高考数学 13-5 直接证明间接证明配套课时作业 理

【与名师对话】2014年高考数学总复习 13-5 直接证明间接证明配套课时作业理新人教A版

一、选择题

1．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是 ( )

A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)

C．a2＋3ab>2b2 D.a

b

<

a＋1 b＋1

解析：在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，

∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．

答案：B

2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac <3a”索的因应是( ) A．a－b>0 B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0

答案：C

3．(2012年河南平顶山3月模拟)命题“如果数列{a n}的前n项和S n＝2n2－3n，那么数列{a n}一定是等差数列”是否成立( )

A．不成立B．成立

C．不能断定D．能断定

解析：∵S n＝2n2－3n，∴S n－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴a n＝S n－S n－1＝4n－5(当n ＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．

∴a n＋1－a n＝4(n≥1)，

∴{a n}是等差数列．

答案：B

4．(2012年辽宁营口4月模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断：

①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a

其中判断正确的个数是( ) A．0 B．1

C．2 D．3

解析：①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.

答案：C

5．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1

a

( )

A ．都不大于－2

B ．都不小于－2

C ．至少有一个不大于－2

D ．至少有一个不小于－2

解析：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1

a 都大于－2，

即a ＋1b >－2，b ＋1c

>－2，c ＋1

a

>－2，

将三式相加，得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1

a

>－6，

又因为a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1

c

≤－2，

三式相加，得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1

a

≤－6，

所以假设不成立． 答案：C

6．已知△ABC 的顶点A (x ，y )，B (－1,0)，C (1,0)，若△ABC 满足的条件分别是：(1)△ABC 的周长是6；(2)∠A ＝90°；(3)k AB ·k AC ＝1；(4)k AB －k AC ＝－2.下列给出了点A 的轨迹方程：(a)x 2

＋y 2

＝1(y ≠0)，(b)x 2

－y 2

＝1(y ≠0)，(c)x 24＋y 2

3

＝1(y ≠0)，(d)y ＝x 2

－1(y ≠0)．

其中与条件(1)(2)(3)(4)分别对应的轨迹方程的代码依次是 ( )

A ．(a)(b)(c)(d)

B ．(c)(a)(d)(b)

C ．(d)(a)(b)(c)

D ．(c)(a)(b)(d)

解析：由△ABC 的周长是6，|BC |＝2，可知点A 位于以B ，C 为焦点的椭圆上，y ≠0，与(c)相对应；由∠A ＝90°，可知点A 位于以B ，C 为端点的圆x 2

＋y 2

＝1(y ≠0)上；由k AB ·k AC ＝1，化简得x 2

－y 2

＝1(y ≠0)；显然(4)与(d)相对应．

答案：D 二、填空题

7．若记号“※”表示求两个实数a 和b 的算术平均数的运算，即a ※b ＝

a ＋b

2

，则两边

均含有运算符号“※”和“＋”，且对于任意3个实数a ，b ，c 都能成立一个等式可以是________．

解析：∵a ※b ＝

a ＋b

2

，b ※a ＝

b ＋a

2

，∴a ※b ＋c ＝b ※a ＋c .

答案：a ※b ＋c ＝b ※a ＋c .

8．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________．

解析：∵a a ＋b b >a b ＋b a ?(a －b )2

(a ＋b )>0?a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b

9．(1)由“若a ，b ，c ∈R ，则(ab )c ＝a (bc )”类比“若a ，b ，c 为三个向量，则(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想，a n ＝2n

－2；(3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个

面的面积”；(4)若 f (x )＝2cos 2

x ＋2sin x cos x ，则 f ? ??

??π4＝2＋1.

上述四个推理中，得出的结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) 解析：向量的乘法不满足结合律，故(1)不正确； ∵ f (x )＝2cos 2

x ＋2sin x cos x ＝2sin ?

????2x ＋π4＋1，

故 f ? ????π4＝2sin ? ??

