第五章 精确线性化方法
第五章精确线性化
方法
2012年4月12日星期四5时0非线性控制系统理论与应用
本章安排
SISO系统
输入/输出线性化，SISO非线性系统的标
准形，状态反馈精确线性化，系统零动态
MIMO系统
输入输出精确线性化，状态精确线性化，
MIMO系统的动态扩展
鲁棒输入/输出线性化问题
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非线性控制系统理论与应用
本章重点
精确线性化的含义
精确线性化的要
精确线性化的主要思想
输入输出精确线性化
状态反馈精确线性化2012年4月12日星期四
非线性控制系统理论与应用
精确线性化方法含义
在线性化过程中没有忽略掉任何高阶非线
性项, 因此这种线性化不仅是精确的, 而
且是整体的, 即线性化对变换有定义的整
个区域都适用
个区域都适用。
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精确线性化主要思想
通过适当的非线性状态和反馈变换,实现
状态或输入/输出的精确线性化，将复杂
输出的精确线性化将复杂的非线性系统综合问题转化为线性系统的
综合问题
综合问题。
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非线性控制系统理论与应用
微分几何回顾
切空间
向量场
李括号李导数
李括号、李导数
分布和协分布
定理一个正则分布完全可积的 Frobinus定理：一个正则分布完全可积的
充要条件是它是对合的。
----某些类型分布或向量场对于的偏微分
方程解的存在性定理。
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非线性控制系统理论与应用
SISO 非线性系统的标准形
定义
()()??==x h L x Φx h x Φ152()()()()??
?
?
?
=?x h L x Φf f 12γγM 结论5.2（部分坐标变换）
()()1,,2,1?=U i x d Φi γ中是线性无关的。
在导数L ()()()0
11 0110≠?=?=+???x h L L x h L L j i f g j j f g ad i
f
γγγ时，当()()?????0001x h L x dh g ad γL ()()()()()[]
()()??????
??????=??
??????????????****001001000102x h L L x h L L x g ad x g ad x g x h dL x h dL f g f g ad f f f f f f
γγγγM M L M 非线性控制系统理论与应用
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SISO 非线性系统的标准形
结论5.3
则向量场定义如下非线性变换为局部微分同胚变换
）。
是线性无关的（，则向量场性系统具有相对阶假设单输入单输出非线n g ad g ad g f f ≤?γγγ1
,,,L 定义如下非线性变换：Φ为局部微分同胚变换()??
??x h L x h ()()()()?
?????=????????????????→?γηηξf f
f x h L x h x h L x ΦM M M 11,,:＝令()????????????????
????γγηηn f x h L M 11非线性控制系统理论与应用
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?
??γη
n
SISO 非线性系统的标准形
ξξ??=2
1&&()
ξξ????=29.53
2&M ()()()q u a b ηξη
ηξηξξγ???==+=,,,&y ξγγ
====??
?1
1其中
()()()()()()
i f i f g f L q q h L L a h L b ηηξηξηξηξ,,,,,,非线性控制系统理论与应用
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SISO 非线性系统的标准形
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ξ&()()???
???==3
22
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:，令()????
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y q &??
????=??
??????ηηηM M 11??
??????γγηηn n 非线性控制系统理论与应用
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例5.2 考虑下列控制系统
??????+??????+?=2311u cosx sinx x x x &
?????????????
2320x 经过下面的计算可知该系统有相对阶2。
??==3
)(x x h y 2
)( ,0)(x x h L x h L f g ==3
22)( ,1)(sinx x x h L x h L L f
f g +==非线性控制系统理论与应用
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为获得标准形的坐标我们选择
该变换阵是一非奇异阵。因此该变换是一全局微分同胚。其逆变换为
?+=21ξηsin x ?
?
?==22ξx 在新的坐标系中，系统的状态方程为
?1
3ξx ??=21ξξi &
&???+?+=++=3122ξξξsin cos sin u sin
&非线性控制系统理论与应用
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??
