2018《试吧》高中全程训练计划·数学(文)天天练8 函数方程、函数的实际应用题

天天练8 函数方程、函数的实际应用题

一、选择题

1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )

A ．y ＝cos x

B ．y ＝sin x

C ．y ＝ln x

D ．y ＝x 2＋1

2．若x 0是方程? ??

??12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.? ????23，1 B.? ??

??12，23 C.? ????13，12 D.? ??

??0，13 3．下列函数中能用二分法求零点的是( )

4．函数f (x )＝ln ()x ＋1－2x (x ＞0)的零点所在的大致区间是( )

A. ()0，1

B. ()1，2

C. ()2，e

D. ()3，4

5．函数y ＝f (x )在区间[1,4]上的图象是连续不断的曲线，且f (1)·f (4)＜0，则函数y ＝f (x )( )

A ．在(1, 4)内至少有一个零点 B. 在(1, 4)内至多有一个零点

C ．在(1, 4)内有且只有一个零点

D ．在(1, 4)内不一定有零点

6．已知函数f (x )＝?

????

2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )

A.? ????74，＋∞

B.?

????－∞，74 C.? ????0，74 D.? ??

??74，2 7．已知函数f (x )＝? ??

??15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值( )

A ．恒为负

B ．等于零

C ．恒为正

D ．不大于零

8．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[]0，1

时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3||x 的零点个数是( )

A ．0

B ．2

C ．4

D ．8

二、填空题

9．函数f (x )＝?

????

x ＋2，x <0x 2－1，x >0 的零点个数是________． 10．函数f (x )＝2x ＋x －7的零点所在的区间是(n ，n ＋1)，则整数n 的值为________．

11．若函数f (x )＝||x ＋a －x 2－2 (a >0)没有零点，则a 的取值范围是________．

三、解答题

12．设函数f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R )．

(1)当b ＝1时证明：函数f (x )在区间? ??

??12，1内存在唯一零点； (2)若当x ∈[1,2]，不等式f (x )<1有解．求实数b 的取值范围．

1．A y ＝cos x 是偶函数且有无数多个零点，y ＝sin x 为奇函数，y ＝ln x 既不是奇函数也不是偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，故选A.

2．C 构造函数f (x )＝? ??

??12x －x 13，则函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线．

又f (0)＝? ????120－013＝1>0，f (13)＝? ??

??1213－(13)13>0， f ? ????12＝? ????1212－? ??

??1213<0， f (23)＝? ????1223－(23)13<0 ，所以f (13)·f ? ??

??12<0， 故f (x )的零点所在的一个区间是(13，12)，即方程? ??

??12x ＝x 13的解x 0属于区间(13，12)．

注释：∵? ????1223＝(14)13<(23)13，∴f (23)＝? ??

??1223－(23)13<0 3．B 能用二分法求函数零点的函数、在零点的左右两侧的函数值符号相反，故B 满足．

4．B 函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 在定义域上递增，f (1)＝ln2－2＜0，

f (2)＝ln3－1＞0，f (1)·f (2)＜0，故选B.

5．A 由已知y ＝f (x )的图象在区间[1,4]上是连续不断的曲线，且f (1)·f (4)＜0，故在(1,4)内至少有一零点．

6．D 函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点， 即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝????? x 2＋x ＋2，x ＜0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x ＞2，

如图所示，由图可得，当74＜b ＜2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )

＋f (2－x )的图象有4 个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零

点时，b 的取值范围是? ??

??74，2. 7．C 当x ＞0时，f (x )＝? ??

??15x －log 3x 是减函数， 又x 0是方程f (x )＝0的根，即f (x 0)＝0.

∴当0＜x 1＜x 0时，f (x 1)＞f (x 0)＝0.

8．C 若函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，则函数是以2为周期的周期函数，又由函数是定义在R 上的偶函数，结合当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3||x 的图象如下图所示：

由图可知函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3||x 的图象共有4个交点，即

函数y ＝f (x )－log 3||x 的零点个数是4个，故选C.

