唐山一中2020-2021学年高二数学人教A版(2019) 第3章 圆锥曲线的方程 B卷 能力提升

2020-2021学年高二数学人教A 版（2019）选择性必修一单元测试AB 卷 第3章 圆锥

曲线的方程 B 卷 能力提升

1.双曲线2

213

x y -=的焦点到渐近线的距离是( )

A.1

D.2

2.“37m <<”是“方程22137x y m m

+=--表示椭圆”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.过点()3,2-且与椭圆22

194

x y +=有相同焦点的椭圆的方程是( )

A.22

11015x y += B.22

11510x y += C.22

12025x y += D.22

12520

x y += 4.已知抛物线()2

20y px p =>焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于两点,A B ，与y 轴

交于0,2

p

M ??

??

?

，若8AB =，则抛物线的准线方程为( )

A. 2y =- B . 1y =- C. 2x =- D. 1x =-

5.若直线(3)y k x =-与双曲线22

194

x y -=只有一个公共点，则满足条件的直线有( )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

6.已知椭圆22

12516

x y +=的两个焦点分别为12,F F ，斜率不为0的直线l 过点1F ，且交椭圆

于A B ，两点，则2ABF △的周长为( ) A ．10

B ．16

C ．20

D ．25

7.已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为π3

的直线l ，若l 与抛物线交于,B C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )

B.83

C.

163

D.8.设12,F F 是双曲线2

2

:13

y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，

则12PF F △的面积为( ) A.72

B.3

C.52

D.2

9.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为60?的直线为,(3,0)l M -，若抛物线C 上存在一点N ，使,M N 关于直线l 对称，则p =( ) A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

10.过椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交

于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为'A .若||3

,4FO O AA '

=是坐标原点，则椭圆C 的离心率为( )

C.12

D.

2

11.已知双曲线22

22:1(0,0)x y E a b a b

-=>>的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为

_________．

12.设F 是椭圆22

:143x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上的动点，12M ? ??

为椭圆C 内的一点.设PM PF +的最大值与最小值分别为,p q ，则p q -=______________. 13.已知抛物线C 的方程为24y x =，点()1,2P -为抛物线上一点，过点P 作斜率互为相反数的两条直线12,l l .若12,l l 与抛物线C 的另一个交点分别为,M N ，则,M N 两点所在直线的斜率为_________.

14.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线方程为y =，若其右顶点到这条

，则双曲线方程为___________．

15.已知椭圆22

2:0)2x y C b b

+=>>的右顶点和上顶点分别为A 与B ，原点O 到直线

AB （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过椭圆C 长轴上一点R 的直线l ，与椭圆C 的两个不同交点为,P Q (不同于点R )，试问2

43PR QR OR ?+是否为定值，若为定值，求出定值，若不为定值，请说明理由.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：在双曲线方程2

213

x y -=中，223,1a b == 2224c a b =+=，2c =∴不妨设双曲线的

右焦点为F ，则()2,0F

又双曲线的一条渐近线方程为y =

，即0=，∴焦点F 到渐近线的距离

1d ==.

2.答案：B

解析：若方程2

2

137x y m m +=--表示椭圆，则30

70

37m m m m

->??

->??-≠-?

，解得37m <<且5m ≠，所以“37m <<”是“方程22

137x y m m

+=--表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.

3.答案：B

解析：依题意，知椭圆的焦点坐标为(.设所求方程为()22

222155

x y a a a +=>-，将点

(3,2)-代入，得2

15a =，则所求椭圆的方程为22

11510

x y +

=.故选B. 4.答案：D

解析：由题意过焦点的直线的斜率为1-，设直线方程为：2

p

y x =-+

，设()(),,,A x y B x y ''，

联立直线与抛物线的方程整理得：2

2

304

p x px -+=，3x x p '+=

∵48AB AF BF x x p p '=+=++==，所以2p =， 所以准线方程为：12

p x =-=-，故选D. 5.答案：

B

解析：依题意可知直线恒过(3，0)点即双曲线的右顶点，双曲线的渐近线方程为

2

3

y x =±，

要使直线与双曲只有一个公共点，只有三种情况：与x 轴垂直，或与渐近线平行， ∴23

k =±时直线与双曲线有一个公共点. 6.答案：C

解析：由题意得5a =，2ABF △周长：

()()2211221212420C AB AF BF AF BF AF BF AF AF BF BF a =++=+++=+++==

7.答案：C

解析：由题意，直线l 方程为:2)y x =-，代入抛物线28y x =，整理得:

2312128x x x -+=，2320120x x ∴-+=，设()()1122,,,B x y C x y ，1220

3

x x ∴+=

，所以弦BC 的

中点坐标为103? ??

