文科数学知识点总结
集合与简易逻辑
知识回顾：
（一） 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
3 ?①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）
①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)
②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.
x
（自右向左正负相间） 则不等式)0)(0(00221
10><>++++--a a x a x
a x a n n n n
的解可以根据各区间的符号
确定.
3.含绝对值不等式的解法
（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；
2
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题
若q 则p
逆否命题若┐q 则┐p 互为
逆否互
逆
否互
为
逆否互互逆
否
互
2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为
)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)
()
(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）
???≠≥?≥>?>0
)(0)()(0)
()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax 2
+bx+c=0(a ≠0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
（1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真．
4、四种命题的形式：
原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；
否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。
6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q.
函数
知识回顾：
（一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数
（二）函数的性质 ⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ?若当x 1
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性
3. 对称变换：①y = f （x ））（轴对称x f y y -=???→?
②y =f （x ））（轴对称
x f y x -=???→?
③y =f （x ））（原点对称x f y --=???→?
4. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
在进行讨论.
5. ?熟悉常用函数图象：
例：|
|2x y =→||x 关于y 轴对称. |
2|21+?
?
?
??=x y →||21x y ??? ??=→|
2|21+?
?
? ??=x y
2
21222121222
22121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=+-+=-）
（
|122|2-+=x x y →||y 关于x 轴对称.
?熟悉分式图象： 例：3
7
2312-+
=-+=
x x x y ?定义域},3|{R x x x ∈≠， 值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x 前的系数之比. （三）指数函数与对数函数 指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质
?对数运算：
()n
a n a a a c
b a b b a N
a n a a n a a a a
a a a a a a a a c
b a
N N N
a M n
M M n M N M N
M
N M N M n a
1121log log ...log log 1
log log log log log log log 1
log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=????=??=
==±=-=+=?-推论：换底公式：对数函数的图像和性质
.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
数列
看
数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n )
③b kn a n +=(k n ,为常数).
?看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n
②112
-+?=n n n
a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )①
?r Pa a n n +=-1（P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式，再用特征根方法求n a ；④121-+=n n P c c a （公式法），21,c c 由21,a a 确定.
①转化等差，等比：1
)(11-=?-+=?+=+++P r
x x Px Pa a x a P x a n n n n . ②选代法：=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+
=?--1111)(1
)1( 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足??
?≤≥+0
1m m a a 的项数m
使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足??
?≥≤+0
1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝
对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 （三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于?
??
???+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部
分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.
5.常用结论 4） )12)(1(6
1
3212
2
2
2
++=
++++n n n n 5）
111)1(1+-=+n n n n )2
1
1(21)2(1+-=+n n n n
三角函数
2、同角三角函数的基本关系式：αα
αtan cos sin = 1c o s s i n 22
=+αα
3、诱导公式：
2
k παα±把
的三角函数化为的三角函数，概括为：
“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系
x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x
x x x c o t
)2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππ
x x x x x x x x c o t
)c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=--=-=-ππππ
βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααc o s s i n 22s i n =
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2
222s i n 211c o s 2s i n c o s 2
c o s -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α
αα2
t a n 1t a n 22t a n
-=
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2
c o s
12
s i n αα
-±=
βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+ 2
cos 12cos α
α+±=
βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
- 4
2675cos 15sin -=
= ,4
2
615cos 75sin +=
= , ,.
反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）.
②x y sin =与x y cos =的周期是π.
③)sin(?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y （0≠ω）的周期ω
π
2=
T .
2tan x
y =的周期为2π（πω
π2=?=T T ，如图，翻折无效）.
④)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2
ππ+
=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)
cos(?ω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,2
1ππ+k ）；)tan(?ω+=x y 的对称中心
α
α
αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=
（
0,2
π
k ）.x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=???→?=原点对称 ⑤当αtan ·,1tan =β)(2
Z k k ∈+=+π
πβα；αtan ·
,1tan -=β)(2
Z k k ∈+=-π
πβα.
⑥x y cos =与??
? ??++=ππk x y 22sin 是同一函数,
⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
x y tan =为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：
)()(x f x f -=-）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)3
1
tan(π+=x y 是非奇非偶.（定
义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ?0的定义域，则无此性质）
⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T
x y cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（=T 2
1
2cos +=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
R k k x f x f y ∈+===),(5)(.
⑩a
b
b a b a y =
+++=+=??αβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 三角函数图象的作法：
1）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. 2）、利用图象变换作三角函数图象．
平面向量
向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O .
单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）??
