数理统计复习题第五章
第五章 大数定律与中心极限定理
一、 典型题解
例1设随机变量X 的数学期望()(){}2,3E X u D X X u σσ==-≥方差，求P 的大小区间。
解 令3εσ=，则有切比雪夫不等式有：
()()
()22
221
,339D X P X E X P X E X σεσεσ????-≥≤
-≥≤=????有
例2在n 次独立试验中，设事件A 在第i 次试验中发生的概率为()1,2,....i p i n =
试证明：A 发生的频率稳定于概率的平均值。
证 设X 表示n 次试验中A 发生的次数，引入新的随机变量0i A X A ?=??1,发生?
，不发生
()12,...i n =，
，则X 服从()01-分布，故 ()()(),1i i i i i i i E X p D X p p p q ==-=，
又因为
()
()2
2
4140i i i i i i i i p q p q p q p q -=+-=-≥，
所以
()()1
1,2, (4)
i i i D X p q i n =≤
= 由切比雪夫大数定理，对,o ε?>有()11lim 1n i i n i p X E X n ε→∞
=??
-<=????????
∑ 即 11lim 1n i n i X p p n n ε→∞
=??
-<=????
∑
例 3 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学
生无家长，1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求参加会议的家长数X 超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。
解（1）以()400,,2,1 =k X k 记第k 个学生来参加会议的家长数，则k X 的分布律为
k X 0 1 2 k P 0.05 0.8 0.15
易知()()19.0,1.1==k k X D X E ，1,2,...400.k =而∑==400
1
k k X X .由独立同分布中
心极限定理知，随机变量
19
.04001.140019
.04001
.1400400
1
?-=
?-∑=X X
k k
近似服从正态分布()0,1N ，于是
{
}()14004001.1
45011.147.00.4000.19
11.1470.1357
P X P P
?>=>=-≤
??≈-Φ= （2）以Y 记有一名家长来参加会议的学生数，则(400,0.8)Y B ，由德莫佛—拉普拉斯定理得
{
}
()340 2.52.50.9938.
P Y P P ≤=≤?=≤?
?≈Φ=
例4一加法器同时收到20个噪声电压()20,,2,1 =k V k ，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布。记∑==20
1k k V V ，求()105P V >的近
似值。
解 易知()())20,,2,1(12100,5 ===k V D V E k k ，由独立同分布中心极限定理，随机变量
20
1210052020
121005
2020
1
?-=
?-=
∑=V V
Z k k
近似服从正态分布()0,1N ，于是
()
()20387201001050.38712101220
110.
38710.3870.348
20t P V P P P dt --∞
?
??
?
?>=>
=>????
??
=-≤≈-=-Φ=
???
?
即有 ()1050.348.P V >≈
例5一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于03的概率为
1
3
p =
，若船舶遭受了90 000次波浪冲击，问其中有29 500～30 500次纵摇角度大于03的概率是多少？
解 我们将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并假定各次试验是独立的。在90 000次波浪冲击中纵摇角度大于03的次数记为X ，则X 是一个随机变量，且有
1(90000,)3
X B 。其分布律为{}9000090000
12,0,1,,90000.33k k
k P X k C
k -????=== ? ?????
所求的概率为
{}9000030500
9000029500
122950030500.33k
k
k
k P X C -=????≤≤= ? ?
????∑
要直接计算是麻烦的，我们利用德莫佛—拉普拉斯定理来求它的近似值。即有
{}
2
22950030500.t P X P dt -??≤≤=≤≤????
≈=Φ-Φ
其中
190000,3n p ==
。即有
{}()()
295003050020.9995P X ≤≤≈Φ-Φ-=.
例6 设在某中重复独立试验中，每次试验事件A 发生的概率为1
4
，问能以0.9997的概率保证在1000次试验中A 发生的频率与1
4
相差多少？此时A 发生的次数在哪个范围之内？
解 设A n 为n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，p 是在各次试验中事件A 发生的概率。则(),A n B n p ，当n 很大时，由德莫佛—拉普拉斯定理，有A n 近似服从()(),1,N np np p -从而
{}A A n p p p np n n np n n βεεε??
=-≤=-≤≤+?
???
p ??=≤≤
21?????≈Φ-Φ=Φ- ?
