.08.0223223
=?+?C C 。
错因分析：本题解答错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑。将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和。
正解：设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ，则两人恰好都投中2次为AB 。
所以P （AB ）=P （A ）×P （B ）=169.03.07.02.08.022
3223=???C C
六.混淆有放回与不放回致错
例9．某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求： （1）恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；
（2）恰好到第k 次3只次品全部被测出的概率)(k f 的最大值和最小值。
错解：（1）P （A ）=144
1
61758792103=
???? （2）21.0)10
31(103)3(2355=-?=C P 。
错因分析：错解（1）的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不独立的；而错解（2）的错误的原因则在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球袋内球的总数是变的（比前一次少一个）。
正解：（1）20
15
4
271310
3
44
3
=
??=
A A C C P （2）),103(),2)(1(240
1
1
1
3143
4
37
433
Z k k k k A C C P k k k ∈≤≤--=
??=
--- 当3=k 时，1201)3(min )]([==f k f ； 当3=k 时，10
3
)10(max )]([==f k f 。
高中数学知识点易错点梳理
高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理 一、集合、简易逻辑、函数 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜ x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜ y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论 了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2， 12-n ， 12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中 7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。{21,}{41,}M x x k k x x k k ==+∈==±∈Z Z 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几 种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质： ①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. ②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称. ③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数． ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数． ⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数 ()a x f y +=()0(a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数 ()x f y =+a )0( 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高一数学知识点梳理最新五篇 高一数学知识点总结1 如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系? 平行或异面。 若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何? 无数条;平行。 如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面β与平面α相 交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何?为什么? 平行;因为a∥α，所以a与α没有公共点，则a与b没有公共点，又a与b在同一平面β内，所以a与b平行。 综上分析，在直线a与平面α平行的条件下我们可以得到什么 结论? 如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 高一数学知识点总结2 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的 元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当 于集合的名字，没有任何实际的意义。 将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如： A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。 