2013年辽宁大连中考数学试卷及答案(word解析版)

大连市2013年初中毕业升学考试

数 学

注意事项：

1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效．

2．本试卷共五大题，26小题，满分150分．考试时间120分钟．

一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1．（2013辽宁大连，1，3分）－2的相反数是 A .－2

B ．－

2

1

C ．

2

1 D ．2

【答案】 D . 2．（2013辽宁大连，2，3分）

如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的俯视图是

【答案】 A .

3．（2013辽宁大连，3，3分）计算（x 2）3的结果是 A ．x B ．3 x 2 C ．x 5 D ．x 6 【答案】D . 4．（2013辽宁大连，4，3分）一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为 A ．

3

1 B ．

5

2 C ．

2

1 D ．

5

3 【答案】B . 5．（2013辽宁大连，5，3分）如图，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠DOB ．若∠COB ＝35°，则∠AOD 等于

A ．35°

B ．70°

C ．110°

D ．145°

【答案】C . 6．（2013辽宁大连，6，3分）若关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0没有实数根，则实数m 的取值范围是

O A

B

C

D

第5题图

A B

C

D

正面

A ．m ＜－4

B ．m ＞－4

C ．m ＜4

D ．m ＞4 【答案】D . 7．（2013辽宁大连，7，3分）在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示：

金额/元 5 6 7 10 人数

2

3

2

1

这8名同学捐款的平均金额为 A ．3.5元 B ．6元 C ．6.5元 D ．7元 【答案】C . 8．（2013辽宁大连，8，3分）P 是∠AOB 内一点，分别作点P 关于直线OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连接OP 1、OP 2，则下列结论正确的是 A ．OP 1⊥OP 2 B ．OP 1＝OP 2 C ．OP 1⊥OP 2且OP 1＝OP 2 D ．OP 1≠OP 2 【答案】B .

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2013辽宁大连，9，3分）分解因式：x 2＋x ＝_________． 【答案】x （x ＋1）. 10．（2013辽宁大连，10，3分）在平面直角坐标系中，点（2，－4）在第________象限． 【答案】 四. 11．（2013辽宁大连，11，3分）将16 000 000用科学记数法表示为_______________． 【答案】 1.6×107. 12．（2013辽宁大连，12，3分）某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示 移植总数（n ） 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m ） 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率

n

m **

**

**

**

**

**

**

根据表中数据，估计这种幼树移植成活的概率为_______（精确到0.1）． 【答案】0.9.

13．（2013辽宁大连，13，3分）化简：x ＋1－1

22++x x

x ＝___________．

【答案】

1

1+x . 14．（2013辽宁大连，14，3分）用一个圆心角为90°，半径为32 cm 的扇形作为一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面圆的半径为_______cm ． 【答案】8.

15．（2013辽宁大连，15，3分）如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为

________m（精确到0.1m）．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

【答案】15.3.

16．（2013辽宁大连，16，3分）如图，抛物线y＝x2＋bx＋

2

9

与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为_________．

【答案】y＝x2－

2

9

x＋

2

9

.

三、解答题（本题共4小题，第17、18、19题各9分，第20题12分，共39分）17．（2013辽宁大连，17，9分）计算：()()12

3

1

3

1

5

11

-

-

+

+

?

?

?

?

?-

．

解：()()12

3

1

3

1

5

11

-

-

+

+

?

?

?

?

?-

＝5＋（1－3）－23＝5－2－23＝3－23．

18.（2013辽宁大连，18，9分）解不等式组：

?

?

?

-

<

+

+

>

-

)1

(4

8

1

1

2

x

x

x

x

第16题图

D

C

B

A

45°

30°

第15题图

解：解不等式①得x ＞2；解不等式②得x ＞4．所以不等式组的解集为x ＞4．

19. （2013辽宁大连，19，9分）

如图，ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE ＝CF .

求证：BE ＝DF .

证明：∵四边形ABCD 中是平行四边形 ∴AB ＝CD . ∠A ＝∠C .

又∵AE ＝CF .