从而由题设 1
1000,,0.99974n p β===，
而 要求0.9997.A n p p n εε??
-≤=????
中的
由于210.9997A n p p n ε???-≤=Φ-= ?? ???，故
0.9999?
Φ= ?查表得
3.62, 3.62 3.620.0496ε====故。
四、练习题配置
1.设随机变量X 的数学期望()10E X =，方差()0.04D X =，利用切比雪夫不等式估计{}9.211P X <<的大小。
2.设电路共电网中内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关彼此独立，计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。
3. 生产灯泡12,,,,n X X X L L 的合格率为0.6，求10 000个灯泡中合格灯泡数在5 800～6 200的概率。
4. 某心里学家要研究一群孩子智商的平均值m ，他用1
1n
i i X X n ==∑作为m 的估
计，用12,,,n X X X L 分别表示对这n 个孩子智商测试的结果。若(),i E X m =()263.66i D X =，1,2,,i n =L 为使X 对m 的估计误差不超过5的概率不低于0.95，问他至少要测试多少个孩子？
5. 设有30个电子器件，它们的使用寿命1230,,T T T L 服从参数为0.1λ=[单位：(小时)1-]的指数分布。其使用规则是第一个损坏时立即使用第二个，第二个损坏时立即使用第三个等等。令T 为30个器件使用的总时间，求T 超过350小时的概率。
6. 设某车间有400台同类型的机器，每台机器开动时需要15单位的电能，根据产品的需求，每台机器开动时间是总时间的3/4。假定各机器的开动是相互独立的。问至少供应多少单位的电能才能以不低于99.9%的把握保证不致因供电不足而影响生产。
7. 一复杂的系统由n 个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠性为0.90，且必须至少有85%的部件工作才能使整个系统正常工作，问n 至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95？
8.某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差2400=s 为了估计μ，随机地取几只这种器件，在时刻t =0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命12,,,,n X X X 以 作为μ的估计，为使 问n 至少为多少？
概率与数理统计复习题及答案
Word 资料. 复习题一 一、选择题 1．设随机变量X 的概率密度21 ()01x x f x x θ-?>=?≤?，则θ=（ ）。 A ．1 Ｂ. 12 C. -1 Ｄ. 3 2 2．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为（ ）。 A ． 12 Ｂ. 23 C. 16 Ｄ. 1 3 3．设)(~),(~22221221n n χχχχ，2 221,χχ独立，则~2221χχ+（ ）。 A ．)(~22221n χχχ+ Ｂ. ~2 221χχ+)1(2 -n χ C. 2212~()t n χχ+ Ｄ. ~2221χχ+)(212 n n +χ 4．若随机变量12Y X X =+，且12,X X 相互独立。~(0,1)i X N （1,2i =），则（ ）。 A ．~(0,1)Y N Ｂ. ~(0,2)Y N C. Y 不服从正态分布 Ｄ. ~(1,1)Y N 5．设)4,1(~N X ，则{0 1.6}P X <<=（ ）。 A ．0.3094 Ｂ. 0.1457 C. 0.3541 Ｄ. 0.2543 二、填空题 1．设有5个元件，其中有2件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 2．设,A B 为互不相容的随机事件，()0.1,()0.7,P A P B ==则()P A B =U 3．设()D X =5, ()D Y =8,,X Y 相互独立。则()D X Y += 4．设随机变量X 的概率密度?? ?≤≤=其它 , 010, 1)(x x f 则{}0.2P X >= 三、计算题 1．设某种灯泡的寿命是随机变量X ，其概率密度函数为 5,0 ()0, 0x Be x f x x -?>=?≤? (1)确定常数B (2)求{0.2}P X > (3)求分布函数()F x 。
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
概率与数理统计复习题及答案
★编号：重科院（ ）考字第（ ）号 第 1 页 复习题一 一、选择题 1．设随机变量X 的概率密度21 ()0 1x x f x x θ-?>=?≤?，则θ=（ ）。 A ．1 Ｂ. 12 C. -1 Ｄ. 3 2 2．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为（ ）。 A ．12 Ｂ. 23 C. 16 Ｄ. 13 3．设)(~),(~22221221n n χχχχ，2 221,χχ独立，则~2221χχ+（ ）。 A ．)(~22221n χχχ+ Ｂ. ~2 221χχ+)1(2 -n χ C. 2212~()t n χχ+ Ｄ. ~2221χχ+)(212 n n +χ 4．若随机变量12Y X X =+，且12,X X 相互独立。~(0,1)i X N （1,2i =），则（ ）。 A ．~(0,1)Y N Ｂ. ~(0,2)Y N C. Y 不服从正态分布 Ｄ. ~(1,1)Y N 5．设)4,1(~N X ，则{0 1.6}P X <<=（ ）。 A ．0.3094 Ｂ. 0.1457 C. 0.3541 Ｄ. 0.2543 二、填空题 1．设有5个元件，其中有2件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 2．设,A B 为互不相容的随机事件，()0.1,()0.7,P A P B ==则()P A B =U 3．设()D X =5, ()D Y =8,,X Y 相互独立。则()D X Y += 4．设随机变量X 的概率密度?? ?≤≤=其它 , 010, 1)(x x f 则{}0.2P X >= 三、计算题 1．设某种灯泡的寿命是随机变量X ，其概率密度函数为 5,0 ()0, 0x Be x f x x -?>=?≤? (1)确定常数B (2)求{0.2}P X > (3)求分布函数()F x 。 2．甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品，每个厂的产量分别占总产量的40％，35％， 25％，这三个厂的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从三个厂生产的一批产品中任取