1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……} 2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法 叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的 元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0 3.图示法(venn图)﹕为了形象表示集合，我们常常画一条封闭 的曲线(或者说圆圈)，用它的内部表示一个集合。集合 自然语言常用数集的符号： (1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记 作N;不包括0的自然数集合，记作N_ (2)非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作Z+;负整数 集内也排除0的集，称负整数集，记作Z- (3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z (4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-) (5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-) (6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律 A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根 律集合 Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研 究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A 的元素个数记为card(A)。 高中数学知识点易错点梳理一集合与简易逻辑 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); （1） 已知集合A={x,xy,lgxy},集合，B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。 （2）已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2 +1,x ∈R},求M ∩N ； 与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的 子集B A ?时是否忘记?. 例如：（3）()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨 论了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次 为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有_____个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; （5）某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌，跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有_____________种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。（6）},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: p q P 且q P 或q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 9、 命题的四种形式及其相互关系 互 逆 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若﹃ｐ则﹃q 逆否命题 若﹃ｑ则﹃ｐ 高二数学易错知识点归纳五篇 高二这一年，是成绩分化的分水岭，成绩会形成两极分化：行则扶摇直上，不行则每况愈下。下面就是给大家带来的高二数学知识点，希望能帮助到大家！ 高二数学知识点1 1.不等式证明的依据 (2)不等式的性质(略) (3)重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R) ②a2+b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号) 2.不等式的证明方法 (1)比较法：要证明ab(a0(a-b0)，这种证明不等式的方法叫做比较法. 用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号. (2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法. (3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法. 证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等. 高二数学知识点2 第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。 第二章：基本初等函数：指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像。