2019-2020年高中数学 第三章 概率 3.3 随机数的含义与应用教案 新人教B版必修3
2019-2020年高中数学 第三章 概率 3.3 随机数的含义与应用教案 新人
教B 版必修3
1．古典概型与几何概型的异同
剖析：古典概型与几何概型都是概率类型的一种，它们的区别在于：古典概型的基本事件数为有限个，而几何概型的基本事件数为无限个；共同点在于：两个概型都必须具备等可能性，即每个结果发生的可能性都相等．
判断一次试验是否是古典概型，有两个标准来衡量：一是试验结果的有限性，二是试验结果的等可能性，如果这两个标准都符合，则这次试验是古典概型，否则不是古典概型；判断一次试验是否是几何概型有三个标准：一是试验结果的无限性，二是试验结果的等可能性，三是可以转化为求某个几何图形测度的问题．如果一次试验符合这三个标准，则这次试验是几何概型．这两种概率模型的本质区别是试验结果的种数是否有限．
2．基本事件的选取对概率的影响 剖析：先比较以下两道题：
(1)在等腰Rt△ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM ＜AC 的概率．
(2)在等腰Rt△ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率．
这两道题虽然都是在等腰Rt△ABC 中求AM ＜AC 的概率，但题干明显不同，题目(1)是“在斜边AB 上任取一点M”，而题目(2)是“在∠ACB 内部任作一条射线CM”，其解答分别如下：
(1)在AB 上截取AC′＝AC ，于是P (AM ＜AC)＝P (AM ＜AC′)＝AC′AB ＝AC AB ＝2
2.
(2)在∠ACB 内的射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的．在AB 上取AC′＝AC ，则△ACC′是等腰三角形，且∠ACC′＝180°－45°
2＝67.5°，故满足条
件的概率为67.5°
90°＝0.75.由此可见，背景相似的问题，当基本事件的选取不同，其概率是
不一样的．
题型一 与“长度”有关的几何概型
【例1】 某公共汽车站每隔15 min 有1辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求1个乘客到达车站后候车时间大于10 min 的概率．
分析：把时刻抽象为点，时间就抽象为线段，故可用几何概型求解．
解：设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T=5，T 2T=10.如图所示．记候车时间大于10 min 为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上时，事件A 发生，设区域D 的测度为15，则区域d
的测度为5.所以.
答：候车时间大于10 min 的概率是.
反思 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d .在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率.
题型二 与“面积”有关的几何概型
【例2】 甲、乙两人约定上午7：00到8：00之间到某个汽车站乘车，在这段时间内有3班公共汽车，开车的时刻分别为7：20,7：40，8：00，如果他们约定，见车就乘，则甲、乙两人乘同一班车的概率为( )
A.12
B.14
C.13
D.16
解析：设甲到达汽车站的时刻为x ，乙到达汽车站的时刻为y ，则7≤x ≤8,7≤y ≤8，即甲、乙两人到达汽车站的时刻(x ，y )所对应的区域在平面直角坐标系中是大正方形(如图所示)．将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一辆车，必须满足7≤x ≤7,7≤y ≤7；7≤x ≤7，7≤y ≤7；7≤x ≤8,7≤y ≤8，即(x ，y )必须落在图形中的三个
带阴影的小正方形内，所以由几何概型的概率计算公式得P ＝
? ??
?
?132×3
1
2
＝13
.
答案：C
反思 本题的关键首先要理解好题意，将其归结为面积型几何概型，而不是长度型几何概型．另外一定要认真审题，根据题意画出图形．本题中将甲、乙两人到达车站的时刻作为坐标，在坐标系中将汽车的到站时刻，甲、乙两人的到站时刻分别表示出来，就可以直观地发现它们之间的关系，找出两人乘同一辆车的区域，然后计算面积，代入公式求得结果.
题型三 与“体积”有关的几何概型
【例3】 已知正三棱锥S-ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h
2
的概率．
分析：首先作出到底面距离等于h
2
的截面，然后再求这个截面的面积，进而求出有关体
积．
解：如图所示，在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于面ABC 和面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于.
设△ABC 的面积为S ，由△ABC∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为.
由题意，区域D 的体积为区域d 的体积为-??=?1117
334238S h Sh Sh .
∴P =.