数理统计期末复习题1
2009期末复习题 注：这份答案是在2009年最后一晚做出来的，时间比较紧，所以可能有些地方不严谨，有什么错误还请各位多包涵。 处理一个问题有很多合理的办法，这份答案所列出的只不过代表个人的想法，仅供参考。 这份答案算是送大家的新年礼物吧，预祝大家期末考试顺利，一年都有好运 孟帅 1. 设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布N(0,32),而 921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的样本,则统计量U = 29 22 21 921Y Y Y X X X ++++++ 服从什么分布？为什么？ 解：分子分母同除以9得到 服从N （0，1）， 服从X 2（9）分布，因此U 服从 t （9）分布（课本92页） 2．某大学来自A,B 两市的新生中分别抽取10名和11名男生调查身 高，测得他们的身高分别为cm x 176=，cm y 172=，样本方差分别为3.1121=S ， 1.92 2=S 。不妨设两个城市的男生的身高分别服从正态分布),(2 1σμN 和 ),(22σμN ，求21μμ-的 95％的置信区间,并请在0.05水平下判断两个城 市的男生身高是否相等？ 解： 但是 未知，构造111页） 9 1i X ∑9119i i X =∑ 92 1 3 i i Y =()∑ 22 212σ=σ=σ2σ1 2 X Y --μ-μ
。 =10， =11， =11.3， =9.1， =176， =172。代入T 表达式得到 T= 。 T 服从t （ + -2）查附表7得到 =2.093 得到 的置信区间为： （1.088，6.912） 这个区间不包含0，可以直接判定在0.05水平下两城市男生身 高不相等。如果想严谨一点就在进行假设检验： 原假设：两城市男生身高相等；备择：两城市男生身高不等。 检验统计量 ，和 比较。 如果T 大于 ，拒绝原假设，否则接受。 3．随机调查了某校200名沙眼患者，经用某种疗法治疗一定时期后治愈168人，试求总体治愈率的95%置信区间。 解：样本率p=0.84，用大样本正态近似法求解，置信区间为： （ ， ）（课本115页） S ω1n 2n 21 S 22 S X Y 1n 2 n ()1241.3915 -μ-μ() 12μ-μ()2 19t 0.05X Y -()219t 0.05() 2 19t 0.052 p u α-2 p u α+
数理统计期末考试试卷
四川理工学院试卷（2014至2015学年第1学期） 课程名称：数理统计（A 卷） 命题教师： 适用班级：统计系2013级1、2班 注意事项： 1、满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。 3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、填空题（每空3分，共 24 分） 1. 设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本， 2σ已知，令∑==16 1161i i X X ，统计量σ -164X 服从分布为 （写出分布的参数）。 2. 设),(~2σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为 __________ 。 3. 设12,, ,n X X X 是来自总体X ~(1,1)U -的样本， 则()E X =___________， ()Var X =__________________。 4．已知~(,)F F m n ，则 1 ~F
5. ?θ和?β 都是参数a 的无偏估计，如果有_________________成立 ，则称?θ是比 ?β 有效的估计。 6．设()2,0.3X N μ~，容量9n =，均值5X =，则未知参数μ的置信度为0.95 的置信区间是___________________ (查表0.975 1.96U =） 7. 设123456,,,,,X X X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令 22123456()()Y X X X X X X =+++-- 则当C = 时CY ～2(2)χ。 二、选择题（每小题3分，共 24分 ） 1. 已知n X X X ,,,21 是来自总体2(,)N μσ的样本，μ已知，2σ未知，则下列是统计量的是（ ） （A ）2 1()n i i X X =-∑ （B ） 22 1 1 ()n i i X X σ =-∑ (C) 2 211 ()n i i X μσ=-∑ (D) 2 21 ()11n i i X n μσ=--∑ 2．设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN 的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2σ的下列估计量中，为无偏估计量的是（ ）. （A ）221 11?()n i i X X n σ==-∑ （B ）2221 1?()1n i i X X n σ==--∑ (C)223 11?()n i i X n σμ==-∑ (D)2 241 1?()1n i i X n σμ==--∑ 3. 设81,,X X 和101,,Y Y 是分别来自相互独立的正态总体)2,1(2-N 和)5,2(N 的 样本, 21S 和2 2S 分别是其样本方差，则下列服从)9,7(F 的统计量是( ) )(A 222152S S )(B 22 2 145S S )(C 2 22154S S )(D 222125S S
