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黑洞与弯曲的时空

复习

1.黑洞研究

黑洞最初被视为一颗死亡的星，被认为是恒星演化的最终归宿。起初，人们的着眼点只放在研究它的力学行为上。后来才突然发现黑洞有着丰富的内涵，它不仅有力学性质，而且有量子性质和热性质。黑洞不是一颗死亡了的星体，它有着丰富的生命力。黑洞不是天体演化的最终归宿，而是天体演化的一个中间阶段。

最为奇妙的是，黑洞有温度，有热辐射，黑洞的表面积可以看作熵。黑洞具有负的热容量，发出热辐射后，自身温度不仅不降低反而会升高。因此，黑洞与外界很难形成稳定的热平衡。大黑洞温度很低，小黑洞具有极高的温度，最终会发生爆炸。研究表明，两个黑洞碰撞时，接触点的温度会降到绝对零度，而尾部会产生高温喷流。

2.两大难题

广义相对论的研究，特别是黑洞理论的研究，引导出物理学的一个基本困难——奇点困难。奇点是时空曲率发散（无穷大）的地方，是时空的病态部分。目前认为，奇点本身不应属于时空。奇点可以看作时间开始或者终结的地方。彭若斯和霍金等人严格证明了一条奇点定理。该定理的内容可粗略表述如下：

只要广义相对论正确，因果性良好，而且时空中至少有一点存在物质，那么这个时空就一定有奇点，或者说，就至少有一个物理过程，时间有开始，或者有结束，或者既有开始又有结束。

他们似乎证明了，任何物理时空中的时间，都不可能是无限的。彭若斯和霍金证明了时间的有限性！奇点定理对物理学和哲学的影响是显而易见的。

现代物理学的另一个重要困难也来自弯曲时空的研究。多年的探讨表明，引力场量子化后不能重正化，其中有一些无穷大的项（发散部分）没有办法消除，即使采用现在的任何一种超对称、超引力和超弦方案也解决不了这一困难。

“奇点困难”和“引力场量子化困难”，是目前摆在物理学工作者面前的两大难题，它们有可能把物理学导向一场新的革命。

3.发展前景

这里，黑洞的研究最值得注意。它把热力学与时间弯曲联系起来。物理学中有两个规律比较特别，一个是广义相对论，另一个是热力学第二定律。所有的物理理论都把时空看作平直的，都认为时空是与物质和运动无关的背景，只有广义相对论认为时空与物质和运动不可分离，时空不是平直的，而是弯曲的。所有的物理理论（甚至包括广义相对论）都认为时间是可逆的，只有热力学第二定律显示了时间演化的箭头。热力学与时空理论（广义相对论）的结合，很有可能是物理学革命的新起点。

一、对时空和宇宙的早期认识

二、相对论与量子论

（一）相对论的提出

1. 麦克斯韦电磁理论

2. 洛伦兹收缩，洛伦兹变换

3. 爱因斯坦相对论

（二）相对论的内容

相对论以洛伦兹变换为核心。 1. 同时的相对性 2. 运动时钟变慢 3. 质能关系

4. 闵可夫斯基时空

x 0 = ct , x 1=x , x 2 = y , x 3 = z

在相对论中，矢量被定义为在洛伦兹变换下与坐标（微分元）一样变的量。例如，在c == G =1的自然单位制下（其中= h / 2π），电磁场的电势φ和磁势A i (i = 1，2，3)可构成洛伦兹变换下的四维矢量

0123A A A A A ?? ? ?=

? ? ???

（2.2.16）

其中A 0 =φ。

J β = (J 0, J 1, J 2, J 3)为四维电流密度矢量，其中J 0 =ρ为电荷密度，J i ( i = 1, 2, 3)为三维电流密度。所有的力学量和电学量都可以写成张量，所有的力学规律（除万有引力定律之外）和电磁学规律都可以写成张量方程。力学规律和电磁学规律都满足洛伦兹变换和相对性原理，都符合相对论。在相对论中，时间与空间构成一个不可分割的整体——四维时空，能量与动量也构成一个不可分割的整体——四维动量。

（三）相对论的若干重要概念

1. 世界线

闵可夫斯基时空中的一个点，用(t , x , y , z )四个座标表示，称为一个事件。三维空间中的一个点，不管是运动的还是不动的点，由于时间的不停发展，在四维时空中都会描出一根线，称为世界线。图231，z 未画。

三维空间，两点之间距离d l 的平方

d l 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 （2.3.1） d x 2 = ( x 2 – x 1 ) 2, d y 2 = ( y 2 – y 1 ) 2, d z 2 = ( z 2 – z 1 ) 2 四维时空中两点的“距离”表示为

d s 2 = - c 2 d t 2 + d x 2 + d y 2 + d z 2 （2.3.2）

d s 通常称为两点的间隔。又可看作世界线的线元。当d s 2 = 0时，有

222222

dx dy dz v c dt ++≡=

2222222220 0 0 ds v c ds v c ds v c >?>=?=

2. 光锥

时空中任选一点P ，与P 点的间隔类光的点组成的锥面，称为P 点的光锥，图232。光锥实际上是四维时空中的一个三维超曲面，图中略去了一维空间。内部，类时。未来，过去。面上，类光。外部，类空。相对论，无因果联系。

