高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题,含答案免费)

高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题,含答案

免费)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==

x

x

x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得?

??=+=，1cos sin cos 2sin 2

2x x x

x 解这个方程组得.55cos 5

5

2sin ,55cos 552sin ???

????-=-=??

?????==x x x x

2．求

)

330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(

----的值．

解：原式

)

30360cos()150sin()30720tan()

120360sin()30180cos()180120tan(o

--+---++-= .3330

cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=

3．若

,2cos sin cos sin =+-x

x x

x ，求sin x cos x 的值．

解：法一：因为

,2cos sin cos sin =+-x

x x

x

所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，

得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得

，，???

???

?=-=??

?????-==1010cos 10

103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?-

=103

cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x

x x

x

所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有?-

=10

3cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．

证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证．

5．求函数)6

π

2sin(2+

=x y 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6

π76π26π,π20≤+≤≤≤

x x 由正弦函数的图象， 得到],1,2

1

[)6π2sin(-∈+x

所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．

(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，

令t =cos x ，则,4

13

)21(413)21(3)(],1,1[222

++-=++-=++-=-∈t t t t y t

利用二次函数的图象得到].4

13

,

1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4

π

sin(+x ，

则]2,2[-∈t 则，,12

--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,4

5

[+-

∈y 7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．

解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是

41个周期，这样求得44

=T ，T =16，所以?=8π

ω

又由)28π

sin(22?+?=，得到可以取).4

π8πsin(2.4π+=∴=x y ?

8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．

(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2

π

,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数x

x

y cos 3sin 1--=

的值域．

解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4

π

2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x

所以最小正周期为π．

(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8

π

3=

x 时，f (x )取最小值为.2-

1． 已知2tan =

θ，求（1）

θ

θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2

2cos 2cos .sin sin +-的值.

解：（1）

2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-

+

=++θθθ

θθθ

θθθθ； (2) θ

+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ22222

2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin

3

2

4122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θ

θ+θθ

-θθ=.

说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

2． 求函数2

1sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。

解：设sin cos )[4

π

t x x x =+=+∈，则原函数可化为

2213

1()24

y t t t =++=++

，因为[t ∈，所以

当t =

时，max 3y =12t =-时，min 3

4

y =，

所以，函数的值域为3

[34

y ∈，。

3．已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。

（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； （2）证明：函数()f x 的图像关于直线8

π

x =-

对称。 解：22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--

2sin 22cos 2)4

π

x x x =-=-

(1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，

所以，当2242ππx k π-

=+，即38

π

x k π=+时，()f x

最大值为； (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8

π

x =-对称，只要证明对任意x R ∈，有

()()88

ππ

f x f x --=-+成立，

因为())]2)28842ππππ

f x x x x --=---=--=-，

())]2)28842

ππππ

f x x x x -+=-+-=-+=-，

所以()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8

π

x =-对称。

4． 已知函数y=2

1

cos 2x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,

（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（1）y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2x －1)+ 41

+43（2sinx ·cosx ）+1

=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+4

5

=21sin(2x+6π)+4

5 所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6

π

+k π,（k ∈Z ）。

所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6

π

+k π,k ∈Z}

（2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：

（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x+6

π

)的图像；

（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的2

1

倍（纵坐标不变），得到函数

y=sin(2x+6

π

)的图像；

（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的2

1

倍（横坐标不变），得到函数

y=21sin(2x+6

π

)的图像； （iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+4

5

的图像。

综上得到y=2

1

cos 2x+23sinxcosx+1的图像。

历年高考综合题

一，选择题

1.（08全国一6）2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数

D ．最小正周期为π的奇函数

2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ?

?=+ ??

?的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ）

A ．向左平移

π

6个长度单位 B ．向右平移

π

6个长度单位 C ．向左平移5π

6

个长度单位

D ．向右平移5π

6

个长度单位

3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角

B ． 第二象限角

C ． 第三象限角

D ． 第四象限角

4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．2

5.（08安徽卷8）函数sin(2)3

y x π

=+图像的对称轴方程可能是 （ ）

A ．6x π=-

B ．12x π=-

C ．6x π=

D ．12

x π

=

6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π

个单位后，得到函数y=g(x )的图

象，则g(x )的解析式为 ( )

A.-sin x

B.sin x

C.-cos x

D.cos x

7.（08广东卷5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）

A 、最小正周期为π的奇函数

B 、最小正周期为

2π

的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π

的偶函数

8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ）

A. －3，1

B. －2，2

C. －3，

32

D. －2，

32

9.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3

π

个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1

x π

=则θ的一个可能取值是 （ ）

A.

