《概率与数理统计》
第一章 随机事件与概率
典型例题
一、利用概率的性质、事件间的关系和运算律进行求解
1.设,,A B C 为三个事件,且()0.9,()0.97P A B P A B C ==U U U ,则()________.P AB C -=
2.设,A B 为两个任意事件,证明:1|()()()|.4
P AB P A P B -≤ 二、古典概型与几何概型的概率计算
1.袋中有a 个红球,b 个白球,现从袋中每次任取一球,取后不放回,试求第k 次
取到红球的概率.(a a b
+) 2.从数字1,2,,9L 中可重复地任取n 次,试求所取的n 个数的乘积能被10整除的
概率.(58419n n n
n
+--) 3.50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱,每个部件用3只铆钉,若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太
弱,从而成为不合格品,试求10个部件都是合格品的概率.(19591960
) 4.掷n 颗骰子,求出现最大的点数为5的概率.
5.(配对问题)某人写了n 封信给不同的n 个人,并在n 个信封上写好了各人的地址,现在每个信封里随意地塞进一封信,试求至少有一封信放对了信封的概率. (01(1)!
n k
k k =-∑)
6.在线段AD上任取两点,B C,在,B C处折断而得三条线段,求“这三条线段能构成三角形”的概率.(0.25)
7.从(0,1)中任取两个数,试求这两个数之和小于1,且其积小于
3
16
的概率.
(13
ln3 416
+)
三、事件独立性
1.设事件A与B独立,且两个事件仅发生一个的概率都是
3
16
,试求()
P A.
2.甲、乙两人轮流投篮,甲先投,且甲每轮只投一次,而乙每轮可投两次,先投
中者为胜.已知甲、乙每次投篮的命中率分别为p和1
3
.(1)求甲取胜的概率;
(2)p求何值时,甲、乙两人的胜负概率相同?(
95
;
5414
p
p
p
=
+
)
四、条件概率与积事件概率的计算
1.已知10件产品中有2件次品,现从中取产品两次,每次取一件,去后不放回,求下列事件的概率:(1)两次均取到正品;(2)在第一次取到正品的条件下第二次取到正品;(3)第二次取到正品;(4)两次中恰有一次取到正品;(5)两次中
至少有一次取到正品.(28741644
;;;; 45954545
)
2.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的数字不再重复,试求下列事件的概率:(1)拨号不超过3次而接通电话;(2)第3次拨号才接通电话.(0.3;0.1)
五、全概率公式和贝叶斯公式概型
1.假设有两箱同种零件:第一箱内装50件,其中10件为一等品;第二箱内装30件,其中18件为一等品,现从两箱中随意挑选出一箱,然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回),试求:(1)先取出的零件是一等品的概率;(2)在先取出的零件是一等品的条件下,第二次取出的零件仍然是一等品
的概率.(2690
; 51421
)
2.有100个零件,其中90个一等品,10个二等品,随机地取2个,安装在一台设备上,若2个零件中有i个(0,1,2
i=)二等品,则该设备的使用寿命服从参
数为1i λ=+的指数分布,试求:(1)设备寿命超过1的概率;(2)若已知该设备寿命超过1,则安装在设备上的2个零件均是一等品的概率.(1
123123892189;110111108920e e e e e e e
-------++++) 六、伯努利试验
1.甲袋中9个白球与1个黑球,乙袋中有10个白球,每次从甲、乙两袋中随机地取一球交换放入另一袋中,这样做了3次,试求黑球仍在甲袋中的概率.(0.756)
2.假设一厂家生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂,以概率0.3需进一步调试,经调试后以概率0.8可以出厂,以概率0.2定为不合格品不能出厂,现该厂新生产了n 台仪器(假设生产过程相互独立),求恰好有k 台能出厂的概率.
((0.94)(0.06)k k n k n
C -) 综合题
1.某段时间00[,](0)t t t t +>内,证券交易所来了k 个股民的概率为(),0,1,2,,0!
k
t t e k k λλλ-=>L ,每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p ,且各股民是否购买这种股票相互独立.(1)求此段时间内,交易所共有r 个股民购买长虹股票的概率;(2)若已知这段时间内,交易所共有r 个股民购买了长虹股票,求交易所内来了m 个股民的概率. ((1)[(1)],();()!!0,m r
t p r
tp t p e m r tp e m r r m r λλλλ----?-≥?-??) 2.三架飞机(一架长机,两架僚机)一同飞往某目的地进行轰炸,但要到达目的地需要无线电导航,而只有长机有这种设备。到达目的地之前,必须经过敌方的高射炮阵地上空,这时任一飞机被击落的概率都是0.2,到达目的地之后,各飞机将独立地进行轰炸,炸毁目标的概率都是0.3,求目标被炸毁的概率.(0.477)
3.设有三箱同型号产品,分别装有合格品20件、12件和15件;不合格品为5件、4件和5件,现任意打开一箱,并从箱内任取一件进行检验,由于检验误差,每件合格品被误验为不合格品的概率为0.04,每件不合格品被误验为合格品的概率为0.04,试求;(1)取到的一件产品经检验定为合格品的概率;(2)若已知取到的一件产品被检验定为合格品,则它确实是合格品的概率.