∴△ABE ≌△CDF ∴BE ＝DF .

20．（2013辽宁大连，20，12分）以下是根据《2012年大连市环境状况公报》中有关海水浴场环境质量和市区空气质量级别的数据制作的统计图表的一部分（2012年其366天） .

大连市2012年海水浴场环境质量监测结果统计表

监测时段：2012年7月至9月

浴场名称 优（％） 良（％） 差（％）

浴场1 25 75 0 浴场2 30 70 0 浴场3 30 70 0 浴场4 40 60 0 浴场5 50 50 00 浴场6 30 70 0 浴场7 10 90 0 浴场8

10

50

40

F

D

B C

A E

第19题图

根据以上信息，解答下列问题：

（1）2012年7月至9月被监测的8个海水浴场环境质量最好的是_____（填浴场名称），海水浴场环境质量为优的数据的众数为______％，海水浴场环境质量为良的数据的中位数为____％；

（2）2012年大连市区空气质量达到优的天数为_____天，占全年（366天）的百分比约为_____（精确到0.1％）； （3）求2012年大连市区空气质量为良的天数（按四舍五入，精确到个位）．

【解】（1）浴场5；30；70；（2）129；35.2；（3）1－35.2％－3.8％＝61％，366×61％≈223（天）．答：2012年大连市区空气质量为良的天数为223天．

四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分） 21．（2013辽宁大连，21，9分）某超市购进A 、B 两种糖果，A 种糖果用了480元，B 种糖果用了1260元，A 、B 两种糖果的重量比是1：3，A 种糖果每千克的进价比B 种糖果每千克的进价多2元．A 、B 两种糖果各购进多少千克?

解：设A 种糖果购进x 千克，则B 种糖果购进3x 千克，根据题意列方程，得

x

x 31260

2480=

- 解得x ＝30

经检验，x ＝30是原方程的解，且符合题意． 3x ＝90

答：A 种糖果购进30千克，B 种糖果购进90千克．

22．（2013辽宁大连，22，9分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝

x

k

的图象相交于点A （m ，1）、B （－1，n ），与x 轴相交于点C （2，0），且AC ＝22OC ．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

O

50 100 150

200

250 129

优

良

污染

大连市2012年市区空气质量级别统计图

良的天数

优的天数

污染的天数 3.8％

人数 级别

（2）直接写出不等式ax ＋b ≥

x

k

的解集．

（1）解：过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，则AD ＝1．

在Rt △ACD 中，CD ＝112221222

2

22=-??

?

?

???=

-???

?

??=-OC AD AC ． ∴点A 的坐标为（3，1）． ∴1＝

3

k

，k ＝3． ∴反比例函数的解析式为y ＝x

3

． 由题意得???-=+-=+313b a b a 解得???-==2

1

b a

∴一次函数的解析式为y ＝x －2 （2）不等式ax ＋b ≥

x

k

的解集为－1≤x ＜0或x ≥3．

23．（2013辽宁大连，23，10分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，DA ⊥AB ，DO 及DO 的延长线与⊙O 分别相交于点E 、F ，EB 与CF 相交于点G ． （1）求证：DA ＝DC ；

O A

B

C x

y

第22题图

D

O A

B

C

x

y

第22题图

（2） ⊙O 的半径为3，DC ＝4，求CG 的长．

（1）证明： AB 是⊙O 的直径，DA ⊥AB ∴DA 是⊙O 的切线. ∵DC 是⊙O 的切线， ∴DA ＝DC .

（2）解：连接AC 、OC ，AC 与DO 相交于点H . ∵DA ＝DC ， AO ＝CO ，DO ＝DO ， ∴△AOD ≌△COD . ∴∠AOD ＝∠COD .

∴OD 是AC 的垂直平分线.

∵∠AHO ＝∠DAO ，∠AOH ＝∠DOA . ∴△AOH ∽△DOA .

∴

DA AH OD OA OA OH ==，即4

533AH

OH =

=. ∴OH ＝59，AH ＝5

12

＝CH .

