二元一次方程基本概念及基本解法讲解

二元一次方程

一、二元一次方程的概念：

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 注意：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

练习1：已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．

(1)2x -5＝y ； (2)x -1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x -4y ＝7； (6)102x +

=；(7)2

51x y

+=；(8)132x y +=；(9)280x y -=；(10)462x y +=． 【变式1】下列方程中，属于二元一次方程的有（ ）

A .71xy -=

B .2131x y -=+

C .4535x y x y -=-

D . 2

31x y

-

= 二、二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 注意：

(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：2,

5.

x y =??

=?．

(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．

如：10x y +=的解可以是241

,,869x x x y y y ===??????

===???

等等

练习2：二元一次方程x -2y ＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是( )

A ．0

12

x y =??

?=-?? B ．11x y =??=? C ．10x y =??=? D ．11x y =-??

=-? 【变式2】若方程24ax y -=的一个解是2

1

x y =??

=?，则a= .

三、二元一次方程组

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如?

??=-=+520

13y x x 也是二元一次方

程组.

练习3：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）

A.

2

237

5(9)1

x y

x y

?+=

?

+=-

?

B.

2

1

38

237

y

x

x y

?

-=

?

?

?-=

?

C.

135()

237

x z x y

x z y

=+-

?

?

-=

?

D.

5()()8

2317

x y x y

x y

-++=

?

?

=-+

?（）

四、二元一次方程组的解

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般

写成

x a

y b

=

?

?

=

?

的形式．

(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组

25

26

x y

x y

+=

?

?

+=

?

无解，而方程组

1

222

x y

x y

+=-

?

?

+=-

?

的解有无数个．

【巩固练习】

一、选择题

1．下列方程中，属于二元一次方程的是（）

A．xy-7＝1 B．2x-1＝3y+1 C．4x-5y＝3x-5y D．

2

31 x

y

-=

2．下列方程组是二元一次方程组的是（）

A．

5

3 x y

z x

+=

?

?

+=?B．

1

1

1

3

x

x

y

x

?

+=

??

?

?-=

??

C．

4

34

x y xy

x y

-+=

?

?

-=

?

D．

1

213

2

11

2(2)

32

x y

x y x y

?

-=

??

?

?-=-

??

3. 以

3

1

x

y

=

?

?

=

?

为解建立一个二元一次方程，不正确的是（）

A．3x-4y＝5 B．1

3

x y

-=C．x +2y＝-3 D．

25

236

x

y

-=

4. 方程组

23

3

x y

x y

-=

?

?

+=

?

的解是（）

A．

1

2

x

y

=

?

?

=

?

B．

2

1

x

y

=

?

?

=

?

C．

1

1

x

y

=

?

?

=

?

D．

2

3

x

y

=

?

?

=

?

5.已知二元一次方程组6511327,x y y x +=??-=?

，

　①②，下列说法正确的是（）

A.适合②的,x y 的值是方程组的解①②

B.适合①的,x y 的值是方程组的解

C.同时适合①和②的,x y 的值不一定是方程组的解

D.同时适合①和②的,x y 的值是方程组的解

6. 关于,m n 的两个方程23321m n m n -=+=与的公共解是（ ）

A. 03m n =??=-?

B. 11m n =??=-?

C. 012

m n =???=?? D. 122m n ?

=?

??

=-? 二、填空题

7．由x+2y ＝4，得到用y 表示x 的式子为x ＝________；得到用x 表示y 的式子为y ＝________．

8.在二元一次方程组423x y x m y

-=??=-?中，有6x =，则_____,______.y m ==

9.若22(32)0x y x -++=，则

x

y

的值是 ． 10.若是二元一次方程的一个解，则的值是__________.

11.已知，且，则___________.

12.若方程ax -2y ＝4的一个解是2

1x y =??=?

，则a 的值是 . 三、解答题 13．已知2

3

x y =??

=?是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组．

14.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组．

（1）甲数的

1

3

比乙数的2倍少7； （2）摩托车的时速是货车的3

2

倍，它们的速度之和是200km/h ；

（3）某种时装的价格是某种皮装价格的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元

解二元一次方程

方法1.代入消元法解二元一次方程组

代入消元法解二元一次方程组的步骤有四步：

（1）变形：将方程组中系数较简单的方程变形，将系数较简单的未知数用另一个未知数表示出来；

（2）代入：将变形的方程代入另一个方程，这样便消去一元，求出一个未知数的值；（3）代入：将求得的未知数的值代入变形后的方程（这一点要特别注意），求出另一个 未知数的值；

（4）写出方程组的解. 一般地，当方程组中某个方程的某未知数的系数绝对值是1或常数项为0时，用代入法简便．

例2 解方程组 327,

2 5.

x y x y -=??