??π2＋π4＋1＝2，故(4)不正确．

答案：(2)(3) 三、解答题

10．(2012年东北三校4月模拟)已知函数f (x )＝ln(1＋x )，

g (x )＝a ＋bx －1

2x 2＋13

x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切

线．

(1)求a ，b ；

(2)证明：f (x )≤g (x )．

解：(1)f ′(x )＝11＋x

，g ′(x )＝b －x ＋x 2

，

由题意得?

??

??

g 0 ＝f 0 ，

f ′ 0 ＝

g ′ 0 ，解得a ＝0，b ＝1.

(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2

－x (x >－1)．

h ′(x )＝1x ＋1－x 2

＋x －1＝－x 3

x ＋1

.

h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．

11．已知函数y ＝a x

＋

x －2

x ＋1

(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．

(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明：(1)y ′＝a x

ln a ＋3 x ＋1

.

∵a >1，∴ln a >0，a x

>0.又x >－1，∴3 x ＋1 2>0，

∴y ′>0，∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．

(2)假设方程f (x )＝0有负数根，即存在x 0<0，使f (x 0)＝0，即ax 0＋x 0－2

x 0＋1

＝0，∴ax 0

＝2－x 0x 0＋1

. 若x 0<－1，则2－x 0

x 0＋1<0.①

而ax 0>0恒成立，② ∴①式与②式矛盾， 若－1

3x 0＋1

. ∵－1

1x 0＋1>1，∴3x 0＋1

>3， ∴－1＋

3

x 0＋1

>2.③ 而当－1

综上可知，假设不成立，原命题正确，即方程f (x )＝0没有负数根．

12．(2012年江西临川5月模拟)设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合： ①

a n ＋a n ＋2

2

≤a n ＋1，②a n ≤M ，其中n ∈N *

，M 是与n 无关的常数．

(1)若{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，a 3＝4，S 3＝18，试探究{S n }与集合W 之间的关系；

(2)设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n

，且{b n }∈W ，M 的最小值为m ，求m 的值； (3)在(2)的条件下，设C n ＝15[b n ＋(m －5)n

]＋2，求证：数列{C n }中任意不同的三项都

不能成为等比数列．

解：(1)∵a 3＝4，S 3＝18，∴a 1＝8，d ＝－2， ∴S n ＝－n 2

＋9n ，

S n ＋S n ＋2

2

S n ＝－?

??

??

n －92

2＋814

，当n ＝4或5时，S n 取最大值20.

∴S n ≤20满足条件②，∴{S n }∈W .

(2)b n ＋1－b n ＝5－2n

可知{b n }中最大项是b 3＝7， ∴M ≥7，M 的最小值为7.

(3)证明：由(2)知C n ＝n ＋2，假设{C n }中存在三项c p 、c q 、c r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则c 2

q ＝c p ·c r ，

∴(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2

－pr )＋(2q －p －r )2＝0.

∵p 、q 、r ∈N *

，∴?

??

??

q 2

＝pr ，2q －p －r ＝0，

消去q 得(p －r )2

＝0，∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾． ∴{C n }中任意不同的三项都不能成为等比数列． [热点预测]

13．(2012年河北质检)已知函数f (x )＝x 2

＋x －ln(x ＋a )＋3b 在x ＝0处取得极值0. (1)求实数a ，b 的值；

(2)若关于x 的方程f (x )＝5

2x ＋m 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取

值范围；

(3)证明：对任意的正整数n >1，不等式1＋12＋13＋…＋1n －1>ln n ＋1

2都成立．

解：(1)由题设可知f ′(x )＝2x ＋1－1

x ＋a

. ∵当x ＝0时，f (x )取得极值0，

∴?

??

??

f ′ 0 ＝0，

f 0 ＝0，解得a ＝1，b ＝0，

经检验a ＝1，b ＝0符合题意． (2)由(1)知f (x )＝x 2

＋x －ln(x ＋1)，

则方程f (x )＝52x ＋m 即为x 2

－ln(x ＋1)－32x －m ＝0，

令φ(x )＝x 2

－ln(x ＋1)－32

x －m ，

则方程φ(x )＝0在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根． ∵φ′(x )＝2x －

1x ＋1－32＝ 4x ＋5 x －1 2 x ＋1

， ∴当x ∈(0,1)时，φ′(x )<0，于是φ(x )在(0,1)上单调递减；

当x ∈(1,2)时，φ′(x )>0，于是φ(x )在(1,2)上单调递增． 依题意有?????

