第1讲 函数图象与性质
高考定位 1.以基本初等函数为载体,考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质,能用函数的图象性质解决简单问题;3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅲ卷)函数y =1+x +sin x
x 2的部分图象大致为( )
解析 法一 易知g (x )=x +sin x
x 2为奇函数,其图象关于原点对称.所以y =1+x +sin x
x 2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度,选项D 满足.
法二 当x =1时,f (1)=1+1+sin 1=2+sin 1>2,排除A ,C.又当x →+∞时,y →+∞,B 项不满足,D 满足. 答案 D
2.(2017·山东卷)设f (x )=???x ,0 若f (a )=f (a +1),则f ? ???? 1a =( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析 由已知得a >0,∴a +1>1, ∵f (a )=f (a +1),∴a =2(a +1-1), 解得a =14,∴f ? ???? 1a =f (4)=2(4-1)=6. 答案 C 3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f (1)=-1,则满足-1≤f (x -2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 解析 因为f (x )为奇函数,所以f (-1)=-f (1)=1,于是-1≤f (x -2)≤1等价于f (1)≤f (x -2)≤f (-1),又f (x )在(-∞,+∞)上单调递减, ∴-1≤x -2≤1,∴1≤x ≤3. 答案 D 4.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )=f (2-x ),若函数y =|x 2-2x -3|与y =f (x )图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑m i =1x i =( ) A.0 B.m C.2m D.4m 解析 ∵f (x )=f (2-x ), ∴函数f (x )的图象关于直线x =1对称. 又y =|x 2-2x -3|=|(x -1)2-4|的图象关于直线x =1对称, ∴两函数图象的交点关于直线x =1对称. 当m 为偶数时,∑m i =1x i =2×m 2=m ; 当m 为奇数时,∑m i =1x i =2×m -1 2+1=m . 答案 B 考 点 整 合 1.函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. (2)奇偶性:①若f (x )是偶函数,则f (x )=f (-x ). ②若f (x )是奇函数,0在其定义域内,则f (0)=0. ③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性. (3)周期性:①若y =f (x )对x ∈R ,f (x +a )=f (x -a )或f (x +2a )=f (x )(a >0)恒成立,则y =f (x )是周期为2a 的周期函数. ②若y =f (x )是偶函数,其图象又关于直线x =a 对称,则f (x )是周期为2|a |的周期函数. ③若y =f (x )是奇函数,其图象又关于直线x =a 对称,则f (x )是周期为4|a |的周期函数. ④若f (x +a )=-f (x )? ? ???或f (x +a )=1f (x ),则y =f (x )是周期为2|a |的周期函数. 易错提醒 错用集合运算符号致误:函数的多个单调区间若不连续,不能用符号“∪”连接,可用“和”或“,”连接. 2.函数的图象 (1)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时,要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性 ①若函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x ),即f (x )=f (2a -x ),则y =f (x )的图象关于直线x =a 对称; ②若函数y =f (x )满足f (a +x )=-f (a -x ),即f (x )=-f (2a -x ),则y =f (x )的图象关于点(a ,0)对称. 热点一 函数及其表示 【例1】 (1)(2017·邯郸调研)函数y =lg (1-x 2) 2x 2-3x -2的定义域为( ) A.(-∞,1] B.[-1,1] C.? ? ???-1,-12∪? ?? ??-12,1 D.??? ???-1,-12∪? ?? ??-12,1 (2)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=???2x - 1-2,x ≤1, -log 2(x +1),x >1 且f (a )=-3,则f (6-a ) =( ) A.-74 B.-54 C.-34 D.-14 解析 (1)函数有意义,则???1-x 2>0, 2x 2-3x -2≠0, 即? ??? ?-1 ?? x ???-1 2-2=14-2=-74. 答案 (1)C (2)A 探究提高 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合,只需构建不等式(组)求解即可. (2)抽象函数:根据f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解. 2.对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解;形如f (g (x ))的函数求值时,应遵循先内后外的原则. 【训练1】 (1)(2017·郑州二模)函数y =a -a x (a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a 56+log a 48 5=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知函数f (x )=???a ·2x ,x ≥0, 2-x ,x <0(a ∈R ),若f (f (-1))=1,则a =( ) A.14 B.12 C.1 D.2 解析 (1)当x =1时,y =0,则函数在[0,1]上为减函数,故a >1.