+=?①②

解析：由②，得 52x y =-. ③

将③代入①，得 3(52)27y y --=，

15627y y --=，88y -=-， 1.y = 把 1y =代入③，得 3.x =

所以原方程组的解是?

??==.1,

3y x

点评：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x 的系数是1，因此考虑将方程②

变形，并用含y 的代数式表示x . 用代入消元法解二元一次方程组，需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单. 代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误.

变式2：用代入法解方程组：34,

11

0.42

x y x y +=??

?+=??①②

方法2.加减消元法解二元一次方程组

加减消元法解二元一次方程组的步骤有四步： （1）变形：使方程组中某未知数的绝对值相等；

（2）加减：若某未知数的系数相等，两方程相减；若某未知数的系数互为相反数，两方程相加；这样便消去一元，求出一个未知数的值；

（3）代入：将求得的未知数的值代入系数较简单的方程，求出另一未知数的值； （4）写出方程组的解.

进行加减消元时，要注意做到以下几点：

（1）当方程组比较复杂时，应先整理变形，把方程组整理成形如：111222

,

a x

b y

c a x b y c +=??+=?的形

式，若此时两未知数的绝对值都不相等，则先观察哪个未知数的系数较易化为绝对值（系数

的最小公倍数的绝对值）相等的形式，且计算简单，然后将其化为系数的绝对值相等的形式.

（2）两个未知数的值都可采用加减消元法的方法求出.

（3）当方程组中的某一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍关系时，用加减法简便．

例3 解方程组：

521, 7316.

m n

m n

+=

?

?

-+=

?

①

②

解析：法一：①×3，②×2，得

1563, 14632.

m n

m n

+=

?

?

-+=

?

③

④

③-④，得29m=-29，m=-1.

将m=-1代入①，得-5+2n=1，n=3.

所以原方程组的解为

1,

3. m

n

=-?

?

=

?

法二：①×7，②×5，得

35147, 351580.

m n

m n

+=

?

?

-+=

?

③

④

③+④，得29n=87，n=3.

把n=3代入①，得5m+6=1，m=-1.

所以原方程组的解为

1,

3. m

n

=-?

?

=

?

点评：此题方程组中的两方程，两未知数的系数分别既不相等也不互为相反数，即绝对值不相等. 因此先将两方程分别变形，使某个未知数的系数的绝对值相等. 比较题中的两种方法，先消去系数比较简单的未知数n，解法较为简捷. 另外用加减消元法解二元一次方程组，需注意两方程相减时，符号的正确处理.

练习

（1）（2）

（3）（4）；

（5）； （6）

附加题

（7）

（8） ??????

?=-++=-++1

213

2

22

1

32y x y x

初一下数学讲义 -《二元一次方程组》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《二元一次方程组》全章复习与巩固（基础）知识讲解 【学习目标】 1.了解二元一次方程组及其解的有关概念； 2.掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法； 3.理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解； 4.掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用； 5.通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 要点诠释： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释： 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来， 即二元一次方程的解通常表示为? ??b a ＝＝y x 的形式.

3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452 x y x +=??=?. 要点诠释： （1）它的一般形式为111222 a x b y c a x b y c +=??+=?（其中1a ，2a ，1b ，2b 不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释： （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组???=+=+6 252y x y x 无 解，而方程组? ??-=+-=+2221y x y x 的解有无数个. 要点二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 转化消元 一元一次方程 二元一次方程组 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示 y （或x ） ，即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式； ②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值； ④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解.

