端元法

【遥感专题系列】定量/高光谱遥感之——混合像元分解(2013-09-09 09:55:23)

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分类：遥感技术

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混合像元分解

端元波谱提取

杂谈

当具有不同波谱属性的物质出现在同一个像素内时，就会出现混合像元。混合像元不完全属于某一种地物，为了能让分类更加精确，同时使遥感定量化更加深入，需要将混合像元分解成一种地物占像元的百分含量（丰度），即混合像元分解，也叫亚像元分解。混合像元分解是遥感技术向定量化深入发展的重要技术。

本文主要介绍以下内容：

?基本概念

?端元波谱提取

?混合像元分解

?基于MNF的MTMF混合像元分解

1.基本概念

?混合像元

地球自然表面几乎不是由均一物质所组成的。当具有不同波谱属性的物质出现在同一个像素内时，就会出现波谱混合现象，既混合像元（Mixed Pixel）。Singer和McCord（1979）发现如果混合像元的尺度很大（宏观），那么混合像元将存在线性关系。对于微观的混合，混合像元通常表现为非线性关系（Nash and Conel，1974；Singer，1981）。

?混合像元形成原因

从理论上讲，混合像元的形成主要有以下原因：

1) 单一成分物质的光谱、几何结构、及在像元中的分布；

2) 大气传输过程中的混合效应；

3) 传感器本身的混合效应；

其中：2)和3)为非线性效应，2)可以通过大气校正进行修正；3)可以通过仪器的校准、定标加以部分克服；1)部分是线性效应，也是本文讨论的内容。

?混合像元分解

混合像元分解技术假设：在一个给定的地理场景里，地表由少数的几种地物（端元）组成，并且这些地物具有相对稳定的光谱特征，因此，遥感图像的像元反射率可以表示为端元的光谱特征和这个像元面积比例（丰度）的函数。这个函数就是混合像元分解模型。

近年来，研究人员提出了许多有效的分解模型，主要有：线性混合光谱模型、模糊监督分类模型、神经网络模型等。其中比较常用的是线性模型，即线性混合光谱模型。

?线性混合光谱模型

线性模型假设在不同物质间不存在相互作用，位于同一像元区域的波谱是纯净物质波谱的线性组合，是根据它们的组成比例进行加权，获取线性组合的组成比例就是混合像元分解。 混合像元分解流程

在影像已经完成预处理的前提下（如几何校正、大气校正、去噪等），混合像元分解的一般的过程：首先获取端元波谱（从图像上、波谱库中或者其他来源），然后选择一种分解模型在每个像素中获取每个端元波谱的相对丰度图，最后从丰度图上提取不同组成比例的像元。

2. 端元波谱提取

选取合适的端元是成功的混合像元分解的关键。端元选取包括确定端元数量以及端元的光谱。

理论上，只要端元数量m小于等于b+1（b表示波段数），线性方程组就可以求解。然而实际上由于端元波段间的相关性，选取过多的端元会导致分解结果更大的误差。

端元光谱的确定有两种方式：(1) 使用光谱仪在地面或实验室测量到的“参考端元”；

(2) 在遥感图像上得到的“图像端元”。方法(1)一般从标准波谱库选择，方法(2)直接从图像上寻找端元可选择的方法有：从二维散点图中基于几何顶点的端元提取，借助纯净像元指数（Pixel Purity Index——PPI）和n维可视化工具用于端元波谱收集，基于连续最大角凸锥（Sequential Maximum Angle Convex Cone——简称SMACC）的端元自动提取。下面介绍几种端元选择的方法。

2.1基于几何顶点的端元提取

将相关性很小的图像波段，如PCA、IC、MNF等变换结果的前面两个波段，作为X、Y

轴构成二维散点图。在理想情况下，散点图是三角形状，根据线性混合模型数学描述，纯净端元几何位置分布在三角形的三个顶点，而三角形内部的点则是这三个顶点的线性组合，也就是混合像元，如图1所示。根据这个原理，我们可以在二维散点图上选择端元波谱。在实际的端元选择过程中，往往选择散点图周围凸出部分区域，后获取这个区域相应原图上的平均波谱作为端元波谱。

图1：散点图上的纯净像元与混合像元

下面以MNF变换后的第一、第二波段作为X、Y轴构建二维散点图，如下图所示。

图2：Scatter Plot窗口

2.2基于PPI的端元提取

借助纯净像元指数（PPI）和n维可视化工具用于端元波谱收集，下面详细介绍操作步骤。

第一步、获取纯净像元

这个步骤是在MNF变换的结果上计算纯净像元指数（PPI），之后选择阈值范围从PPI 图像上获得感兴趣区，感兴趣区包含的像元就是比较纯净的像元。

（1）打开高光谱数据。

（2）在ENVI主菜单中，选择Spectral ->MNF Rotation- > Forward MNF -> Estimate Noise Statistics From Data。在标准ENVI文件选择对话框中，选择高光谱图像文件。打开Forward MNF Transform Parameters面板，选择MNF输出路径及文件名，单击OK执行MNF变换。

（3）在ENVI主菜单中，选择 Spectral-> Pixel Purity Index->[FAST] New Output Band。在打开的Pixel Purity Index Input File对话框中，选择MNF变换结果，单击Spectral Subset按钮，选择前面10个波段（MNF后面波段基本为噪声），单击OK。

（4）在Pixel Purity Index Parameters面板中，设置Threshold Factor：3，其他参数默认，选择输出路径及文件名，单击OK执行PPI计算。

（5）在Display窗口中显示PPI结果。选择Overlay->Region of Interest，在ROI Tool 面板中，选择Options->Band Threshold to ROI，选择PPI图像作为输入波段，单击OK，打开Band Threshold to ROI面板（图3）。 Min Thresh Value：36，Max Thresh Value：空（PPI图像最大值），其他默认设置，单击OK计算感兴趣区，得到的感兴趣区显示在Display 窗口中。

图3： Band Threshold to ROI面板

第二步、构建n维可视化窗口

（1）在ENVI主菜单中，选择Spectral ->n-Dimensional Visualizer，在n-D Visualizer Input File对话框中选择MNF变换结果，单击OK。

（2）在n-D Controls面板中，选择1、2、3、4、5波段，构建5维的散点图。

第三步：选择端元波谱

（1）在n-D Controls面板中，设置适当的速度（Speed），单击Start按钮，在n-D Visualizer 窗口中的点云随机旋转，当在n-D Visualizer窗口中的点云有部分聚集在一块时，单击Stop 按钮。