φ 0 ＝－m ≥0，φ 1 ＝－12－ln2－m <0φ 2 ＝1－ln3－m ≥0，

∴－1

2

－ln2

(3)由(1)知f (x )＝x 2

＋x －ln(x ＋1)的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝

x 2x ＋3

x ＋1

.

当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴f (0)为f (x )在(－1，＋∞)上的最小值， ∴f (x )≥f (0)，而f (0)＝0，

故x 2

＋x ≥ln(x ＋1)，其中当x ＝0时等号成立．

对任意正整数n (n >1)，取x ＝1n >0，得1n 2＋1n

>ln ? ??

??1n ＋1＝ln(n ＋1)－ln n ，

而1n n －1 >1n 2(n >1)，∴1n n －1 ＋1

n >ln(n ＋1)－ln n ，

∴

1

n －1

>ln(n ＋1)－ln n . ∴1＋12＋13＋…＋1n －1>(ln 3－ln 2)＋(ln 4－ln 3)＋…＋[ln(n ＋1)－ln n ]＝ln(n

＋1)－ln 2＝ln n ＋1

2

.

代数证明与恒等变形

代数证明与恒等变形 代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系、 在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明、 恒等式的证明常用的方法有： （1）由繁到简，从一边推向另一边； （2）从左右两边人手，相向推进； （3）作差或作商证明，即证明：左边一右边＝0，)0(1≠=右边右边左边、 条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与条件的沟通、 代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用、 例1：设A 、B 、C 、D 都是整数，且M ＝A2＋B2，N ＝C2＋D2，MN 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是＿＿＿＿＿＿. 解MN ＝（A2＋B2）（C2＋D2） ＝A2C2＋2ABCD ＋B2D2＋A2D2＋B2C2－2ABCD ＝（AC ＋BD ）2＋（AD －BC ）2 ＝（AC －BD ）2＋（AD ＋BC ）2， 所以，MN 的形式为（AC ＋BD ）2＋（AD －BC ）2或〔AC －BD 〕2＋（AD ＋BC ）2. 例2：设X 、Y 、Z 为实数，且 （Y －Z ）2＋（X －Y ）2＋（Z －X ）2＝（Y ＋Z －2X ）2＋（Z ＋X －2Y ）2＋（X ＋Y － 2Z ）2.求 )1)(1)(1() 1)(1)(1(222++++++z y x xy zx yz 的值. 解将条件化简成 2X2＋2Y2＋2Z2－2XY －2XZ －2YZ ＝0 ∴（X －Y ）2＋（X －Z ）2＋（Y －Z ）2＝0 ∴X ＝Y ＝Z ，∴原式＝1. 例3：设A ＋B ＋C ＝3M ，求证：（M －A ）3＋（M －B ）3＋（M －C ）3－3（M －A ）（M － B ）（M － C ）＝0. 证明令P ＝M －A ，Q ＝M －B ，R ＝M －C ，那么 P ＋Q ＋R ＝0. P3＋Q3＋R3－3PQR ＝（P ＋Q ＋R ）（P2＋Q2＋R2－PQ －QR －RP ）＝0 ∴P3＋Q3＋R3－3PQR ＝0 即（M －A ）3＋（M －B ）3＋（M －C ）3－3（M －A ）（M －B ）（M －C ）＝0 例4：假设67890123475678901235,67890123455678901234==B A ，试比较A 、B 的大小. 解设,y x A =那么 ,21++=y x B

高考推理与证明真题汇编理科数学(解析版)

2012高考真题分类汇编：推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 ： 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即 21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝ 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断，下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B ．d C ．d D ．d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由，得设选项中常数为则；中代入得， 中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<，