(230.96237300.960.4;30300.745
??+?)
第二章 随机变量及其分布
典型例题
一、有关随机变量与分布的基本概念
设()F x 为连续型随机变量的分布函数,而且(0)0F =,证明:
1(),1()0,1F x F x G x x x ???-≥? ?=????
是分布函数.
二、求随机变量的分布律与分布函数
1.设随机变量X 的分布函数为0,10.4,11()0.8,13
1,
3x x F x x x <-??-≤=?≤?≥?,试求X 的分布律.
2.同时掷两枚骰子,观察它们出现的点数,求两枚骰子出现的最大点数X 的分布律.
3.向直线上掷随机点,已知随机点落入123(,0],(0,1],(1,)H H H =-∞==+∞的概率分别等于0.2、0.5、0.3,并且随机点在(0,1]上服从均匀分布,假定随机点落入区间(,0]-∞得0分,落在区间(0,1]的x 点得x 分,落在区间(1,)+∞内得1分,以X 表示得分,试求X 的分布律.
4.设连续型随机变量X 的密度为12,0211,1()2332,120,
x x x f x x x ?≤≤???<≤?=??-<≤????其他,试求X 的分布函数. 三、已知事件发生的概率,求事件中的未知参数
1.设随机变量X,Y 同分布,X 的概率密度为23,02()80,
x x f x ?<=???其他,已知事件
{}{},A X a B Y a =>=>独立,且3()4
P A B =U ,试求常数a . 2.设离散型随机变量X 的概率分布为{},(0,1,2,)n P X n ap n ===L ,而且X 取奇数值的概率为37
,试求常数,a p 的值. 四、利用常见分布求相关事件的概率(主要参看教材)
假设某科统考的成绩X 近似服从正态分布2(70,10)N ,已知第100名的成绩为60,问第20名的成绩为多少?
五、求随机变量函数的分布
1.已知随机变量X 的分布律为:1{},(1,2,)2n
P X n n ??=== ???
L ,求sin 2Y X π=的分布律. 2.设X 的密度函数为,1()0,1
x X e x f x x -?>=?≤?,试求X Y e =的概率密度()Y f y .
3.已知随机变量X 的概率密度()X f x ,求随机变量2min{,}Y X X =的概率密度()Y f y .
4.设随机变量X 的概率密度1,10
21(),024
0,X x f x x ?-<??=≤????
其他,令2Y X =,(,)F x y 为二维
随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Y f y ;(2)求1(,4)2
F -. 六、综合题
1.设随机变量X 的分布律为:
以及矩阵21121211
1A X X ??
??=????---??,试求A 的秩()r A 的分布函数.
2.一商场对某商品的销售情况作了统计,知顾客对该商品的需求X 服从正态分布2(,)N μσ,且日均销售量μ为40件,销售机会在30件到50件之间的概率为0.5,若进货不足,每件利润损失为70元;若进货量过大,则因资金积压,每件损失100元,求日最优进货量.(37)
第三章 多维随机变量及其分布
典型例题
一、联合分布、边缘分布与条件分布的计算
1.将三个相同的球等可能地放入编号为1、2、3的三个盒子中,记落入第1号与第2号盒子中球的个数分别为,X Y .(1)求(,)X Y 的联合分布律;(2)求X Y 与的边缘分布律;(3)问X Y 与是否独立?(4)求Y 关于1X =的条件分布律.
2.设随机变量123,,Y Y Y 相互独立,且均服从参数为p 的0—1分布,令
1231231,,(1,2)1,k Y Y Y k X k Y Y Y k ++=?==?-++≠?
(1)求12(,)X X 的联合分布律;(2)为p 为何值时,12()E X X 取最小值?
3.设(,)X Y 服从D 上的均匀分布,其中D 为x 轴、y 轴及直线21y x =+所围成的三角形区域,试求:(1)(,)X Y 的联合密度函数;(2)(,)X Y 的联合分布函数.
二、已知部分分布律或边缘分布,求联合分布律或相关参数(参见教材)
三、利用已知分布求相关事件的概率
1.设二维随机变量(,)~(0,0,1,1,0)X Y N ,则0________________.X P Y ??<= ???
2.设X Y 与是两个相互独立的随机变量,它们均匀分布在(0,)b 内,试求方程20t Xt Y ++=有实根的概率.
四、随机变量函数的分布
1.设随机变量X Y 与独立同分布,且X 的概率分布为:21{1},{2}33
P X P X ====记max{,},min{,}U X Y V X Y ==.
(1)求(,)U V 的概率分布;(2)求(,)U V 的协方差(,)Cov U V .