类时矢量，类空矢量，类光矢量。图233。 3. 固有时间与双生子佯谬定义

ds d i

τ= （2.3.4）

为此质点的固有时间。相对论认为，一个质点的固有时间是它经历的真实时间。当质点静止在S 系中时，它的固有时间τ与S 系的时间t （称为S 系的坐标时间）一致。但是，如果质点不在S 系中静止，而是在运动，那么d x ，d y ，d z 都可能不为零。这时，从

d s 2 = - c 2 d t 2 + d x 2 + d y 2 + d z 2 （2.3.2）可知

d τ=

（2.3.5）

2dx dy dz v dt dt dt ??????=++ ? ? ?

??????

v 为质点在S 系中的运动速度。质点运动，其固有时间与S 系的坐标时间并不一致。那么，哪一个是质点经历的真实时间呢？相对论认为，是固有时间τ，而不是坐标时间t 。假如此质点是一个钟，它指示的时间是τ而不是t 。

d i

τ=（2.3.4），固有时间τ与s 成正比。s 表示世界线的“长度”，故τ也表示世界线的“长度”。因此，质点世界线的长度就是它所经历的真实时间——固有时间。固有时间不依赖于选用什么坐标系，只依赖于质点（这个质点可以是一个观测者）自身描出的世界线的长度。 4. 时空图与零曲面

法矢量倒在超曲面内，并与其一个切矢量重合的现象在黑洞研究中极为重要。我们称这样的

超曲面为零超曲面，简称零曲面或类光曲面。它的法矢量称为零矢量或类光矢量。

（四）量子论的进展

1.量子力学的建立

2.相对论量子力学与狄拉克真空

克莱因—高登方程描述自旋为零的粒子。

狄拉克方程描述自旋为1/2的粒子。

克莱因—高登方程存在负能困难和负几率困难。

狄拉克方程避免了负几率困难，但仍存在负能困难。

狄拉克提出“真空不空”的思想，在泡利不相容原理的基础上克服了负能困难，并预言了正电子和反物质的存在。

狄拉克认为，真空并不是一无所有的状态，而是能量最低的状态。也就是说，真空是所有正能态都空着，而所有负能态都被粒子填满的状态。注意，空着的负能态比填满时的能量要高。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

3.二次量子化与量子场论

三、弯曲的时空

（一）广义相对论的物理基础

1.狭义相对论的困难

(1)惯性系所引起的困难

(2)万有引力所引起的困难

爱因斯坦把万有引力定律写成洛伦兹协变形式的任何企图都失败了。

爱因斯坦提出了广义相对性原理和等效原理作为建立新理论的基石。

2.广义相对性原理和马赫原理

假定相对性原理和光速不变原理在任何参考系中都成立，而不仅仅只在惯性系中成立。这样，狭义相对性原理被推广为广义相对性原理：

一切参考系都是平权的，即物理规律在任何坐标系下形式都不变——广义协变性。

光速不变原理适用的范围也从惯性观测者推广到任意观测者：任意观测者测量的光速都是c。

马赫原理引导爱因斯坦找到了新理论最重要的一块基石——等效原理。

3.引力质量与惯性质量相等

4.等效原理

引力质量与惯性质量相等的推论是a = g。它表明引力场与惯性场

．．．等效，这称为等效原理。

5.新理论的构想

他把等效原理、广义相对性原理和光速不变原理作为新理论的基础。

他觉得，新理论的基本方程应该有两个，一个描述质量如何使时空弯曲

质量项= 曲率项

另一个描述弯曲时空中质量的运动。

广义相对论实际上是一个关于时间、空间和引力的理论。

（二）黎曼几何中的张量

1. 黎曼几何的建立

2. 广义坐标变换

弯曲时空不能建立大范围的直角坐标系，只能使用曲线坐标。曲线坐标系之间的变换一般是非线性、非正交的。我们称其为广义坐标变换。广义坐标变换下坐标微分元的变换关系

x dx dx x

μμ

ν'?'=? μ，ν= 0，1，2，3 （3.2.2）

重复指标同样代表求和。 3. 张量的定义

张量是按坐标变换的规律来定义的，这是张量最根本的特点。定义在坐标变换下不变的量为标量。

u '(x ') = u (x )

（3.2.6）在广义坐标变换下，像坐标微分元一样变换的量，称为逆变矢量

x dx dx x

μμ

ν'?'=? μ，ν= 0，1，2，3 （3.2.2）

x A A x

μμ

ν'?'=?