高中数学专题讲义-直接证明与间接证明

题型一：综合法 【例1】若 11 0a b <<,则下列结论不正确的是 ( ) Ａ．22a b < Ｂ．2ab b < Ｃ．2b a a b +> Ｄ．a b a b -=- 【例2】如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。 （A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a = 【例3】在△ABC 中若2sin b a B =,则A 等于( ) (A)003060或 (B)004560或 (C)0060120或 (D)0030150或 【例4】下列四个命题：①若1 02 a << ,则()()cos 1cos 1a a +<-;②若01a <<,则11a -1a >+>2a ;③若x 、y ∈R ，满足2y x =,则()2log 22x y +的最小值是7 8；④ 若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。其中正确的是（ ）。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 【例5】下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()4 1 1≤ -a a ；③2≥+a b b a ；④()()()2 2222bd ac d c b a +≥+?+.其中不成立的有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 【例6】已知,a b R ∈且,0a b ≠，则在① ab b a ≥+222；②2≥+b a a b ； 典例分析 板块二.直接证明与 间接证明

③2 )2 (b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+这四个式子中，恒成立的个数是 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例7】已知c b a ,,均大于1，且4log log =?c b c a ，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A b ac ≥ B c ab ≥ C a bc ≥ D c ab ≤ 【例8】已知不等式1()()9,a x y x y ++≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【例9】α、β为锐角()sin a αβ=+，sin sin b αβ=+，则a 、b 之间关系为 （ ） A ．a b > B ．b a > C ．a b = D ．不确定 【例10】设M 是ABC ?内一点，且AB AC ?=u u u r u u u r 30BAC ∠=?，定义()(,,)f M m n p =， 其中m 、n 、p 分别是MBC ?，MCA ?，MAB ?的面积，若1 ()(,,)2 f P x y =，则14x y + 的最小值是 （ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18 【例11】若函数32)1(2++-=mx x m y 是偶函数，则)4 3(-f ，)1(2+-a a f （a ∈R ） 的大小关系是)4 3(-f )1(2+-a a f . 【例12】设≥++=++>>>c b a c b a c b a 111 ,1,0,0,0则若 【例13】函数()y f x =在（0，2）上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则 ()1f ,()2.5f ,()3.5f 的大小关系是 . 【例14】已知 5,2==b a ρρ，向量b a ρρ与的 夹角为0 120，则a b a ρρρ．)2(-=

高考数学选择题秒杀技巧

10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧 特值法： 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 例1 (2017·卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b 2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1 b C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2 a D.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2 a 例2．设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈，则()f n =（ ） A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一（特值法）：令0n =，则34 4 7 10 421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--，对照选项，只有D 成立。 思路二：f （n ）是以2为首项，8为公比的等比数列的前4n +项的和，所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--，选D 。这属于直接法。 例3.若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（ ） A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】：因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2 (1)y x =-，则(2)y f x =变为2 (21)y x =-，即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ，选C 例4．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，=m(++)OH OA OB OC ，则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ，点O 为斜边的中点，点H 与三角形直角顶点C 重合，这时候有=++OH OA OB OC ，所以m=1

课时作业(十三)