9．2

解析：

法1.方程x ＋2＝0(x <0)的解为x ＝－2，方程x 2－1＝0(x >0)的解

为x ＝1，所以函数f (x )有两个零点：－2与1.

法2.画出函数的f (x )＝?

???? x ＋2，x <0x 2－1，x >0 图象，它与x 轴有两个交点，所以函数f (x )有两个零点，填2.

10．2

解析：因为函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (0)＝20＋0－7＝－6<0，f (1)＝21＋1－7＝－4<0，f (2)＝22＋2－7＝－1<0，f (3)＝23＋3－7＝4>0所以f (2)·f (3)<0，故函数f (x )的零点所在的一个区间是(2,3)，所以整数n 的值为2.

11．(0,1)∪(2，＋∞)

高中数学竞赛训练题(0530)

数学竞赛训练题 1、函数()x x x x x f 44cos cos sin sin ++=的最大值是_______。 2、已知S n 、T n 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和，且2412-+=n n T S n n ，则=+++15 61118310b b a b b a _______。 3、若函数()?? ? ?? +=x a x x f a 4log 在区间上为增函数，则a 的取值范围是为_______。 4、在四面体ABCD 中，已知DA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，则当二面角A-BD-C 的正切值为2时，四面体ABCD 的体积为_______。 5、已知定义在R 上的函数()x f 满足： （1）()11=f ； （2）当10<x f ； （3）对任意的实数x 、y 均有()()()()y f x f y x f y x f -=--+12。则=??? ??31f _______。 6、已知x 、y 满足条件484322=+y x ，则542442222++-+++-+y x y x x y x 的最 大值为_______。 7、对正整数n ，设n x 是关于x 的方程nx 3 +2x-n=0的实数根，记()[]()11>+=n x n a n n （符号表示不超过x 的最大整数），则()=++++20114321005 1a a a a _______。 8、在平面直角坐标系中，已知点集I={（x ，y ）|x 、y 为整数，且0≤x ≤5，0≤y ≤5}，则以 集合I 中的点为顶点且位置不同的正方形的个数为_______。 9、若函数()x x x x f 2cos 24sin sin 42+?? ? ??+=π。 （1）设常数0>w ，若函数()wx f y =在区间??????- 32,2ππ上是增函数，求w 的取值范围； （2）集合??????≤≤=326ππx x A ，(){} 2<-=m x f x B ，若B B A =?，求实数m 的取值范围。

2018年高中数学会考题

2018年高中数学会考题

2018届吉林省普通高中学业模拟考试（数学） 注意事项: 1.答题前将自己的姓名、考号、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡在试卷规定的位置上。考试结束时,将试卷和答题卡一并交回。 2.本试题分两卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为120分。答题时间为100分钟。 3.第Ⅰ卷的选择题答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后·再选涂其他答案标号。选择题答案写试卷上无效。 4.第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上，注意字迹清楚，卷面整洁。 第Ⅰ卷 选择题（共50分) 一、选择题:本大题共15小题，只有一项是正确的.第1-10每小题3分，第11-15 每小题4分，共50分） 1．已知集合{0,2},{|02}M N x x ==≤<，则M ∩N 等于 （ ） A ．{0，1，2} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0} 2．下列结论正确的是（ ） A ． 若 ac>bc ， 则 a>b B ．若a 2>b 2，则a>b C ．若a>b,c<0，则 a+c

C ．65π D ．32π 4．已知奇函数()f x 在区间[3，7]上是增函数，且 最小值为5，那么函数()f x 在区间 [-7，-3]上（ ） A ．是减函数且最小值为-5 B ．是减 函数且最大值为-5 C ．是增函数且最小值为-5 D ．是增 函数且最大值为-5 5. 函数2 ()1log f x x =-的零点是（ ） A. 1 B. (1,1) C. 2 D. (2,0) 6．在等比数列{}n a 中，若3 2 a =，则12345 a a a a a = （ ） A. 8 B. 16