数理统计复习题
从会计那里偷来的，没有答案，希望大家跟进一下，然后群 共享一下，O(∩_∩)O 谢谢 数理统计复习题 一、 填空题 1. 已知总体X ~N(0，1)，n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本， 则2 1n i i X =∑~ . 2. 已知总体X ~n X X X N ,,),,(212σμ是来自总体X 的样本，要检验 ,:2020σσ=H 则采用的统计量为 . 3. 设T 服从自由度为n 的t 分布，若,)(αλ=>T P 则=<)(λT P . 4. 若θ?是参数θ的无偏估计量，则有E(θ?)= . 5. 设22,),,(~S X N X σμ分别为容量是n 的样本均值与样本方差，则~2 1∑=???? ??-n i i X X σ_________. 6. 在假设检验中，显著性水平α是用来控制犯第一类错误的概率；第一类错误 是指 . 7. 设91,...,X X 是总体)9,18(N 的容量为9的样本，X 、2S 分别为样本均值和样本方差。则：~X _________，~3 /18S X - ．此题中8413.0)1(=Φ。 8. 设41,...,X X 是总体)1,(u N 的容量为4的样本, u 为待估参数, 41,...,X X 的观测值分别为:68, 72, 69, 71. 则u 的置信度为95%的置信区间为:______________; 为了使估计区间的长度减少一半,可采取加大样本容量的办法, 则在本题中样本容量至少要取=n . (此题中96.12 05.0=Z ) 9.设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=， 则a =________. （注：20.0 1(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=）
数理统计习题数理统计练习题
数理统计 一、填空题 1．设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。 2．设母体 ),,(~2 N X 已知，则在求均值 的区间估计时，使用的随机变量为 3．设母体X 服从方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 4．假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5．某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 6．某地区的年降雨量),(~2 N X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 的矩估计值为 。 7．设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 22 21,S S 分别是两个子样的方差，令2 2222121)(,S b a aS ，已知)4(~),20(~22 2221 ，则__________, b a 。 8．假设随机变量)(~n t X ，则 2 1 X 服从分布 。 9．假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 X P ，则____ 。 10．设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ， X 为子样均值，而 01.0)( X P ， 则____ 11．假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2 N ，令 16 11 10 1 43 i i i i X X Y ，则Y 的 分布
概率论与数理统计复习题带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(A－B)=（）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击 中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可 表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障 的概率依次为，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二 次的概率为（）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为 （ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可 表示为（AB AC BC）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=, P(B) = , 则 P(A|B)= （）；
9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（ ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A -)= （ ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的 概率依次为，，，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ ）。 12. 若事件 A ? B 且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )=（ ）; 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )= （ ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =（ S ） 15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 （ ABC ABC ABC ++ ） 16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =则(|)P AB A B =（ ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ） 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概 率为（ 1 10000 ）。 二、选择填空题