∴点M 到底面的距离小于的概率为. 反思 解与体积有关的几何概型时要注意：
(1)寻求区域d 在区域D 中的分界面，但要明确是否含分界面不影响概率大小． (2)每个基本事件的发生是“等可能的”． (3)概率的计算公式为：
P (A)＝
构成事件A 的区域体积
试验的全部结果所构成的区域体积
.
题型四 与“角度”有关的几何概型 【例4】 已知半圆O 的直径为AB ＝2R. (1)过A 作弦AM ，求使弦AM ＜R 的概率； (2)过A 作弦AM ，求使弦AM ＞R 的概率； (3)作平行于AB 的弦MN ，求使弦MN ＜R 的概率； (4)作平行于AB 的弦MN ，求使弦MN≥R 的概率．
分析：过A 作弦应理解为过A 作射线AM 交半圆于M ，作AB 的平行弦MN ，可以理解为过垂直于AB 的半径上的点作平行于AB 的弦．
解：(1)如图①所示，过点A 作⊙O 的切线AE ，作弦＝R.
由平面几何知识，∠M′AB＝60°，∠M′AE＝30°，∴P (AM ＜R)＝P (AM ＜AM′)＝P (∠EAM ＜∠EAM′)＝∠EAM′的大小∠EAB的大小＝30°90°＝13
.
(2)类似于(1)可求P (AM ＞R)＝60°90°＝2
3
.
(3)如图②所示，过点O 作半径OE⊥AB，作弦M′N′∥AB，交OE 于点E′，且＝R. 连接OM′，则OE′＝
32R ，EE′＝R －32R ＝2－32
R. ∴P (MN ＜R)＝P (MN ＜M′N′)＝EE′OE ＝2－3
2.
(4)类似于(3)可求P (MN≥R)＝OE′OE ＝3
2
.
反思 (1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率计算公式为P (A)＝事件A 构成区域的角度
试验的全部结果构成区域的角度
.
(2)解决此类问题的关键是事件A 在区域内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的. 题型五 利用随机模拟实验估计图形的面积
【例5】 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y ＝2－2x －x 2
与x 轴围成的图形)的面积．
分析：解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积，而后由几何概率进行面积估计． 解：(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1，b 1.
(2)经过平移和伸缩变换，a ＝4a 1－3，b ＝3b 1，得到一组[－3,1]，一组[0,3]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N 和落在阴影部分的点数N 1(满足条件b ＜2－2a －a 2
的点(a ，b )数)． (4)计算频率N 1
N
就是点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)设阴影部分面积为S ，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为S
12，
∴S 12≈N 1N
. ∴S≈12N 1
N
即为阴影部分面积的近似值．
反思 在解答本题的过程中，易出现将点(a ，b )满足的条件误写为b ＞2－2a －a 2
，导致该种错误的原因是没有验证阴影部分的点(a ，b )应满足的条件.
题型六 易错辨析
【例6】 在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把长度为1的线段分成三条，试求这三条线段能构成三角形的概率．
错解：因为，,x ＋y ＜1，所以1
2＜x ＋y ＜1.所以P ＝? ??
??12，1(0，1)＝1
2
1＝12.
错因分析：错解误把长度作为几何度量当成本题的模型．
正解：设三条线段的长度分别为x ，y ,1－x －y ，则????
?
0＜x ＜1，0＜y ＜1，
0＜1－x －y ＜1，
即
?
??
??
0＜x ＜1，
0＜y ＜－x ＋1.
在平面上建立如图所示的直角坐标系，围成三角形区域G ，每对(x ，y )对应着G 内的点(x ，y )，由题意知，每一个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型．
记事件A={三条线段能构成三角形}，则事件A 发生当且仅当111x y x y x x y y ??
???
＋＞－－，－＞，－＞，即
1>-+,21,21.2y x x y ???
?<
?
???
因此图中的阴影区域g 就表示“三条线段能构成三角形”，即事件A 发生当且
仅当1,1,1,x y x y x x y y +>--??->??->?即1,21,21,2y x x y ?
>-+??
?
?
因此图中的阴影区域g 就表示“三角线段能构成三角
形＂，即事件A 发生，容易求得g 的面积为18，G 的面积为12，则P (A)＝g 的面积G 的面积＝1
4
.