高一数学函数与方程知识点整理

高一数学函数与方程知识点整理在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。数学分为两部分，一部分是几何，另一部分是代数。精品小编准备了高一语文函数与方程知识点，希望你喜欢。 1.设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数，且f(-12)f(12)0，则方程f(x)=0在[-1,1]内() A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 解析：由f -12f 120得f(x)在-12，12内有零点，又f(x)在[-1,1]上为增函数， f(x)在[-1,1]上只有一个零点，即方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一的实根. 答案：C 2.(2019长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表： x123456 f(x)136.1315.552-3.9210.88-52.488-232.064 则函数f(x)存在零点的区间有 A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4] C.区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]

解析：∵f(2)与f(3)，f(3)与f(4)，f(4)与f(5)异号， f(x)在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]上都存在零点. 答案：C 3.若a1，设函数f(x)=ax+x-4的零点为m，g(x)=logax+x-4的零点为n，则1m+1n的取值范围是 A.(3.5，+) B.(1，+) C.(4，+) D.(4.5，+) 解析：令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4，在同一坐标系中画出函数y=ax，y=logax，y=-x+4的图象，结合图形可知，n+m为直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的2倍，由y=xy=-x+4，解得x=2，所以n+m=4，因为 (n+m)1n+1m=1+1+mn+nm4，又nm，故(n+m)1n+1m4，则 1n+1m1. 答案：B 4.(2019昌平模拟)已知函数f(x)=ln x，则函数g(x)=f(x)-f(x) 的零点所在的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析：函数f(x)的导数为f(x)=1x，所以g(x)=f(x)-f(x)=ln x-1x.因为g(1)=ln 1-1=-10，g(2)=ln 2-120，所以函数g(x)=f(x)-f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B. 答案：B

高中高考数学专题复习《函数与导数》

高中高考数学专题复习<函数与导数> 1．下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的是 （ ） A ．1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2．函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ．y y C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2 D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x 100 4．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在)0,(-∞上为减函数的是（ ） A ．x x f ?? ? ??=23)( B ．1)(2+=x x f Ｃ．3)(x x f -= Ｄ．)lg()(x x f -= 5．已知0,0a b >>，且12 (2)y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为 A ． 18 B ．14 C ．12 D ．34 6．下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1-??? ??=x y B ．2 2-?? ? ??=x y C ．3 2-=x y D ．()3 2--=x y 7．)43lg(12x x y -++=的定义域为（ ） A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8．如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数，则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）

高中数学竞赛_函数【讲义】

1 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。 （2）奇偶性：设函数y =f (x )的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集，若对于任意的x ∈D ，都有f (-x )=-f (x )，则称f (x )是奇函数；若对任意的x ∈D ，都有f (-x )=f (x )，则称f (x )是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 （3）周期性：对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内每一个数时，f (x +T )=f (x )总成立，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T 0，则这个正数叫做函数f (x )的最小正周期。 定义8 如果实数a a }记作开区间（a , +∞），集合{x |x ≤a }记作半开半闭区间（-∞,a ]. 定义9 函数的图象，点集{(x ,y )|y =f (x ), x ∈D}称为函数y =f (x )的图象，其中D 为f (x )的定义域。通过画图不难得出函数y =f (x )的图象与其他函数图象之间的关系(a ,b >0)；（1）向右平移a 个单位得到y =f (x -a )的图象；（2）向左平移a 个单位得到y =f (x +a )的图象；（3）向下平移b 个单位得到y =f (x )-b 的图象；（4）与函数y =f (-x )的图象关于y 轴对称；（5）与函数y =-f (-x ) 的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称；（7）与函数y =-f (x ) 的图象关于x 轴对称。 定理3 复合函数y =f [g (x )]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y = x -21, u=2-x 在（-∞,2）上是减函数，y =u 1在（0，+∞）上是减函数，所以y =x -21在（-∞,2）上是增函数。 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。 二、方法与例题 1．数形结合法。 例1 求方程|x -1|=x 1的正根的个数 .

