高中数学专项训练(数列提升版)
高中数学专项训练（数列提升版）
（含详细解答）
1.已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=()
A. 100
B. 99
C. 98
D. 97
2.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为()
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
3.等差数列{a n}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的
和为()
A. ?24
B. ?3
C. 3
D. 8
4.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2=3，S4=15，则S6=()
A. 31
B. 32
C. 63
D. 64
5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且，，则使得S n取最小
值时的n为()
A. 1
B. 6
C. 7
D. 6或7
6.等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+?+
log3a10=()
A. 12
B. 10
C. 8
D.
7.已知等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a5=()
A. 1
B. 1
2C. 1
4
D. 4
8.设各项均为正的等比数列{a n}满足a4a8=3a7，则log3(a1a2…a9)等于()
A. 38
B. 39
C. 9
D. 7
9.已知等比数列{a n}为递增数列，S n是其前n项和.若a1+a5=17
2
，a2a4=4，则S6=()
A. 27
16B. 27
8
C. 63
4
D. 63
2
10.在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5=3，a8=8，则a12的值是()
A. 15
B. 30
C. 31
D. 64
11.等差数列{a n}中，已知S15=90，那么a8=()
A. 12
B. 4
C. 3
D. 6
12.正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得√a m?a n=2a1，且a6=a5+2a4，则
1 m +4
n
的最小值是()
A. 3
2B. 2 C. 7
3
D. 9
4
13.等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S n
T n =3n+1
n+3
，则
a2+a20
b7+b15
=______ ．
14.若数列{a n}的首项a1=2，且a n+1=3a n+2(n∈N?)，令，则
_________．
15.若数列{a n}满足a1=12，a1+2a2+3a3+?+na n=n2a n，则a2017=______ ．
16.设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=______．
17.设数列{a n}满足a1+3a2+?+(2n?1)a n=2n．
(1)求{a n}的通项公式；
}的前n项和．
(2)求数列{a n
2n+1
18.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．
19.已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=1
，a n b n+1+b n+1=nb n．
3
(Ⅰ)求{a n}的通项公式；
(Ⅱ)求{b n}的前n项和．
20.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，
b2=2，q=d，S10=100．
(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式;
(2)当d>1时，记c n=a n
，求数列{c n}的前n项和T n．
b n
21.已知数列{a n}的前n项和为S n,n∈N?，且S n=3
2a n?1
2
．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若b n=2n
a n+2?a n+1，设数列{
b n}的前n项和为T n,n∈N?，证明T n<3
4
．
22.在数列{a n}中，a1=4，na n+1?(n+1)a n=2n2+2n．
(Ⅰ)求证：数列{a n
n
}是等差数列；
(Ⅱ)求数列{1
a n
}的前n项和S n．
23.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，a3+a5=14．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=1
a n a n+1，若{
b n}的前n项和为T n，证明：T n<1
2
．
24.已知等差数列{a n}中公差d≠0，有a1+a4=14，且a1，a2，a7成等比数列．
(1)求{a n}的通项公式a n与前n项和公式S n；
(2)令b n=S n
n+k ，若{b n}是等差数列，求数列{1
b n b n+1
}的前n项和T n．
25.已知数列{a n}的前n项和S n满足4a n?3S n=2，其中n∈N?．
(Ⅰ)求证：数列{a n}为等比数列；
(Ⅱ)设b n=1
2
a n?4n，求数列{
b n}的前n项和T n．
26.已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；
(Ⅱ)设b n=log4a n.证明：{b n}为等差数列，并求{b n}的前n项和S n．
27.已知公差不为零的等差数列{a n}满足：a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设数列{b n}满足b n=1
，求数列{b n}的前n项和S n．
a n a n
+1
28.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1=4a n+2，a1=1．
(1)b n=a n+1?2a n，求证数列{b n}是等比数列；
(2)设c n=a n
，求证数列{c n}是等差数列；
2n
(3)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n．
29.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n?2(n∈N?).