2019-2020年高中数学 第三章 概率 3.4 概率的应用教学案 新人教B 版
必修3
概率在决策中的应用
男 女 总计 赞成 18 9 27 反对 12 25 37 不发表看法 20 16 36 总计
50
50
100
[解] 互斥事件的概率加法公式，得P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝37100＋36100＝73
100＝0.73，因此随机选
取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.
概率在决策问题中的应用
(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．
(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．
[活学活用]
某食品公司因新产品上市拟举办促销活动以促进销量，方法是买一份糖果摸一次彩．公司准备了一些黄、白两色乒乓球，这些乒乓球的大小与质地完全相同，另有一个棱长约为30厘米密封良好且不透光的长方体木箱(木箱上方可容一只手伸入)．该公司拟按1%的中奖率设置大奖，其余99%则为小奖，大奖的奖品价值400元，小奖的奖品价值2元．请你按公司的要求设计一个摸彩方案．
解：可以提出如下2个方案(答案不唯一)．
(方案1)在箱内放置100个乒乓球，其中1个为黄球，99个为白球．顾客一次摸出一个乒乓球，摸到黄球为中大奖，否则中小奖．
(方案2)在箱内放置25个乒乓球，其中3个为黄球，22个为白球，顾客一次摸出2个乒乓球，摸到2个黄球中大奖，否则中小奖.
概率在整体估计中的应用
[典例] 为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物1 200只作好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1 000只，其中作过标记的有100只，按概率的方法估算，保护区内有多少只该种动物．
[解] 设保护区内这种野生动物有x 只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件A ＝{带有记号的动物}，则由古典概型可知，P (A )＝1 200
x
.第二次被逮到的1 000只中，有100只带有记号，即事件A 发生的频数m ＝100，由
概率的统计定义可知P (A )≈
1001 000＝110，故1 200x ≈1
10
，解得x ≈12 000. 所以，保护区内约有12 000只该种动物．
利用频率与概率的关系求未知量的步骤
(1)抽出m 个样本进行标记，设总体为未知量n ，则标记概率为m
n
. (2)随机抽取n 1个个体，出现其中m 1个被标记，则标记频率为m 1n 1
. (3)用频率近似等于概率，建立等式m n ≈m 1n 1
. (4)求得n ≈
m ·n 1
m 1
. [活学活用]
若10个鸡蛋能孵化出8只小鸡，根据此情况，估计某小鸡孵化厂20 000个鸡蛋能孵化出多少只小鸡．
解：假定每个鸡蛋能孵化出小鸡的可能性是相等的，从中任选一个，记事件A ＝{鸡蛋能孵化出小鸡}，此试验为古典概型，则P (A )＝810
①
设20 000个鸡蛋能孵化出小鸡m 只， 则P (A )≈m
20 000
，②
由①②得m 20 000≈8
10
，解得m ≈16 000.所以20 000个鸡蛋大约能孵化出小鸡16 000
只．
[层级一 学业水平达标]
1．若经检验，某厂的产品合格率为98%，估算该厂8 000件产品中的次品件数为( ) A ．7 840 B ．160 C ．16
D ．784
解析：选B 在8 000件产品中，合格品约有8 000×98%＝7 840件，故次品约有8 000－7 840＝160(件)．
2．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是1
3
，则阴影区域的面积为( )
A.34
B.43
C.23
D ．无法计算
解析：选B 在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率P ＝S 阴影S 正方形＝1
3
，又因为S 正方形＝4，所以S 阴影＝4
3
，故选B.
3．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球．随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从__________箱中取出的．
解析：甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是99
100，乙
箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是1
100.由此可知，这一白球
从甲箱中取出的概率比从乙箱中取出的概率大得多，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中取出的，所以我们可以认为该球是从甲箱中取出的．
答案：甲
4．为了检测山上某个森林内松鼠的数量，可以使用以下方法：先从山上捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号，然后再把它放回森林．经过半年后，再从森林中捕捉50只，尾巴上有记号的松鼠共5只，试根据上述数据，估计此森林内松鼠的数量．
解：假定每只松鼠被捕捉的可能性是相等的，从山上任捕一只，设事件A 为“带有记号的松鼠”，则由古典概型可知
P (A )＝
100n
.①
第二次从山上捕捉50只，有记号的松鼠共有5只，即事件A 发生的频数m ＝5，由此知
P (A )≈550＝1
10
，②
由①②可得100n ≈1
10，所以n ≈1 000.