课时作业(十三)Unit 5Music Section ⅡWarming up & Reading—Language points Ⅰ.单词拼写 1．We can’t go on________(假装) that everything is OK. 答案：pretending 2．In Britain，packets (小包) of cigarettes come with a government health warning ________(系上) to them. 答案：attached 3．I________(形成) the impression that she didn’t really want to come. 答案：formed 4．The movie ______(赚) 7 million pounds on its first day. 答案：earned 5．Then he smiled and told me he would receive an ________(额外的) $100 a year! 答案：extra 6．The band spent six months in the ________(工作室) working on their new album. 答案：studio 7．The tennis championship will be________(播放) at the same time as it takes place tomorrow. 答案：broadcast 8．I went and sat in a cafe and watched the________(过路人)． 答案：passers-by 9．My aunt wanted her daughter to learn to play a musical________(乐器)． 答案：instrument 10．Let’s go down the ________(酒馆) for a drink after work. 答案：pub Ⅱ.单句语法填空 1．He gave a________(humor) description of their trip to Spain. 答案：humorous 2．Schools must try to make science more________(attract) to students. 答案：attractive 3．This guy is a born________(music)！At the age of 10，he began to produce his own records. 答案：musician 4．The orchestra will give two more________(perform) this week. 答案：performances 5．When the manager came in，the workers pretended________(work) hard on their machines. 答案：to be working 6．—How would you like to be paid，________cash or________check? —Neither.I want to invest the money in your business. 答案：in；by 7．—How many tourists from the mainland are there in Taiwan this year? —One million ________so.I am not sure. 答案：or 8．The local government________(attack) great importance to the economic development and environment protection as well. 答案：attaches 9．If you are not familiar________the topic，you may write something that is familiar________you. 答案：with；to 10．In my opinion，________(form) good habits to learn English is very important and necessary.

八年级数学竞赛讲座代数证明附答案

第二十三讲 代数证明 代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系． 在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明． 恒等式的证明常用的方法有： (1)由繁到简，从一边推向另一边； (2)从左右两边人手，相向推进； (3)作差或作商证明，即证明：左边一右边=0，)0(1≠=右边右边 左边． 条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通． 代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用． 例题求解 【例1】(1)求证：a a z a y a x a az z a ay y a ax x 3111222+-+-+-=-+-+- （2）求证：)1)(1)(1(4)1()1()1(222ab ab b b a a ab ab b b a a ++++=+++++． 思路点拨 (1)从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联系；(2)等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较． 注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式．把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等变形的特点． 代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法． 【例2】 已知b a y x +=+，且2222b a y x +=+． 求证：2001200120012001b a y x +=+． (黄冈市竞赛题) 思路点拨 从完全平方公式入手，推出 x 、y 与a 、b 间关系，寻找证题的突破口． 【例3】 有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用i a 和i b ，分别表示第i(I=1，2，3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数． 求证：21822212182221b b b a a a +++=+++ ．

历年高考数学真题精选46 推理与证明

历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题46 推理与证明（学生版） 一．选择题（共9小题） 1．（2019?新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为() A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙2．（2019?新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - ．若某人满足上述两 个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( ) A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 3．（2017?新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2016?新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B点表示

四月的平均最低气温约为5C ?，下面叙述不正确的是( ) A ．各月的平均最低气温都在0C ?以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5．（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每 次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6．（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不 合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人 7．（2013?广东）设整数4n ，集合{1X =，2，3，?，}n ．令集合{(S x =，y ，)|z x ，y ， z X ∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}．若(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，则下列选项正确的是( )

高考数学选择题技巧精选文档

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高考数学选择题的解题策略 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。 （一）数学选择题的解题方法 1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。

例1、某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人至少有2次 击中目标的概率为 （ ） 解析：某人每次射中的概率为，3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆 于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（ ）