在Rt △CHF 中，CF ＝2

22

2593512??

? ??++??? ??=+HF CH ＝5512.

∵O 、H 分别是A B 、A C 的中点， ∴BC ＝2OH ＝

5

18

. 又∵∠CFE ＝∠CBE ＝21∠COE ＝21∠AOE ＝2

1

∠BOF ＝∠BEF ＝∠BCF ， ∴△EFG ∽△BCG . ∴

355

186===BC EF CG FG ，即5CG ＝3FG ＝3（55

12－CG ）.

∴CG ＝

10

5

9. O

D

A

B

C

F

G

E

第23题图

五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分） 24．（2013辽宁大连，24，11分）如图，一次函数y ＝－

3

4

x ＋4的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，P 是射线BO 上的一个动点（点P 不与点B 重合），过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，在射线CA 上截取CD ＝CP ．连接PD ，设BP ＝t ．

（1）t 为何值时，点D 恰好与点A 重合?

（2）设△PCD 与△AOB 重叠部分的面积为s ，求s 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围．

解：（1）如图1，由y ＝－

3

4

x ＋4知：当x ＝0时，y ＝4；当y ＝0时，x ＝3. ∴O A ＝3，OB ＝4，A B ＝5. ∵∠PCB ＝∠A OB ＝90°,∠PBO ＝∠A BO ， ∴△PCB ∽△A OB .

∴

BO BC AO PC AB PB ==，即4

35BC

PC t =

=. ∴PC ＝53t ，BC ＝5

4t

.

当点D 与点A 重合时，BC ＋CD ＝B A ，即53t ＋5

4t

=5. ∴t ＝

7

25

. O

A

B C D

P

x

y 第24题图

O

A

B

C

F

G

E H

（2）当0＜t ≤725时（如图1），S ＝21PC ·CD ＝21×（53t ）2＝50

9t 2

. 当

7

25

＜t ≤4时，（如图2），设PD 与x 轴相交于点E ，作EF ⊥CD ，垂足为F . 由（1）知AD ＝BC ＋CD －BA ＝54t ＋53t －5＝5

7t

－5.

∵∠EF A ＝∠BOA ，∠EAF ＝∠BAO ，

∴△AFE ∽△AOB . ∴

BO EF AO AF

，即EF ＝34AF ＝3

4

（FD －AD ）. ∵CD ＝CP ，∠PCD ＝90°， ∴∠PDC ＝∠DPC ＝45°＝90°－∠DEF . ∴∠DEF ＝45°＝∠FDE .

∴FD ＝EF ＝

34（FD －AD ）＝34［EF －（57t

－5）］. ∴EF ＝4（5

7t

－5）.

∴S ＝21PC ·CD －21AD ·EF ＝509t 2－21(57t －5)×4（5

7t

－5）＝－50187t 2＋28t －50.

O

A

B

C

D

P x

y 第24题图2

E

F O

A

B C D

P

x

第24题图1

当4＜t ＜

425时（如图3），设PC 与x 轴相交于点E .则AC ＝AB －BC ＝5－54t . 同理EC ＝34AC ＝34（5－5

4

t ）.

∴S ＝21AC ·EC ＝21（5－54t ）×34（5－54t ）＝27532t －316t ＋3

50

.

综上，S ＝????

??

???+-≤-+-≤)4254(350

3167532)4725(502850

187)7250(50922

2

t t t t t t t t ．

25. （2013辽宁大连，25，12分）将△ABC 绕点Ｂ逆时针旋转α得到△DBE ，DE 的延长线与AC 相交于点Ｆ，连接DA 、BF .

（1）如图１，若∠ABC ＝α＝60°，BF ＝AF .

①求证：DA ∥BC ；②猜想线段DF 、AF 的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图2，若∠ABC ＜α，BF ＝mAF （m 为常数），求

AF

DF

的值（用含m 、α的式子表示）。

第25题图1

F D

A

E

B

C

O

A

B

C

D

P

x y 第24题图3

E

（1）①证明：如图1，由题意知，点E 在AB 上，DB ＝AB ，∠DBA ＝∠ABC ＝60°. ∴△DBA 是等边三角形. ∴∠DAB ＝60°＝∠ABC . ∴DA ∥BC .