一元二次方程的概念

一元二次方程的概念 知识点： 一、一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程称为一元二次方程。 识别一元二次方程必须抓住三个方面： （1）整式方程 （2）含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2次 【例】下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？说说你的理由. (1)16x 2= (2)0125x 2=--x (3)032x 2=-+y (4)03x 1 2=-+x (5)0x 2= (6)052x 24=--x 二、一元二次方程的一般形式：02 =++c bx ax （a ≠0） 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下的形式：02=++c bx ax （a ≠0）.这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 【整理】2ax 是二次项，a 是二次项系数， bx 是一次项，b 是一次项系数， c 是常数项. 例1.把6)4)(3(-=-+x x 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次 项系数和常数项。 例2.指出 mx 2-nx-mx+nx 2=p 二次项，一次项，二次项系数，一次项系数， . 练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项，常数项。 ①()x x x x 3422 -=- ②()()2 21248-+=+x x x ③12132=+-x x ④ ()0p 2 2≠+-=++-n m q nx mx nx mx 小结：理解一元二次方程以下方面入手： （1）一元：只含有一个未知数，"元"的含义就是未知数 （2）二次：未知数的最高次数是2，注意二次系数不等于0. （3）方程：方程必须是整式方程，这是判断的前提。

二元一次方程及其解法

一、问题引入 问题一：如图，已知一个矩形的宽为3，周长为24，求矩形的长。如果我们设长为x ，则可 列方程为：x ＋3＝12 ；如果把问题中矩形的宽改为y ，则可得到什么样的等量关系！ 解：x ＋y ＝12 问题二：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 解：如果设鸡有x 只，兔有y 只，则可列方程为： x ＋y ＝35 2x ＋4y ＝94 1.二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程。 例1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________ 判断一个一个方程时候为二元一次方程的三个要素： ①含有两个未知数 ②未知数的次数为1 ③整式方程 （与分式区分开来） 想一想：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？ ①二元一次方程的解是成对出现的； ②二元一次方程的解有无数个； ③一元一次方程的解只有一个。 例2 若方程 是二元一次方程，求m 、n 的值． 分析： 变式： 方程 是二元一次方程，试求a 的值． 注意： ①含未知项的次数为1； ②含有未知项的系数不能为0 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组的解法，即解二元一次方程的方法；今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。 2、把下列各对数代入二元一次方程３x+2y=10，哪些能使方程两边的值相等？ (1)X=2,y=2 是 (2)x=3,y=1 否 (3)x=0,y=5 是 (4)x=2/3,y=6 是 2(1)3 x y y z +=?? +=?，5(2)6x y xy +=?? =?， 7(3)6 a b b -=??=?， 2(4)13x y x y +=-???-=??，52(5)122 y x x y =-?? ?+=??，25(6)312 x y -=?? +=?，213257m n x y --+=211 321 m n -=??-=?1(2)2a x a y -+-=

一元二次方程的定义教案

第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知

你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ （1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠

二元一次方程基本概念及基本解法讲解

二元一次方程 一、二元一次方程的概念： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 注意：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 练习1：已知下列方程，其中是二元一次方程的有________． (1)2x -5＝y ； (2)x -1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x -4y ＝7； (6)102x + =；(7)2 51x y +=；(8)132x y +=；(9)280x y -=；(10)462x y +=． 【变式1】下列方程中，属于二元一次方程的有（ ） A .71xy -= B .2131x y -=+ C .4535x y x y -=- D . 2 31x y - = 二、二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 注意： (1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：2, 5. x y =?? =?． (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 如：10x y +=的解可以是241 ,,869x x x y y y ===?????? ===??? 等等 练习2：二元一次方程x -2y ＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是( ) A ．0 12 x y =?? ?=-?? B ．11x y =??=? C ．10x y =??=? D ．11x y =-?? =-? 【变式2】若方程24ax y -=的一个解是2 1 x y =?? =?，则a= . 三、二元一次方程组 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如? ??=-=+520 13y x x 也是二元一次方 程组. 练习3：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）

一元二次方程基本概念

一元二次方程基本概念 1、基本概念： 方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程（等式），叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 2、解方程常用方法： (1). 直接开平方法: 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解 形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n= (2).配方法： 左边不含有x的完全平方形式、左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有x的完全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程。 转化过程如下： x2-64x+768=0 移项→x2-64x=-768 两边加（ 64 2 ）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024 左边写成平方形式→（x-32）2=?256 ? 降次→x-32=±16 即x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x1=48，x2=16 可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根 例1．解下列方程 （1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．

解：（1）移项，得：x 2+6x=-5 配方：x 2+6x+32=-5+32（x+3）2=4 由此可得：x+3=±2，即x 1=-1，x 2=-5 （2）移项，得：2x 2+6x=-2 二次项系数化为1，得：x 2+3x=-1 配方x 2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54 由此可得x+32=x 132，x 232 （3）去括号，整理得：x 2+4x-1=0 移项，得x 2+4x=1 配方，得（x+2）2=5 x+2=x 1，x 2 总结用配方法解一元二次方程的步骤． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． （3）公式法： 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，它的两个根 x 1=2b a -+， x 2=2b a - 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+ b a x=- c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a =±2a