μ，ν= 0，1，2，3 （3.2.7）

不难看出，(3.2.7)与(3.2.2)的变换规律一样。在广义坐标变换下，变换规律为

x A A x ν

νμ?'='

? （2.2.8）

的量，称为协变矢量。它的变换规律与偏导数相同

f x f x x x ν

μμν

???=

''??? 容易看出，逆变和协变矢量都由四个分量组成。

在广义坐标变换下，也可定义逆变张量、协变张量和混合张量。有两个指标的张量称为二阶张量。有一个指标的矢量，称为一阶张量。没有指标的标量，称为零阶张量。存在二阶以上的张量，例如描述时空弯曲情况的曲率张量R

μνσρ

，它有四个指标。

本节介绍的张量是广义坐标变换下的张量，由于坐标变换非线性，变换系数x x

ν'??不是常数，而

是时空点的函数。我们只能在时空中逐点定义张量。

不过，既然每一点都可以定义张量，那么，各点定义的同一个张量就可以构成一个张量场，每一点定义的同一个矢量也可以构成一个矢量场，当然每一点定义的同一个标量也可以构成一个标

量场。这样，我们就可以把洛伦兹变换下的电磁矢量和张量推广到弯曲时空中，得到电磁矢量场和电磁张量场。

4. 张量的运算和缩并

A μν+

B μν=

C μν （3.2.13）

A μν

B σ= D μνσ

（3.2.14）

张量有一种特殊的运算，叫做缩并。如果一个逆变矢量A μ

与一个协变矢量B μ相乘，而且指标相同，则它们的乘积将变成标量

A μ

B μ= u （3.2.15）这种运算叫做缩并。它类似于普通物理力学、电磁学中的矢量的内积

A ·

B = A x B x + A y B y + A z B z （3.2.16）

运算的结果不再是矢量，而是标量。实际上，由于重复指标代表求和，（3.2.15）可表示成

A μ

B μ= A 0B 0 + A 1B 1 + A 2B 2 + A 3B 3

（3.2.17）

与（3.2.16）非常相似。我们把矢量之间的缩并（3.2.15）称为矢量的内积或标积。二阶以上张量也可以做缩并运算，例如

A μν

B ν

= C μ （3.2.18）

缩并后成为一阶张量——矢量。

A μν

B μ

C ν

= u （3.2.19）

缩并成标量。总之，只要一个上指标与一个下指标相同，就发生缩并。同时要注意，缩并时出现重复指标，别忘了求和。 5. 度规张量

把“间隔”的概念，从平直时空推广到弯曲时空。弯曲时空中的间隔，也是广义坐标变换下的不变量——标量。

现在来给出“间隔”与坐标微分元之间的关系。我们引进一个二阶张量g μν，使得

d s 2 = g μνd x μd x ν

μ,ν= 0，1，2，3 （3.2.29）

注意重复指标代表求和，上式的右端一共16项。张量g μν与间隔的度量有关，称为度规张量，共16个分量，可用矩阵表示

()00030102101311122021222331

33g g g g g g g g g g g g g g g g g μν?? ? ?

= ? ? ???

（3.2.30）

它是一个对称张量，g μν= g νμ。例如，g 12= g 21，g 01= g 10。所以，独立分量只有10个。

度规是广义相对论的基本几何量（同时又是基本物理量）。确定了度规，就确定了时空曲率。所以，知道了度规，就了解了整个时空的几何性质。广义相对论的主要研究，都集中在确定和研讨时空的度规上。

6. 能量—动量张量

（三）广义相对论中的时间和空间

1. 坐标钟和标准钟

对于弯曲时空中的任意观测者，我们可以让他所持的钟的读数正比于自己世界线的长度。这个钟就是他的标准钟，记录的时间就是他的固有时间。他的坐标时间与固有时间之间的关系为

0ids d c τ=

=== （3.3.7）

这里已考虑到观测者静止于坐标系x μ

中的一个点。

2.固有距离的测量

相对论中用来测量距离的工具是钟而不是尺。 3.同时的传递性

在某些坐标系中，可把空间各点坐标钟的速率调得一样快，但是，不能在全空间建立同时面，即不能定义全空间统一的“同时时刻”。

（四）短程线

1. 短程线

爱因斯坦在创建广义相对论时设想，万有引力不是真正的力，而是时空弯曲的表现。这种弯曲由物质的存在和运动造成。质点在万有引力场中的运动实质上是一种没有受到力的惯性运动。在平直时空中，惯性运动是直线运动。弯曲时空中没有直线，但有短程线。他认为，质点在万有引力场中的运动，既然是弯曲时空中的惯性运动，就应沿弯曲时空中的“直线”（短程线）进行。爱因斯坦认为，广义相对论的基本方程应该有两个，一个是描述物质如何造成时空弯曲的，称为场方程（爱因斯坦场方程），另一个是描述质点如何在弯曲时空中运动的，称为运动方程。场方程在下一节中介绍，现在先介绍运动方程。