（2）在n-D Visualizer窗口中，用鼠标左键勾画“白点”集中区域，选择的点被标示颜色。

（3）在n-D Controls面板中，选择Class->Items 1:20->White（用于删除点），单击Start按钮，当看到有部分选择的点云分散时候，单击Stop按钮，在n-D Visualizer窗口中选择分散的点，自动会将选择的点删除。借助<-，->，New按钮可以一帧帧从不同视角浏览以辅助删除分散点。

（4）在n-D Visualizer窗口中，单击右键选择New Class快捷菜单，重复（1）~（3）选择其他“白点”集中区域。

图4：n-D Visualizer窗口中的端元

第四步、输出端元波谱

（1）在n-D Controls面板中，选择Options->Mean All，在Input File Associated with n-D Scatter Plot对话框中选择原图像，单击OK。

（2）获取的平均波谱曲线绘制在n_D Mean绘图窗口中。

（3）参考“波谱分析工具”章节，识别每条波谱曲线对应的地物类型。

（4）在n_D Mean绘图窗口中，选择File->Save Plot As->Spectral Library（或者ASCII），将端元波谱保存为波谱库文件或者文本文件。

2.3基于SMACC的端元提取

连续最大角凸锥（Sequential Maximum Angle Convex Cone ）简称SMACC。SMACC方法可从图像中提取端元波谱以及丰度图像（abundance Image）。它提供了更快，更自动化的方法来获取端元波谱，但是它的结果近似程度较高，精度较低。

SMACC方法是基于凸锥模型（也称为残余最小化）借助约束条件识别图像端元波谱。采用极点来确定凸锥，并以此定义第一个端元波谱；然后，在现有锥体中应用一个具有约束条件的斜投影生成下一个端元波谱；继续增加锥体生成新的端元波谱。重复这个过程直至生成的凸锥中包括了已有的终端单元（满足一定的容差），或者直至满足了指定的端元波谱类别个数。

通俗的解释，SMACC方法首先找到图像中最亮的像元，然后找到和最亮的像元差别最大的像元；继续再找到与前两种像素差别最大的像素。重复该方法直至SMACC找到一个在前面查找像素过程已经找到的像素，或者端元波谱数量已经满足。SMACC方法找到的像素波谱转成波谱库文件格式的端元波谱。

下面以一个高光谱数据为例，详细介绍这个工具的操作过程。

（1）在ENVI主菜单中，选择 File->Open Image File，打开高光谱数据文件。

（2）在ENVI主菜单中，选择Spectral ->SMACC Endmember Extraction，在Select Input Image对话框中选择高光谱数据文件，单击OK打开SMACC Endmember Extraction Parameters 面板（图5）。

（3）在SMACC Endmember Extraction Parameters面板中，需要填写以下参数：

?端元波谱提取数量（Number of Endmembers）：15

?误差容限值(RMS Error Tolerance)：0

默认值0表示只有达到Number of Endmembers 参数指定的终端个数，SMACC 才会结束。如果指定一个RMS误差，那么达到这个RMS误差的话，SMACC就会结束，不管是否获取指定数量的端元波谱。反射率数据推荐使用0.01，辐射亮度值数据推荐使用1。但是要注意反射率数据常常扩大了倍数，比如扩大了10000倍，这个时候RMS Error Tolerance参数设置应该为10000x1%=100。

?选择分离端元波谱的约束条件(unmixing constraint For Endmember Abundances)： Positivity Only：把每个波长的正值端元波谱作为约束条件。这个选项常用于反射率数据，因为负反射率值没有物理意义，

Sum to Unity or Less：等于或者小于每个像素计算得到每种物质的组分之和作为约束条件。当想从反射率数据中获取物质的物理意义和丰度图像的阴影图时候，可以选择这个约束条件，结果中会单独生成一个丰度阴影图像（Shadow Abundance）。

Sum to Unity：等于每个像素计算得到每种物质的组分之和作为约束条件。当零端元波谱没有物理意义或者想获得暗端元波谱可以选择这个约束条件，这个约束条件推荐用于辐射亮度数据和热辐射数据。

?合并相似端元波谱（Coalesce Redundant Endmembers）：

该选项是基于波谱角制图方法把阈值（在SAM Coalesce Value对话框中定义的值）内的所有端元波谱合并为一个端元波谱。如果想要区分波谱比较相似的地物，不要选择该选项。?输出结果文件

Endmember Location ROIs：该输出包括从终端单元波谱结果中产生的像元感兴趣区文件，这个输出文件是可选的。

Abundance Image：输出丰度图像，该输出文件将包括阴影图像和终端单元聚集图像。该输出图像是可选的。

Select Output Spectral Library Enter Output Filename：该输出文件中包括提取出的终端单元的波谱库信息。这个是必先项目。

（4）单击OK，执行SMACC过程。

图5： SMACC Endmember Extraction Parameters面板

获取的端元波谱以ENVI波谱库文件形式保存，设置的端元数为15，由于设置合并相似端元波谱选项，实际获得6种端元波谱，借助Spectral Analyst功能识别获得的端元波谱。同时还可以得到每种端元波谱的丰度图像。

3. 常见混合像元分解方法

常见的混合像元分解方法，主要包括线性波谱分离(Linear Spectral Unmixing )、匹配滤波(MF )、混合调谐匹配滤波(MTMF）、最小能量约束(CEM）、自适应一致估计（ACE）、正交子空间投影(OSP)等。

下面分别对几种分类方法原理一一说明。

(1) 线性波段预测(Linear Band Prediction)

线性波段预测法（LS-Fit）使用一个最小方框（least squares）拟合技术来进行线性波段预测，它可以用于在数据集中找出异常波谱响应区。LS-Fit先计算出输入数据的协方差，用它对所选的波段进行预测模拟，预测值作为预测波段线性组的一个增加值。还计算实际波段和模拟波段之间的残差，并输出为一幅图像，残差大的像元（无论正负）表示出现了不可预测的特征（比如一个吸收波段）。

(2) 线性波谱分离(Linear Spectral Unmixing )

Linear Spectral Unmixing可以根据物质的波谱特征，获取多光谱或高光谱图像中物质的丰度信息，即混合像元分解过程。假设图像中每个像元的反射率为像元中每种物质的反射率或者端元波谱的线性组合。例如：像元中的25%为物质A，25%为物质B，50%为物质C，