二元一次方程组的相关概念基础知识讲解

二元一次方程（组）的相关概念（基础）知识讲解 【学习目标】 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义； 2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解. 【要点梳理】 要点一、二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 要点诠释：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 要点二、二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 要点诠释： (1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：． (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这

个二元一次方程． 要点三、二元一次方程组 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如也是二元一次方程组. 要点四、二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释： （1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式． (2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个． 【典型例题】 类型一、二元一次方程 1．已知下列方程，其中是二元一次方程的有． (1)25＝y；(2)1＝4；(3)＝3；(4)＝6；(5)24y＝7； (6)；(7)；(8)；(9)；(10)．【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验．

二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案

二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案 把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。 有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种： 代入消元法 例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7 把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elim ination by substitution)，简称代入法。 加减消元法 例：解方程组x+y=9① x-y=5② 解：①+②2x=14 即x=7 把x=7带入①得7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y=-2 为方程组的解

像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。二元一次方程组的解有三种情况： 1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。 注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。 教科书中没有的几种解法 (一)加减-代入混合使用的方法. 例1, 13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得x=1 所以:x=1, y=2 特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元. (二)换元法 例2，(x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可写为m+n=8 m-n=4 解得m=6, n=2 所以x+5=6, y-4=2 所以x=1, y=6 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。 （三）另类换元 例3，x:y=1:4 5x+6y=29 令x=t, y=4t 方程2可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4 二元一次方程组的解 一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

七年级二元一次方程组复习讲义

二元一次方程归类讲解及练习 知识点： 1、二元一次方程：（1）方程的两边都是整式，（2）含有两个未知数，（3）未知数的最高次数是一次。 2、二元一次方程的一个解：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。 3、二元一次方程组：含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。 4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。（使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值） 无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成???= =y x 的形式。 5、二元一次方程组的解法：基本思路是消元。 （1）代入消元法：将一个方程变形，用一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。主要步骤： 变形——用一个未知数的代数式表示另一个未知数。 代入——消去一个元。 求解——分别求出两个未知数的值。 写解——写出方程组的解。 （2）加减消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。 变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数。 加减——消去一个元。 求解——分别求出两个未知数的值。 写解——写出方程组的解。 （3）列方程解应用题的一般步骤是：关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

① 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数。 ② 找：找出能够表示题意两个相等关系。 ③ 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。 ④ 解：解这个方程组，求出两个未知数的值。 ⑤ 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。 6、二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即01221≠-b a b a ）时，方程组有唯一的解 7、方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 8、求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。 练习题： 1、已知代数式b a b a y x y x +---23132 1与是同类项，那么a= ，b= 。 2、已知n m n m y x y x +-212-31 与是同类项，那么()2013m n -=_______。 3、解下列方程组：

一元二次方程的概念及解法

题型切片（四个）对应题目 题 型 目 标 一元二次方程的概念例1；例2；演练1；例8 直接开平方法解一元二次方程例3；例4；演练2； 配方解一元二次方程例5；例6；演练3；演练4； 因式分解法解一元二次方程例7；演练5． 模块一一元二次方程的概念 知识互联网 一元二次方程的基本解法 题型切片

定 义 示例剖析 一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ⑴整式方程． ⑵方程中只含有一个未知数． ⑶化简后方程中未知数的最高次数是2． ⑷二次项的系数不为0 22210x x -+= 此方程满足： 整式方程； 只含有一个未知数x ； x 的最高次数是2，系数是2 所以这个方程是一个一元二次方程． 一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=()0a ≠． 其中2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项． 一元二次方程22210x x -+=， 其中221a b c ==-=，，． 一元二次方程的根： 如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠，则0x 就是方程 20(0)ax bx c a ++=≠的一个根． 1满足2110-=，则1是方程20x x -=的一个根．0满足2000-=，则0是方程20x x -=的另一个根．∴0,1是方程20x x -=的两个根，表示为12=0, =1x x 一元二次方程都可化成如下形式： 20ax bx c ++=（0a ≠） ． 1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形． 2．一般形式中，b 、c 可以是任意实数，而二次项系数0a ≠，若0a =，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对b 进行讨论． 3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定a 、b 、c 的值，不要漏掉．．符号．． ． 4．项及项的系数要区分开． 建议 强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认识数学概念的方法，在今 后学习基本初等函数时也要使用． 【例1】 1. 判断下列方程是不是一元二次方程． 【例2】 ⑴ 2210x kx --=（k 为常数） ⑵ 4 13 x =+ ⑶ 210x -=； 【例3】 ⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2 2 33x x +=-； 【例4】 夯实基础 知识导航