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{S n}的前n项和T n．
30.等比数列{a n}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4=4a32．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=a n+1
，n∈N?，求数列{b n}的前n项和S n．
(1?a n)(1?a n+1)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的知识点是等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键，属于基础题．
根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．
【解答】
解：设{a n}的公差为d，
∵等差数列{a n}前9项的和为27，
S9=9(a1+a9)
2=9×2a5
2
=9a5．
∴9a5=27，a5=3，
又∵a10=8=a5+(10?5)d=3+5d，
∴d=1，
∴a100=a5+95d=98．
故选C．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列公式及等差数列求和的基本量运算，属于简单题．
利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．
【解答】
解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，
∵a4+a5=24，S6=48，
∴{a1+3d+a1+4d=24 6a1+
6×5
2
d=48
,
解得a1=?2，d=4，
∴{a n}的公差为4．
故选C．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等差数列前n项和的求法，等差数列、等比数列的性质，属于基础题．
利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a n}前6项的和．
【解答】
解：∵设等差数列{a n}的公差为d，(d≠0)，
由题意得a1=1，
∵a2，a3，a6成等比数列，
∴a32=a2?a6，
∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)，
解得d=?2，
∴{a n}前6项的和为S6=6a1+6×5
2
d
=6×1+6×5
×(?2)=?24．
2
故选A．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质，得出S2，S4?S2，S6?S4成等比数列是解决问题的关键，属于基础题．
由等比数列的性质可得S2，S4?S2，S6?S4成等比数列，代入数据计算即可．
【解答】
解：S2=a1+a2，S4?S2=a3+a4=(a1+a2)q2，
S6?S4=a5+a6=(a1+a2)q4，
所以S2，S4?S2，S6?S4成等比数列，
即3，12，S6?15成等比数列，
可得122=3(S6?15)，
解得S6=63．
故选C．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等差数列的前n项和，研究等差数列的前n项和的最小值，常用的方法是找出所有的负项，即可得到前n项和的最小值，属于中档题．
由题意，可根据a1+a5=?14，S9=?27，解出数列的首项和公差，从而求得数列的通项公式，求出所有负数项的个数，即可得出S n取最小值时n所取的值．
【解答】
解：设等差数列{a n}的公差是d，
∵a1+a5=?14，S9=?27，
∴2a1+4d=?14，即a1+2d=?7，①
=9(a1+4d)=?27，即a1+4d=?3，②
S9=9(a1+a9)
2
联立①②得到：a1=?11，d=2，
故有a n=a1+(n?1)d=2n?13，
令a n≤0，可解得n≤13
，
2
由此知，数列的前6项为负项，第7项为正项，
故S n取最小值时，n等于6．
故选B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了等比数列的性质，解题的关键是灵活利用等比中项的性质，以及对数运算，属于基础题．
先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+?+log3a10=log3(a5a6)5，则答案可得．
【解答】
解：由等比数列的性质可得a5a6=a4a7，
∴a5a6+a4a7=2a5a6=18，
∴a 5a 6=9，
∴log 3a 1+log 3a 2+?+log 3a 10 =log 3(a 5a 6)5=5log 39=10． 故选B ．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，是基础题．
利用等比数列通项公式求出首项和公比，由此能求出a 5的值． 【解答】
解：设等比数列{a n }的公比为q ，
∵等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，