函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习基本就没多大问题。函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及 高中数学高考易错知识点归纳 忽视零截距致误 解决有关直线的截距问题时应注意两点：一是求解时一定不要忽略截距为零这种特殊 情况;二是要明确截距为零的直线不能写成截距式。因此解决这类问题时要进行分类讨论，不要漏掉截距为零时的情况。 忽视圆锥曲线定义中条件致误 利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件。如在双 曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值;其二，2a<|F1F2|。如果不满足第一 个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是 双曲线的一支。 误判直线与圆锥曲线位置关系 过定点的直线与双曲线的位置关系问题，基本的解决思路有两个：一是利用一元二次 方程的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零，当二次项 系数为零时，直线与双曲线的渐近线平行或重合，也就是直线与双曲线最多只有一个交点;二是利用数形结合的思想，画出图形，根据图形判断直线和双曲线各种位置关系。在直线 与圆锥曲线的位置关系中，抛物线和双曲线都有特殊情况，在解题时要注意，不要忘记其 特殊性。 两个计数原理不清致误 分步加法计数原理与分类乘法计数原理是解决排列组合问题最基本的原理，故理解 “分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提，在解题时，要分析计数对象的本质 特征与形成过程，按照事件的结果来分类，按照事件的发生过程来分步，然后应用两个基 本原理解决.对于较复杂的问题既要用到分类加法计数原理，又要用到分步乘法计数原理，一般是先分类，每一类中再分步，注意分类、分步时要不重复、不遗漏，对于“至少、至多”型问题除了可以用分类方法处理外，还可以用间接法处理。 排列、组合不分致误 为了简化问题和表达方便，解题时应将具有实际意义的排列组合问题符号化、数学化，建立适当的模型，再应用相关知识解决.建立模型的关键是判断所求问题是排列问题还是 组合问题，其依据主要是看元素的组成有没有顺序性，有顺序性的是排列问题，无顺序性 的是组合问题。 混淆项系数与二项式系数致误 高中数学 必修3知识点 第一章 算法初步 一，算法与程序框图 1，算法的概念：按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。 2，算法的三个基本特征：明确性，有限性，有序性。 （1）顺序结构：顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。 （2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 （3）循环结构：直到型循环结构，当型循环结构。一个完整的循环结构，应该包括三个内容：1）循环体；2）循环判断语句；3）与循环判断语句相关的变量。 二，基本算法语句（一定要注意各种算法语句的正确格式） 1，输入语句 2，输出语句 3，赋值语句 注意：“=”的含义是赋值，将右边的值赋予左边的变量 4，条件语句 5，循环语句： 直到型 当型 注意：提示内容用双引号标明，并 与变量用分号隔开。 三，算法案例 1，辗转相除法： 例：求２１４６与１８１３的最大公约数 ２１４６＝１８１３×１＋３３３ １８１３＝３３３×５＋１４８ ３３３＝１４８×２＋３７ １４８＝３７×４＋０ ．．．．．．．．．．．．．．余数为０时计算终止。 为最大公约数 2，更相减损术：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 3，秦九韶算法：将1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 改写成 1210()(()))n n n f x a x a x a x a x a --=+++++ 再由内及外逐层计算。 4，进位制：注意K 进制与十进制的互化。 1）例：将三进制数(3)10212化为十进制数 10212(3)=2+1×3+2×32+0×33+1×34=104 2）例：将十进制数１０４化为三进制数 １０４＝３×３４＋２ ．．．．．．． 最先出现的余数是三进制数的最右一位 ３４＝３×１１＋１ １１＝３×３＋２ ３＝３×１＋０ １＝３×０＋１ ．．．．．．．．．．．． 商数为0时计算终止 １０４=(3)10212 第二章 统计 一，随机抽样 1，简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽取到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。（关键词）逐个，不放回，机会相等 2，随机数表法的步骤： 1）编号； 2）确定起始数字；3）按一定规则读数（所读数不能大于最大编号，不能重复）。 3，系统抽样的步骤： 1）编号； 2）分段（若样本容量为n ，则分为n 段）；分段间隔N k n = ，若N n 不是整数，则剔除余数，再重新分段； 3）在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号； 4）按照 一定的规则在后面每段内各取一个编号，组成整个样本。 4，分层抽样的步骤： 1）确定抽样比； 2）根据个体差异分层，确定每层的抽样个体数（抽样比乘以各层的个体数，如果不是整数，则通过四舍五入取近似值）；3）在每一层内抽取样本（个体数少就用简单随机抽样，个体数多则用系统抽样），组成整个样本。 