二元一次方程组解法练习题精选(含答案)精选

解下列方程组 （1）（2）（3）（4）． 考点：解二元一次方程组． 分析：（1）（2）用代入消元法或加减消元法均可； （3）（4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解． 解答：解：（1）①﹣②得，﹣x=﹣2， 解得x=2， 把x=2代入①得，2+y=1， 解得y=﹣1． 故原方程组的解为． （2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39， 解得，y=3， 把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5， 解得x=2． 故原方程组的解为． （3）原方程组可化为， ①+②得，6x=36， x=6， ①﹣②得，8y=﹣4， y=﹣．所以原方程组的解为． （4）原方程组可化为：， ①×2+②得，x=， 把x=代入②得，3×﹣4y=6， y=﹣． 所以原方程组的解为． 点评：利用消元法解方程组，要根据未知数的系数特点选择代入法还是加减法： ①相同未知数的系数相同或互为相反数时，宜用加减法； ②其中一个未知数的系数为1时，宜用代入法．

3．解方程组： 考点：解二元一次方程组． 专题：计算题． 分析：先化简方程组，再进一步根据方程组的特点选用相应的方法：用加减法． 解答： 解：原方程组可化为， ①×4﹣②×3，得 7x=42， 解得x=6． 把x=6代入①，得y=4． 所以方程组的解为． 点评：；二元一次方程组无论多复杂，解二元一次方程组的基本思想都是消元．消元的方法有代入法和加减法． 4．解方程组： 考点：解二元一次方程组． 专题：计算题． 分析：把原方程组化简后，观察形式，选用合适的解法，此题用加减法求解比较简单． 解答： 解：（1）原方程组化为， ①+②得：6x=18， ∴x=3． 代入①得：y=． 所以原方程组的解为． 点评：要注意：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法．本题适合用此法． 5．解方程组： 考点：解二元一次方程组． 专题：计算题；换元法． 分析：本题用加减消元法即可或运用换元法求解． 解答： 解：， ①﹣②，得s+t=4， ①+②，得s﹣t=6， 即， 解得．

一元二次方程的概念说课稿

21.1 一元二次方程说课稿 各位评委老师好： 我今天说课的题目内容是：一元二次方程。这节课我将从教材、目标、教法、过程、板书这五方面进行分析。 一、教材的地位和作用 一元二次方程是新人教版九年制义务教育课本中九年级上第21 章的第一节内容，是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习二次函数、可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式等知识的基础。此外，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念。一、内容和内容解析 二、教学目标 根据大纲的要求、本节教材的内容和学生已有的知识经验，确定本节课的三维目标：知识与能力目标：（1）继续体会方程是刻画数量关系的一个有效数学模型；（2）理解一元二次方程的概念，一般形式，会将一元二次方程化成一般形式，正确识别一般形式中的项和系数； （3）培养学生观察、类比、归纳的能力。 过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学生自己抽象出一元二次方程的概念情感、态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。 3、教学重点与难点 要运用一元二次方程解决生活中的实际问题，首先必须了解一元二次方程的概念，而概念的教学又要从大量的实例出发。教学重点：理解一元二次方程的概念，掌握它的一般形式。教学难点：；一元二次方程的概念，正确识别一般式中的项及系数。 三、教法、学法： 因为学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程及相关概念，所以本节课我主要采用启发式、类比法教学。教学中力求体现“问题情景--- 数学模型----------- 概念归纳” 的模式。指导学生从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点。同时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。 四、教学过程设计1．创设情境，引入新知 请同学们阅读本章的章前问题--- 雕像的黄金分割问题，并回答：

北师大版八年级数学二元一次方程组知识总结及训练讲解学习

二元一次方程组知识总结及训练 ◆知识讲解 1．二元一次方程组的有关概念 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式方程叫做二元一次方程． 二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集． 二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解． 2．二元一次方程组的解法 代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法． 3．二元一次方程组的应用 对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤： （1）选定几个未知数； （2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组； （3）解方程组，得到方程组的解； （4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．