∴{a 1+a 1q 2=10a 1q +a 1q 3=5
, 解得a 1=8，q =1
2， a 5=a 1q 4=8×1
16=12． 故选B ． 8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查对数式值的求法，解题时要认真审题，注意等比数列性质和对数函数运算法则的合理运用，属于基础题．
利用等比数列的性质推导出a 5=3，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log 3(a 1a 2…a 9)的值． 【解答】
解：∵数列{a n }为各项均为正的等比数列， ∴a 4·a 8=a 5·a 7，∴a 5·a 7=3a 7， ∴a 5=3，
∴log 3(a 1a 2…a 9)=log 3a 59
=log 339=9， 故选C ． 9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的通项公式，求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属基础题．
利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出结果． 【解答】
解：设递增的等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1+a 5=
172
，a 2a 4=4=a 1a 5，
∵a 5>a 1，
∴解得a 1=1
2，a 5=8，
∴a5
a1
=q4=16，解得q=2或q=?2(舍)，
∴S6=1
2
(26?1)
2?1
=63
2
．
故选D．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式和性质，属于基础题．利用等差数列的通项公式和性质即可得出．
【解答】
解：设等差数列{a n}的公差为d，
∵a3+a4+a5=3，a8=8，
而a3+a4+a5=3a4，
∴3a4=3，即a1+3d=1，a1+7d=8，
联立解得a1=?17
4，d=7
4
，
则a12=?17
4+7
4
×11=15．
故选A．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等差数列的性质和求和公式，属于基础题．
由题意可得：S15=15
2
(a1+a15)=90，由等差数列的性质可得a1+a15=2a8，代入可得答案．
【解答】
解：因为数列{a n}是等差数列，
所以，a1+a15=2a8，
则S15=15
2
(a1+a15)=15a8，
又S15=90，所以，15a8=90，则a8=6．
故选D．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件，属于中档题．
由a6=a5+2a4，求出公比q，√a m?a n=2a1，确定m，n的关系，然后利用基本不等
式即可求出1
m +4
n
的最小值．
【解答】
解：在等比数列中，
∵a6=a5+2a4，
∴a4q2=a4q+2a4，
即q2?q?2=0，
解得q=2或q=?1(舍去)，
∵√a m?a n=2a1，
∴a m?a n=4a12=a22，∴m+n=4，
∴1
m
+
4
n
=
1
4
(
1
m
+
4
n
)(m+n)
=1
4+1+n
4m
+m
n
≥5
4
+2√n
4m
?m
n
=9
4
，
当且仅当n
4m =m
n
，即n=2m时等号成立，
∵m+n=4，且n和m为正整数，∴等号无法成立，
经检验，当m=1，n=3时，1
m +4
n
最小值为：7
3
，
故选C．
13.【答案】8
3
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．根据等差数列的前n项和公式进行转化即可．
【解答】
解：在等差数列中，a2+a20
b7+b15=a1+a21
b1+b21
=
a1+a21
2
×21
b1+b21
2
×21
=S21
T21
，
∵S n
T n =3n+1
n+3
，
∴S21
T21=3×21+1
21+3
=64
24
=8
3
．
故答案为8
3
．
14.【答案】5050
【解析】【分析】
本题考查数列的递推公司，考查等比数列，等差数列的性质，属于中档题．
推导出{a n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，从而得，由此能求出b1+b2+b3+?+b100．
【解答】
解：∵数列{a n}的首项a1=2，且a n+1=3a n+2(n∈N?)，
∴a n+1+1=3(a n+1)，a1+1=3，
∴{a n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴a n+1=3n，
，
∴b1+b2+b3+?+b100=1+2+3+?+100
=100(100+1)
2
=5050．
故答案为5050．
15.【答案】12
2017
【解析】【分析】
本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
将a1+2a2+3a3+?+na n=n2a n，与当n≥2时，a1+2a2+3a3+?+(n?