爱因斯坦认为，运动方程就是短程线方程，可以很容易地从黎曼几何得到。

220d x dx dx d d d αμν

αμνλλλ

+Γ= （3.4.6）

它也就是广义相对论中的运动方程，弯曲时空中不受力（指不受万有引力之外的力，万有引力本身不算力）的质点就沿此线作惯性运动。式中α

μνΓ称为联络，它与度规有如下关系

(),,,12g g g g ααβ

μνβμνβνμμνβΓ=

+- （3.4.7）

式中逗点表示偏微分，例如

,g g x βμβμνν

? （3.4.8）

用度规计算联络时，要注意重复指标代表求和。 2. 联络

联络和度规一样，是广义相对论中重要的几何量。同时也是重要的物理量。联络有三个指标，有43 = 64个分量，很像（1+2）阶张量。但它不是张量。 3. 曲率与挠率

挠率表现为联络的反对称部分

[]()

αμννμμνΓ=

Γ-Γ

（3.4.10）

可以证明[]α

μνΓ是一个（1+2）阶的张量，称为挠率张量。曲率也可由联络构成

,,R αααασασ

λμνλνμλμνσμλνσνλμ=Γ-Γ+ΓΓ-ΓΓ

（3.4.11）

它是（1+3）阶的张量，称为曲率张量。

广义相对论是挠率为零的理论。在挠率为零的情况下，联络变成对称的，曲率张量也会增加许多对称性。 4. 协变微分

张量的普通微分不是张量。

我们希望张量的运算是闭合的，也就是说，它的加、减、乘、微分等运算的结果还应是张量。加、减、乘法可以保证这一点，但微分出了问题。

研究发现，联络可以帮助我们定义另一种微分——协变微分，对张量做这种微分，所得的结果仍然是张量。

5. 对短程线的讨论

（五）爱因斯坦场方程

1.场方程

爱因斯坦认为，时空的弯曲由物质决定，有关方程的一端应该是时空曲率，另一端应该是能量和动量。

时空曲率 = 能量动量（3.5.1）在广义相对论中，统一写成四维时空的张量形式。

R μν – g μνR /2= -κT μν （3.5.11） R μν – g μνR /2= -κT μν （3.5.12）

这两个方程就是爱因斯坦给出的广义相对论的基本方程——场方程。它通常称为爱因斯坦场方程，反映物质的能量—动量如何决定时空曲率。常数κ与万有引力常数G 有关

c πκ=

（3.5.13）

式中c 是光速。 2.对场方程的讨论

广义相对论的主要任务就是求解此方程。

场方程是关于度规的二阶微分方程，而且是非线性方程。

场方程和坐标条件是由10个二阶非线性偏微分方程组成的方程组，求解起来十分困难。求场方程的严格解，成为一个重要的研究领域。 3.从场方程推出运动方程

最初，爱因斯坦认为广义相对论的基本方程有两个，一个是物质决定时空曲率的场方程，

R μν – g μνR /2= -κT μν （3.5.11）

另一个是质点在弯曲时空中的自由运动方程

220d x dx dx d d d αμν

αμνλλλ

+Γ= （3.4.6）

后来，爱因斯坦和福克分别独立证明了运动方程可从场方程推出，这表明广义相对论的基本方程只有一个——场方程。 4.引力波

值得一提的是，1974年泰勒和赫尔斯发现脉冲双星（由两颗中子星组成）PSR1913 + 16的公转周期每年减少约万分之一秒。如果认为这是由于辐射引力波而使双星动能减少所致，则观测值与理论值符合得很好。此效应似乎可看作发现引力波的一个间接证据。 5.弯曲时空中的力学和电磁学定律

（六）广义相对论的实验验证

1. 史瓦西解

史瓦西给出了爱因斯坦方程的一个严格解。这是一个静止、球对称星体外部的真空解。其中不为零的度规分量为

00112

2221,1GM GM g g c r c r -????

=--=- ? ????

g 22 = r 2，g 33 = r 2sin 2θ

（3.6.1）

写成矩阵形式是

()21

2202001200100

000sin 00GM c r GM g c r r r μνθ-????

-- ? ????? ?- ? ?=?

? ?

（3.6.2）

用线元表示出来为

2122222222

22211sin ds g dx dx GM GM c dt dr r d r d c r c r μνμνθθ?-=????=--+-++ ? ??

? （3.6.3）

式中M 为星体质量，G 为万有引力常数，c 为光速。取x 0 = ct ，x 1 = r ，x 2 = θ，x 3 =φ。

太阳转动缓慢，外部近似为真空。史瓦西解很好地描述了太阳外部的时空弯曲情况。下面介绍用史瓦西解和太阳附近的观测效应来检验广义相对论。 2. 引力红移

爱因斯坦预言，由于时空弯曲，太阳附近的钟会变慢，那里的光源发出的光，谱线将发生红移。时空的弯曲情况不随时间变化的时空，称为稳态时空。此时空的g μν与t 无关

0g t

μν?=?