2017-2018学年人教版必修1历史习题：第十三课 辛亥革命+课时作业+Word版含答案

第四单元第13课 时间：45分钟满分100分 一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分) 1．晚清政府推行的自救运动“新政”和“预备立宪”，虽没有挽救清朝走向灭亡的命运，但是客观上也起到了一定的积极作用。对此，下列说法正确的是( D ) A．直接促使了武昌起义的爆发B．加强了清政府的综合实力 C．阻挡了帝国主义对中国的侵略D．为酝酿民主革命创造条件清政府推行的“新政”和“预备立宪”客观上促进了资本主义的发展，为资产阶级民主革命准备了一些条件。故答案为D项。其他选项说法皆不符合史实。 2．孙中山先生是伟大的民族英雄、伟大的爱国主义者、中国民主革命的伟大先驱。孙中山的“先驱”活动体现在( D ) A．最早提出在中国发展资本主义 B．最早进行了反侵略、反封建的革命斗争 C．最早领导推翻了封建制度 D．最早建立了资产阶级革命政党 最早提出发展资本主义的是洪仁玕，故A项错误；太平天国运动最早进行反侵略、反封建斗争，故B项错误；辛亥革命虽然推翻了帝制，封建制度仍然根深蒂固，故C项错误；同盟会是中国第一个资产阶级革命政党，故D项正确。 3．(2017·浙江学业水平模拟)同盟会纲领是对兴中会革命纲领的继承和发展，同盟会纲领的发展主要体现在( C ) A．提出了民族主义B．提出了民权主义 C．提出了民生主义D．提出了民主主义 兴中会革命纲领是“驱除鞑虏，恢复中华，创立合众政府”，具有民族、民权的含义。同盟会纲领是“驱除鞑虏，恢复中华，创立民国，平均地权”的十六字纲领，相比较兴中会纲领，同盟会纲领的发展主要体现在民生主义，故选C项。 4．(2017·江苏学业水平测试)学术界有观点认为，无论是从破还是从立的角度看，武

近世代数证明题

证明题 1、设G 是群，a ∈G ，令C G （a ）= {x |x ∈G ，xa = ax }，证明：C G （a ）≤G 2、设G ~ G ，H ≤G ，H = {x | x ∈G ，f （x ）∈ H }。证明：H /Kerf ≌H . 3、证明：模m 的剩余类环Zm 的每一个理想都是主理想。 4、设R = ???? ??c o b a ，a ，b ，c ∈Z ，I = ???? ??o o x o x ∈Z 。 （1）验证R 是矩阵环Z 2×2的一个子环。 （2）证明I 是R 的一个理想。 5、设G 是群，u 是G 的一个固定元，定义“o ”：aob = a u 2 b （a ，b ∈G ），证明 （G ， o ）构成一个群. 6、设R 为主理想整环，I 是R 的一个理想，证明R /I 是域?I 是由R 的一个素元生成 的主理想. 7、证明：模m 的剩余类环Zm 的每个子环都是理想. 8、设G 是群，H ≤G 。令N G （H ） = {x | x ∈G ，xH = Hx }.C G （H ）= { x | x ∈G ，?h ∈ H ，hx = xh }.证明： （1）N G （H ）≤G （2）C G （H ）△N G （H ） 9、证明数域F = {a ＋b 7|a ，b ∈Q}的自同构群是一个2阶循环群. 10、设R 是主理想环，I = （a ）是R 的极大理想，ε是R 的单位，证明：εa 是R 的 一个素元. 11、设G 与G 是两个群，G ~ G ，K = Kerf ，H ≤G ，令H = {x |x ∈G ，f (x ) ∈ H }，证明：H ≤G 且H /K ≌H . 12、在多项式环Z [x ]中，证明： （1）（3，x ）= {3a 0＋a 1x ＋…＋a n x n |a i ∈Z }. （2）Z [x ]/(3，x )含3个元素. 13、设H 是群G 的子群,令N G (H )={x |x G , xH =Hx },证明N G (H)是G 的子群． 14、在整数环Z 中, a, b Z,证明(a, b )是Z 的极大理想的充要条件是a , b 的最大公 因数是一个素数。 f f

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式：

高考数学答题中的一些特殊技巧

高考数学答题中的一些特殊技巧选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。 选择题应做到准确而且快速，应“多一点想的，少一点算的”，“不算就不会算错”因此，在解答时应该突出一个＂选＂字，尽量减少书写解题过程，在对照选择支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取。我们不要给任何“方法”做出限定，重要的是这种解答的思想方式。 一、按部就班的解题方法。 二、解题技巧。 选择题只管结果，不管中间过程，因此在解题过程中可以大胆的简化中间过程，但简化毕竟是简化，数学是一门具有高度精密逻辑性的严谨的科学，没有充分的依据，所有的条件反射都是错误的，只有找到对的依据、逻辑思维过程、验证，答案才可确定，“做题不可以凭印象来，凡‘差不多就是’的都是错误的，无十足把握的都是错误的”。 选择题毕竟是简单的甚至可以口算的，思路也是简单的，如果没思路、做不下去或觉得复杂，或者发现做的时候需要大