所以，森林内约有松鼠1 000只．
[层级二 应试能力达标]
1．“今天北京的降雨概率是60%，上海的降雨概率是70%”，下列说法不．正确的是( ) A ．可能北京今天降雨了，而上海没有降雨 B ．可能上海今天降雨了，而北京没有降雨 C ．可能北京和上海都没有降雨 D ．北京降雨的可能性比上海大
解析：选D 因为北京的降雨概率比上海的降雨概率小，故D 说法不正确．
2．调查运动员服用兴奋剂的时候，应用Warner 随机化应答方法调查300名运动员，得到80个“是”的回答，由此，我们估计服用过兴奋剂的人占这群人的( )
A ．3.33%
B ．53%
C ．5%
D ．26%
解析：选A 应用Warner 随机化应答方法调查300名运动员，我们期望有150人回答了第一个问题，而在这150人中又有大约一半的人即75人回答了“是”．其余5个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此估计这群人中服用过兴奋剂的大约占5
150
≈3.33%.
3．乘客在某电车站等候26路或16路电车，在该站停靠的有16,22,26,31四路电车，若各路电车先停靠的概率相等，则乘客等候的电车首先停靠的概率等于( )
A.12
B.13
C.23
D.34
解析：选A 因为各路电车先停靠的概率都等于1
4，所以乘客等候的电车首先停靠的概
率为14＋14＝12
.
4．某人手表停了，他打开电视机想利用电视机上整点显示时间来校正他的手表，则他
等待不超过一刻钟的概率为( )
A.1
6 B.15 C.14
D.13
解析：选C 由于电视机每隔1小时显示整点一次，并且在0～60之间任何一个时刻显示整点是等可能的，所以在哪个时间显示整点的概率只与该时间段的长度有关．而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，这是一个与时间长度有关的几何概型，P ＝1560＝14
.
5．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上都作了记号，投掷了100次，并且记录了每个面落在桌面上的次数(如下表)．如果再投掷一次，估计该石块的第4面落在桌面上的概率约是________.
解析：第四面落在桌面上的概率为P ＝13
100＝0.13.
答案：0.13
6．地球上的山地、水和平原面积比约为3∶6∶1，那么太空的一块陨石恰好落在平原上的概率为________．
解析：因为平原所占比例为13＋6＋1＝110，所以陨石恰好落在平原上的概率为1
10
.
答案：1
10
7．在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，在该三角形内任取一点，则该点到直角顶点A 的距离不大于1的概率为________．
解析：由已知可得S △ABC ＝1
2×2×2＝2，该三角形内到点A 距离不大于1的点构成扇形
面积S 1＝π
4，所以P ＝π42＝π8
.
答案：π8
8.有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字
所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：
A ．猜“是奇数”或“是偶数”
B ．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C ．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数” 请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？ (2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？ (3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．
解：(1)可以选择B ，猜“不是4的整数倍数”或C ，猜“是大于4的数”．“不是4的整数倍数”的概率为810＝0.8，“是大于4的数”的概率为6
10＝0.6，它们都超过了0.5，
故乙获胜的机会大．
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A 猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．
(3)设计为猜“是大于5的数”或“小于6的数”，也可以保证游戏的公平性．
9．小红家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小红一家人在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始进晚餐．
(1)你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪种可能性更大些？ (2)晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？ 解：(1)晚报在晚餐开始之前被送到的可能性更大些．
(2)如图所示，试验的所有可能结果与图中区域D (右上方小正方形)内的所有点一一对应，晚报在晚餐开始之前送到等价于晚报到达时间y <晚餐开始时间x ，该事件的结果对应图中的阴影部分(区域d )．试验为几何概型．右上方小正方形的面积设为1，则d 的面积为7
8，
于是所求事件的概率为7
8
.
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中随机事件的个数为( )
①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点；
②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；
③某人买彩票中奖；
④已经有一个女儿，第二次生男孩；
⑤在标准大气压下，水加热到90 °C会沸腾．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 °C会沸腾，是不可能事件．故选C.
2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个黑球与都是红球
B．至少有一个黑球与都是黑球
C．至少有一个黑球与至少有一个红球
D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
解析：选D A中的两个事件是对立事件，不符合要求；B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D中是互斥而不对立的两个事件．故选D.
3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )
A.1
5
B.
2
5
C.3
10
D.
