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北大版金融数学引论第二章答案

第二章习题答案

1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。

解：

S = 1000s 20

7%+Xs 10

X =

50000 ? 1000s 20

7% s 10

?p7%

2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。

解：设首次付款为X ，则有

10000 = X + 250a 48

解得

X =

3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1

。试计算该年金的现值。

解：

P V = na?n pi

1 ? v n

= n 1

(n + 1)n

n 2

? n n

+2 (n + 1)n

4．已知：a?n p

= X ，a 2

p = Y

。试用X 和Y 表示d 。

解： a 2

?n p

= a?n

p + a?n p

(1 ? d)n

则

Y ? X

d = 1 ? ( X )

5．已知：a?7

= , a 11

= , a 18

= 。计算i 。

解：

a 18

?p = a?7

p + a 11

?p v 7

解得

6.证明：

1 1?v

i = %

?+a?。

北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页

证明：

s 10

?p + a ∞?p

(1+i)?1+1

1 s 10

i (1+i)?1

= 1 ? v 10

7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。

解：

P V = 100a?8p3% + 100a 20?p 3% =

8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。

解：设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日

1000¨25?p8%=X¨15?p7%

解得

9．已知贴现率为10%，计算¨?8

。

X =

解： d = 10%，则 i =1

10.求证： (1) ¨?n

p = a?n

p + 1 ?

v n

；

1?d

? 1 =1

¨?= (1 + i)

1 ? v 8

= (2) ¨?n

p = s? ?n

p 1 + (1 + i)n

并给出两等式的实际解释。

证明： (1)¨?n

p =1?d

v =1

?v =1

+ 1

? v n

所以

(2)¨?n

p =

(1+

i)?1

¨?n

p = a?n

p + 1 ? v n

(1+i )?1=(1+i)?1

? 1

i + (1 + i)

所以¨?

= s? ?n p 1 + (1 + i)n

n p

12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。

解：

P V = 100a 49?%

? 100a?% = AV = 100s 49

? 100s?%

13.现有价值相等的两种期末年金A 和B 。年金A 在第1－10年和第21－30年中每

年1元，在第11－20年中每年2元；年金B 在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y ，在第11－20年中没有。已知：v 10

，计算Y 。

解：因两种年金价值相等，则有

a 30

i +a 10

i v 10=Y a 30

? ?p

i Y a 10?pi v 10

所以 Y =3

?v?2v

1+v?2v

14.已知年金满足：2元的2n 期期末年金与3元的n 期期末年金的现值之和为36；另外，递延n 年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i 。

解：由题意知，

2a 2

pi + 3a?n

pi = 36

2a?n

pi v n = 6

解得

a?7

a?3

p + s X

i = %

15.已知

a 11

?p = a Y

?p + s Z

?p 。求X ，Y 和Z 。解：由题意得

解得 1 ? v 7

1 ? v 11

(1 + i)X

? v 3

(1 + i)Z ? v Y

16.化简a 15

?p (1 + v 15

+ v 30

)。

解：

X = 4, Y = 7, Z = 4

a 15

?p (1 + v 15

+ v 30

) = a 45

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17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一

次2000元，半年结算名利率9%。

解：年金在4月1日的价值为P

=1+%%

×2000 = ，则

P V =

P (1 + i)2+

18.某递延永久年金的买价为P ，实利率i，写出递延时间的表达式。

解：设递延时间为t，有

解得t = ?

ln(1+ln iP i)

P =i v t

19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。计算X。

解：设年实利率为i，由两年金的现值相等，有

1000¨ 20?pi=i v29

解得X = 1000((1 + i)30? (1 + i)10)

20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相

同。计算(1 + i)n。

解：设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值为i

3a?

n pi

，而D得到遗产的现值为v n。由题意得

所以

1 ? v n

(1 + i)= 4

= v n

21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二

个n年，C接受第三个n 年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为，求B与D的份额之比。

那么P V C

P V A

P V B

a?n p

v2n

a?n p

v n

13n

= P V i v

元年利率%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。

100a?%v4<1000

解：

100a n+1?%v4>1000

解得n = 17

列价值方程

解得100a16?%+Xv21 = 1000 X =

年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。

解：两年金现值相等，则 4 × a36?p i= 5× 18，可知v18=

由题意，(1 + i)n= 2 解得n = 9

24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。

解：由题意可得方程

100a60?p1% = 6000(1 + i)?k

解得

25.已知a?2pi= ，求i。解：由题意得

解得

k = 29

1 ? v2=

i = %

26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年

的期末年金为每年1072元。计算年利率。解：

27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K 。

解：由题意可得价值方程

10000 = 105Ka?2p4%v3+Ka?2p4% + 10000v10

则K = 10000?10000v

105a?v+a?v=

28.贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。

解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程

P (1 + i)= X + 2Xa?4pi+ 2Xa?5pj (1 + i)?4

所以

P (1 + i)

