2013广东高考数学(理科)试题及详解

2013广东高考数学（理科）试题及详解

参考公式:台体的体积公式()

11221

3

V S S S S h =

+,其中12,S S 分别是台体的上、

下底面积,h 表示台体的高.

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．设集合{

}

2

|20,M x x x x =+=∈R ,{

}

2

|20,N x x x x =-=∈R ,则M

N =( )

A . {}0

B ．{}0,2

C ．{}2,0-

D ．{}2,0,2-

【分析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N ={}2,0,2-,故选D ．

2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,2

1y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是

( )

A . 4

B ．3

C ．2

D ．1

【分析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3

y x =和2sin y x =,故选C ． 3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )

A . ()2,4

B ．()2,4-

C ．()4,2-

D ．()4,2

【分析】C ；2442i

z i i

+=

=-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 4．已知离散型随机变量X 的分布列为

X

1 2 3 P

35 310 110

则X 的数学期望EX = ( )

A . 32

B ．2

C ．52

D ．3

【分析】A ；331153

12351010102

EX =?+?

+?==,故选A ． 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )

A . 4

B ．14

3

C ．

16

3

D ．6 【分析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为

1和2的正方形,高为2,故()

2222114

1122233

V =

+??=,,故选B ． 6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )

A . 若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥

B ．若//αβ,m α?,n β?,则//m n

C ．若m n ⊥,m α?,n β?,则αβ⊥

D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥

【分析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．

1

2

2

1

1

正视图

俯视图

侧视图

第5题图

是

否

输入 1,1i s ==

输出s 结束

开始 i n ≤第11题图

n ()1s i s +-= 1i i =+

7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3

2

,在双曲线C 的方程是 ( )

A . 22

145x -= B ．22145x y -= C ．22

125

x y -=

D ．22125

x = 【分析】B ；依题意3c =,3

2

e =

,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ． 8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合

(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立

若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )

A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ?

B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈

C ．(),,y z w S ?,(),,x y w S ∈

D ．(),,y z w S ?,(),,x y w S ∈

【分析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则

()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．

如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，

z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥

三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；

第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.

二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)

9．不等式2

20x x +-<的解集为___________．

【分析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-. 10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.

【分析】1-；求导得1y k x '=+,依题意10k +=,所以1k =-.

11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______.

【分析】7；第一次循环后:

1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==； 第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.

x

y 4

4

1 O

.

A

E

D C

B

O

第15题图

【分析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=. 或:()57383220a a a a +=+=

13. 给定区域D :44

40x y x y x +≥??

+≤??≥?

,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定条不同的直线.

【分析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为(0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.

（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14.(坐标系和参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为22x t

y t

?=??=??(t 为参数),C

在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________. 【分析】sin 24πρθ?

?

+

= ??

?

曲线C 的普通方程为22

2x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 24πρθ?

?+= ??

?.

15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若

6AB =,2ED =,则BC =_________.

【分析】3ABC

CDE ??,所以

AB BC

CD DE

=,又 BC CD =,所以212BC AB DE =?=,从而23BC =. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知函数()212f x x π?

?=- ??

?,x ∈R .

(Ⅰ) 求6f π??-

???的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ??

∈ ???,求

23f πθ?

?+ ??

?．

1 7 9

2 0 1 5

3 0

第17题图

C D

O B

E

'A

H 【分析】(Ⅰ)2221661244f πππππ??????

-

=--=-== ? ? ???????； (Ⅱ) 22222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ??

????+=+-=+=- ? ? ??

?????

因为3cos 5θ=

,3,22πθπ??∈ ???

,所以4sin 5θ=-,

所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227

cos 2cos sin 25

θθθ=-=- 所以23f πθ??

+

??

?

cos2sin 2θθ=-72417

252525

??=---= ???.

17．（本小题满分12分）

某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.

(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；

(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；

(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 工人的概率.

【分析】(Ⅰ) 样本均值为

171920212530132

2266

+++++==；

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为21

63

=,故推断该车间12名工人中有

1

1243

?=名优秀工人.