2018年吉林省高中会考(数学)模拟考试题

2018年吉林省普通高中学业考试模拟试题（数学） 注意事项： 1．答题前将自己的姓名、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂 在答题卡和试卷规定的位置上。考试结束时.将试卷和答题卡一并交回。 2．本试题分两卷.第1卷为选择题.第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为 120分。答题时间为100分钟。 3．第1卷选择题的答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后.用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号。选择题答案写在试卷上无效。 4．第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上.注意字迹清楚.卷面整洁。 参考公式： 标准差： 锥体体积公式： V= 31S 底·h 其中．s 为底面面积.h 为高, 柱体体积公式 V=s.h 球的表面积、体积公式 S= 2 4R π V=3 43 R π 其中．s 为底面面积.h 为高, V 为体积 .R 为球的半径 第1卷 （选择题 共50分） 一、选择题（本大题共15小题.每小题的四个选项中只有一项是正确的.第1-10小题每 小题3分.第11-15小题每小题4分.共50分） 1.设集合M={－ 2.0.2}.N={0}.则( ). A ．N 为空集 B. N∈M C. N M D. M N 2．已知向量(3,1)=a .(2,5)=-b .那么2+a b 等于（ ） A (1,11)- B (4,7) C (1,6) D (5,4)- 222121[()()()] n s x x x x x x n =-+-++-L

3．函数2log (1)y x =+的定义域是（ ） A (0,)+∞ B (1,)-+∞ C (1,)+∞ D [1,)-+∞ 4．函数sin y x ω=的图象可以看做是把函数sin y x =的图象上所有点的纵坐标保持不变.横坐标缩短到原来的 1 2 倍而得到的.那么ω的值为（ ） A 14 B 1 2 C 4 D 2 5．在函数3y x =.2x y =.2log y x = .y =中.奇函数是（ ） A 3y x = B 2x y = C 2log y x = D y = 6.一个几何体的三视图如图所示. 该几何体的表面积是（ ） A 3π B 8π C 12π D 14π 7．11sin 6 π的值为（ ） A 12- B 2- C 1 2 D 2 8．不等式2320x x -+<的解集为（ ） A {}2x x > B {}1x x > C {}12x x << D {}12x x x <>或 9．在等差数列{}n a 中.已知12a =.24a =.那么5a 等于（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．16 俯视图 左（侧）视图 主（正）视图2 2

高中数学--函数与方程

函数与方程 一、函数的零点概念 教材中具体的定义：对于函数)(x f y =,我们把使 0)(=x f 的实数x 叫做函数0)(=x f 的零点。 可以这样理解：① 函数)(x f y =的零点就是 方程0)(=x f 的实数根 ② 函数)(x f y =的零点就是 函数)(x f y =的图象与X 轴交点的横坐标 二、用二分法求方程的近似解 二分法 对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 举例理解： 二次函数f （x ）=x 2－2x －3的图象（如下图），函数f （x ）=x 2－2x －3在区间［－2，1］上有零点. 计算f （－2）×f （1） （＞ 还是 ＜ ） 0 在区间［2，4］的端点上，即f （2）·f （4）＜0，函数f （x ）=x 2－2x －3在（2，4）内有零点。

例1 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ） 例2 下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) 三、零点分类：不变号零点和变号零点 不变号零点 )(x f y ==函数2)(x x f =在下列区间是否存在零点？（ ） （A ）（-3，-1） （B ）（-1，2） （C ）（2，3） （D ）（3，4） 变号零点 函数零点的存在性定理(仅适合变号零点):

应用：仅能判断零点的存在性，或者判断零点所在的区间命题方法判断零点的个数及所在的区间 典例(1)已知函数f(x)＝6 x－log2 x，在下列区 间中，包含f(x)零点的区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞)(2)函数f(x)＝2x－ 2 x－ a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( ) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 【解题法总结】函数零点问题的解题方法 (1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 ①解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上． ②利用零点存在性定理进行判断． ③画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． (2)判断函数零点个数的方法