概率论与数理统计练习题
概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望
北航数理统计期末考试题
材料学院研究生会 学术部 2011年12月 2007-2008学年第一学期期末试卷 一、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，令 )x x T -= ， 试证明T 服从t -分布t （2） 二、（6分，B 班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明 111(,)F F n m αααα-的（0<<1）的分位点x 是。 三、（8分）设总体X 的密度函数为 其中1α>-，是位置参数。x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计。 四、（12分）设总体X 的密度函数为 1x exp x (;) 0 , p x μμσσσ??-? -≥??? =????? ，其它， 其中,0,μμσσ-∞<<+∞>已知，是未知参数。x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本。 （1）试求参数σ的一致最小方差无偏估计σ∧ ； （2）σ∧ 是否为σ的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体211(,)N μσ的简单样本，y 1，y 2，…，y n 是来自正态总体222(,)N μσ的简单样本，且两样本相互独立，其中221122,,,μσμσ是未知参数，2212σσ≠。为检验假设012112:, :,H H μμμμ=≠可令12, 1,2,..., , ,i i i z x y i n μμμ=-==-则上述假设检验问题等价于0111:0, :0,H H μμ=≠这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z 1，z 2，…，z n ，在显著性水平α下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。 六、（6分，B 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，0μ已知，2σ未知，试求假设检验问题 22220010:, :H H σσσσ≥<的水平为α 的UMPT 。 七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？ 八、（6分）设方差分析模型为 总离差平方和 试求A E(S )，并根据直观分析给出检验假设012:...0P H ααα====的拒绝域形式。 九、（8分）某个四因素二水平试验，除考察因子A 、B 、C 、D 外，还需考察A B ?，B C ?。今选用表78(2)L ，表头设计及试验数据如表所示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。
数理统计复习题
1、设总体服从正态分布，今抽取容量为5的子样，，…，，试问： （i ）子样的平均值大于13的概率为多少？ （ii ）子样的极小值（最小顺序统计量）小于10的概率为多少？ （iii ）子样的极大值（最大顺序统计量）大于15的概率为多少？ 解：∵X~N （12，4），n=5，∴?X~N （12，4/5） （i ）P{?X>13}=1-P{ }=1-φ{ =1-φ(1.12)=1-0.8686=0.1314 （ii ）令X min =min{X1,X2,X3,X4,X5},X max =max{X1,X2,X3,X4,X5} P{X min <10}=1-P{X min >10}=1-P{X1,X2,……,X5>10} =1- =1- ∵Y= ~N(0,1) ∴P{X<10}=P{ =P{ <-1}=P{Y<-1} =1-P{Y<1}=1-φ(1)=1-0.8413=0.1587 ∴P{X min <10}=1- ≈1-0.4215=0.5785 （iii ）P{X min >15}=1-P{X min <15}=1-P{X1,X2，……，X5<15}=1- =1- ∴P{X min >15}=1- ≈1-0.7077=0.2923 2、设总体服从正态 ，，，…，为其子样，与分别为子样均值及方差。 又设与，，…，独立同分布，试求统计量 解：由于1n X +和X 是独立的正态变量， ∴2~X N n σμ?? ??? ，，()21~n X N μσ+，，且它们相互独立. ()()() 110n n E X X E X E X μμ++-=-=-=. ()()() 2 111n n n D X X D X D X n σ+++-=+= . 则211 ~0n n X X N n σ++??- ?? ? ，()01N ，.而()222~1nS n χσ-，且2 2nS σ与1n X X +-相互独立， 则()1T t n -. 3?设,求证 证明：又t 分布的定义可知，若()~01U N ， ，()2~V n χ，且U 与V 相互独立，则()~T t n ， 这时，22 U T V n =，其中，()22~1U χ.由F 分布的定义可知，()22 ~1U T F n V n =，. 4、设随机变量X 的概率密度为：，其中未知参数，是 来自的样本，求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。 解：(1) θθθ322)()(0 2 2 ===??∞ +∞-x d x x d x f x X E ，令θ32)?(==X X E ，得X 23?=θ为参数θ的矩估计量。 X ()124N ， 1X 2X 5X X X () 2N μσ，1X 2X n X X 2 S 1n X +1X 2X n X Y =()~T t n ()2~1T F n ，?????<<=其他θθx x x f 0, 0, 2)(20>θn X X ,,1 X θθ