)()(1222ξξξξηη
数据的无量纲化处理及示例
数据的无量纲处理方法及示例 在对实际问题建模过程中，特别是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型的数据处理及融合。而各个指标之间由于计量单位和数量级的不尽相同，从而使得各指标间不具有可比性。在数据分析之前，通常需要先将数据规范化，利用规范化后的数据进行分析。数据规范化处理主要包括同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据的同趋化处理主要解决不同性质的数据问题，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对评价体系的作用力同趋化。数据无量纲化主要解决数据的不可比性，在此处主要介绍几种数据的无量纲化的处理方式。 （1）极值化方法 可以选择如下的三种方式： （A ）' max min i i i x x x R = =- 即每一个变量除以该变量取值的全距，规范化后的每个变量的取值范围限于[-1,1]。 (B)' min min max min i i i x x x R --= =- 即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值的全距，规范化后各变量的取值范围限于[0,1]。 (C) ' max i i x x =，即每一个变量值除以该变量取值的最大值，规范化后使变量的最大取值为1。 采用极值化方法对变量数据无量纲化是通过变量取值的最大值和最小值将原始数据转换为界于某一特定范围的数据，从而消除量纲和数量级的影响。由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量的最大值和最小值这两个极端值有关，而与其他取值无关，这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。 （2）规范化方法 利用'i i x x x s -= 来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量的规范差，无量纲化后各变量的平均值为0，规范差为1，从而消除量纲和数量级的影响。虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有的数据信息，但是该方法在无量纲化后不仅使得转换后的各变量均值相同，且规范差也相同，即无量纲化的同时还消除了各变量在变异程度上的差异。 （3）均值化方法 计算公式为：' i i i x x x =，该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息。 （4）规范差化方法 计算公式为：'i i x x s = 。该方法是规范化方法的基础上的一种变形，两者的差别仅在无量纲化后各变量的均值上，规范化方法处理后各变量的均值为0，而规范差化方法处理后各
指标无量纲化
评价指标的无量纲化处理 在多指标综合评价中涉及到两个基本变量:一是各评价指标的实际值，另一个是各指标的评价值。由于各指标所代表的物理涵义不同，因此存在着量纲上的差异。这种异量纲性是影响对事物整体评价的主要因素。指标的无量纲化处理是解决这一问题的主要手段。无量纲化，也称作数据的标准化、规格化，是一种通过数学变换来消除原始变量量纲影响的方法。 （1）直线型无量纲化方法 基本思想是假定实际指标和评价指标之间存在着线性关系，实际指标的变化将引起评价指标一个相应的比例变化。代表方法有：阈值法、标准化法(Z-score 法)、比重法等等。 a. 阈值法 阈值也称临界值，是衡量事物发展变化的一些特殊指标值，比如极大值、极小值、满意值、不允许值等。阈值法是用指标实际值与阈值相比以得到指标评价值的无量纲化方法。常用算法公式有： n i i i i x x y ≤≤=1m a x （2.24） n i i i n i i n i i i x x x x y ≤≤≤≤≤≤-+=111m a x m i n m a x （2.25） n i i n i i i n i i i x x x x y ≤≤≤≤≤≤--=111m i n m a x m a x （2.26） n i i n i i n i i i i x x x x y ≤≤≤≤≤≤--=111m i n m a x m a x （2.27） q k x x x x y n i i n i i n i i i i +--=≤≤≤≤≤≤111m i n m a x m a x （2.28） b 标准化法 统计学原理告诉我们，要对多组不同量纲数据进行比较，可以先将它 们标准化转化成无量纲的标准化数据。而综合评价就是要将多组不同的数 据进行综合，因而可以借助于标准化方法来消除数据量纲的影响。标准化 （Z-score ）公式为：
建筑结构抗倒塌设计-等效线性化方法
附录C 等效线性化方法 C.1 适用范围 C.1.1 罕遇地震动影响下多层钢筋混凝土结构、钢结构的弹塑性峰值地震响应及其构件的承载力需求和延性需求可采用等效线性化方法计算。 C.1.2 采用等效线性化方法计算的结构应主要由弯曲型或弯剪型构件组成。 C.2 计算方法 C.2.1 罕遇地震动影响下结构响应计算的等效线性化方法可按以下步骤进行： 1合理选择结构的预期损坏部位，并初步估计罕遇地震动下结构各预期损坏部位的延性系数。 2 罕遇地震动影响下预期损坏部位的延性系数μ可按下式确定： (C.2.1) 式中： ?t ——罕遇地震动影响下预期损坏部位的总变形； ?y ——预期损坏部位的屈服变形。 3 根据结构各个预期损坏部位的延性系数μ，可按本附录C.2.2第3款的方法确定相应预期损坏部位的等效刚度k e 和等效阻尼比ζe ，并可按本附录C.2.3确定整体结构各阶模态的等效阻尼比ζm ，建立整体结构的等效线性化模型。 4 采用振型分解反应谱方法计算结构的等效线性化模型的地震响应，并计算各个构件的延性系数。若计算所得延性系数与本条第1款所取预期损坏部位的延性系数相差较大时，应进行迭代计算，直至前后两次迭代计算的延性系数相近为止。 5 可采用本标准第5.4.1条的规定，对结构进行罕遇地震动影响下的抗倒塌判别。 C.2.2 结构的等效线性化模型应符合下列要求： 1 结构的计算模型应与弹性分析所采用的计算模型相一致，合理考虑核心区及节点域刚度、楼板和非结构构件的影响。除楼板及预期不屈服的构件可取弹性模型外，其余构件均应取等效线性化模型。 0.1y t >??=μ
