【重磅】同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院

《高等数学一》课程教学大纲

课程名称：高等数学一

课程编号：

学分：4

适用对象：

一、课程的地位、教学目标和基本要求

(一)课程地位

高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。

（二）教学目标

通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。

（三）基本要求

1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟

悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。

2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求

第一章函数与极限

【教学目的】

通过本章学习

1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分

解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。

2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。

3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与

左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。

4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。

5、掌握极限运算法则。

6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极

限的方法。

7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性，

10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），

并会应用这些性质。

【教学重点与难点】

本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。

【教学内容】

第一节映射与函数

一、映射

1.映射概念

2.逆映射与复合映射

二、函数

1.函数的概念

2.函数的几种特性

3.反函数与复合函数

4.函数的运算

5.初等函数

第二节数列的极限

一、数列极限的定义

二、收敛数列的性质

第三节函数的极限

一、函数极限的定义

1.自变量趋于有限值时函数的极限

2.自变量趋于无穷大时函数的极限

二、函数数列的性质

第四节无穷小与无穷大

一、无穷小

二、无穷大

第五节极限运算法则

第六节极限存在准则两个重要极限

一、准则一：夹逼准则

二、第一个重要极限

三、准则二：单调有界数列必有极限

四、第二个重要极限

第七节无穷小的比较

一、高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、k阶无穷小、等价无穷小的概念

二、等价无穷小在求极限中的应用

第八节函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

二、函数的间断点

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积、商的连续性

二、反函数与复合函数的连续性

三、初等函数的连续性

第十节闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最大值最小值定理

二、零点定理与介值定理

【教学建议】教学条件使用多媒体教学，本章教学内容与高中知识联系紧密，可采取指导自学法。

第二章导数与微分

【教学目的】

通过本章学习

1、理解导数的定义，掌握用导数的定义求导数的方法，理解可导与连续的关系，

会利用导数的几何意义求平面曲线的切线方程和法线方程，会求分段函数的导数。

2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导

数公式。

3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。

4、掌握隐函数和由参数方程确定的函数的求导法（一、二阶导数）阶、掌握对数

求导法。

5、理解微分的定义，掌握微分公式和运算法则，了解一阶微分形式的不变性、掌

握微分在近似计算中的应用。

6、掌握一元函数的极限存在、连续、可导、可微四者关系

【教学重点与难点】本章教学重点是：应用导数的定义求导、复合函数的求导法则、隐函数和由参数方程确定的函数的求导法、对数求导法、微分在近似计算中的应用导数的应用。难点是导数的定义和极限存在、连续、可导、可微四者关系。【教学内容】

第一节导数概念

一、引例

1.直线运动的速度

2.切线问题

二、导数的定义

1.函数在一点处的导数与导函数

2.求导数举例

3.单侧导数

三、导数的几何意义

四、函数可导性与连续性的关系

第二节函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

二、反函数的求导法则

三、复合函数的求导法则

四、基本求导法则与导数公式

第三节高阶导数

第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

一、隐函数的导数

二、由参数方程所确定的函数的导数

三、对数求导法

第四节函数的微分

一、微分的定义

二、微分的几何意义

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

四、微分在近似计算中的应用

1.函数的近似计算

【教学建议】教学条件使用多媒体教学，本章教学方法要注重例题分析和习题讲解。

第三章微分中值定理与导数的应用

【教学目的】

通过本章学习

1、理解并应用罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理，理解三个定理

的区别和联系。

2、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

3、掌握用导数判断函数的单调性的方法，掌握用二阶导数判断曲线的凹凸性和拐

点的方法。

4、理解函数极值的概念和极值点和驻点之间的关系，掌握用导数求极值、最值的

方法，掌握最值在实际问题中的简单应用。

5、掌握函数水平、铅直和倾斜渐近线的求法，会利用导数和极限描绘函数的图形。【教学重点与难点】本章教学重点是：罗尔定理和拉格朗日中值定理的应用、应用洛必达法则求未定式极限、函数极值和最值的求法、最值在实际问题中的应用。难点是最值在实际问题中的应用。

【教学内容】

第一节微分中值定理

一、罗尔定理

二、拉格朗日中值定理

三、柯西中值定理

第二节洛必达法则

第三节泰勒公式

第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

一、函数单调性的判定法

二、曲线的凹凸性与拐点

第五节函数的极值与最大值最小值

一、函数的极值及其求法

二、最大值最小值问题

第六节函数图形的描绘

【教学建议】教学条件使用多媒体教学，本章教学方法要注重例题分析、习题讲解和数形结合。

第四章不定积分

【教学目的】

通过本章学习

1、理解原函数和不定积分的概念，掌握基本积分表，掌握不定积分的性质。

2、掌握换元积分法（第一换元法、第二换元法）。

3、掌握分部积分法。

4、掌握有理函数的积分。

5、了解积分表的使用。

【教学重点与难点】本章教学重点是：换元积分法和分部积分法。难点是有理函数的积分。

【教学内容】

第一节不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念

二、基本积分表

三、不定积分的性质

第二节换元积分法

一、第一类换元法

二、第二类换元法

第三节分部积分法

第四节有理函数的积分

一、有理函数的积分

二、可化为有理函数的积分举例

第五节积分表的使用

【教学建议】教学条件使用多媒体教学，本章教学方法上要重点分析例题，并行比较几种积分方法的区别与联系。

第五章定积分

【教学目的】

通过本章学习

1、理解定积分的概念，掌握利用定积分的定义计算定积分的方法，掌握定积分的

性质，了解定积分的近似计算方法。

2、理解积分上限函数的概念，及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼兹公式。

3、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

4、了解无穷限的反常积分和无界函数的反常积分的概念并会求反常积分。

【教学重点与难点】

本章重点是利用定积分的定义计算定积分、牛顿-莱布尼兹公式、定积分的换元积分法与分部积分法。难点是换元法和分部积分法的使用。

【教学内容】

第一节定积分的概念与性质

一、定积分问题举例

1.曲边梯形的面积

2.变速直线运动的路程

二、定积分的定义

三、定积分的近似计算

四、定积分的性质

第二节微积分基本公式

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

二、积分上限函数及其导数

三、牛顿-莱布尼兹公式

第三节定积分的换元法和分部积分法

一、定积分的换元法

二、定积分的分部积分法

第四节反常积分

一、无穷限的反常积分

二、无界函数的反常积分

【教学建议】教学条件使用多媒体教学，本章教学方法上要注重例题分析、定积分与不定积分计算方法上的区别和联系。

第六章定积分的应用

【教学目的】

通过本章学习

1、理解定积分的元素法的基本思想。

2、掌握应用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、旋转体的体积、平

行截面面积为已知的立体体积、平面曲线的弧长）。

【教学重点与难点】

本章重点是定积分在几何上的应用。难点是元素法的应用。

【教学内容】

第一节定积分的元素法

第二节定积分在几何上的应用

一、平面图形的面积

1.直角坐标情形

2.极坐标情形

二、体积

1.旋转体的体积

2.平行截面面积为已知的立体的体积

三、平面曲线的弧长

【教学建议】教学条件使用多媒体教学，本章教学方法上要注重例题分析、习题讲解和数形结合。

三、学时分配

四、考核成绩分配比例（例：考试课）

五、教材和参考资料

1、建议使用教材：

《高等数学》（第七版上册）同济大学数学系主编，高等教育出版社，20RR年7月

2、主要参考资料：

①《高等数学习题全解指南》（第七版上册），同济大学数学系编，高等教育出版社，20RR.7出版2015.4印刷。