2.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,
x y x y f x y --<<<=??其他,(1)求{2}P X Y >;(2)求Z X Y =+的概率密度()Z f z .
五、随机变量的独立性的讨论(参见教材)
第四章 随机变量的数字特征
典型例题
一、期望和方差的计算(参见教材中的练习题)
1.一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.1,0.2和0.3,假设各部件的状态相互独立,以X 表示同时需要调整的部件数,试求X 的数学期望()E X 和方差()D X .
2.一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车,以X 表示停车的次数,求()E X (设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).
二、随机变量函数的数学期望与方差(参见教材中的练习题)
1.设随机变量X 的概率密度为21(),(1)
f x x x π=-∞<<+∞+,求[min(||,1)]E X . 2.在长为l 的线段上任意取两点,求两点间距离的数学期望与方差.
三、有关协方差、相关系数、独立性与相关性的命题
1.设(,)X Y 的联合密度函数为1(),0,2(,)80,
x y x y f x y ?+≤≤?=???其他,求
(,)(,).Cov X Y X Y ρ与
2.设二维随机变量(,)X Y 在矩形{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布,
记0,U ≤?=??若X Y 1,若X>Y ,0,2V ≤?=??若X Y 1,若X>2Y
,(1)求U 和V 的联合分布律;(2)求U 和V 的相关系数XY ρ.
3.设随机变量X 的密度函数为||1(),2
x f x e x -=-∞<<+∞,(1)求(||)E X 和(||)D X ;
(2)求X 与||X 的协方差,问X 与||X 是否不相关?(3)问X 与||X 是否独立?为什么?
4.设1132Z X Y =
+,其中22~(1,3),~(0,4)X N Y N ,且12
XY ρ=-,(1)求Z 的数学期望及方差;(2)求X 与Z 的相关系数;(3)X 与Z 是否相互独立?为什么? 四、有关数字特征的应用题
1.一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布,概率密度函数为
41,0()40,0x e x f x x -?>?=??≤?
工厂规定,出售的设备若在售出一年内损坏可予以调换,若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元,试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.(14300e -?)
2.一商店经销某种商品,每周进货的数量X (以公斤计)与顾客对该商品的需求量Y 是相互独立的随机变量,且都服从[10,20]上的均匀分布,商店每售出一单位商品可得利润1000元;若需求量超过了进货量,商店可从其他地方调剂供应,这时每单位商品可获利500元,试计算此商店经销该商品每周所得利润的期
望值.(2141663
) 3.假设由自动生产线加工的某种零件的内径X (单位:毫米)服从正态分布(,1)N μ,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损,已知销售利润T (单位:元)与销售零件的内
径X 有如下关系:1,1020,10125,12X T X X -?=≤≤??->?
,问平均内径μ取何值时,销售一个零
件的平均利润最大?(12511ln 10.9221
μ=-≈)
第五章 大数定律和中心极限定理
典型例题
一、有关切比雪夫不等式的命题
1.设随机变量X Y 与的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式,{||6}___________.P X Y +≥≤(112
) 2.设随机变量~(,)X B n p
,试用切比雪夫不等式证明:1{||4P X np -≥≤
. 3.设连续型随机变量X 的r 阶绝对长(||)r E X 存在(0)r >,证明:对任意0ε>,有(||)
{||}r r E X P X εε≥≤.
二、有关大数定律的命题
1.设随机变量12,,X X L 相互独立同服从参数为2的指数分布,则当n →∞时,
21
1n n i i Y X n ==∑依概率收敛于______________.(0.5) 2.设随机变量12,,,,n X X X L L 相互独立同分布,且()0n E X =,求:
1lim n i n i P X n →+∞=?????
∑.(1) 三、有关中心极限定理的命题
1.一食品店有三种蛋糕出售,由于售出哪一种蛋糕是随机,因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量,它取1(元)、1.2(元)、1.5(元)各个值的概率分别为0.3、0.、0.5,某天售出300只蛋糕.(1)求这天的收入至少400(元)的概率;
(2)求这天售出价格为1.2(元)的蛋糕多于60只的概率. (1;0.5
-Φ)
2.检查员逐个地检查某产品,每次花10秒钟检查一个,但也可能有的产品需要再花10秒钟重复检查一次,假设每个产品需要复查的概率为0.5,求在8小时
内检查员检查的产品个数多于1900个的概率是多少?(
Φ)
3.银行为支付某日即将到期的债券需准备一笔现金,已知这批债券共发放了500张,每张需付本息1000元,设持券人(1人1券)到期到银行领取本息的概率为0.4,问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换?
(233958.799
x≥)
4.(1)一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成,在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10,为了使整个系统起作用,,至少必须有85个部件
正常工作,求整个系统起作用的概率.(
5
3
??
Φ ?
??
)
(2)一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件构成,每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为0.9,且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作,问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95?
(0.9524.35
n
Φ≥?≥
??
)