◆例题解析 例1 已知21x y =??=?是方程组2(1)21 x m y nx y +-=??+=?的解，求（m+n ）的值． 【分析】由方程组的解的定义可知21x y =??=?，同时满足方程组中的两个方程，将21x y =??=? 代入两个方程，分别解二元一次方程，即得m 和n 的值，从而求出代数式的值． 【解答】把x=2，y=1代入方程组2(1)21 x m y nx y +-=??+=?中，得 22(1)12211m n ?+-?=??+=? 由①得m=－1，由②得n=0． 所以当m=－1，n=0时，（m+n ）=（－1+0）=－1． 【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程． 例2 （2008，长沙市）“5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．?某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000?顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；?若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶． （1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？ （2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？ 【解答】（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x ，y 顶，则210523178x y x y +=??+=? 解得：x=41；y=32 答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶． （2）由3×（4×41+5×32）=972<1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务． 可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．

二元一次方程教学设计

《二元一次方程组》 （人教版课程标准实验教科书数学七年级下册） 哈尔滨市依兰县宏克力镇第二中学左湘茹 【摘要】本课的设计是“让学生成为课堂的真正主体”，学生在原有知识的基础上用类比的方法探索新知、运用新知，体验成功的喜悦。 【关键词】二元一次方程（组）二元一次方程（组）的解 1、教材的地位及作用 《二元一次方程组》是人教版《数学》七年级（下）第八章第一节的内容。它是在学生已解决了小学数学与中学数学的衔接问题，并已掌握了有理数、整式的加减、一元一次方程的基础知识后予以展开的，二元一次方程组是学习线性方程组和三元一次方程组的基础，在进一步学习一次函数的部分内容时，也要经常遇到二元一次方程组和它的求解问题；因此，二元一次方程组在初中数学中起着承上启下的作用。 2、教学目标 1、知识技能： （1）掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念，理解它们解的含义。 （2）理解二元一次方程（组）解的特殊性。 2、数学思考： 能用类比思想迁移知识，通过自主对知识进行归纳总结，培养其动手动脑能力。 3、解决问题： （1）会验证一对数是否为某个二元一次方程（组）的解。 （2）给出一对值，能说出相应的二元一次方程（组）。 4、情感态度价值观： 在探讨解决问题的过程中，敢于发表自已的见解，理解他人的看法并与他人交流。 3、重点、难点： 教学重点：二元一次方程（组）的定义及其解的意义。 教学难点：二元一次方程组解的概念的理解。 【分情分析】 学生们已经掌握整式的加减、一元一次方程、一元一次方程的解等知识，而七年级的学生还具备孩子的心理，对新事物充满好奇，喜欢探索，所以我采用故事激趣的方法，引出课题，鼓励学生用类比的方法获得新知。 【教学策略】 本课先采用故事激趣法，并使用类比法与启发式教学相结合，通过类比方法实现知识的迁移，旁征博引，举一反三，充分发挥学生的主体地位，培养其发散思维能力；在教学中运用多媒体辅助教学，循循善诱，直观生动，突出了教学得重点和难点，并增大了教学容量。 【教学过程】 （一）、创设情境，引入新课

一元二次方程的概念整理

一元二次方程的概念整理： 1. 一元二次方程的概念： （1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。 （2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），才能确定a 、b 、c 的值。 一元一次方程与一元二次方程的区别和联系 2. 一元二次方程的解法： 熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点。 一元二次方程的基本解法有四种： （1）直接开平方法： ()它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的方程。 ax b c a c +=≠≥200() （2）配方法： ()先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次 项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。 1x px p x m n n 22 220+?? ?? ?+=≥() （3）公式法： 用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。

关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式）， 若，则代入求根公式。a b c b ac b ac x b b ac a ?=--≥=-±-22 244042 （4）因式分解法： 适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。 我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。 对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。 3. 一元二次方程根的判别式： 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。 4. 一元二次方程的根与系数的关系： ()已知、是一元二次方程＋＋＝的两个根，那么，，，逆命题也成立。x x ax bx c a x x b a x x c a 122121200≠+=-?= 一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。 （2）不解方程，求某些代数式的值。 （3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。 （4）已知两数和与积，求这两个数。 （5）二次三项式的因式分解。 …… 运用根与系数的关系，可以大大缩减了复杂的运算量，避免进行无理数的计算。 注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。?≥≠???00a 5. 二次三项式的因式分解： 在实数范围内分解二次三项式ax 2＋bx ＋c （a ≠0），可先用求根公式求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根x 1、x 2，然后写成ax 2＋bx ＋c ＝a （x －x 1）（x －x 2）。当a ≠1时，分解时注意不要忘了a 。 ()()例如：x x x 2555-=+- 6. 可化为一元二次方程的分式方程的解法： 解分式方程的常用方法是去分母，换元法转化为整式方程求解。 解分式方程时，一定要注意验根，验根后要写结论。