1)a n?1=(n?1)2a n?1作差，进而可知na n=(n?1)a n?1=?=2a2=a1，代入计算即得结论．
【解答】
解：因为a1+2a2+3a3+?+na n=n2a n，
所以当n≥2时，a1+2a2+3a3+?+(n?1)a n?1=(n?1)2a n?1，
两式相减得：na n=n2a n?(n?1)2a n?1，
即n(n?1)a n=(n?1)2a n?1，
所以na n=(n?1)a n?1=?=2a2=a1，
由a1=12可知a n=a1
n =12
n
，
所以a2017=12
2017
．
故答案为12
2017
．
16.【答案】63
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得S9=9
2
(a1+a9)= 9a5，由此能求出结果．
【解答】
解：∵{a n}是等差数列，a4+a5+a6=21，
∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，
∴S9=9
2
(a1+a9)=9a5=63．
故答案为63．
17.【答案】解：(1)数列{a n}满足a1+3a2+?+(2n?1)a n=2n，
n≥2时，a1+3a2+?+(2n?3)a n?1=2(n?1)，
∴两式相减得(2n?1)a n=2，
∴a n=2
2n?1
，
当n=1时，a1=2，上式也成立，
∴a n=2
2n?1
；
(2)
a n
2n+1
=
2
(2n?1)(2n+1)
=
1
2n?1
?
1
2n+1
∴数列{a n
2n+1
}的前项和为：
S n=(1?1
3)+(1
3
?1
5
)+?+(1
2n?1
?1
2n+1
)=1?1
2n+1
=2n
2n+1
．
【解析】本题主要考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了计算能力，属于中档题．(1)利用数列递推关系即可得出；
(2)a n
2n+1=2(2n?1)(2n+1)=12n?1?1
2n+1，利用裂项求和方法即可得出．
18.【答案】解：(1)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，
由b 2=3，b 3=9，可得q =b
3
b 2
=3，
b n =b 2·q n?2=3·3n?2=3n?1； 即有a 1=b 1=1，a 14=b 4=27， 则d =
a 14?a 113
=2，
则a n =a 1+(n ?1)d =1+2(n ?1)=2n ?1； (2)c n =a n +b n =2n ?1+3n?1， 则数列{c n }的前n 项和为：
[1+3+?+(2n ?1)]+(1+3+9+?+3n?1)
=2n ·n +
1?3n
=n 2
+
3n ?12
．
【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的
求和方法：分组求和，属于中档题． (1)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，运用通项公式可得q =3，d =2，进而得到所求通项公式；
(2)求得c n =a n +b n =2n ?1+3n?1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可．
19.【答案】解：(Ⅰ)∵a n b n+1+b n+1=nb n ， 当n =1时，a 1b 2+b 2=b 1， ∵b 1=1，b 2=1
3，
∴a 1=2，
又∵{a n }是公差为3的等差数列， ∴a n =3n ?1；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：(3n ?1)b n+1+b n+1=nb n ， 即3b n+1=b n ，
即数列{b n }是以1为首项，以1
3为公比的等比数列， ∴{b n }的前n 项和S n =
1?(13)n
1?13
=32
(1?3?n )=32
?
12?3n?1
．
【解析】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n 项和公式，难度中档．
(Ⅰ)令n =1，可得a 1=2，结合{a n }是公差为3的等差数列，可得{a n }的通项公式； (Ⅱ)由(Ⅰ)可得：数列{b n }是以1为首项，以1
3为公比的等比数列，进而可得{b n }的前n 项和．
20.【答案】解：(1)设a 1=a ，由题意可得{10a +45d =100ad =2
,
解得{a =1
d =2，或{a =9d =29
,
当{a =1d =2时，a n =2n ?1，b n =2n?1； 当{a =9d =29时，a n =19(2n +79)，b n =9·(2
9)n?1；
(2)当d >1时，由(1)知a n =2n ?1，b n =2n?1， ∴c n =
a n
b n
=
2n?12n?1
，
∴T n =1+3×12
+5×
12
2+?+(2n ?1)·
12n?1
，
∴1
2T n =1×1
2+3×1
22+5×1
23+? +(2n ?3)×1
2n?1+(2n ?1)×1
2n ，
∴12T n =2+12+122+?+12n?2?(2n ?1)?12
n =3?
2n+32n
，
∴T n =6?