则该像元的波谱就是三种物质波谱的一个加权平均值，等于0.25A+0.25B+0.5C，线性波谱分离解决了像元中每个端元波谱的权重问题。

线性波谱分离结果是一系列端元波谱的灰度图像（丰度图像），图像的像元值表示端元波谱在这个像元波谱中占的比重。比如端元波谱A的丰度图像中一个像元值为0.45，则表示这个像元中端元波谱A占了45%。丰度图像中也可能出现负值和大于1的值，这可能是选择的端元波谱没有明显的特征，或者在分析中缺少一种或者多种端元波谱。

(3) 匹配滤波(Matched Filtering )

使用匹配滤波（MF）工具使用局部分离获取端元波谱的丰度。该方法将已知端元波谱的响应最大化，并抑制了未知背景合成的响应，最后“匹配”已知波谱。该方法无需对图像中所有端元波谱进行了解，就可以快速探测出特定要素。这项技术可以找到一些稀有物质的“假阳性(false positives)”。

匹配滤波工具的结果是端元波谱比较每个像素的MF匹配图像。浮点型结果提供了像元与端元波谱相对匹配程度，近似混合像元的丰度，1.0 表示完全匹配。

(4) 混合调谐匹配滤波(Mixture Tuned Matched Filtering）

使用Mixture Tuned Matched Filtering (MTMF )工具运行匹配滤波，同时把不可行性（Infeasiblility）图像添加到结果中。不可行性图像用于减少使用匹配滤波时会出现的“假阳性(false positives)”像元的数量。不可行性值高的像元即为“假阳性(false positives)”像元。被准确制图的像元具有一个大于背景分布值的MF值和一个较低的不可行性值。不可行性值以sigma噪声为单位，它与MF值按DN值比例变化（如下图）。

图6：混合调制匹配滤波技术图解

混合调谐匹配滤波法的结果每个端元波谱比较每个像元的MF匹配图像，以及相应的不可行性图像。浮点型的MF匹配值图像表示像元与端元波谱匹配程度，近似亚像元的丰度，1.0 表示完全匹配；不可行性（Infeasibility）值以sigma噪声为单位，显示了匹配滤波结果的可行性。

具有高的匹配滤波结果和高的不可行性的“假阳性(false positives)”像元，并不与目标匹配。可以用二维散点图识别具有不可行性低、匹配滤波值高的像元，即正确匹配的像元。

(5) 最小能量约束(Constrained Energy Minimization）

最小能量约束法（CEM）使用有限脉冲响应线性滤波器（finite impulse response -FIR)和约束条件，最小化平均输出能量,以抑制图像中的噪声和非目标端元波谱信号，即抑制背景光谱，定义目标约束条件以分离目标光谱。

最小能量约束法的结果是每个端元波谱比较每个像元的灰度图像。像元值越大表示越接近目标，可以用交互式拉伸工具对直方图后半部分拉伸。

(6) 自适应一致估计（Adaptive Coherence Estimator）

自适应一致估计法（ACE）起源Generalized Likelihood Ratio (GLR)。在这个分析过程中，输入波谱的相对缩放比例作为ACE的不变量，这个不变量参与检测恒虚警率（Constant False Alarm Rate (CFAR)）。

自适应一致估计法结果是每个端元波谱比较每个像元的灰度图像。像元值表示越接近目标，可以用交互式拉伸工具对直方图后半部分拉伸。

(7) 正交子空间投影(Orthogonal Subspace Projection)

正交子空间投影法（OSP）首先构建一个正交子空间投影用于估算非目标光谱响应，然后用匹配滤波从数据中匹配目标，当目标波谱很特别时，OSP效果非常好。OSP要求至少两个端元波谱。

正交子空间投影法结果是每个端元波谱匹配每个像元的灰度图像。像元值表示越接近目标，可以用交互式拉伸工具对直方图后半部分拉伸。

4. 4基于MNF的MTMF混合像元分解

以经过FLAASH大气校正的高光谱图像为例，介绍基于MNF的MTMF混合像元分解详细操作过程。

图7： MNF的MTMF混合像元分解流程

第一步、获取端元波谱

（1）打开高光谱数据cup95_ff.ing，用Band Math将高光谱数据除以10000.0(注意带.0转换为浮点型)，将高光谱数据转换为0~1.0范围内的反射率数据。（这一步作用：与端元波谱在MNF变换时保持一致范围，也可以用Spectral Math对端元波谱运算）

（2）在ENVI主菜单中，选择Spectral ->MNF Rotation- > Forward MNF -> Estimate Noise Statistics From Data。在标准ENVI文件选择对话框中，选择高光谱图像文件。打开Forward MNF Transform Parameters面板，设置以下参数：

?Enter Output Stats Filename [.sta]：选择路径及文件名输出MNF统计文件

? Select Subset from Eigenvalues：No

?选择MNF输出路径及文件名

单击OK执行MNF变换。

（3）在ENVI主菜单中，选择Spectral ->MNF Rotation->Apply Forward MNF to Spectra，在打开的Forward MNF Statistics Filename对话框中选择MNF统计文件，单击OK打开Forward MNF Convert Spectra面板（下图）。

（4）在Forward MNF Convert Spectra面板中，选择Import->from Spectral Library file，选择usgs_min.sli波谱库文件。从波谱库中选择以下几个矿物波谱作为端元波谱：

Alunite（明矾石）

Calcite（方解石）

Kaolinite（高岭石）

（5）单击Apply按钮，经过MNF变换的端元波谱显示在Forward MNF Spectra窗口中。

图8： Forward MNF Convert Spectra面板

第二步、MTMF分解

（1）在ENVI主菜单中，选择Spectral->Mapping Methods-> Mixture Tuned Matched Filtering，在Mixture Tuned Matched Filtering Input File对话框中选择MNF变换结果文件。单击OK打开Endmember Collection面板。

（2）在Endmember Collection面板中，选择Import->from Plot Windows，在打开的Import from Plot Windows对话框中全选第一步获取的端元波谱。

（3）回到Endmember Collection面板中，单击Apply按钮。

（4）在Mixture Tuned Matched Filter Parameters面板（如下图），选择Use Subspace Background，选择输出结果路径及文件名。

（5）单击OK按钮执行处理过程。

图9: Mixture Tuned Matched Filter Parameters面板

第三步、分析结果图像

（1）在波段列表中，选择Gray Scale单选按钮，选中高光谱图像的波段193，然后点击Load Band，显示该灰阶图像。

（2）从主图像显示窗口菜单栏中，选择Tools->2-D Scatter Plots，绘制Alunite的匹配滤波分数值（MF Score）波段与不可行性（Infeasibility）波段的散点图。