512π B.512π- C.1112π D.11

12

π- 10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin

2

x

f x x

x =+是 （ ）

A ．以4π为周期的偶函数

B ．以2π为周期的奇函数

C ．以2π为周期的偶函数

D ．以4π为周期的奇函数

11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 （ ）

A ．1

B

C

D ．2

12.（08山东卷10）已知πcos sin 6αα??-+= ???7πsin 6α?

?+ ??

?的值是（ ）

A ．5

-

B ．

5

C ．4

5

-

D ．

45

13.（08陕西卷1）sin330?等于 （ ）

A ．2

-

B ．1

2

-

C ．

12

D ．

2

14.（08四川卷4）()2tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.（08天津卷6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3

π

个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ）

A ．sin 23y x x π?

?=-∈ ???R ，

B ．sin 26x y x π??

=+∈ ???

R ，

C ．sin 23y x x π?

?=+∈ ??

?R ，

D ．sin 23y x x 2π?

?=+∈ ??

?R ，

16.（08天津卷9）设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7

c π

=，则 （ ） A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．b c a <<

D ．b a c <<

17.（08浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （ ） A.

2π B .π C.32

π

D.2π

18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(2

32cos(ππ

，∈+=x x y 的图象和直线

2

1

=y 的交点个数是 （ ）

A.0

B.1

C.2

D.4 二，填空题

19.（08北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ．

20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω?

?=- ??

?的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ．

21.（08辽宁卷16）设02x π??

∈ ???

，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．

22.（08浙江卷12）若3

sin()25πθ+=，则cos2θ=_________。

23.（08上海卷6）函数f (x )＝3sin x +sin(π

2+x )的最大值是

三，解答题

24. （08四川卷17）求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。

25. （08北京卷15）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω?

?=+ ???（0ω>）的最小正周期

为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03??

????

，上的取值范围．

26. （08天津卷17）已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是

2

π

． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．

27. （08安徽卷17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ

=-+-+

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122

ππ

-

上的值域

28. （08陕西卷17）已知函数2()2sin cos 444

x x x

f x =-

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令π()3g x f x ?

?=+ ??

?，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．

1.D

2.C

3.C

4.B

5.B

6.A

7.D

8.C

9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C 19.

34 20. 10 21.3 22. 25

7

- 23.2 24. 解：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-

()2272sin 24cos 1cos x x x =-+- 2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+

()2

1sin 26x =-+

由于函数()2

16z u =-+在[]11-，中的最大值为

()2

max 11610z =--+= 最小值为

()2

min 1166z =-+=

故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6

【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值； 【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；

25. 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=

+11

2cos 222

x x ωω=-+ π1sin 262x ω?

?=-+ ??

?．

因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以

2π

π2ω

=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ?

?=-+ ??

?．

因为2π

03

x ≤≤

， 所以ππ7π2666

x --≤≤，

所以1πsin 2126x ?

?-- ??

?≤≤，

因此π130sin 2622x ??-+ ???≤≤，即()f x 的取值范围为302??????

，．

26. 解：

()2

42sin 22

4sin 2cos 4cos 2sin 22

2cos 2sin 12sin 2

2cos 12+??? ?

?

+=+??? ?

?

+=++=+++?

=πωπωπωωωωωx x x x x x x

x f 由题设，函数()x f 的最小正周期是2π，可得222π

ωπ=，所以2=ω．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+??? ??

+=πx x f ．

当ππ

π

k x 22

4

4+=

+

，即()Z k k x ∈+

=

216

π

π

时，??? ?

?+44sin πx 取得最大值1，所以函数()x f 的

最大值是22+，此时x 的集合为?

??

???∈+=Z k k x x ,216|ππ 27. 解：（1）

()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x πππ

=-+-+

1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =+

+-+

221cos 2sin 2sin cos 22

x x x x =+

+-

1cos 22cos 22x x x =+

- sin(2)6x π=- 2T 2

π

π==周期∴

（2）5[,],2[,]122636

x x πππππ

∈-∴-∈-

因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ

上单调递减，

所以

当3x π

=时，()f x 取最大值 1

又

1()()12

222f f π

π-

=-

<=，

∴当12

x π

=-时，()f x 取最小值2- 所以 函数 ()f

x 在区间[,]122

ππ

-

上的值域为

[ 28. 解：（Ⅰ）()f x sin

22x x =π2sin 23x ??

=+ ???

． ()f x ∴的最小正周期2π

4π12

T =

=． 当πsin 123x ??+=- ???时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ??

+= ???时，()f x 取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ??=+ ???．又π()3g x f x ?

?=+ ???．

∴1ππ()2sin 233g x x ???

?=+

+ ???????π2sin

22x ??

=+ ???

2cos 2x =． ()2cos 2cos ()22x x g x g x ??

-=-== ???．

∴函数()g x 是偶函数．