2 钢构件的骨架线可简化为双折线型，钢筋混凝土构件的骨架线可简化为三折线型。承受较大轴力的钢筋混凝土构件的骨架线应反映轴力对构件抗弯承载力的影响。 3 构件的等效刚度k e 与附加等效阻尼比ζe 可按下式计算： (C.2.2-1) (C.2.2-2) 式中： k y ——构件骨架线上屈服点所对应的割线刚度； μ——构件的延性系数； ζ0——结构的初始阻尼比； ——修正系数，可按下式计算： (C.2.2-2) 4 对于采用三折线型骨架线的钢筋混凝土构件，当构件变形大于开裂变形、且小于屈服变形时，构件的等效刚度k e 应在初始刚度（未开裂刚度）和屈服刚度k y 之间线性插值，且附加等效阻尼比ζe 取为零。 C.2.3 整体结构各阶模态所对应的等效阻尼比可按下式计算： (C.2.3) 式中： ζm ——结构第m 阶模态的等效阻尼比； ζe,i ——第i 单元的附加等效阻尼比； E S0m,i ——等效线性化结构模型按第m 阶振型变形时第i 单元的弹性应变能； ζ0——结构的初始阻尼比，钢筋混凝土结构可取0.05，钢结构可取0.02。 C.2.4采用振型分解反应谱法计算时，地震影响系数曲线可按现行国家标准《建筑抗震设计规范》GB50011的规定采用，阻尼比应按本附录第C.2.3条规定的结构等效阻尼比取值。 μy e k k =0e 112ζμπκζ??? ? ???=κ413.0μκ=0i S0m,i e,i S0m,m ζζζ+?=∑∑i i E E
数据的无量纲化处理及示例
数据得无量纲处理方法及示例 在对实际问题建模过程中，特别就是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型得数据处理及融合。而各个指标之间由于计量单位与数量级得不尽相同,从而使得各指标间不具有可比性。在数据分析之前,通常需要先将数据规范化，利用规范化后得数据进行分析.数据规范化处理主要包括同趋化处理与无量纲化处理两个方面.数据得同趋化处理主要解决不同性质得数据问题，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力得综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对评价体系得作用力同趋化。数据无量纲化主要解决数据得不可比性，在此处主要介绍几种数据得无量纲化得处理方式。 （１)极值化方法 可以选择如下得三种方式: (A) 即每一个变量除以该变量取值得全距,规范化后得每个变量得取值范围限于[－1，1］。 (B) 即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值得全距，规范化后各变量得取值范围限于[0，1]。 （C）,即每一个变量值除以该变量取值得最大值，规范化后使变量得最大取值为1。 采用极值化方法对变量数据无量纲化就是通过变量取值得最大值与最小值将原始数据转换为界于某一特定范围得数据，从而消除量纲与数量级得影响。由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量得最大值与最小值这两个极端值有关,而与其她取值无关,这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。 (2）规范化方法 利用来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量得规范差,无量纲化后各变量得平均值为０，规范差为1，从而消除量纲与数量级得影响.虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有得数据信息,但就是该方法在无量纲化后不仅使得转换后得各变量均值相同，且规范差也相同，即无量纲化得同时还消除了各变量在变异程度上得差异. （3)均值化方法 计算公式为：，该方法在消除量纲与数量级影响得同时,保留了各变量取值差异程度上得信息。 （4)规范差化方法 计算公式为：。该方法就是规范化方法得基础上得一种变形，两者得差别仅在无量纲化后各变量得均值上，规范化方法处理后各变量得均值为0，而规范差化方法处理后各变量均值为原始变量均值与规范差得比值。 综上所述，针对不同类型得数据,可以选择相应得无量纲化方法。如下得示例就就是一个典型得评价体系中无量纲化得范例. 示例:近年来我国淡水湖水质富营养化得污染日益严重,如何对湖泊水质得富营养化进行综合评价与治理就是摆在我们面前得任务，下面两个表格分别为我国5个湖泊得实测数据与湖泊水质评价规范。 表2-２全国五个主要湖泊评价参数得实测数据
6-3分段线性化方法
§6-3 分段线性化方法 非线性电路的分析计算是复杂的，往往只能求得近似解。对于一些伏一安关系不能用简单函数关系表示的非线性电阻电路，我们可以近似地利用一些直线来逼近它的伏一安关系曲线，将它的伏一安关系曲线粗略地用几段折线表示，而这些折线都可以写出它所对应的伏一安关系函数，而且都是一次的线性函数。所以这种方法叫做分段线性化方法。分段线性化的好处在于可以建立起完备的电路近似方程求得近似解。 例如，一个二极管的伏一安关系为：可以用折线BOA来近似表示，当电压反向时，二极管电流近于零，当加正向电压时，相当于一个线性电阻。
每一段折线对应于电压（电流）都有一个范围，称为对应的适用区间（工作区间）。 在每段折线对应的适用区间内，可以写出折线所对应的伏一安关系的一次函数方程（线性方程）。 图(b)的分段线性化等效电路： 图（c）的分段线性化等效电路：
其分段线性化等效电路：
若折线延伸不过原点，如图所示 I 区间],(B u -∞，i R u u 11+-= 其中 B B i u u R 1 1+=)0(1>u II 区间),[+∞B u ，i R u u 22+= 其中 B B i u u R 2 2-= 由折线伏一安关系式，可以作出各区间相应的等效电路。 I 区间：
各区间的等效电路相当于一个代维南等效电路，当然也可以相应地用诺顿等效电路的形式表示。 例 1 非线性电阻的伏安特性如图所示，且0>u ，求：u 、i 解： V u OC 1=，A i SC 2 3= Ω==∴3 2 0SC OC i u R