7
10
解析：选B 试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A，B)，(B，
C )，(C ，
D )，(D ，
E )4种，故P ＝410＝25
.
4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中随机取一点，则点落在四棱锥O -ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是( )
A.13
B.16
C.12
D.14
解析：选B 设正方体的体积为V ，则四棱锥O -ABCD 的体积为V
6，所求概率为V
6V ＝1
6
.
5．在两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率为( )
A.1
2 B.1
3 C.14
D.15
解析：选B 该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m ，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ，故灯与两端距离都大于2 m 的概率为26＝1
3
.
6．从{}a ，b ，c ，d ，e 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a ，b ，c 的子集的概率是( )
A.35
B.25
C.14
D.18
解析：选C 符合要求的是?，
{}a ，{}b ，{}c ，{}a ，b ，{}a ，c ，{}b ，c ，{}a ，b ，c 共8个，而集合{}a ，b ，c ，d ，e 共有子集25
＝32个，∴P ＝14
.
7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，那么点P 在圆x 2
＋y 2
＝17内部的概率是( )
A.19
B.29
C.13
D.49
解析：选B 点P (m ，n )的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P 在圆x 2
＋y 2
＝17内部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为2
9
.
8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A.110
B.18
C.16
D.15
解析：选D 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为315＝1
5
.故选D.
9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( )
A.16
B.14
C.13
D.12
解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13
.
10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34
解析：选A 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件．因此P (A )＝39＝1
3
.
11．在2,0,1,6这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )
A.34
B.58
C.12
D.14
解析：选C 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,6)，(1,2,6)，(0,1,6)4种取法，符
合题意的取法有2种，故所求概率P ＝1
2
.
12．设一元二次方程x 2
＋Bx ＋C ＝0，若B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )
A.112
B.736
C.1336
D.1936
解析：选D 因为B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B 2
－4C ≥0，显然B ≠1.当B ＝2时，C ＝1(1种)；当B ＝3时，C ＝1,2(2种)；当B ＝4时，C ＝1,2,3,4(4种)；当B ＝5时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B ＝6时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是1936
.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是________．
解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知
S 内切圆S 正方形≈7761 000，即π×12
22≈776
1 000
，解得π≈3.104. 答案：3.104
14．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．
解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1, 知该校共有教师120÷4
10
＝300(人)．
采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P ＝30300＝1
10
.
答案：1
10
15．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．
解析：连接AC 交弧DE 于点F ，∠BAC ＝30°，
P ＝
弧EF 的长弧DE 的长＝1
3
.
答案：13
16．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．
解析：如图所示，圆周上使的长度等于1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧长
为2，点B 落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为23
.
答案：23
三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：
(1)(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A ，求P (A )；
(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？ 解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05. (2)当n 充分大时，出现次品的频率m n
在0.05附近摆动，故P (A )≈0.05.
(3)设进货衬衣x 件，为保证1 000件衬衣为正品，则(1－0.05)x ≥1 000，得x ≥1 053. ∴至少需进货1 053件衬衣．
18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本
事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
(1)用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，
{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝6
15＝
2
5
.
(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，
{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝8
15
.
19．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．
解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝3
20
＝0.15.
等级系数为5的恰有2件，所以c＝2
20
＝0.1.
从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．
设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．
故所求的概率P(A)＝4
10
＝0.4.
20．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
(1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2
≤10上的概率；
(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．
解：(1)点P 的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C ：x 2
＋y 2
≤10上的点P 的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P 落在区域C ：x 2＋y 2
≤10上的概率为49
.
(2)区域M 为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为2
5π
.
21．(本小题满分12分)从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．
用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A ＝
{}a 1，b
，a 2，b ，b ，a 1，b ，a 2
.
因为事件A 由4个基本事件组成， 所以P (A )＝46＝2
3
.
(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，
a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，
b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，b )，共9个基本事件组成．由于每一件产
品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{}a 1，b ，a 2，b ，b ，a 1，b ，a 2
.事件B 由4个基
本事件组成，因而P (B )＝49
.
22.(测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测．
(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；
(2)若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 650＋150＋100＝1
50
，
所以样本中包含三个地区的个数数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×1
50
＝2.
所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2. 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为
{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，
C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D ，则事件D 包含的基本事件有 {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个． 所以P (D )＝415
，
即这2件商品来自相同地区的概率为4
15.