(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则

()P A =1148212

C C C 16

33=.

18．（本小题满分14分）

如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,2CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中

3A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；

(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.

【分析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,32,22OC AC ===

. C O

B

D

E A C

D

O B E

'A 图1

图2

D

O

x

E

'A 向量法图

y

z B

连结,OD OE ,在OCD ?中,由余弦定理可得

222cos455OD OC CD OC CD =+-??=由翻折不变性可知22A D '=,

所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又OD

OE O =,所以A O '⊥平面BCDE .

(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角. 结合图1可知,H 为AC 中点,故322OH =,从而22

302

A H OH OA ''=+= 所以15

cos OH A HO A H '∠=

=',所以二面角A CD B '--155. 向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,

则(3A ',()0,3,0C -,()1,2,0D - 所以(3CA '=,(1,3DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则

00n CA n DA ?'?=??

'?=??,即330230

y z x y z ?=??-+=??,解得3y x z x =-???=??,令1x =,得(1,1,3n =- 由(Ⅰ) 知,(3OA '=为平面CDB 的一个法向量, 所以15

cos ,35n OA n OA n OA '?'=

==?'

,即二面角A CD B '--的平面角的余弦

值为

15

5

. 19．（本小题满分14分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,21212

33

n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；

(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有12

11

174

n a a a +++

<. 【分析】(Ⅰ) 依题意,1212

2133

S a =-

--,又111S a ==,所以24a =；

(Ⅱ) 当2n ≥时,32112233

n n S na n n n +=---

, ()()()()32

1122111133n n S n a n n n -=--

----- 两式相减得()()()2112

213312133n n n a na n a n n n +=----+---

整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n

+-=+,又21121a a

-=

故数列n a n ??

????

是首项为111a =,公差为1的等差数列,

所以()111n

a n n n

=+-?=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,1211157

1444

a a +

=+=<； 当3n ≥时,

()21111111n a n n n n n =<=---,此时 22212

111111

1111111

111434

423341n a a a n n n ????

??+++

=+++++

<++-+-++- ? ? ?-????

??

11171714244

n n =+

+-=-< 综上,对一切正整数n ,有12

11

174

n a a a +

++

<. 20．（本小题满分14分）

已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为

32

2

.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；

(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ?的最小值. 【分析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为2

4x cy =,02

32

2

2

c --=

结合0c >, 解得1c =.

所以抛物线C 的方程为2

4x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =

,求导得12

y x '=

设()11,A x y ,()

22,B x y (其中22

1212,44

x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,21

2

x , 所以切线PA 的方程为()1

112

x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=

因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ?=++=+++

联立方程002220

4x x y y x y

--=??=?,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=

由一元二次方程根和系数的关系可得212002y y x y +=-,2

120y y y =

所以()2

2

1212000121AF BF y y y y y x y ?=+++=+-+

又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,

所以2

2

2

2

0000001921225222y x y y y y ?

?+-+=++=++ ??

?

所以当012

y =-时, AF BF ?取得最小值,且最小值为9

2.

21．（本小题满分14分）

设函数()()2

1x

f x x e kx =--(其中k ∈R ).

(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ??

∈

???

时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【分析】(Ⅰ) 当1k =时,

()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-

令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:

x

(),0-∞

0 ()0,ln 2

ln 2

()ln 2,+∞

()f x '

+

-

+

()f x

极大值

极小值

右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()

1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=

-=>,所以()g k 在1,12?? ???

上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()

0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()

ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>； 所以()(){}(){}

3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()3

11k

h k k e k =--+,则()()

3k h k k e k '=-,

令()3k

k e k ?=-,则()330k

k e e ?'=-<-<

所以()k ?在1,12??

???

上递减,而()()1313022e e ???????=--< ? ?????

所以存在01,12x ??∈

???使得()00x ?=,且当01,2k x ??

∈ ???

时,()0k ?>, 当()0,1k x ∈时,()0k ?<, 所以()k ?在01,2x ??

???

上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为1170228h e ??=-+>

???

,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12??

???

上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”. 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()3

1k

M k e k =--.