设非线性电阻工作在第一段，其等效电路为 A i 313 21-=-= 由于其没有落在相应的线段1上，它不是电路的解。 再设非线性电阻工作在第二段，其等效电路为 A i 6.013 22 1-=+-= ，V i u 4.112=?+=
数据标准化的几种方法
数据标准化的几种方法 在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化（normalization），利用标准化后的数据进行数据分析。数据标准化也就是统计数据的指数化。数据标准化处理主要包括数据同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据同趋化处理主要解决不同性质数据问题，对不同性质指标直接加总不能正确反映不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用力同趋化，再加总才能得出正确结果。数据无量纲化处理主要解决数据的可比性。数据标准化的方法有很多种，常用的有“最小—最大标准化”、“Z-score标准化”和“按小数定标标准化”等。经过上述标准化处理，原始数据均转换为无量纲化指标测评值，即各指标值都处于同一个数量级别上，可以进行综合测评分析。 一、Min-max 标准化 min-max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设minA和maxA分别为属性A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过min-max标准化映射成在区间[0,1]中的值x'，其公式为： 新数据=（原数据-极小值）/（极大值-极小值） 二、z-score 标准化
这种方法基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。将A的原始值x使用z-score标准化到x'。 z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。 新数据=（原数据-均值）/标准差 spss默认的标准化方法就是z-score标准化。在SPSS中依次点击Analyze Descriptive Descriptive 点击Save standardized values as varianles即可。 用Excel进行z-score标准化的方法：在Excel中没有现成的函数，需要自己分步计算，其实标准化的公式很简单。 步骤如下： 1.求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ； 2.进行标准化处理： zij＝（xij－xi）／si 其中：zij为标准化后的变量值；xij为实际变量值。 3.将逆指标前的正负号对调。 标准化后的变量值围绕0上下波动，大于0说明高于平均水平，小于0说明低于平均水平。 三、Decimal scaling小数定标标准化
线性化理论
对于非线性特征明显的对象，需要先将非线性系统进行线性化，才能应用常见的线性分析方法。IAS 系统中，空气弹簧的作用力与所施加激励之间存在明显的非线性关系，而减振器作用力与施加激励也存在非线性关系，所以IAS 系统是典型的非线性系统。 精确线性化方法通过恰当的非线性状态反馈和非线性坐标变换（或动态补偿），将一个非线性系统变换成(部分或全部地)线性系统。精确线性化方法基于微分几何理论，通过对系统输入输出的解耦，实现非线性系统的线性化。在非线性系统线性化后，可引入相关的控制理论实现对减振器阻尼的切换。 在介绍精确线性化方法前，先介绍两个概念：李导数、相对阶。 设如下n 阶非线性系统 ()()() x f x g x u y h x =+??=? 其中，状态量0x X ∈，,f g 为n 维光滑向量场h 为光滑函数。n x ∈R ，系统的输入1u ∈R ，系统的输出1y ∈R 。 (1) 李导数（Lie Derivative ） 对系统（3.25）的输出方程求导数 (()())()()f g dh dh y x f x g x u L h x L h x u dx dx ==+=+ (0.1) 在式（3.17）中，定义()()f dh L h x f x dx ? =，()()g dh L h x g x dx ?=为李导数，f L 代表()h x 沿着 系统的轨迹的导数。 (2) 相对阶（relative degree ） 定义3.2（相对阶）： 0x X ∈，如果存在0x 的邻域V 及正整数r 使（3.16）满足以下两个条件： ① ()0k g f L L h x =,x V ?∈,01k r ≤<-； ② 1()0r g f L L h x -≠, x V ?∈； 则称系统（3.16）的相对阶为r 。 以单输入单输出系统（SISO ）为例，说明精确线性化原理：利用系统的输出方程得到所需要的坐标变化和状态反馈，实现系统的精确线性化【徐兴大论文，89-91】。 对输出y 求导，假如在1r -次及以前不出现u ，而在r 次时方程中出现输入量u ，即
双层连续梁桥等效线性化方法隔震分析_李黎
第25卷 第7期 2008年7月 公 路 交 通 科 技 Journal of Highway and T ransportation Research and Development V ol 125 N o 17 Jul 12008 文章编号:1002Ο0268(2008)07Ο0043Ο06 收稿日期:2007Ο03Ο21 作者简介:李黎(1956-),女,上海人,教授,研究方向为工程结构振动控制1(kong deyi @1631com ) 双层连续梁桥等效线性化方法隔震分析 李 黎,孔德怡,聂肃非,尹 鹏 (华中科技大学,湖北 武汉 430074) 摘要:为了在现行桥梁设计软件上进行连续梁桥的隔震分析,模拟铅芯橡胶隔震支座在地震、温度荷载作用下的非线性,研究了采用等效线性化方法进行桥梁隔震分析的步骤与精度。假设支座初始刚度,加载计算支座的相对位移,并得到支座水平刚度,经过反复迭代得到铅芯橡胶隔震支座的等效刚度。在此基础上将体系简化成线性系统按弹性方法进行计算,以安装了铅芯橡胶隔震支座的双层连续梁桥为例,分别计算等效模型和非线性模型在水平地震、均匀升温、横向风荷载和制动力作用下的响应,并讨论了等效线性化方法计算时的相关问题。