5，三种抽样方法的异同点 直到型和当型循环可以相互演变，循环体相同，条件恰好互补。 高中各学科知识点总结及口诀汇 总 语文 中国古代文化常识汇总 高考：语文基础知识口诀 中学语文：古典诗词鉴赏口诀 高考语文：语言运用解题歌诀 高考语文：语文基础知识考点歌诀 数学 高中数学公式定理记忆口诀 高中立体几何学习记忆口诀 高中数学知识点总结 高中数学常用公式及常用结论 英语 常用英语谚语100条 高中英语语法口诀 高中英语：语法学习记忆口诀初中各学科知识点总结及口诀大 全 语文 中考语文知识点梳理 初中语文名人名句大集合 初中古诗文中考必背知识点初中学科之语文知识点记忆口诀大全 数学 初中数学知识点总结 初中学科之数学知识点记忆口诀大全 英语 初中英语常见谚语 初中英语词组总结 高中英语：介词运用记忆口诀高考英语阅读题解题口诀 高考英语短文改错口诀 物理 高一物理：知识点理解记忆口诀高二物理：知识点理解记忆口诀高中物理：电学知识记忆口诀高中物理：基础知识理解记忆口诀 化学 高中化学口诀完全版 有机化学基础 高中化学方程式大全 高中化学记忆口诀 高中化学基本概念和基本理论 高中化学：基础知识记忆口诀 高中化学：实验操作知识点记忆口诀 生物 高中生物口诀大全初中学科之英语知识点巧记口诀大全 物理 初中物理知识点总结 初中物理公式 初中物理知识“顺口溜”总结 初中学科之物理知识点记忆口诀 化学 常见化学物质俗称大全 初中化学方程式大全1 初中化学方程式大全2 初中化学知识点总结完全版1 初中化学知识点总结完全版2 九年级化学中考化学考点总结 高中生物：知识要点理解记忆口诀 政治 高中政治知识点总结 高中政治：哲学常识速记口诀高中政治：哲学要点学习记忆口诀 历史 高考历史：历史朝代歌诀 高考历史：古代文化记忆口诀高考备考：中国古代史记忆口诀中国历史：科技文化主要成就歌诀 地理 高考地理雕虫小技：口诀记忆法高考地理：基础知识记忆歌诀高考地理：系列知识要点记忆口诀文综资料稳过270分 高中各科学法记忆口诀 美术初中学科之化学知识点记忆口诀大全 政治 初中政治知识点总结 初中学科之政治知识点记忆口诀大全 历史 历史中考知识点汇编 初中学科之历史知识点记忆口诀大全 地里 初中学科之地理知识点记忆口诀大全 生物 初中学科之生物知识记忆口诀 教师版高中数学必修+选修知识点归纳 安徽·合肥郭建德老师整理 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 必修1数学知识点 第一章：集合与函数概念 § 高中语文易错的知识点的具体介绍 语文易错1多音字误读 易错分析：正确识记多音字的读音，可以从这样几个方面入手。 一是词性。如“刹”，共有chà和shā两个读音，作名词时读chà，作动词时读shā。 二是词义。有些多音字的读音，单从词性上很难判断，可以以义辨音。如“纤”有xiān和qiàn两个读音，作形容词表示“细小”时读xiān，作名词表示拉船的绳子时读qiàn。 三是语境。可以把多音字的几个读音尽可能放在具体的语言环境中来辨别,这样既能增加趣味性，又能提高记忆效果。如“商店打折(zhé)，顾客抢购。一阵折(zhē)腾，累得住院。不但没赚，反而折(shé)本”。 四是语体。书面语读音一般用于双音节词和成语中，口语读音常用于口头交际中，用于单音节词和少数表示日常生活事物的双音节词中。如“色”，书面语读音为sè，口语读音为shǎi。 五是巧记。舍众取寡，以少推多。如“埋”只在“埋怨”中读mán，其余都读mái。记住一个“埋怨”，就记住“埋”在各种语境中的读音了。 语文易错2音近字误读 易错分析：汉字中的同音字很多，这些字的声母、韵母和声调都完全一致。但如果其中的或声母，或韵母，或声调有细微的差别，就构成了音近字。命题者往往就在“近”与“同”上做文章。如果在平时学习中没能把容易混淆的音近字准确地区别开来，就会给解题增加难度。正确识记这些字的读音，需要日积月累的过程，把某类同音字集中起来记忆，会达到记住一串且印象深刻的效果。 语文易错3形近字误读 易错分析：辨别形近字，要找出形近字之间的不同之处，从细微处加深印象，加强记忆。有很多可以采用口诀记忆法，如“戍、戌、戊、戎”可以编为“点戍(shù)横戌(xū)戊(wù)中空，十戈相合即为 戎(rónɡ)”。应该说，对这类字音的识记，既要动脑筋求便捷，更 要花工夫记忆，关键在于积累。而就具体题目来说，其中一定会有 部分字音是我们已经正确掌握的。因此，审清题干，认真分析，结 合字义，合理推断，运用比较排除的方法选出正确答案并非难事。 语文易错4形声字误读 易错分析：形声字的“声旁”是表声的，但由于古今音的差异，现代汉语形声字中有70%左右已不能按其“声旁”确定读音了，它 们中有的声母发生了变化，有的韵母发生了变化，有的声母和韵母 都发生了变化。如果我们不注意这些变化，仍然按照“声旁”的读 音去读，就会发生误读。在解答中无法判断时，一般形声字注音为“同声旁读音”的正确性小，注音为“不同声旁读音”的正确性大。所以，我们一方面要深入研究高考试题，明了形声字读音设误的主 要形式，即故意以声旁注音或故意以同一声旁不同形旁的字的常读 音注音;另一方面要摒弃“汉字读半边，不会错上天”的错误想法， 养成勤查字典词典的习惯，准确记忆，注重积累。 语文易错5习惯性误读 易错分析：由于习惯原因，尤其是方言的原因，人们在生活中常常无意识地把一些字“约定俗成”地读错。如把“豇”读成ɡānɡ， 把“埋怨”中的“埋”读成mái，把“涮”读成shuā，把“档”读 成dǎnɡ等。普通话基本功不扎实，在解题时常常会受习惯的影响而 作出错误的判断。养成说普通话的习惯是解决习惯性误读问题的最 好方法。我们平时要有意识地注意这些习惯性误读字。一是注重分 类整理。注意收集生活中的习惯性误读字，从易错点入手分声母、 韵母、声调三类进行整理。