2n+32n?1
．
【解析】本题主要考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意
解题方法的积累，属于中档题．
(1)利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； (2)当d >1时，由(1)知c n =2n?1
2n?1
，写出T n 、1
2T n 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．
21.【答案】.解：(1)当n =1时，a 1=32a 1?1
2，得a 1=1，
当n ≥2时，S n?1=32a n?1?1
2，
则S n ?S n?1=a n =3
2(a n ?a n?1)，即a n =3a n?1， 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以a n =3n?1； (2)由(1)得b n =2n
a
n+2?a n+1
=n
3n ，
所以T n =1
3+2
32+?+n
3n ，① 所以13T n =132+233+?+n
3n+1，② 两式相减得23T n =13+13+?+13?n
3， 即2
3T n =
13(1?13
n )1?13
?n
3n+1，
所以T n =34?3+2n
4×3n ，
因为n ∈N ?，所以3+2n
4×3n >0，
即T n<3
4
．
【解析】本题主要考査了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)利用递推关系即可得出；
(2)利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．
22.【答案】证明：(Ⅰ)由已知na n+1?(n+1)a n=2n2+2n的两边同时除以n(n+1)，
得a n+1
n+1?a n
n
=2(n∈N?)，且当n=1时，a1
1
=4，
所以数列{a n
n
}是首项为4，公差为2的等差数列；
解：(Ⅱ)由(Ⅰ)，得a n
n
=2n+2，
所以a n=2n2+2n，
故1
a n =1
2n+2n
=1
2
?(n+1)?n
n(n+1)
=
1
2
?(
1
n
?
1
n+1
)
所以S n=1
2[(1?1
2
)+(1
2
?1
3
)+?+(1
n
?1
n+1
)]
=1
2(1?1
n+1
)=n
2(n+1)
，(n∈N?)．
【解析】本题主要考查了数列递推关系，等差数列的定义和证明、通项公式和裂项相消法求和，考查了计算能力，属于中档题．
(Ⅰ)由已知na n+1?(n+1)a n=2n2+2n的两边同时除以n(n+1)，得到a n+1
n+1?a n
n
=
2(n∈N?)，即可证明结论；
(Ⅱ)由(Ⅰ)，得a n
n =2n+2，可得a n=2n2+2n，1
a n
=1
2
(1
n
?1
n+1
)，利用裂项相消法即
可得出数列{1a
n
}的前n项和S n．
23.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由S9=9a5=81，得a5=9，
又由a3+a5=14，得a3=5，
由上可得等差数列{a n}的公差d=a5?a3
5?3
=2，
∴a n=a3+(n?3)d=2n?1；
(2)证明：由题意得，b n=1
a n a n+1=1
(2n?1)(2n+1)
=1
2
(1
2n?1
?1
2n+1
)．
所以T n=1
2(1?1
3
+1
3
?1
5
+?+1
2n?1
?1
2n+1
)=1
2
(1?1
2n+1
)<1
2
．
【解析】本题考查了等差数列的通项公式、性质及其求和公式、裂项求和的知识点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出；
(2)由题意得，b n =1
a
n a n+1
=
1(2n?1)(2n+1)=12(12n?1?1
2n+1
)，利用裂项求和即可得出T n =12
(1?
1
2n+1
)，从而得证．
24.【答案】解：(1)∵a 1+a 4=14，∴2a 1+3d =14，①
∵a 1，a 2，a 7成等比数列，∴a 22=a 1a 7，
即(a 1+d)2=a 1(a 1+6d)，② 由②得d 2=4a 1d ， ∵d ≠0，∴d=4a 1，
代入①解得d =4，a 1=1， ∴a n =a 1+(n ?1)d =4n ?3，
S n =
n (1+4n?3)
2
=2n 2?n ；
(2)由(1)知b n =
2n 2?n n+k
，
∵{b n }是为等差数列， ∴2b 2=b 1+b 3，即2×
62+k
=11+k +15
3+k ， 解得k =?1
2或k =0． ①当k =?1
2时，即b n =2n ， 则1
b
n b n+1
=14(1n ?