∴当x =0时,y =1,则a -1=1,∴a =2. 则log a 56+log a 485=log a ? ???? 56×485=log 28=3. (2)∵f (-1)=2-(-1)=2, ∴f [f (-1)]=f (2)=4a =1,解得a =1 4. 答案 (1)C (2)A 热点二 函数的图象及应用 命题角度1 函数图象的识别 【例2-1】 (2017·汉中模拟)函数f (x )=? ?? ?? 21+e x -1·sin x 的图象大致形状为( ) 解析 ∵f (x )=? ?? ?? 21+e x -1·sin x , ∴f (-x )=? ????21+e -x -1·sin(-x )=-? ????2e x 1+e x -1sin x =? ?? ?? 21+e x -1·sin x =f (x ). ∴函数f (x )为偶函数,故排除C ,D , 当x =2时,f (2)=? ???? 21+e 2-1·sin 2<0,故排除B ,只有A 符合. 答案 A 命题角度2 函数图象的应用 【例2-2】 (1)(2017·历城冲刺)已知f (x )=2x -1,g (x )=1-x 2,规定:当|f (x )|≥g (x )时,h (x )=|f (x )|;当|f (x )|<g (x )时,h (x )=-g (x ),则h (x )( ) A.有最小值-1,最大值1 B.有最大值1,无最小值 C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值 (2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f (x )=e x (2x -1)-ax +a ,其中a <1,若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0,则实数a 的取值范围是( ) A.?????? -32e ,1 B.?????? -32e ,34 C.???? ??32e ,34 D.???? ??32e ,1 解析 (1)画出y =|f (x )|=|2x -1|与y =g (x )=1-x 2的图象,它们交于A ,B 两点.由“规定”,在A ,B 两侧,|f (x )|≥g (x ),故h (x )=|f (x )|;在A ,B 之间,|f (x )| 综上可知,y =h (x )的图象是图中的实线部分,因此h (x )有最小值-1,无最大值. (2)设g (x )=e x (2x -1),h (x )=ax -a ,由题知存在唯一的整数x 0,使得g (x 0)<h (x 0), 因为g ′(x )=e x (2x +1),可知g (x )在? ? ? ??-∞,-12上单调递减, 在? ???? -12,+∞上单调递增,作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示,故???h (0)>g (0),h (-1)≤g (-1), 即? ????a <1,-2a ≤-3e ,所以32e ≤a <1. 答案 (1)C (2)D 探究提高 1.已知函数的解析式,判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等,以及函数图象上的特殊点,根据这些性质对函数图象进行具体分析判断. 2.(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究. 【训练2】 (1)(2017·长沙二模)函数y =? ?? ??13|log 3x |的图象是( ) (2)已知函数f (x )=???-x 2+2x ,x ≤0, ln (x +1),x >0.若|f (x )|≥ax ,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 解析 (1)当x ≥1时,y =? ????13|log 3x |=? ????13log 3x =1 x . 当0 =3log 3x =x . ∴y =? ????13|log 3x |=?????1x ,x ≥1,x ,0 图象为选项A. (2)函数y =|f (x )|的图象如图.y =ax 为过原点的一条直线,当a >0时,与y =|f (x )|在y 轴右侧总有交点,不合题意;当a =0时成立;当a <0时,找与y =|-x 2+2x |(x ≤0)相切的情况,即y ′=2x -2, 切点为(0,0),此时a =2×0-2=-2,即有-2≤a <0,综上,a ∈[-2,0]. 答案 (1)A (2)D 热点三 函数的性质与应用 【例3】 (1)(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当x ∈[-3,0]时,f (x )=6- x ,则f (919)=________. (2)(2017·天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )=xf (x ).若a =g (-log 25.1),b =g (20.8),c =g (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.a D.b 解析 (1)∵f (x +4)=f (x -2),∴f [(x +2)+4]=f [(x +2)-2],即f (x +6)=f (x ), ∴f (919)=f (153×6+1)=f (1), 又f (x )在R 上是偶函数, ∴f (1)=f (-1)=6-(-1)=6,即f (919)=6. (2)法一 易知g (x )=xf (x )在R 上为偶函数, ∵奇函数f (x )在R 上是增函数,且f (0)=0. ∴g (x )在(0,+∞)上是增函数. 又3>log 25.1>2>20.8,且a =g (-log 25.1)=g (log 25.1), ∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8),则c >a >b . 法二 (特殊化)取f (x )=x ,则g (x )=x 2为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,又3>log 25.1>20.8, 从而可得c >a >b . 