与非线性分析结果比较,等效线性化法可以模拟水平地震和温度荷载作用下支座的非线性,结果满足桥梁工程的精度要求。隔震支座在横向风荷载和制动力荷载作用下一般不会屈服,使用第一刚度计算即可。 关键词:桥梁工程;双层连续梁桥;等效线性模型;隔震;非线性时程分析中图分类号:U44215+5;U448121+5 文献标识码:A Analysis of Seismic Isolation of Double Deck Continuous Bridge Ba sed on Equivalent Linear Method LI Li ,K ONG De Οyi ,NIE Su Οfei ,YI N Peng (Huazhong University of Science and T echnology ,Wuhan Hubei 430074,China ) Abstract :T o analyse seismic is olation of continuous bridge with lead Οrubber bearings (LRB )by comm only used bridge Οdesign s oftware and simulate the nonlinearity of LRB under seismic and tem perature loads ,the process and precision of equivalent linear method were studied 1First ,initial stiffness of the bearings was supposed ,and the relative displacement was com puted on the special load 1Based on the relative displacement and the shearing force of bearings ,horizontal stiffness was obtained 1And then the equivalent linear stiffness was com puted by iterative method 1The nonlinear bridge was sim plified to equivalent linear system by elasticity methods 1T ake a double deck bridge with LRB as an exam ple ,the reactions of equivalent linear m odel and nonlinear m odel under horizontal seism,uniform tem perature increase ,lateral wind loads and braking force ,were calculated and analyzed respectively 1The former is com puted by elasticity statics methods and the latter is com puted by nonlinear statics or dynamics methods 1The forces and displacements of pier and girder were obtained by tw o of them 1Meanwhile ,a series of problems on equivalent linear method were discussed ,such as the astringency of equivalent linear m odel and the system dam ping ratio 1C om pared with nonlinear m odel ,equivalent linear m odel meets bridge engineering requirements ,especially on seismic and tem perature load 1The LRB are usually not yielding on wind loads and braking force ,and in that case ,the first stiffness is suitable for bridge design 1 K ey words :bridge engineering ;double deck continuous bridge ;equivalent linear m odel ;seismic is olation ;nonlinear time Οhistory analysis
量纲分析法原理
量纲和谐原理 我们经常遇到许多物理量，如长度、时间、质量、力、速度、密度及动量等。它们的名称、记号和量纲如表所示。 表1 流体力学中常见物理量的量纲 速度v 表示单位时间内所经历的距离，它的单位是[米/秒]。距离是长度l ，它的量纲是[L ]，而时间t 的量纲是[T ]，故速度v 的量纲是[1LT -]。 动量是质量m 和速度v 之积。质量的量纲是[M ]，故动量的量纲是[1MLT -]。 如果我们选定三个相对对立的，例如长度l 的量纲[L ]、时间t 的量纲[T ]、质量m 的量纲[M ]为基本量纲，那么其他物理量的量纲都可用这三个基本量纲来表示。如表5-1中所示，例如，加速度a 的量纲可表示为[2LT -]，力F 的量纲可表示为[2LMT -]。当我们把一些物理量进行组合、分析或作比较时，用量纲表示就比较便利。 如果我们要写出一个流体微团的运动方程 F ma =∑v v 式子左边是作用在微团的各力和，它可以包括：重力W v 、压力P v 、粘滞τv 、力弹性力E v 等；右边是微团的惯性力ma v 。于是得到 +++W P E ma t =v v v v v （5-1） 上式中的每项都是力，所以各项的量纲都是[2 LMT -]。又如，关于理想流体的伯努利方程