（3.6.4）

史瓦西时空的度规不仅满足条件（3.6.4），而且时间轴与三个空间轴都正交

g 0i = 0 （3.6.5）

此式称为时轴正交条件。同时满足上述两个条件的时空叫做静态时空。静态时空一定是稳态的，但稳态时空不一定是静态的。史瓦西时空是静态的，当然也就是稳态的。爱因斯坦建议用光谱线频率的移动来检验时钟变慢的效应。

引力红移效应是由于太阳处时空弯曲得厉害，那里的时间变慢所致。这个效应被天文观测和实验室观测所证实。 3. 水星轨道近日点的进动 4. 光线偏折

爱因斯坦用广义相对论预言的引力红移、光线偏折和行星轨道近日点的进动三个效应，都被实验观测所证实。此后，还有雷达回波、引力透镜等实验，也支持了广义相对论。

五、黑洞

（一）史瓦西黑洞

1. 牛顿理论中的黑洞

2. 史瓦西时空的奇点和奇面史瓦西度规

222222222

22211sin GM GM ds c dt dr r d r d c r c r θθ?-????=--+-++ ? ??

（5.1.2）

奇点：r = 0

内禀奇异性

奇面：2

2GM

r c =

坐标奇异性 3. 无限红移面

r = r g = 2GM / c 2。 4. 零超曲面和事件视界

如果满足 n μn μ

= 0 或

f f

g x x μν

μν

???? = 0

（5.1.14）

则此超曲面是一个零超曲面，其法矢量的长度为零。为了方便，以后简称零超曲面为零曲面。零曲面是普遍存在的。例如，光波的波前就是零曲面。不过，我们这里感兴趣的是一类特殊的零曲面，它保有该时空的对称特性，称为事件视界，简称视界。（5.1.14）式可约化成

110f g r ???

= ????

（5.1.15）

（5.1.15）式的解只能是

112210GM

g c r =-

= （5.1.16）即 2

2g GM

r r c

（5.1.17）

我们看到，史瓦西时空有事件视界，它恰是引力半径r g 处的奇面，与无限红移面重合。

人们就把事件视界定义为黑洞的边界。r < r g 的时空区，称为黑洞的内部；r > r g 的时空区，称为黑洞的外部 5. 单向膜区

6. 时空坐标互换

（二）克鲁斯卡坐标和彭若斯图

为了讨论的方便，我们今后选用c

= G = 1的自然单位制。这时史瓦西时空的线元简写成

22222222

2211sin M M ds dt dr r d r d r r θθ?-????=--

+-++ ? ?

（5.2.1）

引力半径为 r g = 2M

（5.2.2）

1. 史瓦西坐标的缺点

2. 自由下落观测者 Novikow 坐标

3. Tortoise 坐标和爱丁顿坐标

4. 克鲁斯卡坐标

克鲁斯卡度规具有最大解析区和最高完备性。 5. 彭若斯图

（三）带电的黑洞

1. R —N 黑洞的构造 (1)度规

222

22222222211sin (5.3.1)

M Q M Q ds dt dr r r r r r d r d θθ?-????=--++-+ ? ????

?++

(2)奇点和奇面

奇点:r = 0 内禀奇点

奇面：r M +=

r M -=坐标奇异性

(3)无限红移面从红移公式

νν=

（5.3.4）

可知，只要 g 00 = 0 （5.3.5）就会产生无限红移。因此，（5.3.5）式可看作稳态时空中决定无限红移面的普遍公式。把（5.3.1）代入（5.3.5）可知，（5.3.3）所示的r +和r -恰是（5.3.5）的解。 (4)视界

把Reissner – Nordstrom 时空（带电史瓦西时空）的度规代入零曲面公式

f f

g x x μν

μν

???? = 0

（5.1.14）

可得

()211

22221120M Q g r Mr Q r r r

=-+=-+= （5.3.6）

此方程的解仍是（5.3.3）。r = r +是这个黑洞的边界。我们称这个黑洞为Reissner - Nordstrom 黑洞（R

- N 黑洞）或带电史瓦西黑洞。与通常的史瓦西黑洞一样，它的中心有一个奇点。但与史瓦西黑洞不同的是，R – N 黑洞有内、外两个视界，内、外两个无限红移面。这两个视界分别与这两个无限红移面重合（图5.3.1）。 2. 彭若斯图

3. 奇点的不可抵达性

要求无限长时间，或无穷大加速度。 4. 极端黑洞与裸奇点

M 2 = Q 2 （5.3.14） r + = r - = M （5.3.15） M 2 < Q 2 （5.3.16）

（四）转动的黑洞

()22

2222

2242

222222

212sin 4sin sin Mr ds dt dr d Mra Mra r a d dtd ρρθρθθ

θ??ρρ??=--++ ???

???+++-????