（3）圈出MF分数值高，不可行性（infeasibilities）低的所有像素（如下图）。选择Options-> Export Class，生成Alunite的感兴趣区。

（4）重复（1）~（3），生成Calcite和Kaolinite的感兴趣区。

自此，我们将这三种矿物从高光谱图像中分离出来了。类似的操作过程，选择最小能量约束(CEM）、正交子空间投影(OSP)等方法分离这三种矿物。

图10:Alunite分解结果的MF Score与Infeasibility的散点图，下图为提取的结果

5. 总结

混合像元分解非常关键的步骤是端元波谱的获取，理想的端元波谱是纯净的物质波谱。波谱分解方法目前有很多方法可用，可适用于高光谱或者多光谱数据。本文章没有涉及混合像元分解后的精度验证方法。

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特殊值法巧解数列题示例 特殊值法在解决选择题与填空题中是比较常用的一种方法，在解题中能否灵活运用，体现了解题者的数学素养与能力.下面举例说明特殊值法(特殊数列、特殊数值)在解一些数列题中的应用. 【例1】已知}{n a 是等比数列,且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由252645342=++a a a a a a 得2 54252=?= a a ，故5253==+a a a ，所以选A. 【例2】在等差数列}{n a 中,若45076543=++++a a a a a ,则=+82a a ( ) (A)45 (B)75 (C)180 (D)300 【分析】取}{n a 为常数数列a a n =，则由45076543=++++a a a a a 得904505=?=a a ,所以180282==+a a a ,所以选C. 【例3】在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若965=a a ,则=+++1032313log log log a a a ( ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)2+5log 3 【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由965=a a 得392=?=a a ,所以 103log 10log log log 31032313==+++a a a ,所以选B. 如果解题者心中有数（具备特殊化思想），那么直接观察利用心算立即可得结果，可大大地提高解题速度，避免不必要的计算。留心观察细事物，沙子也会变金银！

第六讲 特殊值法的运用技巧

第六讲特殊值法的运用技巧 一、在所给的范围内寻求特殊值； 例1：如果，则的值是（） A、0 B、-1 C、1 D、不能确定 方法（一）：直接法 解：∵abc＝1 ∴原式＝++ =++ = ＝1故选C 方法（二）：特值法 解：∵abc=1,可取a=1,b=1,c=1,代入得： 原式＝++＝1故选C 例二、如果0＜x＜1,则式子的化简结果是（） A、 B、 C、 D、﹣ 方法（一）：直接化简 解: ∵0＜x＜1∴＜ ∴原式＝

= = = ＝＝﹣ 方法（二）：特值法 解：∵0＜x＜1，可取＝ ∴原式＝××＝，∵﹣＝﹣＝×＝ ∴选D。 例2：若a＜﹣1,则3－的最后结果是（） A、3-a B、3+a C、-3-a D、a-3 方法（一）：直接法 解：∵解：∵a＜﹣1，＜﹣1，∴a-3＜0 ∴原式=3-=3-（-）=3+a 方法（二）：特值法 解：∵a＜﹣1，可以取a=-4，代入计算： 原式=-1，又3+a=-1，∴选B。 二、在隐含的范围内寻求特殊值； 例：如果x、y、z是不全相等的实数，且，，则以下结论正确的是（） A、a、b、c都不小于0 B、a、b、c都不大于0

C、a、b、c至少一个小于0 D、a、b、c至少一个大于0 分析：此题若直接解比较繁杂，可采用特值法，较为简便，由x、y、z是不全相等的实数，可分为两种情况： ①x、y、z都不相等； ②x、y、z中有两个相等； 当x、y、z都不相等时，可取x=1,y=0,z=-1,则a=1，b=1，c=1，可排除B和C； 当x、y、z中有两个相等时，可以取x=0,y=z=1,则a=-1,b=1,c=1，可排除A 综合以上情况，所以选D。 三、在选择的结论范围内寻求特殊值 例1、如果方程有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（） A、q≤0 B、q＜ C、0≤q＜ D、q≥ 方法（一）：直接法 解：∵ ∴y≥0,则y≥q∴q≥0或q＜0 ∴ ∵△=1-4q＞0即q＜ 当q＜0时，方程无根，∴0≤q＜ 方法（二）：特值法 在A、B范围内取q＝-6，代入方程化简为，此时方程有一负根，可排除A、B。 在D 的范围内可取q=1，代入得，方程无解，排除D。故选C。 例2、如果方程的三根可作为一个三角形的三边长，则m的取值范围是（）

又叫特值法,即通过设题中某个未知量为特殊值,从而通过简单的运算,得出最终答案的一种方法.

第11讲特殊值法 一、方法技巧 特殊值法 （一）定义 又叫特值法，即通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法． 这个特殊值必须满足无论这个量的值是多少，对最终结果所要求的量的值没有影响； （二）使用条件 有些选择题或填空题，用常规方法求解比较困难，若根据已知或答案所提供信息，选择某些特殊值进行分析或计算，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往比较简单． （三）专题目标 通过训练，能迅速作出判断并能用特殊值法解决问题． （四）解题思路 1．一定要按照题目所给的具体条件取值 2．所取的数值一般最大不超过5，最小不超过5-这样的整数，例如1、1-、0最常用3．将所取的特殊值代入题干直接判断或逐一代入题支判断即可得出正确答案 （四）应用类型 类型一已知中具体数量关系较少的问题 类型二化简与求值的问题 类型三恒等式问题 类型四解以“不论k为何值时”为条件的问题 类型五验证结论的正确性的问题 类型六比较大小的问题 类型七几何问题 二、应用举例 类型一已知中具体数量关系较少的问题 【例题1】有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装糖水．先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶，再从乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶．请问此时甲桶内糖水