高中数学函数与导数综合复习

高二数学函数与导数综合复习 一、知识梳理： 1．基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则： 常用函数导数公式：='x ； =')(2 x ；=')(3 x ；=')1 (x ； 初等函数导数公式：='c ； =')(n x ；=')(sin x ；=')(cos x ； =')(x a ； =')(x e ；=')(log x a ；=')(ln x ； 导数运算法则：（1）/ [()()]f x g x ±= ；（2）)]'()([x g x f ?= ； （3）/ ()[ ]() f x g x = [()0].g x ≠ 2．导数的几何意义：______________________________________________________________________； 曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为________________________________________． 3．用导数求函数单调区间的一般步骤： （1）__________________________________; （2）________的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；_______的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 4. 利用导数求函数的最值步骤: ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值； ⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值. 二．巩固练习： 1．一个物体的运动方程为21s t t =-+ 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时 速度是 （ ） A 、 7米/秒 B 、6米/秒 C 、 5米/秒 D 、 8米/秒 2. 在0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?中，x ?不可能 （ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．大于0或小于0 3. 已知曲线3 2x y =上一点)2,1(A ，则A 处的切线斜率等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．6＋6x ?＋2(x ?)2 D ．6 4. 设)(x f y =存在导函数，且满足12) 21()1(lim 0 -=??--→?x x f f x ，则曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线 斜率为（ ） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2

高中数学竞赛讲义_三角函数

三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正 弦函数s in α= r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=α sec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间 ?? ????+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??????++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ?? +0,2ππk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2π)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1()tan (tan βαβα ±

2018-2019年山东高二水平数学会考真题及答案解析

2018-2019年山东高二水平数学会考真题及答案解析班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________ 题号一二三总分 得分 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、选择题 1.条件，条件，则p是q的（）． A．充分不必要条件B．必要不充分条件充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：，，的充分不必要条件． 考点：四种条件的判定． 2.已知等差数列的前n项和为，满足( ) A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 试题分析：,又，所以，那么． 考点：等差数列的前n项和． 3.下列函数中，在x=0处的导数不等于零的是（） A．B．C．y=D． 【答案】A 【解析】 试题分析：因为，，所以，，所以，在x=0处的导数为1， 故选A。

考点：导数计算。 点评：简单题，利用导数公式加以验证。 4.设，若，则等于（） A．e2B．e C．D．ln2 【答案】B 【解析】 试题分析：因为，所以所以，解得 考点：本小题主要考查函数的导数计算. 点评：导数计算主要依据是导数的四则运算法则，其中乘法和除法运算比较麻烦，要套准公式，仔细计算. 5.曲线的直角坐标方程为（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 试题分析：化为 考点：极坐标方程 点评：极坐标与直角坐标的关系为 6.是虚数单位,复数( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 试题分析： 考点：复数运算 点评：复数运算中 7.关于直线与平面，有下列四个命题： ①若，且，则； ②若且，则； ③若且，则；

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

高中数学竞赛讲义_二次函数与命题

二次函数与命题 一、基础知识 1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-a b 2，下同。 2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a <0时，情况相反。 3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。 1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1x 2}和{x |x 10，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=a b a c 442 -,若a <0，则当x =x 0=a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=a b a c 442 -.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0n 时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (n )（以上结论由二次函数图象即可得出）。 定义1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。 注1 “p 或q ”复合命题只有当p ，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且q ”复合命题只有当p ，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非p ”即“p ”恰好一真一假。 定义2 原命题：若p 则q （p 为条件，q 为结论）；逆命题：若q 则p ；否命题：若非p 则q ；逆否命题：若非q 则非p 。 注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义3 如果命题“若p 则q ”为真，则记为p ?q 否则记作p ≠q .在命题“若p 则q ”中，如果已知p ?q ,则p 是q 的充分条件；如果q ?p ，则称p 是q 的必要条件；如果p ?q 但q 不?p ，则称p 是q 的充分非必要条件；如果p 不?q 但p ?q ，则p 称为q 的必要非充分条件；若p ?q 且q ?p ，则p 是q 的充要条件。 二、方法与例题 1．待定系数法。 例1 设方程x 2-x +1=0的两根是α，β，求满足f (α)=β,f (β)=α,f (1)=1的二次函数f (x ). 【解】 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 则由已知f (α)=β,f (β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a +b +1]=0， 因为方程x 2-x +1=0中△≠0， 所以α≠β，所以(α+β)a +b +1=0. 又α+β=1,所以a +b +1=0. 又因为f (1)=a +b +c =1，