二是讲究即时记忆。一经发现，即时记忆，今天掌握一点，明天掌握一点，积少成多，不能等收集到一定 的量才去突击强记。三是注意适时复习。每隔一段时间就要拿出来 看看、读读，反复记忆，加深印象，直到真正掌握。 语文易错6混淆形近字 高中数学易错知识点梳理 高中数学易错知识点梳理 集合与简单逻辑 第一、遗忘空集是任何非空集合的真子集，因此对于集合B，就有B=A、φ≠B、B≠φ三种情况出现。在实际解题中，如果考生思 维不够缜密，就有可能忽视第三种情况，导致结果出错。尤其是在 解含有参数的集合问题时，要充分注意当参数在某个范围内取值时 所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊集合，考生因思 维定式遗忘集合导致结果出错或不全面是常见的错误，一定要倍加 当心。 第二、忽视集合元素的三性集合元素具有确定性、无序性、互异性的特点，在三性中，数互异性对答题的影响最大，尤其是带有字 母参数的集合，实际上就隐含着对考生字母参数掌握程度的要求。 在考场答题时，考生可先确定字母参数的范围，再一一具体解决。 在否定一个命题时，要记住“全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题”的规律。如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，不是“a，b都是奇数”。 第四、充分必要条件颠倒两个条件A与B，若A=>B成立，则A 是B的充分条件，B是A的必要条件;若B=>A成立，则A是B的必 要条件，B是A的充分条件;若A<=>B，则AB互为充分必要条件。考生在解这类题时最容易出错的点就是颠倒了充分性与必要性，一定 要根据充要条件的概念作出准确的判断。 第五、逻辑联结词理解不准确 p∨q真<=>p真或q真，p∨q假<=>p假且q假(概括为一真即真); p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假); ┐p真<=>p假，┐p假<=>p真(概括为一真一假)。 函数与导数 第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。 在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。 第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。 对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。 在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。 第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。 抽象函数性质的证明属于代数推理，和几何推理证明一样，考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件，别漏掉条件，更不能臆造条件，推理过程层次分明，还要注意书写规范。 完整的知识网络构建，让复习备考变得轻松简单！ （注意：全篇带★需要牢记！） 高 中 物 理 重 要 知 识 点 总 结 （史上最全） 高中物理知识点总结 （注意：全篇带★需要牢记！） 一、力物体的平衡 1.力是物体对物体的作用，是物体发生形变和改变物体的运动状态（即产生加速度）的原因. 力是矢量。 2.重力（1）重力是由于地球对物体的吸引而产生的. ［注意］重力是由于地球的吸引而产生，但不能说重力就是地球的吸引力，重力是万有引力的一个分力. 但在地球表面附近，可以认为重力近似等于万有引力 （2）重力的大小:地球表面G=mg，离地面高h处G/=mg/，其中g/=[R/（R+h）]2g （3）重力的方向:竖直向下（不一定指向地心）。 （4）重心:物体的各部分所受重力合力的作用点，物体的重心不一定在物体上. 3.弹力（1）产生原因:由于发生弹性形变的物体有恢复形变的趋势而产生的. （2）产生条件:①直接接触;②有弹性形变. （3）弹力的方向:与物体形变的方向相反，弹力的受力物体是引起形变的物体，施力物体是发生形变的物体.在点面接触的情况下，垂直于面; 在两个曲面接触（相当于点接触）的情况下，垂直于过接触点的公切面. ①绳的拉力方向总是沿着绳且指向绳收缩的方向，且一根轻绳上的张力大小处处相等. ②轻杆既可产生压力，又可产生拉力，且方向不一定沿杆. （4）弹力的大小:一般情况下应根据物体的运动状态，利用平衡条件或牛顿定律来求解.弹簧弹力可由胡克定律来求解. ★胡克定律:在弹性限度内，弹簧弹力的大小和弹簧的形变量成正比，即F=kx.k为弹簧的劲度系数，它只与弹簧本身因素有关，单位是N/m. 4.摩擦力 （1）产生的条件:①相互接触的物体间存在压力;③接触面不光滑;③接触的物体之间有相对运动（滑动摩擦力）或相对运动的趋势（静摩擦力），这三点缺一不可. （2）摩擦力的方向:沿接触面切线方向，与物体相对运动或相对运动趋势的方向相反，与物体运动的方向可以相同也可以相反. （3）判断静摩擦力方向的方法: ①假设法:首先假设两物体接触面光滑，这时若两物体不发生相对运动，则说明它们原来 高中数学37个易错知识点汇总分析 为了帮助同学们复习备考，减少不必要的丢分，下面对高中数学易错知识点37个进行汇总分析，供同学们参考。 1．在应用条件A∪B＝B，A∩B＝A 时，易忽略A是空集Φ的情况。 2．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则，尤其是在与实际生活相联系的应用题中，判断两个函数是否是同一函数也要判断函数的定义域，求三角函数的周期时也应考虑定义域。 3．