二元一次方程组的解法(讲解+练习)

第八讲 二元一次方程组 一、知识梳理 （一）二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。 2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。任何一个二元一次方程都有无数个解。 3．方程组和方程组的解 （1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。 （2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。 4．二元一次方程组和二元一次方程组的解 （1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。 （2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。 （二）二元一次方程组的解法： 1．代入消元法 2．加减消元法 二、典例剖析 专题一：代入消元法： 1、直接代入 例1 解方程组?? ?=--=. 134,32y x x y 跟踪训练： ?? ?-==+738 25x y y x 2、变形代入 例2 解方程组???=+=-. 1043,95y x y x 跟踪训练： ???-=--=-.2354, 42y x y x 小结：代入消元法的方法（步骤）： （1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来. （2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值. （4）把所求得的一个未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值，写出方程组的解.

专题二：加减消元法 例3、解方程组（1）?? ?=+=-524y x y x （2）???=-=-322543y x y x （3）?? ?=+=+. 1034, 1353y x y x 跟踪训练：（1） （2） 注意： ⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便. ⑵如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好. [变式练习]选择适当的方法解下列方程组 （1）???=+---=+.5)3()1(2),1(32x y x y （2）???-=+---=+--23 )3(5)4(44 )3()4(2y x y x 专题三：有关二元一次方程组以及解的问题： 例4、（1）已知方程2 m -1 n -8(m-2)x +(n+3)y =5是二元一次方程，求m,n 的值。 （2） 求方程x+2y=5在自然数围的解。 ?? ?=+=-10 237 24y x y x

二元一次方程专题(内含答案详解)

二元一次方程专题 一．选择题（共12小题） 1．已知是关于x、y的方程4kx﹣3y=﹣1的一个解，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 2．已知与是二元一次方程mx+ny=5的两组解，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列方程中，是二元一次方程的是（） A．8x2+1=y B．y=8x+1 C．y=D．xy=1 4．在方程﹣=5中，用关于x的代数式表示y，正确的是（） A．x=y﹣10 B．x=y+10 C．y=x﹣15 D．y=y+15 5．已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为了促销而打折销售，若甲商品打八折，乙商品打六折，则可赚50元，若甲商品打六折，乙商品打八折，则可赚30元，甲、乙两种商品的定价分别为（） A．50元、150元B．50元、100元C．100元、50元D．150元、50元6．若关于x，y的方程x m+2﹣y n﹣1=5是二元一次方程，则m+n的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 7．将方程x+y=1中的x的系数化为整数，则下列结果正确的是（）A．﹣x+y=1 B．x﹣2y=﹣2 C．﹣x+y=2 D．x﹣y=2 8．已知x和y满足2x+3y=5，则当x=4时，代数式3x2+12xy+y2的值是（）A．4 B．3 C．2 D．1 9．若x、y满足方程组，则x﹣y的值等于（）

A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 10．若方程组的解满足x+y=0，则k的值为（） A．﹣1 B．1 C．0 D．不能确定 11．一个长方形的长的2倍比宽的5倍还多1cm，宽的3倍又比长多1cm，求这个长方形的长与宽．设长为xcm，宽为ycm，则下列方程组中正确的是（）A．B． C．D． 12．小明的储钱罐有5角和1元的硬币共100枚，币值共有68元．求5角、1元硬币各有多少枚？设小明有5角硬币x枚，有1元硬币y枚，则可列出方程组为（） A．B． C．D． 二．填空题（共6小题） 13．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是． 14．有一些苹果及苹果箱，若每箱装25千克，则剩余40千克无处装，如每箱装30千克则余20只空箱，则共有千克苹果，个苹果箱． 15．一次智力竞赛有20题选择题，每答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不给分也不扣，小亮答完全部测试题共得65分，那么他答错了道题． 16．把面值20元的纸币换成1元和5元的两种纸币，则共有种换法．