多还是乙桶内的牛奶多？ A ．甲桶多 B ．乙桶多 C ．一样多 D ．无法判断 【答案】C 【解析】 题干全部为文字叙述，没有具体数据，可采用特值法． 解：令甲桶牛奶量=乙桶牛奶量=1L ，空杯子体积为1L ， 第一次取一杯牛奶即将甲桶牛奶全部倒入乙桶，充分混合， 此时乙桶内牛奶和糖水的比例为1：1，乙桶有2L ，甲桶0L ， 又从乙桶取一杯混合液倒入甲桶，此时甲桶溶液量=乙桶溶液量=1L ，且牛奶和糖水各 占一半．即甲桶内糖水=乙桶内糖水．故选C ． 【难度】一般 类型二 化简与求值的问题 【例题2】已知a 、b 满足2b a a b +=，则22224a ab b a ab b ++=++ ． A ．1 B ． 12 C ．34 D ．14 【答案】B 【解析】 满足题干条件的a 、b 的数据很多，但结果是唯一的，所以可以对a 、b 特殊化，令1a b ==，则222231462 a a b b a ab b ++==++，故选择B ． 【难度】一般 类型三 恒等式问题 【例题3】若实数x 、y 、z 满足()()()2 40x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是（ ） A ．0x y z ++= B ．20x y z +-= C ．20y z x +-= D ．20z x y +-= 【答案】D 【解析】 本题三个未知数，一个方程，如果不用特值法很难解答． 取特殊值：1x =，2y =，3z =，满足()()()240x z x y y z ----=， A ．12360x y z ++=++=≠, B ．2122330x y z +-=+-?=-≠

边界元与有限元

边界元与有限元 边界元法boundary element method 定义：将力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。 所属学科：水利科技(一级学科) ；工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ；工程力学（水利）(三级学科) 边界元法（boundary element method）是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少,数据准备简单等优点.但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。 简介 边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。又称边界积分方程-边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，

特殊值法

特殊值法 数学运算是公务员考试中的重点题型，数学运算的关键是用最优的解题方法快速解答。这些方法不仅能够帮助考生快速找到思路、简化解题过程、优化计算步骤，而且有几种方法经常用到并适用于大多数题型。下面是中公教育专家为广大考试讲述的特殊值法与归纳法。 一、特殊值法 （一）定义 特殊值法，就是在题目所给的范围内取一个恰当的特殊值直接代入，将复杂的问题简单化的方法。特殊值法必须选取满足题干的特殊数、特殊点、特殊函数、特殊数列或特殊图形代替一般的情况，并由此计算出结果，从而快速解题。 （二）适用范围 在政法干警考试中，特殊值法常应用于和差倍比问题、行程问题、工程问题、浓度问题、利润问题、几何问题等。其中，在工程问题、浓度问题相关的比例问题时，一般将特殊值设为1；在涉及多个比例的问题时，有时为了将数值整数化，可以设特殊值为总量的最小公倍数。 （三）解题原则 在运用特殊值法时，要注意： 1.确定这个特殊值不影响所求结果； 2.数据不要太繁琐，应便于快速、准确计算，可尽量使计算结果为整数； 3.结合其他方法灵活使用。 （四）例题详解 1.设特殊值为1 这种方法多应用于工程问题、浓度问题相关的比例问题等。 【例题1】 一个人从家到公司，当他走到路程一半的时候，速度下降了10％，问：他走完全程所用时间的前半段和后半段所走的路程比是： A.10∶9 B.21∶19 C.11∶9 D.22∶18 【例题2】 一项工程计划用20天完成，实际只用了16天就完成了，则工作效率提高的百分率是： A.20% B.25% C.50% D.60% 2.设特殊值为已知几个量的最小公倍数

在涉及多个比例的问题时，有时为了将数值整数化，可以设特殊值为总量的最小公倍数。 【例题3】 两个相同的瓶子装满某种化学溶液，一个瓶子中溶质与水的体积比是3∶1，另一个瓶子中溶质与水的体积比是4∶1，若把两瓶化学溶液混合，则混合后的溶质和水的体积之比是： A.31∶9 B.7∶2 C.31∶40 D.20∶11

特殊值法

例谈特殊值法在初中数学解题中的应用 辨证法认为：矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性中，一个普通成立的命题，对于特殊情形也必然成立；反之,对于特殊情况不成立的命题，对于普通的情形也不成立。将这一原理用到数学的解题与学习中。这就是特殊值法。特别是对于选择题与填空题这一类题，只注重结果而不需要解题过程。根据这一特点，如果善于应用特殊值法，会起到事半功倍的效果。教学中，经常有学生对于公式记忆不清楚，或是混淆，运算又不仔细严谨，若能巧妙的运用特殊值法就可以避免上述情况的发生，快速并准确地得出正确的结论。下面举例说明： 一.字母取特殊值: 1.应用于代数式的求值： 例1：已知：a=1999x+2000, b=1999x+2001, c=1999x+2002,则bc ac ab c b a ---++222的值是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 题中并没有对字母x 的取值范围限定，隐含的条件是在实数范围，故令x=-1,则a=1, b=2, c=3,那么原式的值=3,选D 例2:已知a,b,c 是?ABC 的三边,则ab c b a 2222--+的值( ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不确定 解题中,可以a=2,b=3,c=4,这样可以确定原代数式的值是负值,故B 小结：例1,例2通过运用特殊值法,避免代数式因式分解，三角形三边关系这些学生较难处理的问题，代之以简单的计算，简化了问题的求解过程，提高解题效率。 2.应用于比较大小： 例3：已知a,b 为实数,且ab=1,设11+++=b b a a M ,1 111+++=b a N ,比较M,N 的大小关系.\ A.M > N B.M

通用显式非线性有限元程序：LS-DYNA

通用显式非线性有限元程序：LS-DYNA LS-DYNA 是世界上最著名的通用显式非线性有限元分析程序，能够模拟真实世界的各种复杂问题，特别适合求解各种二维、三维非线性结构的碰撞、金属成型等非线性动力冲击问题，同时可以求解传热、流体及流固耦合问题。在工程应用领域被广泛认可为最佳的分析软件包。与实验的无数次对比证实了其计算的可靠性。 LS-DYNA 是功能齐全的几何非线性（大位移、大转动和大应变）、材料非线性（140多种材料动态模型）和接触非线性（50多种）软件。它以Lagrange 算法为主，兼有ALE 和Euler 算法；以显式求解为主，兼有隐式求解功能；以结构分析为主，兼有热分析、流体-结构耦合功能；以非线性动力分析为主，兼有静力分析功能（如动力分析前的预应力计算和薄板冲压成型后的回弹计算）;是通用的结构分析非线性有限元程序。 特色功能 ? 显式求解为主，兼有隐式算法，适合于求解高度非线性问题； ? 具有多种求解算法，以Lagrange 算法为主，兼有ALE、Euler 算法、SPH （Smoothed Particle Hydrodynamics）光顺质点流体动力算法和边界元法BEM（Boundary Element Method）； ? 具有160多种材料模型，是材料模型非常丰富的有限元软件； ? 具有50多种接触类型，是接触类型非常齐全的有限元软件； ? 极好的并行计算能力，包括分布式并行算法（MPP）和共享内存式并行（SMP）； ? 良好的自适应网格剖分技术，包括自适应网格细分和粗化； ? 行业化的专用功能：如针对汽车行业的安全带单元、滑环、预紧器、牵引器、传感器、加速计、气囊等。 客户价值 ? 拥有显式和隐式算法，各向异性材料模型，使得板成型、回弹、预应力计算等，可以连续求解； ? 多种控制选项和用户子程序使得用户在定义和分析问题时有很大的灵活性； ? MPP 版本大幅度减少计算时间，计算效率随计算机数目增多而显著提高； ? 与大多数的CAD/CAE 软件集成并有接口。 广州有道科技培训中心 h t t p ://w w w .020f e a .c o m