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称，优先考虑定义域对称。 4．解对数不等式时，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这一条件。 5．用判别式法求最值（或值域）时，需要就二次项系数是否为零进行讨论，易忽略其使用的条件，应验证最值。 6．用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。 7．用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正（几个数或代数式均是正数）二定（几个数或代数式的和或者积是定值）三等（几个数或代数式相等）”这一条件。 8．用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性。 9．求反函数时，易忽略求反函数的定义域。 10．求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示，而应用逗号连接多个区间。 11．用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况。 12．已知Sn求a n 时，易忽略n＝1的情况。 13．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时，易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。 14.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y 轴平行的情况。 15．用到角公式时，易将直线L 1、L 2 的斜率ｋ 1 、ｋ 2 的顺序弄颠倒；使用到 高考总复习知识网络一览表物理 高中物理知识点总结大全 一、质点的运动（1）------直线运动 1）匀变速直线运动 1.平均速度V平＝s/t（定义式） 2.有用推论Vt2-Vo2＝2as 3.中间时刻速度Vt/2＝V平＝(Vt+Vo)/2 4.末速度Vt＝Vo+at 5.中间位置速度Vs/2＝[(Vo2+Vt2)/2]1/2 6.位移s＝V平t＝Vot+at2/2＝Vt/2t 7.加速度a＝(Vt-Vo)/t ｛以Vo为正方向,a与Vo同向(加速)a>0；反向则aF2) 2.互成角度力的合成： F＝(F12+F22+2F1F2cosα)1/2（余弦定理）F1⊥F2时:F＝(F12+F22)1/2 3.合力大小范围：|F1-F2|≤F≤|F1+F2| 4.力的正交分Fx＝Fcosβ,Fy＝Fsinβ（β为合力与x轴之间的夹角tgβ＝Fy/Fx） 注： (1)力(矢量)的合成与分解遵循平行四边形定则; （2）合力与分力的关系是等效替代关系,可用合力替代分力的共同作用,反之也成立; (3)除公式法外,也可用作图法求解,此时要选择标度,严格作图; (4)F1与F2的值一定时,F1与F2的夹角(α角)越大,合力越小; （5）同一直线上力的合成,可沿直线取正方向,用正负号表示力的方向,化简为代数运算. 四、动力学（运动和力） 1.牛顿第一运动定律(惯性定律）：物体具有惯性,总保持匀速直线运动状态或静止状态,直到有外力迫使它改变这种状态为止 2.牛顿第二运动定律：F合＝ma或a＝F合/ma{由合外力决定,与合外力方向一致} 3.牛顿第三运动定律：F＝-F′{负号表示方向相反,F、F′各自作用在对方,平衡力与作用力反作用力区别,实际应用：反冲运动} 4.共点力的平衡F合＝0,推广｛正交分解法、三力汇交原理｝ 5.超重：FN>G,失重：FNr｝ 3.受迫振动频率特点：f＝f驱动力 4.发生共振条件:f驱动力＝f固,A＝max,共振的防止和应用〔见第一册P175〕 5.机械波、横波、纵波〔见第二册P2〕 6.波速v＝s/t＝λf＝λ/T{波传播过程中,一个周期向前传播一个波长；波速大小由介质本身所决定} 7.声波的波速(在空气中）0℃：332m/s；20℃:344m/s；30℃:349m/s；(声波是纵波) 8.波发生明显衍射（波绕过障碍物或孔继续传播）条件：障碍物或孔的尺寸比波长小,或者相差不大 9.波的干涉条件：两列波频率相同(相差恒定、振幅相近、振动方向相同) 10.多普勒效应:由于波源与观测者间的相互运动,导致波源发射频率与接收频率不同｛相互接近,接收频率增大,反之,减小〔见第二册P21〕｝ 注： （1）物体的固有频率与振幅、驱动力频率无关,取决于振动系统本身； 高中物理知识点梳理 高中物理知识点：物体平衡 知识要点： 基础知识 1、平衡状态：物体受到几个力的作用，仍保持静止状态，或匀速直线运动状态，或绕固定的转轴匀速转动状态，这时我们说物体处于平衡状态，简称平衡。 在力学中，平衡有两种情况，一种是在共点力作用下物体的平衡;另一种是在几个力矩作用下物体的平衡(既转动平衡)。 2、要区分平衡状态、平衡条件、平衡位置几个概念。 平衡状态指的是物体的运动状态，即静止匀速直线运动或匀速转动状态;而平衡条件是指要使物体保持平衡状态时作用在物体上的力和力矩要满足的条件。至于平衡位置这个概念是指往复运动的物体，当该物体静止不动的位置或物回复力为零的位置。它是研究物体振动规律时的重要概念，简谐振动的物体在平衡位置时其合力不一定零，所以也不一定是平衡状态。例如单摆振动到平衡位置时后合力是指向圆心的。 3、共点力的平衡 ⑴共点力：物体同时受几个共面力的作用，如果这几个力都作用在物体的同一点，或这几个力的作用线都相交于同一点，这几个力就叫做共点力。 ⑵共点力作用下物体的平衡条件是物体所受的合外力为零。 ⑶三力平衡原理：物体在三个力作用下，处于平衡状态，如果三力不平行，它们的作用线必交于一点，例如图1所示，不均匀细杆AB长1米，用两根细绳悬挂起来，当AB在水平方向平衡时，二绳与AB夹角分别为30和60，求AB重心位置 根据三力平衡原理，杆受三力平衡，TA、TB、G必交于点O只要过O作AB垂线，它与AB交点C 就是AB杆的重心。