2018-2019学年北京市普通高中学业水平考试数学试题 解析版

绝密★启用前 2018年北京市普通高中学业水平考试数学试卷 一、单选题 1．已知集合，1，，那么等于 A．B．C．D．1， 【答案】B 【解析】 【分析】 利用交集定义直接求解． 【详解】 集合，1，， ． 故选：B． 【点睛】 本题考查交集的概念与运算，属于基础题. 2．平面向量，满足，如果，那么等于 A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用数乘向量运算法则直接求解． 【详解】 平面向量，满足，， ． 故选：D． 【点睛】 本题考查向量的求法，考查数乘向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3．如果直线与直线平行，那么实数k的值为 A．B．C．D．3 【答案】D 【解析】 【分析】 利用两条直线相互平行的充要条件即可得出． 【详解】 直线与直线平行， ，经过验证满足两条直线平行． 故选：D． 【点睛】 本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．如图，给出了奇函数的局部图象，那么等于 A．B．C．2 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，由函数的图象可得f（﹣1）的值，结合函数的奇偶性可得f（1）的值，即可得答案． 【详解】 根据题意，由函数的图象可得， 又由函数为奇函数，则， 故选：B． 【点睛】 本题考查函数的奇偶性的性质，关键是掌握函数奇偶性的性质，属于基础题．

5．如果函数，且的图象经过点，那么实数a等于 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意代入点的坐标，即可求出a的值． 【详解】 指数函数的图象经过点， ， 解得， 故选：B． 【点睛】 本题考查了指数函数的定义，考查计算能力，属于基础题． 6．某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从高中学生中抽取的人数为 A．60 B．90 C．100 D．110 【答案】A 【解析】 【分析】 根据分层抽样的定义和题意知，抽样比例是，根据样本的人数求出应抽取的人数【详解】 根据分层抽样的定义和题意，则高中学生中抽取的人数人． 故选：A． 【点睛】 本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在所求的层中抽取的个体数目． 7．已知直线l经过点，且与直线垂直，那么直线l的方程是

高中数学函数与方程知识点总结 经典例题及解析 高考真题及答案

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有 1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

高中数学(函数和导数)综合练习含解析

高中数学（函数和导数）综合练习含解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈．3253()422 g x x x x =-+-+ （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 2．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ， )21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 3．函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4 B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()4,4- 4．在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()2 4f x x = C ．()3log f x x = D ．()34x f x ??= ??? 5．设:x p y c =是R 上的单调递减函数；q ：函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R ．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（ ） A ．1,12?? ??? B ．1,2??+∞ ??? C ．[)10,1,2??+∞ ??? D ．10,2?? ??? 6．如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围 是（ ） A ．{2}∪(4,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．{2,4} D ．(4,)+∞

高中数学会考题

2018届吉林省普通高中学业模拟考试（数学） 注意事项: 1.答题前将自己的姓名、考号、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡在试卷规定的位置上。考试结束时,将试卷和答题卡一并交回。 2.本试题分两卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为120分。答题时间为100分钟。 3.第Ⅰ卷的选择题答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后·再选涂其他答案标号。选择题答案写试卷上无效。 4.第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上，注意字迹清楚，卷面整洁。 第Ⅰ卷 选择题（共50分) 一、选择题:本大题共15小题，只有一项是正确的.第1-10每小题3分，第11-15 每小题4分，共50分） 1．已知集合{0,2},{|02}M N x x ==≤<，则M ∩N 等于 （ ） A ．{0，1，2} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0} 2．下列结论正确的是（ ） A ．若ac>bc ，则a>b B ．若a 2>b 2，则a>b C ．若a>b,c<0，则 a+c