②猜想：DF ＝2AF .

证明：在DF 上截取DG ＝AF ，连接BG （如图1） 由已知得DB ＝AB ，∠BDG ＝∠BAF ， ∴△DBG ≌△ABF .

∴BG ＝BF ，∠BDG ＝∠BAF .

∴∠GBF ＝∠GBE ＋∠EBF ＝∠GBE ＋∠DBG ＝∠DBE ＝60°. ∴△GBF 是等边三角形. ∴GF ＝BF . ∵BF ＝AF . ∴GF ＝AF .

∴DF ＝DG ＋GF ＝AF ＋AF ＝2AF .

（2）解：在DF 上截取DG ＝AF ，连接BG ，作BH ⊥DF ，垂足为H （如图）. 由（1）知BG ＝BF ，∠DBG ＝∠ABF . ∴GH ＝HF ＝2

1GF . ∠

HBF ＝

21（∠GBA ＋∠ABF ）＝21（∠GBA ＋∠DBG ）＝21

∠DBA ＝2

. 第25题图1

F D

A

E

B

C

G

第25题图2

在Rt △HBF 中，HF ＝BF ·sin ∠HBF ＝mAF ·sin

2

α

， ∴

AF

mAF AF AF

GF

DG AF DF 2sin

2α

?+=+=＝1＋2m sin 2

α．

26．（2013辽宁大连，26，12分）如图，抛物线y ＝－

5

4x 2＋524

x －4与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，

抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ．P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上） ．分

别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为D 、E ，连接MD 、ME ． （1）求点A 、B 的坐标（直接写出结果），并证明△MDE 是等腰三角形；

（2）△MDE 能否为等腰直角三角形?若能，求此时点P 的坐标，若不能，说明理由； （3）若将“P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）”改为“P 是抛物线在x 轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE 能否为等腰直角三角形?若能，求此时点P 的坐标（直接写出结果），若不能，说明理由．

解：（1）点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（5，0）. 证明：如图1，延长DM 与EB 相交于点F . ∵AD ⊥CP ，BE ⊥CP . ∴∠ADE ＝∠BED ＝90°.

y

x

O

A

B

M

C

备用图

O

A B

C

D

E

P

M

x

y

第26题图

第25题图2

G

F

∴AD ∥EB .

∴∠DAM ＝∠FBM ，∠MDA ＝∠MFB . 由题意知AM ＝BM ， ∴△ADM ≌△BPM . ∴DM ＝FM ＝

2

1DF . ∵∠DEF ＝90°. ∴EM ＝

2

1

DF . ∴DM ＝EM ，即△MDE 是等腰三角形.

（2）能.理由如下：

如图2，若△MDE 为等腰直角三角形，则DM ＝EM ，∠DME ＝∠MED ＝45°. 设直线CP 与对称轴相交于点G ，则∠MEG ＝180°－∠MED ＝135°. ∴∠MDA ＝∠ADG ＋∠MDE ＝90°＋45°＝135°＝∠MEG . ∵∠DMA ＝90°－∠AME ＝∠EMG . ∴△AMD ≌△GME . ∴GM ＝AM ＝

2

1

AB ＝2，即点G 的坐标为（3，2）. 设直线CP 的解析式为y ＝kx ＋b ，即???-==+423b b k ，解得???-==4

2

b k .

∴y ＝2x －4.

设点P 的坐标为（m ，2m －4），则－5

4m 2＋524m －4＝2m －4.

解得m 1＝0（舍），m 2＝2

7

. 当m ＝

27时，y ＝2×27－4＝3.即点P 的坐标为（2

7

，3）. O

A B

C

D

E

P M

x

y

第26题图1

F

（3）能.点P 的坐标为（6

31

，－95）．

y

x

O

A B

M

C

第26题图2

D

E F

G P