（5.4.1）

其中 ρ2≡r 2 + a 2cos 2θ

（5.4.2）

Δ≡r 2 - 2Mr + a 2

（5.4.3）

奇环

r πθ=???=?? 内禀奇环（5.4.9）

奇面

r M ±= 坐标奇异性（5.4.10）

1. 无限红移面和视界

在第三节中曾经给出了求无限红移面的普遍公式

g 00 = 0 （5.3.5）（5.4.11）

在第一节中给出了求视界的普遍公式

f f

g x x

μν

???? = 0 （5.1.14）（5.4.12）

无限红移面

s r M ±=

（5.4.14）视界为

r M ±=

（5.4.26）

这就是克尔时空的视界。我们看到，克尔时空的视界和无限红移面各有两个，而且视界和无限红移面不重合。黑洞的边界是用视界而不是用无限红移面来定义的。我们称外视界r +包围的部分为克尔黑洞。（图5.4.1） 2. 单向膜区和能层 3. 奇异性

出现在视界处的奇异性是坐标奇异性，曲率不发散，粒子可自由地穿过它进入黑洞。然而，有趣的是，克尔黑洞的内禀奇异区不是一个“点”，而是一个“环”（图5.4.2）。 4. 彭若斯图

5. 极端黑洞和裸奇点

a 2 = M 2 （5.4.35）

r + = r - = M （5.4.36） M 2 < a 2

（5.4.37）

奇环也不属于时空，裸露的奇环也会以不确定的信息影响时空中的因果关系。

（五）最一般的稳态黑洞

1. 克尔—纽曼时空

纽曼(E. T. Newman)等人把克尔解推广到带电情况，得到克尔—纽曼(Kerr —Newman)解。它描述一个转动带电星体的外部引力场，即该星体外部时空的弯曲情况。其线元为

()()()222

2222

2224

222

212sin sin 22sin Mr Q ds dt dr d Mr Q a r a d Mr Q a dtd ρρθρθθ?ρθ

ρ??-=--++ ?

???

??-??+++????

（5.5.1）

式中 ρ2 = r 2 + a 2cos 2θ

Δ= r 2 - 2Mr + a 2 + Q 2 （5.5.2）

克尔—纽曼时空在M ≠0，J ≠0但Q = 0时回到克尔时空；在M ≠0，Q ≠0但J = 0时回到R —N 时空；在M ≠0，J = 0，Q = 0时回到史瓦西时空。与克尔时空类似，克尔—纽曼时空在 ρ2 = r 2 + a 2cos 2θ= 0 （5.5.3）和 Δ= r 2 - 2Mr + a 2 + Q 2 = 0 （5.5.4）处存在坐标奇异性。从（5.5.3）可知，在

r πθ=???=?? （5.5.5）

处存在奇环。可以证明此环是内禀奇异的，时空曲率在环上发散。从（5.5.4）可知，在

r M ±=

（5.5.6）

处存在坐标奇异性。

由决定稳态时空中无限红移面的条件 g 00 = 0 （5.5.7）

可得出此时空存在的两个无限红移面

s r M ±= （5.5.8）

从零曲面条件

f f

g x x

μν

???? = 0 （5.1.14）（5.4.12）

可知，克尔—纽曼时空有两个视界，它们恰是（5.5.6）给出的两个奇异球面。当然，它们属于坐标奇异性，仅度规出现发散，时空曲率正常。 2. 不可抵达的奇环

与克尔时空不同的是，克尔—纽曼时空的奇环不与内无限红移面接触（图5.5.1），即不与内能层接触。从克尔时空内无限红移面公式

s r M -=

（5.5.9）

可以看出，在θ=π/2时，r - = 0。所以，此红移面在赤道面上接触奇环。然而，克尔—纽曼时空的内无限红移面

=（5.5.10）

r M

在θ=π/2时，r-≠0。而且，θ取任何角度，都得不到r- = 0。所以，内无限红移面不与奇环接触。不难看出，造成上述差别的原因在于克尔—纽曼时空带有电荷。

任何质点均不能在有限的固有时间内到达奇环，除非它的加速度能在趋近奇环时趋于无穷大。此结论与带电的R—N黑洞完全类似。

3.极端黑洞、裸奇异与宇宙监督假设

a2 + Q2 = M2

r+ = r- = M（5.5.18）

内、外视界重合，单向膜区成为一张无限薄的膜。如果再增加一点电荷或角动量，内外视界和单向膜区将消失，出现裸奇异。裸露的奇环将向周围放出不确定的信息，破坏时空的因果性。

为了避免这一现象的出现，彭若斯提出宇宙监督假设：“存在一位宇宙监督，它禁止裸奇异的出现。”

但是，“宇宙监督”是什么呢？它必定是一条物理定律，也许是我们还不知道的一条定律，但更可能是我们已经知道的一条定律，只不过我们还没有看出它与时空奇异性的联系。

六、黑洞附近的量子效应和热效应

（一）能层与非热辐射

5.能层中粒子的运动

所有在能层中和无限红移面上的质点都将被迫运动。实际上，它们是被转动黑洞的引力场所拖动。

6.黑洞的表面积、表面引力和静电势

7.彭若斯过程

一个在无穷远处能量为E的物体飞向黑洞。它飞入能层后如果碎成两块，其中一块E1沿负能轨道落入黑洞内部，另一块能量为E2的碎片逃出能层沿测地线飞往无穷远（图6.1.3）。它将在飞行过程中保持E2不变。由于能量守恒