1
n+1)，
∴T n =14(1
1?1
2+1
2?1
3+?+1
n ?1
n+1)=1
4(1?1
n+1)=n
4(n+1)， ②当k =0时，b n =2n ?1， 则1
b
n b n+1
=1(2n?1)(2n+1)=12(12n?1?1
2n+1)，
∴T n =12(1
1?1
3+1
3?1
5+?+1
2n?1?1
2n+1)=1
2(1?1
2n+1)=n
2n+1， 综上可得，T n =n
4(n+1)或T n=n
2n+1．
【解析】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，等比中项的性质，数列求
和的方法：裂项相消法，考查方程思想，化简、计算能力.属于中档题．
(1)由等比中项的性质和等差数列的通项公式列出方程，联立方程求出d 、?a 1，由等差数列的通项公式求出?a n ，由等差数列的前n 项和公式求出?S n ；
(2)由(1)和条件化简?b n ，由等差数列的性质列出方程求出k 的值，代入求出b n 和1
b n b n+1
，
利用裂项相消法求出?T n ．
25.【答案】解：(Ⅰ)证明：因为4a n ?3S n =2，① 所以当n =1时，4a 1?3S 1=2，解得a 1=2； 当n ≥2时，4a n?1?3S n?1=2，②
由①?②，得4a n ?4a n?1?3(S n ?S n?1)=0， 所以a n =4a n?1， 由a 1=2，得a n ≠0，
故{a n }是首项为2，公比为4的等比数列；
(Ⅱ)由(Ⅰ)，得a n =2×4n?1， 所以b n =1
2a n ?4n =4n?1?4n ，
则{b n }的前n 项和：
T n =(40+41+?+4n?1)?4(1+2+3+?+n) =
1?4n 1?4
?4×
n(n+1)2
=
4n 3
?2n 2?2n ?1
3
．
【解析】本题主要考查数列的通项公式的应用，等比数列的证明，a n 与S n 的关系，以及等比数列和等差数列的前n 项和公式，属于中档题．
(Ⅰ)根据数列的递推关系利用作差法即可证明数列{a n }成等比数列； (Ⅱ)求出数列{a n }的通项公式，即可求出{b n }的通项公式．再分组求和． 26.【答案】(Ⅰ)解：设等比数列{a n }的公比为q ，依题意 q >0， ∵a 2=8，a 3+a 4=48，
∴a 1q =8，a 1q 2+a 1q 3=48， 两式相除得 q 2+q ?6=0， 解得 q =2，q =?3(舍去)， ∴a 1=
a 2q
=4，
∴数列{a n }的通项公式为 a n =a 1?q n?1=2n+1； (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得 b n =log 4a n =n+12
，
∵b n+1?b n =
n+22
?
n+12
=1
2，
∴数列{b n }是首项为1，公差为d =1
2的等差数列， ∴S n =nb 1+
n(n?1)2
d =
n 2+3n 4
．
【解析】本题主要考查等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的定义、等差数列的前n 项和公式是解题的关键，属于中档题． (Ⅰ)利用等比数列的通项公式即可得出；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论和对数的运算法则进行化简，再计算b n+1?b n 是否是一个常数即可判定，进而利用等差数列的前n 项和公式即可． 27.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 3+a 8=20，且a 5是a 2与a 14的等比中项， ∴{2a 1+9d =20(a 1+4d)2=(a 1+d)(a 1+13d)，解得a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n ?1)=2n ?1．
(2)b n =
1
(2n ?1)(2n +1)
=1
2(1
2n?1?1
2n+1)，
∴S n =b 1+b 2+b 3+?+b n
=1(1?1+1?1+?+1?1) =12(1?12n +1
)
=
n
2n+1
．
【解析】本题考查了等差数列的通项公式，等比数列的性质，裂项相消法求和，属于中档题．
(1)根据等差数列的通项公式及等比数列的性质列方程组，求出首项和公差即可得到通项公式；
(2)利用裂项相消求和即可．
28.【答案】(1)证明：由题意，S n+1=4a n +2，S n+2=4a n+1+2， 两式相减，得S n+2?S n+1=4(a n+1?a n )，a n+2=4a n+1?4a n ， ∴a n+2?2a n+1=2(a n+1?2a n )， ∵b n =a n+1?2a n ，∴b n+1=2b n ，
又由题设，得1+a 2=4+2=6，即a 2=5，
∴b 1=a 2?2a 1=3，∴{b n }是首项为3，公比为2的等比数列； (2)证明：由(1)得b n =3×2n?1， ∴b n =a n+1?2a n =3?2n?1， ∴
a n+12n+1
?