?==?21
2
1y y x x
y=|cos2x +1/2|图象
(6) 相反向量：a=-b?b=-a?a+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.
3.向量的运算
4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)两个向量平行的充要条件
a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝O.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b?a2b＝O?x1x2＋y1y2＝O.
中点公式＝21（1OP ＋2OP ）或???
???
?+=+=.
2,2
2121y y y x x x 正、余弦定理
正弦定理：
.2sin sin sin R C
c
B b A a === 余弦定理：a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2
－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2
－2ab cos C .
三角形面积计算公式：
设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r .
①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R
④S △=1/2sin C 2ab=1/2ac 2sin B=1/2cb 2sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式] ⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心. 如图：
图
1 图2
图3 图4
图1中的I 为S △ABC 的内心， S △=Pr
图2中的I 为S △ABC 的一个旁心，S △=1/2（b+c-a ）r a 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
A
B
不 等 式 知识要点
1. 不等式的基本概念
不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>-
B I A B
C D E F I
A
B
C D E
F r a
r a
r a
b
c a a
b c C
2.不等式的基本性质
（1）a b b a （对称性）
（2）c a c b b a >?>>,（传递性）
（3）c b c a b a +>+?>（加法单调性）
（4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,.
（7）bc ac c b a 0,（乘法单调性）
（8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘）
(9)0,0a b a b c d c d
>><
>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b
>>?
<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若
（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么
.2
a b +（当仅当a=b 时取等号）
极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：
○
1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○
2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
,3
a b c a b c R +++∈(4)若、、则
a=b=c 时取等号） 0,2b a
ab a b
>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）
2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<->
（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若
常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n
-==-≥++--
1)
n =
=≥
（2）柯西不等式： 时取等号
当且仅当（则
若n
n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====++++
++
+≤++++∈∈ 33
22112
232
22122
3
22
2
1
2
332211321321)
)(();,,,,,,,,
不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
不等式的解法
直线和圆的方程
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是
)0(1800παα ≤≤.
注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ?两条直线平行：
1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个―前提‖都会导致结论的错误.
（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =?，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠） 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ?两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=?⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）
. 点到直线的距离：
?点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有
2
2
00B
A C By Ax d +++=
.
注：
1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.
特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP =
2. 直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k
3. 过两点1
21
2222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=
的直线的斜率公式：.
12()x x ≠
当2121
,y y x x ≠=（即直线和x 轴垂直）时，直线的倾斜角α＝?90，没有斜率王新敞
?两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有2
2
21B
A C C d +-=
.
7. 关于点对称和关于某直线对称：
?关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
?关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. ?点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点. 二、圆的方程.
如果曲线C 的方程是f(x ,y)=0，那么点P 0(x 0 ,y)线C 上的充要条件是f(x 0 ,y 0)=0 2. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .
当042
2
F E D -+时，方程表示一个圆，其中圆心???
??--2,2
E D C ，半径2
422F
E D r -+=
.
当0422=-+F E D 时，方程表示一个点???
??--
2,2
E D . 当0422
F E D -+时，方程无图形（称虚圆）.
注：①圆的参数方程：?
??+=+=θθ
sin cos r b y r a x （θ为参数）.
③圆的直径或方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--?y y y y x x x x y x B y x A （用向量可征）. 4. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.
①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-?
②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?
（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-? 5. 直线和圆的位置关系：
设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ； 圆心),(b a C 到直线l 的距离2
2
B
A C Bb Aa d +++=.
①r d =时，l 与C 相切；
附：若两圆相切，则??????=++++=++++0
2222
211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为公切线方程. ②r d 时，l 与C 相交；
附：公共弦方程：设
:0:222222111221=++++=++++F y E x D y x C F y E x D y x C
有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D . ③r d 时，l 与C 相离.
由代数特征判断：方程组??
???=++=-+-0)()(2
22C Bx Ax r b y a x 用代入法，得关于x （或y ）的一元二次方程，
其判别式为?，则：
l ?=?0与C 相切； l ??0 与C 相交； l ??0 与C 相离.
一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.
圆锥曲线方程
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
为端点的线段
以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,
2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+
?①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12
22
2
b a b y a x
=+
. ii.
ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12
22
2 b a b
x a
y
=+
.
②一般方程：)0,0(12
2
B A By Ax =+.③椭圆的标准参数方程：
12
22
2=+b y a x 的参数方程为
??