答案 (1)6 (2)C 探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解. 2.函数单调性应用:可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性. 【训练3】 (1)(2017·淄博诊断)已知奇函数f (x )=???3x -a (x ≥0), g (x )(x <0),则f (-2)的值 等于________. (2)(2017·西安质检)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x -1)=f (x +1),且当x ∈[-1,1]时,f (x )=x ? ? ???1-2e x +1,则( ) A.f (-3) 52 B.f ? ???? 52 ?? 52 D.f (2) ?? 52 解析 (1)因为函数f (x )为奇函数,所以f (0)=0,则30-a =0,∴a =1. ∴当x ≥0时,f (x )=3x -1,则f (2)=32-1=8, 因此f (-2)=-f (2)=-8. (2)∵f (x -1)=f (x +1),则函数f (x )的周期T =2. 当x ∈[-1,1]时,f (x )=x ? ? ? ??1-2e x +1=x ·e x -1e x +1, 则f (-x )=-x ·e -x -1e -x +1=-x ·1-e x 1+e x =x ·e x -1 e x +1= f (x ), 则函数f (x )为偶函数, 因此f ? ????52=f ? ???? 12,f (-3)=f (-1)=f (1),f (2)=f (0). 当0≤x ≤1时,函数y =x 与y =1- 2 e x +1 均为增函数且都不小于0,所以f (x )=x ? ????1-2e x +1在区间[0,1]上是增函数. ∴f (1)>f ? ????12>f (0),即f (-3)>f ? ???? 52>f (2). 答案 (1)-8 (2)D 1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域,如求函数f (x )=1 x ln x 的定义域时,只考虑x >0,忽视ln x ≠0的限制. 2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义,即f (0)有意义,那么一定有f (0)=0;若f (x )为偶函数,则f (|x |)=f (x ). 3.三种作函数图象的基本思想方法 (1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图; (2)对函数解析式进行恒等变换,转化为已知方程对应的曲线; (3)通过研究函数的性质,明确函数图象的位置和形状. 4.函数是中学数学的核心,函数思想是重要的思想方法,利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质,对于给定的函数若不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个函数图象,数形结合直观求解. 一、选择题 1.(2017·唐山一模)若函数f (x )=???e x - 1,x ≤1, 5-x 2,x >1, 则f (f (2))=( ) A.1 B.4 C.0 D.5-e 2 解析 由题意知,f (2)=5-4=1,f (1)=e 0=1, 所以f (f (2))=1. 答案 A 2.(2017·衡阳二模)已知函数g (x )的定义域为{x |x ≠0},且g (x )≠0,设p :函数f (x )=g (x )? ? ???1 1-2x -12是偶函数;q :函数g (x )是奇函数,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 令h (x )= 11-2x -1 2 (x ≠0)易得h (x )+h (-x )=0,h (x )为奇函数,g (x )是奇函数,f (x )为偶函数;反过来也成立.因此p 是q 的充要条件. 答案 C 3.(2017·全国Ⅰ卷)函数y = sin 2x 1-cos x 的部分图象大致为( ) 解析 令f (x )= sin 2x 1-cos x ,定义域为{x |x ≠2k π,k ∈Z },又f (-x )=-f (x ),∴f (x ) 在定义域内为奇函数,图象关于原点对称,B 不正确.又f ? ????π2=0,f (π)=0,f ? ??? ? 34π=-1 1+22<0.∴选项A ,D 不正确,只有选项C 满足. 答案 C 4.已知定义在R 上的函数f (x )=2|x -m |-1(m 为实数)为偶函数,记a =f (log 0.53),b =f (log 25),c =f (2m ),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <b D.c <b <a 解析 由f (x )=2|x -m |-1是偶函数可知m =0, 所以f (x )=2|x |-1. 所以a =f (log 0.53)=2|log 0.53|-1=2log 23-1=2, b =f (log 25)=2|log 25|-1=2log 25-1=4, c =f (0)=2|0|-1=0,所以c 5.(2016·天津卷改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a -1|)>f (-2),则a 的取值范围是( ) A.? ?? ??12,32 B.? ? ? ??-∞,32 C.? ?? ?? 12,+∞ D.? ????-∞,12∪? ?? ??32,+∞ 解析 ∵f (x )是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,∴在(0,+∞)上单调递减,f (-2)=f (2),∴f (2|a -1| )>f (2),∴2 |a -1| <2=21 2,∴|a -1|<12,即-12 2, 即12 6.(2017·成都诊断)函数f (x )= 2x -12+3 x +1 的定义域为________. 解析 由题意得:?????2x -12≥0,x +1≠0,解得x >-1. 答案 {x |x >-1} 7.(2017·郴州二模)已知函数f (x )是奇函数,当x >0时,f (x )=a x (a >0且a ≠1),且f (log 12 4)=-3,则a 的值为________. 