18版高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质学案苏教版选修2_1

2.4.2 抛物线的几何性质

[学习目标] 1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题．

知识点一 抛物线的几何性质

直线过抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，AF ＝x 1＋p 2，BF ＝x 2＋p

2，故AB ＝x 1＋x 2＋p .

知识点三 直线与抛物线的位置关系

直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2

＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程k 2x 2

＋2(kb －p )x ＋b

2

＝0的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点． 思考 (1)抛物线x 2

＝2py (p >0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？ (2)影响抛物线开口大小的量是什么？是如何影响的？ 答案 (1)有一条对称轴即y 轴，不是中心对称图形．

(2)影响抛物线开口大小的量是参数p .p 值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．

题型一 抛物线的几何性质

例1 已知双曲线方程是x 28－y 2

9＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物

线的准线方程．

解 因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p

2＝22，且抛物线的焦点在x 轴

正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y 2

＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2.

反思与感悟 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．

(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．

跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M (1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程．

解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2

＝mx (m ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得m ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2

＝4x ；

(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2

＝ny (n ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得n ＝－1

2.

∴抛物线的标准方程为x 2

＝－12

y .

故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2

＝－12y .

准线方程为x ＝－1或y ＝1

8.

题型二 抛物线的焦点弦问题

例2 已知抛物线方程为y 2

＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AB ＝5

2

p ，求AB 所在的直线方程．

解 由题意知焦点F ? ??

??p

2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则AB ＝2p <5

2p ，不满足题意．

所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ? ?

?

??

x －p 2，k ≠0.