?==θ
θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π
θ ）. ?①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③
焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2
221,2b
a c c F F -==.⑤准线：c
a x 2
±=或
c a y 2±=.⑥离心率：)10( e a
c
e =. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222
2a b c a b d -=和),(2a
b c
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
的一个端点的一条射线
以无轨迹
方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-
?①双曲线标准方程：
)0,(1),
0,(12
22
22
22
2 b a b
x a
y b a b
y a
x =-
=-
. 一般方程：
)0(122 AC Cy Ax =+.
?①i. 焦点在x 轴上：
顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±b y
a x 或
02
22
2=-b y a x
②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a c
e =. ④准线距
c a 22（两准线的距离）；通径a b 22. ⑤参数关系a
c
e b a c =+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲
线方程
12
22
2=-
b
y a
x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
?等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . ⑸共渐近线的双曲线系方程：
)0(2
22
2≠=-
λλb
y a
x 的渐近线方程为
02
22
2=-
y a
x 如果双曲线的
渐近线为0=±b y
a x 时，它的双曲线方程可设为)0(22
22
≠=-λλb
y a x .
例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21
,3(-p 解：令双曲线的方程为：)0(42
2≠=-λλy x ，代入)2
1,3(-得
12822=-y x ⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“?法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. 三、抛物线方程.
3. 设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
②)0(22≠=p px y 则焦点半径2
P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2
P y PF +=.
③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.
④px y 22
=（或py x 22
=）的参数方程为???==pt y pt x 222（或?
??==2
22pt y pt
x ）（t 为参数）. 四、圆锥曲线的统一定义..
立体几何
平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.
2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）
3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行） 一、 空间直线.
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（3）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）
②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.
⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（3）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）
⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）
3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）. （二面角的取值范围[) 180,0∈θ）
（直线与直线所成角(] 90,0∈θ）
（斜线与平面成角() 90,0∈θ） （直线与平面所成角[] 90,0∈θ）
（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.
12方向相同12方向不相同
二、 直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）
[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （3）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （3）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （3）（可能在此平面内）
⑤平行于同一直线的两个平面平行.（3）（两个平面可能相交）
⑥平行于同一个平面的两直线平行.（3）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（3）（α、β可能相交）
3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”） 直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（3）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）
②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）
③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） 三、 平面平行与平面垂直.
1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.
3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）
4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）
注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.
5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线
也垂直于另一个平面.
推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. 证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，
因为ααββ⊥?⊥?OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,. 五、
空间几何体
.异面直线所成角的求法：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方
P α
βθM A B O
体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；
.直线与平面所成的角（立体几何中的计算可参考空间向量计算）
.二面角的求法
（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；
特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。 .空间距离的求法
（ ）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；
求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解； 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；
柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V 柱体=Sh.其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.
.直棱柱的侧面积和全面积
S 直棱柱侧= c (c 表示底面周长， 表示侧棱长) S 棱柱全=S 底+S 侧
棱锥的体积:V 棱锥=
Sh 31
，其中S 是棱锥的底面积，h 是棱锥的高。 .球的体积公式V=33
4R π，表面积公式2
4R S π=；
概率 知识要点
1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能
性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n 1
，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那
么事件A 的概率n
m P(A)=
. 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ .
②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．
叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到―红桃‖与抽到―黑桃‖互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到―红色牌‖与抽到黑色牌―互为对立事件，因为
其中一个必发生.
注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+.
ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A ：―抽到老K‖；B ：―抽到红牌‖则 A 应与B 互为独立事件[看上去A 与B 有关系很有
互斥
对立
可能不是独立事件，但26
1P(B)P(A),2
152
26P(B),13
152
4P(A)=?====.又事件AB 表示―既抽到老
K 对抽到红牌‖即―抽到红桃老K 或方块老K‖有26
152
2B)P(A ==?，因此有)B P(A P(B)P(A)?=?.
推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ?=?.
注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.
iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.
回归分析和独立性检验
第一步：提出假设检验问题 H 0：吸烟与患肺癌没有关系? H 1：吸烟与患肺癌有关系
第二步：选择检验的指标 2
2
()K ()()()()
n ad bc a b c d a c b d -=++++（它越小，原假设“H 0：吸
烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H 1：吸烟与患肺癌有关系”
成立的可能性越大.
回归直线方程的求法：1
221
()n
i i i n
i i x y nx y b x n x a y bx
==?
-?
?=??-??=-??∑∑ 导 数
1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处
有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=
??)
()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim
lim
0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，
记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x
x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim
lim 0000. 注x ?是增量，我们也称为―改变量‖，因为x ?可正，可负，但不为零.
2. 导数的几何意义：
函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为
).)((0'0x x x f y y -=-
3. 求导数的四则运算法则：
''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=?