a n 2n
=34，即c n+1?c n =3
4
，c 1=a 12
=1
2
，
∴数列{c n }是首项为1
2，公差为3
4的等差数列； (3)解：由(2)得，c n =12+34(n ?1)=34n ?1
4，
即a n
2n
=34n ?1
4， ∴a n =(3n ?1)2n?2，
则S n =4a n?1+2=(3n ?4)×2n?1+2．
【解析】本题考查数列递推式，考查了等差数列与等比数列的判定，是较难题． (1)由已知数列递推式可得S n+2=4a n+1+2，与原递推式联立可得a n+2?2a n+1=2(a n+1?2a n )，即可证明数列{b n }是等比数列；
(2)由(1)得b n =3?2n?1，可得b n =a n+1?2a n =3×2n?1，两边同时除以2n+1即可证得数列{c n }是等差数列；
(3)由(2)求出数列{c n }的通项公式，可得数列{a n }的通项公式，结合已知条件可得数列{a n }的前n 项和S n ．
29.【答案】解：(Ⅰ)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n ?2①． 则S n+1=2a n+1?2②， ②?①得a n+1=2a n ， 即
a n+1a n
=2，
当n =1时，a 1=S 1=2a 1?2， 解得a 1=2，
所以数列的通项公式为a n =2?2n?1=2n ， (Ⅱ)由于a n =2n ，
则S n =21+22+?+2n ， =
2(2n ?1)2?1
，
=2n+1?2．
T n =2(21+22+?+2n )?2?2???2，
=2n+2?4?2n．
【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
(Ⅱ)利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n项和公式求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n项和的公式的应用以及分组求和．
30.【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q>0，
∵2a5，a4，4a6成等差数列，
∴2a4=2a5+4a6，
∴2a4=2a4(q+2q2)，
化为：2q2+q?1=0，q>0，
解得q=1
2
，
又满足a4=4a32，
∴a1q3=4(a1q2)2，
化为：1=4a1q，解得a1=1
2
，
∴a n=(1
2
)n(n∈N?)；
(2)b n=
a n+1
(1?a n)(1?a n+1)
=
2n
(2n?1)(2n+1?1)
=1
2n?1?1
2n+1?1
，n∈N?，
∴数列{b n}的前n项和S n=(1
2?1?1
22?1
)+(1
22?1
?1
23?1
)+?+(1
2n?1
?1
2n+1?1
)
=1?1
2n+1?1
，n∈N?．
【解析】本题考查了“裂项求和”方法、等差数列的性质，等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)设等比数列{a n}的公比为q>0，由2a5，a4，4a6成等差数列，可得2a4=2a5+4a6，化为：2q2+q?1=0，q>0，解得q.又满足a4=4a32，化为：1=4a1q，解得a1，可得a n；
(2)b n=a n+1
(1?a n)(1?a n+1)=2n
(2n?1)(2n+1?1)
=1
2n?1
?1
2n+1?1
，n∈N?，利用“裂项求和”方法
即可得出．