2 ++=2v p z H g g r 表示流管中三项能头之和保持常数，即等于总能头H 。每项的单位都是米，故它们的量纲都是[L]。不仅如此，在力学上任何有物理意义的方程或关系式，每一项的量纲必定相同。这称为力学方程的量纲和谐性原理，又称为“量纲齐次性规律”。量纲和谐原理是由傅里叶1822年提出来的，它是量纲分析法中具有基本重要性的一个概念，也是量纲分析法的理论基础，并可具体表达成：只有相同类型的物理量才能相加减，也就是相同量纲的物理量才可以相加减或比较大小；不同类型的物理量相加减没有任何意义。例如，速度可以和速度相加减，但绝不可以加上粘性系数或压力。当然，相同量纲和不同单位的物理量之间是可以相互加减和比较大小的，因为只要将其单位稍加换算即可完成。 一个量纲齐次性的方程，可以化为无量纲方程，只要用方程中的任意一项除其他各项。例如，在式（5-1）中，用惯性力项遍除其他各项，于是各项都变成无量纲量，而各无量纲量之和等于1，即 +++1W P E ma ma ma ma τ=v v v v v v v v 由以上讨论可见，运用量纲可以更明显地指出物理量的性质。 不同量纲的物理量不能相加减，但它们可以根据某种需要进行乘除，从而导出另一量纲的物理量。 量纲和谐原理可以用来检验新建方程或经验公式的正确性和完整性，也可以用来确定公式中物理量的未知指数，还可以用来建立有关方程式。对于量纲齐次的方程，只要用方程的任一项量纲去除其余各项，就可以使方程的每一项都变成无量纲量，方程变为无量纲方程。量纲分析就是基于物理方程具有和谐原理，通过量纲分析和计算，将原来含有较多物理量的方程转化为含有比原物理量少的无量纲方程，使得为研究这些变量关系而进行的实验大大简化。 量纲分析法原理 在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法分为瑞利法和p 定理白金汉定理法。 为了简单地说明量纲分析法，我们先来讨论理论力学中熟悉的单摆周期，其关系式为 =2t π （5-2） 假设，我们先前只见过单摆的物理现象，而还不知这个表明单摆周期的关系式时，可以
非线性化模型的线性化方法总结
非线性化模型的线性化方法总结 在学习计量经济学过程中，我们所接触的经济学模型不仅仅是线性的，许多实际经济活动中的经济模型都是非线性的，例如恩格尔曲线表现为幂函数曲线形式，菲利普斯曲线表现为双曲线形式，下面介绍三种非线性模型的转化方法，分别适应于不同的模型： 一、直接置换法：直接替换模型中原有的非线性变量。适用模型如下： （1）倒数（双曲线）模型： 0111u Q P ββ=++，可以用1Y Q =,1X P =来置换，变为01Y X u ββ=++ （2）多项式模型： 2 012Y t t u βββ=+++，可以用212,X t X t ==来置换变为： 0122Y X X u βββ=+++
（3）对数模型： 01ln Y X u ββ=++，将1ln X X =带入原式进行置换，得到：011Y X u ββ=++ 二、函数变换法：通过函数变化，如取对数、移项等方式对原模型进行变形以得到线性化模型： 12(,,,)k Y f X X X u =???+ （1） 幂函数模型：u Q AK L e αβ=，方程两边 取对数，得到： ln ln ln ln Q A K L u αβ=+++ 再对上式进行置换。 （2）指数函数模型：Q u C ab e =，方程两边取对数得到：ln ln ln C a Q b u =++，再对上式进行置换。
三、级数展开法：如CES 函数1 12()p p u p Q A K L e δδ---=+，方程两 边取对数得到：121ln ln ln()p p Q A K L u p δδ--=-++，将式中12ln()p p K L δδ--+在p=0处展开泰勒级数，取关于p 的线性项，即得到一个线性近似式，如取0阶、1阶、2阶项，可得: 212121ln ln ln ln [ln()]2K Y A K L p L δδδδ=++- （备注：无法线性化的模型一般为：12(,,,)k Y f X X X u =???+，其中12(,,,)k f X X X ???为非线性函数）
快速折线式线性化方法
快速折线式线性化方法 黑龙江省七台河市热力公司何学新 摘要：线性化是经常遇到的问题。本文讨论的方法采用逻辑分区的办法取代了通常的比较运算,因而程序简练,运行较快。 关键词：线性化、曲线、逼进、A/D转换器、 一、原理。折线式线性化的基本原理如图1所示。 图中曲线y=f(x)是线性化前输入量和输出量的关系,直线y=kx是期望得到的关系。把全量程按y轴等分成若干个区间,并用数字作代号表
示之。对应最小y值的区间代号为0,其他依次为1,2……。如图1中AyBy即为1#区间。在1#区间,就可近似地把曲线AB看成是直线AB,只要把区间划分得足够小,这样做是允许的。 图1折线式线性化基本原理为使AB逼近直线y=kx,需要做2点工作：（1）将AB向上平移,使其左端点在直线上;（2）将其斜率乘以1个因子,令其等于k。上述第1点不难做到,而第2点,其实质就是当x有不同的增量Δx和Δx′时,y应当有1个相同的增量Δy=kΔx,而不是按直线AB的斜率增加。直线AB的斜率 kAB=(By-Ay)/(Bx-Ax), 它是前端信号（例如热电偶）固有的,无法改变。为此须引进1个修正因子r,使 Δy=r\5Δx′=kΔx， 由上式可得 r=kΔx/Δx′（1） 在实际工作中,通常将y作自变量来求x。例如,热电偶测温,虽然温度是真正的自变量,但我们却只能根据A/D转换器的输出值来求温度。式中的k值也是任选的,安全不必受曲线的约束,只要能合理地解释它就可以了。还是以热电偶测温为例,选用12位的A/D转换器,最大码值为4095,温度范围为0~1000℃,每个字的温度数不是1个整数,为0.244℃。我们完全可以设定1个合适的k值,令转换完成后的值有一个确定的意义。例如,每个字0.1℃。因此,可以认为转换后的输出值是另外一个量,不妨用xz来表示它。故可以一般地写出校正方程为
(完整版)第一节量纲分析方法
第一节量纲分析方法 量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。利用这种方法可以从某些条件出发，对某一物理现象进行推断，可将这个物理现象表示为某些具有量纲的变量的方程，从而可以用此来分析个物理量之间的关系。 1.1量纲 当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J。按照国家标准（GB3101—93），物理量?的量纲记为dim?，国际物理学界沿用的习惯记为[?]。