概率论与数理统计练习题1
《概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或× 1．是取自总体的样本，则服从分布； 2．设随机向量的联合分布函数为，其边缘分布函数是； 3．设，，，则表示； 4．若事件与互斥，则与一定相互独立； 5．对于任意两个事件，必有； 6．设表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．为两个事件，则； 8．已知随机变量与相互独立，，则； 9．设总体， ,,是来自于总体的样本，则是的无偏估计量； 10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。 二、填空题 1．设是3个随机事件，则事件“和都发生而不发生”用表示为；2．设随机变量服从二项分布，则； 3．是分布的密度函数； 4．若事件相互独立，且，，，则= ； 5．设随机变量的概率分布为 -4-1024 则； 6．设随机变量的概率分布为 012 0.50.30.2
则的概率分布为 7．若随机变量与相互独立，，则； 8．设与是未知参数的两个估计，且对任意的满足，则称比有效；9．设是从正态总体抽得的简单随机样本，已知，现检验假设，则当时，服从； 10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平（），则犯第一类错误的概率是。 三、计算题 1.已知随机事件的概率，事件的概率，条件概率，试求事件的概率。 2.设随机变量，且，试求，。 3.已知连续型随机变量，试求它的密度函数。 4.已知一元线性回归直线方程为，且，，试求。 5.设总体的概率密度为 式中>－1是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，用最大似然估计法求的估计量。 6.设是取自正态总体的一个样本，其中未知。已知估计量是的无偏估计量，试求常数。 7.设有10个零件，其中2个是次品，任取2个，试求至少有1个是正品的概率。 四、证明题 1.设二维连续型随机向量的联合密度函数为 证明:与相互独立。 2. 1．若事件与相互独立，则与也相互独立。 2．若事件，则。
概率论与数理统计期末考试题及答案
模拟试题 填空题(每空3分，共45 分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85,则P(A| B)= P( A U B)= 1 2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为—,A发生且B不发生的概率与 B 9 发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：_______________________ ; 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 I Ae x, X c 0 4、已知随机变量X的密度函数为：W(x) = {1/ 4, 0 < X V 2，则常数A= 0, x>2
分布函数F(x)= ，概率P{—0.5
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。
概率论与数理统计复习题答案
概率论与数理统计复习题 一．填空题 1．设, , A B C 为三个事件,用, , A B C 的运算关系式表示下列事件： , , A B C 都发生_____________；, , A B C 中不多于一个发生______________. 解：ABC ； AB BC AC ABC ABC ABC ABC ??=??? 2.一副扑克牌共52张，无大小王，从中随机地抽取2张牌，这2张牌花色不相同的概率为 解：2114131325213 17C C C p C ==或者124132 5213117 C C p C =-= 3.同时掷甲、已两枚骰子，则甲的点数大于乙的点数的概率为 解：155 {(,)|,1,,6},{},()3612 S i j i j A i j P A ===>= =L 4.设随机事件A 与B 相互独立，()0.5,()0.6P A P B ==，则()P A B -＝ ，()P A B ?＝ 。 解：()()()()0.2P A B P AB P A P B -===, ()()()()()0.8P A B P A P B P A P B ?=+-= 5.已知6 1 )(,31)|(,41)(=== B P A B P A P ，则()P A B ?=______________. 解：111()()(|)4312P AB P A P B A ==?=，1 ()()()()3 P A B P A P B P AB ?=+-= 6.已知()0.6,()0.3P A P AB ==,且,A B 独立,则()P A B ?= . 解：()()()0.3()0.5()0.5P AB P A P B P B P B ==?=?= ()()()()()()()()0.8P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-= 7.已知 P(A)=,P(B)=,且A,B 互不相容，则()_____,()_____P AB P AB ==. 解：()()()0.3,()()()0.3P AB P B P AB P AB P A P AB =-==-= 或()()1()()0.3P AB P A B P A P B =?=--= 8.在三次独立的实验中，事件B 至少出现一次的概率为19/27，若每次实验中B 出现的 概率均为p, 则p=_______________ 解：设X 表示3次试验中事件B 出现的次数，则(3,)X B p :， 3191{1}1{0}1(1),273 P X P X p p ≥=-==--= ∴= 9.设(),0X P λλ>:，则X 的分布律为
数理统计复习作业题