解析 ∵奇函数f (x )满足f ? ?? ?? log 124=-3,而log 12 4=-2<0,∴f (-2)=-3,即f (2) =3, 又∵当x >0时,f (x )=a x (a >0且a ≠1),又2>0, ∴f (2)=a 2=3,解之得a = 3. 答案 3 8.(2015·全国Ⅰ卷改编)设函数f (x )=ln(1+|x |)-1 1+x 2 ,则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是________. 解析 易知f (x )在R 上为偶函数, 则由f (x )>f (2x -1),得f (|x |)>f (|2x -1|), 当x >0时,f (x )=ln(1+x )- 1 1+x 2 在[0,+∞)上是增函数,从而|x |>|2x -1|, 两边平方,得3x 2 -4x +1<0,解之得1 3 三、解答题 9.(2017·深圳中学调研)已知函数f (x )=a -22x +1 . (1)求f (0); (2)探究f (x )的单调性,并证明你的结论; (3)若f (x )为奇函数,求满足f (ax ) 2 20+1 =a -1. (2)∵f (x )的定义域为R , ∴任取x 1,x 2∈R 且x 1 则f (x 1)-f (x 2)=a -22x 1+1-a +2 2x 2+1=2·(2x 1-2x 2)(1+2x 1)(1+2x 2), ∵y =2x 在R 上单调递增且x 1 ∴0<2x 1<2x 2,∴2x 1-2x 2<0,2x 1+1>0,2x 2+1>0. ∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1) (3)∵f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ), 即a - 22-x +1=-a +22x +1 , 解得a =1(或用f (0)=0去解). ∴f (ax ) ∴不等式的解集为(-∞,2). 10.已知函数f (x )=x 2-2ln x ,h (x )=x 2-x +a . (1)求函数f (x )的极值; (2)设函数k (x )=f (x )-h (x ),若函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为(0,+∞),令f ′(x )=2x -2 x =0,得x =1. 当x ∈(0,1)时,f ′(x )<0,当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0, 所以函数f (x )在x =1处取得极小值为1,无极大值. (2)k (x )=f (x )-h (x )=x -2ln x -a (x >0), 所以k ′(x )=1-2 x , 令k ′(x )>0,得x >2,所以k (x )在[1,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增, 所以当x =2时,函数k (x )取得最小值k (2)=2-2ln 2-a . 因为函数k (x )=f (x )-h (x )在区间[1,3]上恰有两个不同零点, 即有k (x )在[1,2)和(2,3]内各有一个零点, 所以???k (1)≥0,k (2)<0,k (3)≥0,即有???1-a ≥0, 2-2ln 2-a <0,3-2ln 3-a ≥0, 解得2-2ln 2 所以实数a 的取值范围为(2-2ln 2,3-2ln 3]. 11.(2017·贵阳质检)已知函数f (x )=ln(x +1)-ax 1-x (a >0). (1)当a =1时,求函数f (x )的单调区间; (2)若-1 1x +1-1 (1-x )2=x (x -3)(x -1)2(x +1) , 当-1 所以函数f (x )的单调递增区间为(-1,0)和(3,+∞);单调递减区间为(0,1)和(1,3). (2)f′(x)=x2-(a+2)x+1-a (x-1)2(x+1) ,-1 当a>0时,令f′(x)=0,得x1=a+2-a2+8a 2,x2= a+2+a2+8a 2. 若00,f(x)>f(0)=0,不符合题意. 若a>1,此时-1 综上实数a的取值范围为{1}. 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取 空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、(全国 8)正六棱柱 ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1, 侧棱长为 2 ,则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 ( ) A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质,以及异面直线所成角的求法。 2、(全国 18)如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF C 上移动,若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD。 (1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°, 求这个四棱锥的体积; (2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念,以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、(02全国文22)(一)给出两块面积相同的正三角形纸片,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,使它们的全面积都与原三角形面积相等,请设计一种剪拼法,分别用虚线标示在图(1)(2)中,并作简要说明。 (3) (1)(2) (二)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。(三)如果给出的是一块任意三角形的纸片,如图(3)要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标出在图3中,并作简要说明。高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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