X =

1 + 2a?4pi+ 2a?5pj (1 + i)?4

29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付

款2000元，共计8次。

解：

30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知年利率为12%。（缺命令）

解：

P V = 4 × 400 + 4 × 600v5=

31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现

值表达式。

解：

32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。

解：

P V =

s?4pi

a24?p i v3=(1 +i)24? 1

(1 + i)27[(1 + i)4 ? 1]

=a28? ?p a?4p

s?3p + s?1p

北京

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元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。

解：设年实利率为i，则(1 + 2%)2= 1 + i。有题意得

750 i +750

s20?pi i

=Ra30?pi

解得R =

34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。

解：由题意知

解得i = 20%

is?3pi

=125

35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。

解：由题意得

解得R = 20 =

a?2pi i

36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。

(2)

解：设贴现率为d，则1 +i 2

(1 ? d)

设递延时间为t，由题意

得

10000 = 2 × 500v t¨(2)∞?p

解得t =ln 20 + ln(1 ? (1 ? d))

ln(1 ? d)

37. 计算：3a?(2)np = 2a(2)2?np = 45s?(2)1p

，计算i 。

解：

i i

3 ×a?n pi= 2×a?n pi = 45 ×

s?1pi

解得：v n=1, i =1i(2)

。

i2i2

230

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38.已知i(4)= 16%。计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付款1元，

共12年。（问题）

解：

39.已知：δt =1+1t。求ˉ?n p 的表达式。

解：

ˉ?n p =∫n

e?Rδds dt= ln(1 + n)

40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。

解：第一种年金的现值为

∫1

0v t dt = 1 ? e?δ

第二种年金的现值为e?δt，

则

所以t = 1 +1δlnδi 1 ? e?δ

= e?δt

41.已知：δ = 。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）

解：设季度实利率为i。因a(t) = eδt，则eδ= (1 + i) 所以

1 ? v80

P V = 100¨80?pi = 100(1 + i)i=

42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间

解：设年实利率为i，则i = eδ ? 1

设基金可维持t年，由两现值相等得

40000 = 2400a?t pi

解得

t = 28

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43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。

解：由题意：1113

(1+i)=(1+i)? i =112

P V = v + 3v2+ · · ·+ (2n ? 1)v n+ · · ·

= v[1 + P V + 2(v + v2+ · · ·)]

= v(1 + P V + 2v 解得:P V = 661?v

)

44.给出现值表达式Aa?n p + B (Da)n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如

下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。

解：年金序列：A + nB, A + (n ? 1)B, . . . , A + 2B, A + B

所求为25a25?p+ 3(Da)25|

45. 某期末年金（半年一次）为：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率

为16％。若记：A = a10?p8% ，试用A表示这个年金的现值。

解：考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：

2 × (10 ? A)

300a10?p8% + 500(Da)10|8% = 300A +i(2)= 6250 ? 325A

46. 年利率8％的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5％。计算第十年底的余额。

解：由题意：

AV =1000s?5p8% (1 + 8%)6+ (1000 × × +

1000 × × + · · ·+ 1000 × ×

=1000(1 + 8%)5 ? 1

8%+ 1000 × × 1

47. 已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:

100

北京大学数学科学学院金融数学系i ? vd

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解：把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金. . .。从而

P V =v410011

= 100v4

= 100v4 i a?

2pi

i i 1 ? v

2i ? vd

48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。

证明其现值为：

1600¨10?p (I(4)¨)(4)1| 元

证：首先把一年四次的付款折到年初：m = 4, n = 1, R = 100m2= 1600从而每年初当年的年金现值：

1600(I(4)¨)(4)元

再贴现到开始时：

1600¨ 10?p (I(4)¨)(4)1| 元

49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利

率8％，计算现值。

解：半年的实利率：j = (1 + 8%)? 1 = %

P V = 1 + 1 + j+(1 + j)

+ · · ·

= (1 ? 1 + j)?1

50. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。证明当前的准备金为：

6000¨?4p ¨(12)9/12|

证：首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12, R = 500m = 6000 从而每年初当年的年金现值：

6000¨(12)

贴现到当前：

北京大学数学科学

学院金融数学系

9/12| 6000¨?4p ¨(12)9/12|

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