E1 + E2 = E（6.1.32）

E1为负，将导致

E2 > E（6.1.33）

这就是说，无穷远观测者得到的出射能量大于入射能量，他用这种方法从黑洞的能层中提取了能量。这一效应被称为彭若斯过程。

黑洞→史瓦西黑洞。

8.黑洞的受激辐射

微观粒子的彭若斯过程。→史瓦西黑洞。

9.黑洞的自发辐射

隧道效应。斯塔诺宾斯基—安鲁效应。图6.1.4。

黑洞的自发辐射和受激辐射均属于非热辐射，与温度无关。

黑洞有活跃的量子效应。科尔、R—N、克尔—纽曼，史瓦西。

1. 无毛定理

惠勒等：形成黑洞的星体，失去了除总质量M 、总角动量J 和总电荷Q 以外的全部信息。黑洞的全部性质只由M ，J ，Q 这三个参量决定。 2. 面积定理

1971，霍金，面积定理：黑洞的表面积在顺时方向永不减少。

δA ≥0 （6.2.1）热力学中的熵 δS ≥0 （6.2.3）热力学第二定律。唯一显示时间箭头的物理定律。

按照面积定理，两个黑洞可以合并为一个，合并后的面积大于合并前的面积。但是一个黑洞不能分裂为两个，分裂后的总面积小于分裂前的面积，违背面积定理。 3. 贝肯斯坦—斯马尔公式

黑洞各参量之间的一个重要关系式。

贝肯斯坦—斯马尔公式可以类比于热力学第一定律；面积定理可以类比于热力学第二定律，因此，分别被称为黑洞力学第一定律和第二定律。 4. 极端黑洞的热性质极端黑洞

M 2 = a 2 + Q 2

极端黑洞应视为绝对零度的黑洞。可以指望存在黑洞力学第三定律：

不能通过有限次操作把一个非极端黑洞转变为一个极端黑洞。宇宙监督假设可以看作黑洞力学第三定律的推论。宇宙监督很可能就是热力学第三定律。 5. 稳态黑洞的表面引力

热力学第零定律通常表述为热平衡具有传递性。

黑洞力学第零定律：稳态黑洞表面各点的表面引力是一个常数。 6. 黑洞力学的四条定律

(1) 第零定律:稳态黑洞表面引力κ+是一个常数。 (2) 第一定律：8dM dA dJ V dQ κπ

+++=

+Ω+ (3) 第二定律：黑洞面积在顺时方向永不减少，

d A ≥0

(4) 第三定律：不能通过有限次操作把黑洞表面引力降低到零。

非常类似于热力学的四条定律。人们把上述四条定律叫做黑洞力学四定律。

5. 卡诺循环

由此确定的黑洞温度T 与黑洞的表面引力κ+成正比。这一讨论支持了黑洞力学四定律，支持了黑洞温度是真温度的推测。

6. 黑洞表面附近盒子的结合能

7. 对卡诺循环的讨论

黑洞温度是一种量子效应。

（四）黑洞的热辐射

1973年，霍金做出重大发现，他证明黑洞有热辐射，不仅克尔—纽曼黑洞有，史瓦西黑洞也有。这表明黑洞的温度是真温度，黑洞力学的四条定律本质上就是普通热力学四条定律。

霍金辐射的发现，表明史瓦西黑洞不再是一颗僵死的星了。任何黑洞都不是僵死的星，不是恒星演化的最终结局，而只是恒星演化的一个阶段。恒星形成黑洞后，还会继续演化，演变成其它的物质形态。

1. 霍金辐射的物理机制

真空中不停地、大量地发生着真空涨落。真空不是一无所有，而是一种非常热闹的状态。考虑最简单的史瓦西黑洞，考虑黑洞外部紧靠视界处的真空涨落。图6.4.1。

对于无穷远处的观测者来讲，一个正能粒子飞到了他那里，而黑洞减少了一个粒子的质量及其相应的电荷。他认为，黑洞向他辐射了一个粒子。

这就是黑洞热辐射粒子的机制。霍金用量子场论的方法，严格证明了这种辐射的存在。

下面介绍法国天文学家达摩尔(T. Damour)和意大利物理学家鲁菲尼(R. Ruffini)建议的一个证明霍金辐射的方法。

2. 粒子在黑洞附近的运动

3. 视界对粒子的散射

4. 辐射是黑体辐射

5. 克尔—纽曼黑洞的热辐射

热辐射是一切黑洞的根本属性。黑洞普遍具有温度。

（五）黑洞的负热容量与热平衡

1. 一般系统的热平衡

稳定性条件是两个系统的热容量必须满足

110C C +> （6.5.10）

我们日常见到的热平衡都是稳定热平衡。 2. 史瓦西黑洞与外界的热平衡

黑洞的热容量是负的。两个史瓦西黑洞如果达到热平衡，它们的平衡肯定是不稳定的。

3.R—N黑洞的相变

4.黑洞的演化

黑洞与外界不能处于稳定的热平衡，温度一定会变。即使黑洞最初与外界热辐射处在热平衡状态，量子涨落一定会使二者温度出现偏差。

假设量子涨落使黑洞温度略高于原来的平衡温度，黑洞将放热。

如果宇宙间存在这类小黑洞，它们的霍金效应是肯定能观测到的。

质量介于1015~1026g之间的原初黑洞，现在正在蒸发。我们应能看到它们中的一些正在发生最后的爆炸。有人怀疑天文观测中的γ爆与此有关。

七、黑洞热效应的几何根源和物理根源

黑洞热效应的发现，完全出乎人们的意料之外。黑洞不是一颗僵死的星，它有着丰富的内涵。黑洞不是一个只进不出的洞，它能向外发射粒子。黑洞不是恒星演化的最后归宿，而是恒星演化的一个中间环节。