巧用特殊值法解题

巧用特殊值法解题 一、特殊值法 1.定义：通过假设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法。 根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊数、特殊点、特殊角、特殊图形等对结论进行计算或者分析，把一般变特殊形式，再进行判断。 2.注意：选取的特殊值要符合条件，且易于计算。特殊值法一般用来解决选择题和填空题。 二、典例剖析 1.若a b >,则下列不等式变形错误的是( ) A.11a b +>+ B. 22 a b > C.3434a b ->- D.4343a b >-- 2.下列命题正确的是（ ） A ．若a b b c >，<，则a c > ； B ．若a b >，则ac bc >； C ．若a b >，则22ac bc >； D ．若 22ac bc >，则a b > 3.若234a b c ==，且0abc ≠，则2a b c b +-的值是（ ） A.2 B.-2 C.3 D.-3 4.如图，A 、B 两点在数轴上表示的数分别是a 、b ，则下列式子中成立的是（ ） A.0a b +< B.a b -<- C.1212a b ->- D.0a b -> 5.实数a ,b ,c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ） A.ac bc > B.ab cb > C.a c b c >＋＋ D. a b c b >＋＋ O c b a

6.如图，数轴上的点A 、B 分别对应实数a 、b ,下列结论正确的是（ ） A. a b > B. a b > C. a b -< D. 0a b +< 7.化简 b a b a b ++ -1 222，其结果为（ ） A ．b a -1 B ．b a +1 C ． 221b a - D ．2 2b a a - 8.若a ＜1，化简 ()112--a =（ ） A.a-2 B.2-a C.a D-a. 9.已知xy φ0，化简二次根式2 x y x - 的正确结果为（ ） A.y B.y - C.y - D.y -- 10.把a a 1 - -中根号外的因式移到根号内的结果是（ ） A.a - B.a - C.a -- D.a 11.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） A 类 50 25 B 类 200 20 C 类 400 15 若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（ ） A ．购买A 类会员年卡 B ．购买B 类会员年卡 C ．购买C 类会员年卡 D ．不购买会员年卡 12.如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）

高中数学讲义微专题83 特殊值法解决二项式展开系数问题

微专题83 特殊值法解决二项式展开系数问题 一、基础知识： 1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质 2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式 3、常用赋值举例： （1）设()011222 n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++， ①令1a b ==，可得：012n n n n n C C C =++ + ②令1,1a b ==-，可得： ()0123 01n n n n n n n C C C C C =-+-+-，即： 02 13 1 n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++（假设n 为偶数），再结合①可得： 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --++ +=++ += （2）设()()2 01221n n n f x x a a x a x a x =+=+++ + ① 令1x =，则有：()()0122111n n a a a a f +++ +=?+=，即展开式系数和 ② 令0x =，则有：()()02010n a f =?+=，即常数项 ③ 令1x =-，设n 为偶数，则有：()()01231211n n a a a a a f -+-++=-?+=- ()()()021311n n a a a a a a f -?+++-+++=-， 即偶次项系数和与奇次项系数和的差 由①③即可求出()02n a a a +++和()131n a a a -+++的值 二、典型例题： 例1：已知()8 2 8012831x a a x a x a x -=+++ +，则1357a a a a +++的值为________ 思路：观察发现展开式中奇数项对应的x 指数幂为奇数，所以考虑令1,1x x ==-，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到1357a a a a +++的值 解：令1x =可得：8 0182a a a =++ + ①

边界元法发展综述

边界元法发展综述 刘娅君 学号：11080922005 从工程实际中提出的力学问题，一般可归结为数学的定解问题。但其中只有极少数简单情况可以求得解析解，而大多情况都必需借助于有效的数值方法来求解。有限元法是目前工程中应用最广泛的数值方法，已有很多通用程序和专用程序在各个工程领域投人了实际应用。然而，有限元法本身还存在一些缺点。例如，在应力分析中对于应力集中区域必须划分很多的单元，从而增加了求解方程的阶数，计算费用也就随之增加；用位移型有限元法求解出的应力的精度低于位移的精度，对于一个比较复杂的问题必须划分很多单元，相应的数据输人量就很大，同时，在输出的大量信息中，又有许多并不是人们所需要的。 边界积分方程—边界元法在有限元法之后发展起来成为工程中广泛应用的一种有效的数值分析方法。它的最大特点就是降低了问题的维数，只以边界未知量作为基本未知量，域内未知量可以只在需要时根据边界未知量求出。在弹性问题中，由于边界元法的解精确满足域内的偏微分方程，因此它相对有限元法的解具有较高的精度。同时在一些领域里，例如线弹性体的应力集中问题，应力有奇异性的弹性裂纹问题，考虑脆性材料中裂纹扩展的结构软化分析，局部进人塑性的弹塑性局部应力问题以及弹性接触问题…等，边界元法已被公认为比有限元法更为有效。正是因为这些特点，使边界元法受到了力学界、应用数学界及许多工程领域的研究人员的广泛重视。 边界元与有限元相比有很多优点：首先，它能使问题的维数降低一维，如原为三维空间的可降为二维空间，原为二维空间的问题可降为一维。其次，它只需将边界离散而不象有限元需将区域离散化，所划分的单元数目远小于有限元，这样它减少了方程组的方程个数和求解问题所需的数据，不但减少了准备工作，而且节约了计算时间。第三，由于它是直接建立在问题控制微分方程和边界条件上的，不需要事先寻找任何泛函，不像以变分问题为基础的有限元法，如果泛函不存在就难于使用。所以边界元法可以求解经典区域法无法求解的无限域类问题。最后，由于边界元法引入基本解，具有解析与离散相结合的特点，因而具有较高的精度。