第五章 1.从一批灯泡中随机抽取5只，测得其寿命（以小时计）为1050，1100，1120，1280，1250，，则其均值为，中位数为，极差为。 2.设n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN 的样本，其中2,σμ未知，则下面不是统计量 的是_____________)(A i X (B )11n i i X n =∑(C )221 1()n i i X X σ=-∑)(D 211()n i i X X n =-∑ 3.设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的 是_______) (A )(~/21 n t n X -(B ))1,(~)1(4112n F X n i i ∑=-(C ) )1,0(~/21N n X -(D ) 2211(1)~()4n i i X n χ=-∑ 4.F 分布由两个独立的分布除以各自原自由度相除而得。 5.设12,,,n X X X 来自总体2()n χ的分布, ()__________,()_________E X Var X == 6.设随机变量),(~n m F F 时,对给定的αααα-=≤<<-1)},({),10(1n m F F P ， 若)5,10(~F F ,则=> }) 10,5(1 {95.0F F P ______________ 7.设12,,,n X X X 为取自正态总体() ()2 ,0N μσσ> ~________ 8.设总体2 ~(0,)X N σ,127,,,X X X 为其样本,27 S 为样本方差,且2 272 ~(6)cS χσ,则常 数c =____________ 9.设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2 N ,而129,, X X X 和129,,, Y Y Y 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本。 试求统计量Z =的概率分布，并写出 参数. 第六章 1.用样本原点矩去估计总体相应矩的方法，称为。 2.设总体~(,2)X N μ，123,,X X X 是取自总体的简单随机样本,1?μ , 2?μ是参数μ的两个估计量，且1?μ=123 1112 4 4 X X X ++，2?μ=123111333 X X X ++,其中较有效的估计量_______ 3.设n X X X ,,,21 为正态总体),(2σμN （2 σ未知）的一个样本，则μ的置信度为1α－的单侧置信区间的下限为
概率论与数理统计期末考试试题及答案
《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩 、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54).
(5)设 X1X2, 未知，贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o： (A)U (C) 2)的一个简单随机样本，其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 ： (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设 则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立，且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本，丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本，则统计量 服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩
数理统计复习题
一、填空题 1. 设一组观察值为4，6，4，3，5，4，5，8，4，则样本均值X =_______.样本方差2S =___________. 2. 设X ～)1,0(N ，Y ~)(2n χ，X 与Y 独立，则随机变量T =_____分布，2T 服从 分布. 3. 设总体X 服从参数为5的泊松分布，从中抽取容量为10的一个样本，2,X S 分别是样本均值及样本方差，则()E X =_______;()D X =_______;()2E S =______. 4. 设21,X X 是来自总体X 的样本，统计值2114341X X += μ，2123 2 31X X +=μ，2132 1 21X X += μ都是总体μ的无偏估计，则最有效的是_____。 5. 设总体X ～),(2σμN ，已知0σσ=，要使总体均值μ对应于置信度为1α-的置信区间长度不大于L ，则样本容量n 至少应取___________. 6. 设总体X ～)9.0,(2μN ，抽取容量为9的简单随机样本，得样本均值5X =,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是_____________. 7．设总体X ～),(2σμN ，当σ已知和未知时，检验00:μμ=H 的检验统计量分别 为 和 。 二、总体X 服从0-1分布B(1,p)，求p 的矩估计量和最大似然估计量。 三、设12(,,)n X X X 为指数分布总体X 的一个样本，X 的密度函数为 /1,0, ()0,x e x f x θ θ -?>?=???其他。 求θ的矩估计量和最大似然估计量。 四、使用A （电学法）和B （混合法）两种方法来研究冰的熔化热，试样都是0.72o C -的冰，下列数据是每克冰从0.72o C -变为0o C 水的过程中的热量变化（单位：cal/g ）： 方法A ：79.98，80.04，80.02，80.04，80.03，80.03，80.04，79.97，80.05，80.03 方法B ：80.02，79.94，79.97，79.98，79.97，80.03，79.95，79.97
概率论与数理统计复习题--带答案
概率论与数理统计复习题--带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；
9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000