茫茫宇宙中的黑洞，不是黑夜中的黑点，而是周围发生着激烈效应的星体。虽然我们目前还不能完全描述这些效应，但是它们肯定存在，而且其中一些会非常强烈。黑洞热效应的发现，开辟了天体物理学研究的一个新领域。

然而，黑洞热效应的深远意义，远远超出了天体物理学的范围。它揭示了引力效应与热效应的深刻联系，预示着物理学一个新时代的到来。

（一）匀加速观测者处在热浴中

1.伦德勒坐标

2.安鲁效应

3.不同的真空

4.波戈留波夫变换与安鲁效应的证明

（二）黑洞热效应的几何根源

1.史瓦西时空与伦德勒时空的相似性

2.伦德勒时空的视界

3.量子统计理论对霍金—安鲁效应的支持

4.霍金—安鲁效应的几何根源

（三）有视界就有热效应

1.稳态时空中确定事件视界的普遍方法

2.表面引力、tortoise坐标与热辐射

3.导致热效应的坐标变换

4.惯性的起源

（四）真空的边界效应

物质的表面可以视作真空的边界。

1.开斯米尔效应

边界的存在会对真空的量子涨落产生影响，出现物理效应。比较著名的是1948年提出的开斯米尔

(H. B. G. Casimir)效应。这是平直的闵可夫斯基时空中的一个真空效应。

2.倒退的镜子

3.坍缩成黑洞的星体

（五）非稳态黑洞的热性质

1.黑洞的物理定义

2.非稳态黑洞的研究

（六）用变加速黑洞模拟黑洞的碰撞

1.柯内斯雷时空

2.变加速黑洞的热性质

3.广义伦德勒时空的热效应

4.模拟黑洞碰撞

宇宙间有许多释放巨大能量的过程，例如第四章谈到的类星体、活动星系核、星系喷流、γ爆等等。许多人推测这些现象与黑洞有关，认为黑洞吸积周围的物质有可能产生星系喷流等猛烈的放热过程。小黑洞的高温爆炸有可能是形成γ爆的原因。类星体和活动星系核的中心也似乎是黑洞。

可以预期，两个黑洞趋近时，对应点的温度会降低，而两个黑洞尾部的温度会升高。相互接近的极点的温度将趋近绝对零度，而尾部的温度会趋于发散。两个黑洞之间存在一股斥力，阻止它们接近，而洞尾的喷流，使两个黑洞像两支火箭，努力克服斥力相互靠拢。黑洞相互越靠近，斥力越大，尾部温度越高，最终导致黑洞燃烧爆炸消失（图7.6.6）。

按照这种看法，两个黑洞的合并虽然不违背面积定理，不违背热力学第二定律，但违背热力学第三定律。量子热效应将阻止它们合并，它们中的一个会在合并完成前消失。

（七）寻找黑洞

1.霍金效应

2.引力透镜图7.7.1，2305，2306

3.暗物质

4.双星运动

5.X射线双星图7.7.2

6.暗流图

7.7.3

7.类星体与活动星系核

8.黑洞的碰撞

八、奇点，时间的开始和终结

（一）奇点与时间的有限性

奇点定理：只要爱因斯坦的广义相对论正确，并且因果性成立，那么任何有物质的时空，都至少存在一个奇点。

按照彭若斯和霍金的观点，“奇点”就是时间过程断掉的地方。一个物理过程的时间有开始，或有终结，或者既有开始又有终结。

（二）奇点定理概述

1.奇点与奇异性的定义

2.时空的因果结构

3.能量条件

4.共轭点与最长线

5.奇点定理的导出

（三）奇点的若干性质

1.一类不可抵达的奇异区

2.奇环附近存在闭合类时线

3.奇环以光速转动

4.奇环的温度

（四）热力学第三定律与宇宙监督

1.解释霍金辐射的困难

2.霍金“吸收”和内禀奇区的热辐射

3.奇区的温度和热力学第三定律

黑洞力学第三定律和宇宙监督原理都不过是热力学第三定律的推论。

（五）热力学第三定律与时间的无限性

1.第三定律与类时奇点

2.奇点定理质疑

3.克尔奇异区与史瓦西奇异区的坐标温度

4.完备时空处在绝对零度

5.讨论

奇点定理是在忽视热效应、违背热力学第三定律的条件下证明的。广义热力学第三定律将排除时