边界元法和ANSYS简介

浅谈边界元法及ANSYS简介 摘要本文先从边界元法的起源和发展及数学分析的角度对其作了简要的介绍，然后又结合国际上目前比较先进的边界元快速算法指明边界元的特点，并且列举了常见的几类边界元法；讨论了铸件锻造模拟技术与方法，举例说明数值模拟在大锻件中的最优解问题；最后又介绍了ANSYS软件的特点和使用方法，并列举了其在材料力学教学和研究中的一些应用。 关键词边界元法数值模拟 ANSYS Abstract This paper begins with the perspective of the origin and development and mathematical analysis of the boundary element method for its brief introduction, and then combined with the current advanced international fast algorithm about boundary element ,and cited the common types of boundary element method; discussed forging simulation techniques and methods of casting, numerical simulations illustrate the optimal solution of the problem in large forgings; finally describing the characteristics and use of ANSYS software, and cited its teaching and research in mechanics of materials in some applications. Key words boundary element method numerical simulations ANSYS

《边界元法》

《边界元法》课程教学大纲 课程名称：边界元法 英文名称：boundary element method 课程编码：51416018 学时/学分：36/2 课程性质：必修 适用专业：工程力学 先修课程：高等数学、偏微分方程、数值分析和有限元法等 一、课程的目的与任务 本课程是工程力学专业的必修课程，是学习相关后续课程的基础，一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。 二、教学内容及基本要求 第一章引言 教学目的和要求：掌握边界元的基本概念；了解边界元法的分类和学习边界元法 的基础条件。 教学重点和难点：重点掌握边界元法的基本解题思路。难点怎么利用积分法解微 分方程的基本解。 教学方法与手段：采用多媒体教学，边界元法的研究方法和学习方法与有限元法 相比，具有自己的特点，即力学中的微分方程的定解问题化为 边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的 分片插值求解的数值方法。 课时安排：1学时 教学内容：

第一节边界元法的数学基础 第二节边界元法的发展历史 第三节我国边界元法研究概况 第四节边界元法研究的最新进展 第五节边界元法的应用举例 第六节边界元法的优缺点 第七节本书的内容安排 复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。 考核知识点：边界元法的基础条件、微分方程的定解问题、插值求解的数值方法。 第二章位势问题的边界积分方程与边界元法 教学目的和要求：掌握位势问题中的拉普拉斯(Laplace)方程的解法，位势问题中 的边界条件，了解珀松方程的基本概念。要求学生能够利用微 积分知识推导拉普拉斯方程的基本解，并将它应用于格林 (Green)定理，得到拉普拉斯方程问题的积分方程和边界积分方 程。能够熟练的采用最简单的常用单元说明边界积分方程的离 散化方法。能够熟练的简述珀松(Poisson)方程和多连域问题的 边界元法。 教学重点和难点：重点讲解求解多连域珀松方程问题的计算程序和数值计算，以 及数值积分所使用的一维、二维高斯方程积分公式。难点求解 方程的方法和计算程序的确定。 教学方法与手段：采用多媒体教学，结合实例。 课时安排：4学时 教学内容： 第一节调和方程的基本定解问题 第二节Green等式、基本解及解的积分表达式 第三节边界积分方程的建立 第四节对于一般问题的推广 第五节位势问题的边界元法简介 复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布

(完整版)极限思维法、特殊值法、量纲法、等解高中物理选择题

高中物理“超纲”选择题解题方法 1．有一些问题你可能不会求解，但是你仍有可能对这些问题的解是否合理进行分析和判断。例如 从解的物理量的单位，解随某些已知量变化的趋势，解在一定特殊条件下的结果等方面进行分析，并与预期结果、实验结论等进行比较，从而判断解的合理性或正确性。 举例如下：如图所示，质量为M 、倾角为θ的滑块A 放于水平地面上。把质量为m 的滑块B 放在A 的斜面上。忽略一切摩擦，有人求得B 相对地面的加速度a = M +m M +msin 2θ gsinθ，式中 g 为重力加速度。 对于上述解，某同学首先分析了等号右侧量的单位，没发现问题。他进一步利用特殊条件对该解做了如下四项分析和判断，所得结论都是“解可能是对的”。但是，其中有一项是错误．．的。请你指出该项。（ ） A ．当θ=0?时，该解给出a =0，这符合常识，说明该解可能是对的 B ．当θ＝90?时，该解给出a =g ，这符合实验结论，说明该解可能是对的 C ．当M ≥m 时，该解给出a =gsinθ，这符合预期的结果，说明该解可能是对的 D ．当m ≥M 时，该解给出a = sin g θ ，这符合预期的结果，说明该解可能是对的 2．某个由导电介质制成的电阻截面如图所示。导电介质的电阻率为ρ、制成内、外半径分别为a 和b 的半球壳层形状(图中阴影部分)，半径为a 、电阻不计的球形电极被嵌入导电介质的球心为一个引出电极，在导电介质的外层球壳上镀上一层电阻不计的金属膜成为另外一个电极。设该电阻的阻值为R 。下面给出R 的四个表达式中只有一个是合理的，你可能不会求解R ，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。根据你的判断，R 的合理表达式应为 （ ） A ．R= ab a b πρ2) (+ B ．R= ab a b πρ2) (- C ．R=) (2a b ab -πρ D ．R= ) (2a b ab +πρ 3．图示为一个半径为R 的均匀带电圆环，其单位长度带电量为η。取环面中心O 为原点，以垂直于环面的轴线为x 轴。设轴上任意点P 到O 点的距离为x ，以无限远处为零电势，P 点电势的大小为Φ。下面给出Φ的四个表达式（式中k 为静电力常量），其中只有一个是合理的。你可 a b I I O