由三角函数关系可知重心C到A距离为0.25米。 ⑷具体问题的处理 ①二力平衡问题，一个物体只受两个力而平衡，这两个力必然大小相等，方向相反，作用在一条直线上，这也就是平常所说的平衡力。平衡力的这些特点就成为了解决力的平衡问题的基础，其他平衡问题最终要转化为这个基础问题。 ②三力平衡问题：往往先把两个加合成，这个合力与第三个力就转化成了二力平衡问题，即三力平衡中任意两个力的合力与第三个力的大小相等，方各相反，作用在一条直线上。 ③多力平衡问题：设立垂直坐标系，把多个力分解到_、Y方向上，求_和Y方向的合力，最后再把两个方向的力求合。处理方法的思路还是转化成二力平衡问题。 ⑸要区别平衡力的作用与反作用力; 表面看平衡力、作用与反作用力都是大小相等，方向相反，作用在一条直线上，但它们有本质的区别。以作用点的角度看， 高中数学知识易错点梳理 一、集合、简易逻辑、函数 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy}, 集合 B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈ R},N={y ｜y=x 2 +1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的 子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成 立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次 为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A =I A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、 否 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 高三政治易错知识点整理 政治学科在高考中难度可以说是算的一号人物的，不过只要经过合理系统的学习，坚持不懈的研究期中所蕴含的规律，再结合政治所特有的特点，就可以制定出适合自己的学习计划。下面是为大家收集的2020年高考政治复习方法，简单实用的复习策略。希望可以帮助大家。 经济学： 1、社会主义市场经济与社会主义经济混同 2、商品的价格取决于市场竞争的激烈程度 3、等价交换是指每次交换商品的价格都应与价值相一致 4、个别劳动生产率与单位商品价值量成反比 5、高新技术能够使用权单位产品的个别劳动时间提高 6、国有资产等同于公有资产 7、价格由购买力决定 8、国家在资源配置中起基础性作用 9、国家主要通过行政手段干预经济 10、政府要减少对市场经济的干预 11、微观经济效益与此同时宏观经济总是对立的 12、股票是一种表明债权、债务关系的凭证 13、完善社会保障制度有利于降低失业率 14、国民收入与财政收入混同 15、税收可以由税务机关随意加以调整 16、国债可以无限制发行 17、消费决定生产 哲学部分 1、要正确认识世界和改造世界，就必须实现客观与主观的具体的历史的统一。 2、意识能够对客观事物起促进作用。 3、意识的能动作用就是指意识对客观事物的发展起直接的推动作用。 4、意识的能动作用表现为能促进事物的发展。 5、运动是物质的唯一特性。(客观实在性是物质的根本属性。) 6、正确的意识是我们想问题办事情的出发点。 7、意识是人脑对客观事物的正确反映。 8、新出现的事物必定战胜旧事物。 9、世界上任何事物都是相互联系的。 10、整体就是指由事物的各个要素相互联系构成的有机整体。 11、整体功能总是大于各个部分功能之和。 12、一切事物都是不断变化的，变化就是发展。 13、规律是客观的，既不能被创造，也不能被改造和消灭，是永恒不变的。 14、人的主观能动性与客观规律两者是不可分割的。 15、只要发挥了人的主观能动性就能认识和利用规律。 16、只要把人的主观能动性与客观规律结合起来，就能收到预想的效果。 17、感性认识的总和就是理性认识。 18、获得正确的理性认识是认识的目的。 19、理性认识来源于感性认识。高中数学知识点总结(精华版)
高一数学知识点梳理最新五篇
高中数学知识点易错点梳理一集合与简易逻辑 (1)
高二数学易错知识点归纳五篇
高中数学高考易错知识点归纳
高中数学必修三所有知识点总结和常考题型练习精选
初高中各学科知识点总结及口诀汇总 珍藏版
高中数学知识点归纳总结》
高中语文易错的知识点的具体介绍
高中数学易错知识点梳理
高中物理重要知识点详细全总结(史上最全)
高中数学37个易错知识点汇总分析
高中物理知识点总结大全
高中物理知识点梳理
(完整版)高中数学易错重点知识点梳理
高三政治易错知识点整理
- 人教版高中英语知识点梳理
- 高中数学易错知识点梳理(20210303165258)
- 高中知识点易错点梳理
- (完整版)高中数学易错重点知识点梳理
- 高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理
- 高中物理知识点梳理
- 人教版高中英语知识点梳理
- 2020高中数学高考知识点易错梳理练习
- 高中数学知识点易错点梳理
- 高中数学知识点易错点梳理(20210303165201)
- 高中知识点(易错知识归纳)
- 高中数学易错重点知识点梳理
- 2020届高考生物易错知识点梳理(word版附解析)
- 高中数学易错知识点整理
- 高中数学易错知识点梳理
- 高中数学易错知识点梳理
- 高中数学易错学习知识点梳理.docx
- 高中数学易错重点知识点梳理
- 高中数学知识点易错点梳理
- (完整版)高中数学易错重点知识点梳理