实际中，有些物理量的量纲是基本的，成为基本量纲。系统因选定的基本单位不同，而分成绝对系统与工程系统两大类。工程系统的基本单位：质量、长度、时间、力。绝对系统的基本单位：质量、长度、时间。绝对系统以长度(length)、质量(mass)、时间(time)及温度(temperature)为基本量纲，各以符号L 、M 、T 、θ表示其量纲。其他可由基本量纲推导出的量纲称为导出量纲。但在工程系统中，除了长度L 、质量M 、时间T 及温度θ等基本量纲外，也将力定义为基本量纲，而以符号F 表示其量纲。此外在探讨热量 (heat)时，热量亦被定义为基本量纲，而以H 表示。而其他的物理量的量纲可以由这些基本量纲来表示，比如： 速度v = ds/dt 量纲：[]V =1 LT - 加速度a = dv/dt 量纲：2 []a LT -= 力F = ma 量纲：22[][][]F M LT MLT --== 压强P = F/S 量纲： 22[]P MLT L --= 21MT L --= 实际中，也有些量是无量纲的，比如,e π等，此 时记为[][]1e π==。 有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。机理模型的
照排机的线性化操作方法
照排机的线性化操作方法 照排机的线性化是输出操作中的一个非常重要的环节，该环节操作决定着输出胶片的实地密度和网点阶调值正确与否。照排机的线性化是印刷色彩管理中很关键的一步，因为它会直接影响到印刷效果。大多数照排机在购买时带有一些线性化软件，对于那些没有线性化软件的，可以采用专门出版服务部门使用的色彩校正软件，这些软件可以完成大部分照排机的线性化，精确性也非常高，能创建出RIP中的校正功能，使输出结果稳定可靠。在输出操作中如果保证了照排机能够产生线性化输出，就可产生出与数字化文件相一致的分色片。在照排机的线性化操作过程中，首先要保证照排机所输出的胶片实地密度必须达到标准，然后对所输出胶片网点的百分比值进行测试与调整，这一操作主要是使用RIP输出软件中线性化功能或其他专用线性化软件来完成。之后，保存好线性化文件，以备今后输出时进行调用。本文将以使用方正世纪RIP——PSPNT输出软件和使用日本网屏5055激光照排机为例，详细介绍照排机的线性化操作过程。 一、输出胶片实地密度的测试与调整 为各种印刷方式和印刷品所输出的胶片实地密度，在我国都已制定了相应的标准，因此，调整输出胶片的实地密度也就需要针对不同的印刷品和印刷方式而加以区别对待。比如，对于目前多数报纸的印刷就应该使用GB/T17934.3— 2003国家标准中的第三部分《新闻纸的冷固型油墨胶印》标准执行，该标准规定分色片的实地密度值必须大于等于3.5；而对于其他一些印刷品的实地密度值要求则不能低于4.0，有一些高档印刷品则要高于4.0。由于目前有许多印刷企业特别是中小型印刷企业不具备专业的胶片实地密度测试能力，（未购置密度计）对于胶片的实地密度测试大多通过放大镜或凭经验目测；另外，不同的品牌的显影药水、定影药水等因素都对所输出的胶片实地密度值有着不同的影响，再加上不同季节的显影温度以及所使用的不同品牌的激光照排机对胶片实地密度值也有着不同的影响。这样就会造成在实际输出过程中实地密度值很不稳定，达不到国家标准中所规定要求的结果。 对输出胶片实地密度测试的工具主要是密度仪，用于测试输出分色片100%网点的输出密度是否达到印刷要求。当所输出的实地密度达到了印刷的要求，如报纸印刷的实地输出密度已大于或等于3.5，就不需要再进行调整了。因为在激光照排机及显影条件不变的情况下，其输出密度也就确定了，因此，在进行输出胶片实地密度的测试时只需要对其中的一个色版进行测试即可，没有必要对所有分色的四个色版同时测试，一般情况下，我们多选用黑版进行测试。对于使用方正世纪RIP输出软件和使用日本网屏5055激光照排机进行输出的胶片实地密度测试与调整的具体操作方法，我们可以按照下面介绍的步骤进行。 ①首先要在当前状态下，在方正世纪RIP输出软件中的“光栅化”菜单中的“参数模版”命令中选一个已经制作好的、需要进行参数调整的参数模版。 ②然后点击“修改”按钮，可以进入参数模版的“修改” 窗口中并选择“参数”命令按钮，又可以进入“选项”参数设置窗口中，在该窗口中选中“灰度转换”按钮命令，就可以进入“灰度转换”参数设置窗口中，在该窗口中可以完成主要激光照排机线性化操作过程，如图2所示。
数据的无量纲化处理
常用的数据无量纲化处理方法，主要包括如下几种： （1）总和标准化。分别求出各聚类要素所对应的数据的总和，以各要素的数据除以该要素的数据的总和，即 ),,2,1;,,2,1(1n j m i x x x m i ij ij ij ==='∑= （2.4.1） 经过总和标准化处理后所得到的新数据ij x '，满足 ∑==='m i ij n j x 1),,2,1(1 （2）标准差标准化，即 ),,2,1;,,2,1(n j m i s x x x j j ij ij ==-=' （2.4.2） 式中： ∑==m i ij j x m x 1 1 ∑=-=m i j ij j x x m s 1 2)(1 经过标准差标准化处理后所得到的新数据ij x '，各要素（指标）的平均值为0， 标准差为1，即有： 011 ='=∑=m i ij j x m x ∑=='-'=m i j ij j x x m s 1 21)(1 （3）极大值标准化，即 ),,2,1;,,2,1(}{m a x n j m i x x x ij i ij ij ===' （2.4.3） 经过极大值标准化处理后所得的新数据ij x '，各要素（指标）的极大值为1，其余各数值小于1。 （4）极差的标准化，即
{} {}{}),,2,1;,,2,1(m i n m a x m i n n j m i x x x x x ij i ij i ij i ij ij ==--= （2.4.4） 经过极差标准化处理后所得的新数据ij x '，各要素（指标）的极大值为1，极小值为0，其余的数值均在0与1之间。
数据标准化的几种方法