特殊值法解数学题

用特殊值法解题 湖北省公安县斑竹当中学雷学池 特殊值法是用满足条件的特殊值（式）代入题目去验证、计算，从而得到正确结论的一种方法．特殊值法在解题中有下列应用． 1．解选择题： 例1 若a＞b＞c＞0，m＞n＞0．（m、n为数），则下列各式中成立的是[ ] A．a m b n＞b n c m＞c n a m B．a m b n＞c n a m＞b n c m C．c n a m＞a m b n＞b n c m D．b n c m＞c n a m＞a m b n 解∵a＞b＞c＞0．m＞n＞0（m、n为整数）取特殊值，a=3，b=2，c=1，m=2，n=1得 a m b n=32×21=18 b n c m=21×12=2 c n a m=11×32＝9 ∴a m b n＞c n a m＞b n c m 故选B． 2．确定多项式的系数 例2已知当x是任何实数时，x2-2x+5＝a（x+1）2＋b（x＋1）＋c都成立，求a、b、c的值． 解用特殊值法． 当x=-1时，原式为8=c① 当x=0时，原式为5=a＋b＋c② 当x=1时，原式为4=4a+2b＋c③ 由①、②、③可知a=1，b=-4，c=8． 3．判断命题的真假 例3 判断命题“式子a2＋（a＋1）2＋a2（a＋1）2=（a2＋a-1）2是恒等式”的真假． 解取特殊值，当a=1时，原式左边为9，右边为1，因为9≠1，故原命题是假命题． 4．解证定值问题 例4 若a、b为定值，且无论k取何值时，关于x的一次方程

由①、②可得a=3，b=-2． 练习用特殊值法解下列各题： 2．命题“式子x3＋9=（x＋2）3-6（x＋2）2+12（x+2）是恒等式”是真命题，对吗？ 值，求a、b应满足的关系式．并求出这个定值． 4．已知a＋b＋c≠0，求证：不论a、b、c取何实数时，三 答案 2．取x=0，左边为9，右边为8，9≠8．故不对． 式得 质证明． 巧取特殊值解选择题 山东省茌平县傅平镇中学初三·一班鲁傅 我在解某些选择题时，采用了取特殊值法，使问题简捷，迅速地获得解决，如下面几例． 例1 已知a、b、c都是实数，且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ] （98年全国初中数学联赛）解：∵a＞b＞c， ∴可取a=1，b=0，c=-1代入各选择支，只有a+b=1＞b＋c=-1成立．故选（B）． 例2 设a、b、c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，则x、y、z[ ]

利用特殊值法巧解中考数学填空题

利用特殊值法巧解中考数学填空题 摘要：解法二：取AE=AG的特殊位置，则四边形AGPE、PFCH 都是正方形。由矩形PFCH的面积为矩形AGPE面积的2倍，得出PH=-PE∵PA=-PE 利用特殊值法巧解中考数学填空题 PH=PA，易得PA=PH=PF，以P为圆心，PA为半径画圆，则HPF=90HAF=45 解法二：取AE=AG的特殊位置，则四边形AGPE、PFCH都是正方形。由矩形PFCH的面积为矩形AGPE面积的2倍，得出PH=-PE∵PA=-PE PH=PA，易得PA=PH=PF，以P为圆心，PA为半径画圆，则HPF=90HAF=45 [点评]：这道题若按常规做法解题，过程非常繁杂；针对填空题的特点，采用特殊值法，则非常方便。解法一，主要利用相似三角形的性质和勾股定理的知识，解法与学生的想法基本吻合；解法二，通过作圆的辅助线，由同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系，得出结论，具有思路新颖，解法简单的特点。 例4.△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且BDC=120，以D为顶点作一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为____。(2007年辽宁省沈阳市中考题) [解析]：由题意可知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰

三角形，M、N是在满足MDN=60前提条件下AB、AC边上的动点，在移动过程中肯定存在MN∥BC的情况,取MN∥BC的特殊位置，可以非常简单的求出△AMN的周长。 取MN∥BC的特殊位置，过D点作DHMN垂足为H(如图3-2)，可得△MDN也是等边三角形，BDM=HDM=30，MBD=MHD=90，△MBD≌△MHD，MB=MH；同理可证，NC=NH，最后可得△AMN 的周长=AB+AC=6。 [点评]：常规作法是延长NC到H点，使CH=BM，先证明△DCH≌△DBM，得出BDM=CDH，NDH=NDM=60，再证△NMD≌△NHD，得出NM=NH，最后得出△AMN的周长等于AB+AC=6。与常规作法相比，特殊值法的解法比较简单。 总之，利用特殊值法解决有关填空题，特别是对一些难度较大的题，会有很好的解题效果，这种解法充分体现了特殊与一般的辩证唯物主义的思想。 最后，提醒同学们两点： ①不是所有的填空题都适用特殊值法，所以一定要认真审题，要根据题的特点决定能否采用特殊值法。 ②采用特殊值法，设特殊的值或特殊的点时，一定要在允许的范围内。

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51416018-《边界元法》

《边界元法》课程教学大纲 课程名称：边界元法 英文名称：boundary element method 课程编码：51416018 学时/学分：36/2 课程性质：必修 适用专业：工程力学 先修课程：高等数学、偏微分方程、数值分析和有限元法等 一、课程的目的与任务 本课程是工程力学专业的必修课程，是学习相关后续课程的基础，一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。 二、教学内容及基本要求 第一章引言 教学目的和要求：掌握边界元的基本概念；了解边界元法的分类和学习边界 元法的基础条件。 教学重点和难点：重点掌握边界元法的基本解题思路。难点怎么利用积分法 解微分方程的基本解。 教学方法与手段：采用多媒体教学，边界元法的研究方法和学习方法与有限 元法相比，具有自己的特点，即力学中的微分方程的定解 问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化 与待定函数的分片插值求解的数值方法。 课时安排：1学时 教学内容：

第一节边界元法的数学基础 第二节边界元法的发展历史 第三节我国边界元法研究概况 第四节边界元法研究的最新进展 第五节边界元法的应用举例 第六节边界元法的优缺点 第七节本书的内容安排 复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。 考核知识点：边界元法的基础条件、微分方程的定解问题、插值求解的数值方法。 第二章位势问题的边界积分方程与边界元法 教学目的和要求：掌握位势问题中的拉普拉斯(Laplace)方程的解法，位势问 题中的边界条件，了解珀松方程的基本概念。要求学生能 够利用微积分知识推导拉普拉斯方程的基本解，并将它应 用于格林(Green)定理，得到拉普拉斯方程问题的积分方程 和边界积分方程。能够熟练的采用最简单的常用单元说明 边界积分方程的离散化方法。能够熟练的简述珀松(Poisson) 方程和多连域问题的边界元法。 教学重点和难点：重点讲解求解多连域珀松方程问题的计算程序和数值计算， 以及数值积分所使用的一维、二维高斯方程积分公式。难 点求解方程的方法和计算程序的确定。 教学方法与手段：采用多媒体教学，结合实例。 课时安排：4学时 教学内容： 第一节调和方程的基本定解问题 第二节Green等式、基本解及解的积分表达式 第三节边界积分方程的建立 第四节对于一般问题的推广 第五节位势问题的边界元法简介 复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布