，所以弦BC 的中垂线的方程为103y x ?

=-???，令0y =，可得22

3x =

，22,03P ??∴ ???

，(2,0)A ，16

||3

AP ∴=

. 8.答案：B

解析：法一：设12F F ，

分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知12(20)(20)F F -，，，，又||2OP =，所以12||OP OF OF ==，所以12PF F 是直角三角形，所以

222

121216PF PF F F +==.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有122PF PF -=，两边

平方，得22121224PF PF PF PF +-?=，又22

1216PF PF +=，所以126PF PF ?=，则

12

1211

6322

PF F S

PF PF =

?=?=，故选B. 法二：设12F F ，分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知12(2(20)F F -，0)，，，又

||2OP =，所以12||OP OF OF ==，所以12PF F 是直角三角形，所以

12

23

3tan 45tan

2

PF F b S

θ

=

=

?

=(其中12F PF θ=∠)，故选B. 9.答案：A 解析：

M N ，关于过F 倾斜角为60?的直线对称，MF NF ∴=，由抛物线定义知，

NF 等于点N 到准线的距离，即||2N p NF x =+

，由于||(3)2

p

MF =--，

(3)22

N p p

x ∴+

=--，3N x =，代入抛物线的方程可得N y =，MN k =

=，解得2p =.故选A. 10.答案：D

解析：由题意可得()()0,,,0B b F c -.由

||34FO AA '

=，得||3||4BF BA =，则||3

||1BF FA =即3BF FA =而(,)BF c b =--，所以(,)33

c b

FA =--，

所以点4(,)33b A c --，因为点4(,)33

b

A c --，在椭圆2

2

22:1x y C a b +=上，则22

22

4()()331b

c a b --+=，整理可得2216899

c a ?=，所以22

212c e a ==

，所以e .即椭圆C

.

11.

答案：y =

解析：双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为()4,0F ，可得22216a b c +==，

又∵双曲线的离心率为2，∴2c a =，得1

22a c ==

，从而得出b =

∴双曲线的渐近线方程为b y x a

=±

，即y =.

故答案为：y = 12.答案：2

解析：设'F 为椭圆C 的右焦点，如图.

22'4'PM PF PM PF PM PF +=+?-=+-，∴当点P 位于点1P 的位置时，

''PM PF F M -=-为最小值；当点P 位于点2P 的位置时，''PM PF F M -=为最大

值.'','PM PF F M F M ∴-∈?-???，'4''4,4,

PM PF F M F M ∴+-∈?-+???4,4''p F M q F M ∴=+=

-，22'p q F M ∴-==

.

13.答案：1

解析：设点()()1122,,,M x y N x y ，直线1l 的方程为()12y k x =--.由2

(1)2,

4y k x y x =--??=?

消去x 并整理，得2(2)04k

y y k --+=.由根与系数的关系，得14(2)2k y k +-=-，则12(2)

k y k

+=.同理可得22(2)k y k -+=

-.所以122424

4k k y y k k

+-+=+=，所以212122212112

4144

MN y y y y k y y x x y y --=

===-+-. 14.答案：22

1412

x y -=

解析：根据题意，双曲线渐近线方程为y =， 顶点坐标(),0a

解得2a =，

根据渐近线方程的斜率b a

b =

所以双曲线的方程为：22

1412

x y -=；

故答案为：22

1412

x y -=.

15.答案：(1)

由题意知(0,)A B b ， 则直线AB

1y

b

+

=

，即0bx +=，

=

1b =， 所以椭圆的标准方程为2

212

x y +=.

(2)设()(

)1122,,,,(,0),P x y Q x y R m m <则直线l

的方程为)y x m =-，代入2212

x y +=得222220x mx m +-=-.

所以212122

,2

m x x m x x -+==，

所以12PR QR m m ?=-- ()()22

21212332322224

m x x x x m m m -=-++==-，

222

所以()

?+=-+=(定值).

PR QR OR m m

433236