数据标准化的几种方法 数据的标准化（normalization）是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。 其中最典型的就是数据的归一化处理，即将数据统一映射到[0,1]区间上，常见的数据归一化的方法有： min-max标准化(Min-max normalization) 也叫离差标准化，是对原始数据的线性变换，使结果落到[0,1]区间，转换函数如下： 其中max为样本数据的最大值，min为样本数据的最小值。这种方法有一个缺陷就是当有新数据加入时，可能导致max和min的变化，需要重新定义。 log函数转换 通过以10为底的log函数转换的方法同样可以实现归一下，具体方法如下： 看了下网上很多介绍都是x*=log10(x)，其实是有问题的，这个结果并非一定落到[0,1]区间上，应该还要除以log10(max)，max为样本数据最大值，并且所有的数据都要大于等于1。 atan函数转换 用反正切函数也可以实现数据的归一化： 使用这个方法需要注意的是如果想映射的区间为[0,1]，则数据都应该大于等于0，小于0的数据将被映射到[-1,0]区间上。
而并非所有数据标准化的结果都映射到[0,1]区间上，其中最常见的标准化方法就是Z 标准化，也是SPSS中最为常用的标准化方法： z-score 标准化(zero-mean normalization) 也叫标准差标准化，经过处理的数据符合标准正态分布，即均值为0，标准差为1，其转化函数为： 其中μ为所有样本数据的均值，σ为所有样本数据的标准差。
多指标综合评价中指标正向化和无量纲化方法的选择
多指标综合评价中 指标正向化和无量纲化方法的选择 叶宗裕 摘要：本文用实例说明了多指标综合评价中，用“倒数逆变换法”进行指标正向化时会完全改变原指标的分布规律，影响综合评价结果的准确性；对三种常用无量纲化方法——极差变换法、标准化法和均值化法的选择使用问题，用实例进行了比较分析。 关键词：综合评价，正向化，无量纲化，标准化法，均值化法 在多指标综合评价中，有些是指标值越大评价越好的指标，称为正向指标（也称效益型指标或望大型指标）；有些是指标值越小评价越好的指标，称为逆向指标（也称成本型指标或望小型指标），还有些是指标值越接近某个值越好的指标，称为适度指标。在综合评价时，首先必须将指标同趋势化，一般是将逆向指标和适度指标转化为正向指标，所以也称为指标的正向化。不同评价指标往往具有不同的量纲和量纲单位，直接将它们进行综合是不合适的，也没有实际意义。所以必须将指标值转化为无量纲的相对数。这种去掉指标量纲的过程，称为指标的无量纲化（也称同度量化），它是指标综合的前提。在多指标评价实践中，常将指标无量纲化以后的数值作为指标评价值，此时，无量纲化过程就是指标实际值转化为指标评价值（即效用函数值）的过程，无量纲化方法也就是指如何实现这种转化。从数学角度讲就是要确定指标评价值依赖于指标实际值的一种函数关系式，即效用函数f j。因此，指标的无量纲化是综合评价的一项重要容，对综合评价结果有重要影响。 指标的正向化和无量纲化都有多种方法，应用时，应根据实际情况选择合适的方法，否则将会使综合评价的准确性受到影响。本章就如何选择正向化和无量纲化方法作些讨论。 （一）关于指标正向化方法 对于指标的正向化，在实际应用中许多学者常使用将指标取倒数的方法（为华教授称其为“倒数逆变换法”[1]），写成公式为： y =C/x ij（1） ij 其中C为正常数，通常取C=1。很明显，用（1）式作为指标的正向化公式时，当原指标值x ij较大时，其值的变动引起变换后指标值的变动较慢；而当原指标
数据标准化的几种方法
数据标准化的几种方法 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
数据标准化的几种方法 在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化（normalization），利用标准化后的数据进行数据分析。数据标准化也就是统计数据的指数化。数据标准化处理主要包括数据同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据同趋化处理主要解决不同性质数据问题，对不同性质指标直接加总不能正确反映不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用力同趋化，再加总才能得出正确结果。数据无量纲化处理主要解决数据的可比性。数据标准化的方法有很多种，常用的有“最小—最大标准化”、“Z-score标准化”和“按小数定标标准化”等。经过上述标准化处理，原始数据均转换为无量纲化指标测评值，即各指标值都处于同一个数量级别上，可以进行综合测评分析。 一、Min-max 标准化 min-max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设minA和maxA分别为属性A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过min-max标准化映射成在区间[0,1]中的值x'，其公式为： 新数据=（原数据-极小值）/（极大值-极小值） 二、z-score 标准化
这种方法基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。将A的原始值x使用z-score标准化到x'。 z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。 新数据=（原数据-均值）/标准差 spss默认的标准化方法就是z-score标准化。在SPSS中依次点击Analyze Descriptive Descriptive 点击Save standardized values as varianles即可。 用Excel进行z-score标准化的方法：在Excel中没有现成的函数，需要自己分步计算，其实标准化的公式很简单。 步骤如下： 1.求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ； 2.进行标准化处理： zij＝（xij－xi）／si 其中：zij为标准化后的变量值；xij为实际变量值。 3.将逆指标前的正负号对调。