量计算的时候，可以明确的告诉自己，你的方向错了，可以换一种思路了。 1.直接法 当选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编成的时，可直接按计算题、应用题、证明题、判断题来做，确定答案之后，从选项里找即可。 2.筛选法（排除法） 去伪存真，筛除一些较易判定的的、不合题意的结论，以缩小选择的范围，再从其余的结论中求得正确的答案。如筛去不合题意的以后，结论只有一个，则为应选项。 3.特殊值法 根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，或将比例数看成具体数带人，总之，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。 4.验证法（代入法） 将各选项逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法。 5.图象法 可先根椐题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。 6.试探法

一年级语文上册1-13课课时作业

一年级上学期一日一练 1、人有两个宝 一、数一数，填一填。 才鸟手太四工个用 二、比一比，再组词。 人上木 大工水 四、看拼音写词语。 ɡōnɡ ren sìɡe dà shǒu r?n cái y?nɡ shǒu tài xiǎo

五、按课文内容填空。 r?n yǒu liǎnɡɡe bǎo 人有两个宝， shuānɡ?ǎo 双和脑。 shuānɡì zu? 双会做， nǎo huì sī kǎo 脑会思考。 nǎo 脑， cái n?nɡ yǒu chuànɡ zào 才能有创造。 内容：2、升国旗 一、选择正确的读音在括号里打“√”。 您（nín lín ）敬（jìn jìnɡ）礼（lǐ nǐ）国（ɡúɡu?）升（shēn shēnɡ）歌（ɡōu ɡē）二、看拼音写词语。 shànɡ shēnɡ lì zhanɡ xiànɡ shànɡ

wǒ men zhōnɡɡu? wǔ xīnɡ 三、按课文内容填空。 五星红旗，的国旗，国歌声，高高 ，您敬礼。内容：3、采莲 一、把音节补充完整。 c ì j j k l 采戏江间可莲 二、看拼音写词语。 jiānɡ nán xiǎo yú xī běi 子以 三、比一比，再组词。 早四 叶西

四、照样子，做一做。 例：+ 门→（们） + 工→日 + 十→ 口 + 十→丁 + 口→ 五、按课文内容填空。 采莲，莲何田田！ 戏莲叶间：戏莲叶东， 戏莲叶，戏莲叶， 戏莲叶。 内容：4、我从中国来 一、按要求分类。 yinɡ niɑo fenɡ huɑɡou zi shɑnɡ yuɑn biɑn honɡ 整体认读音节 两拼音节

近世代数证明

11.10 设G是群, 则G中阶大于2的元素有偶数个. 证: 11.10 设G是群, 则G中阶大于2的元素有偶数个. 证: 首先由定理11.4 , 对?a ∈G, 有 a &su; = e ? |a| = 1 或|a|=2 (1) 其次来证明a &su;= e ? a = (2) 事实上, 若a &su;= e. 则 反之, 若 a = , 则 a &su; = a a = a = e. 故(2)式得证。由(1)和(2)可知: a = ? |a| = 1 或|a|=2. 因此, G中阶大于2的任何元素a, 必有 a ≠. 又因|a|=||, 故G中阶大于2的元素必定成对出现, 从而G中阶大于2的元素必有偶数个(若G中无阶大于2的元素,则为0个, 也是偶数). 11.设G是非交换群，则G中存在非单位元a和b，a=!b且ab=ba’ 证明：设存在|b|=k k>1 b^k=a^-1 b^k a =(a^-1 b a)^k 当k>2时|b^-1|=|b|=k 且b^-1 =!b (否则b^2=b b^-1=e，k=2，矛盾)，所以b^-1 b =b b^-1=e 否则所有k<=2，由例题可指G是交换群,矛盾，所以G中存在非单位元a和b，a=!b且ab=ba 由定理11.4 , 对?a ∈G, 有 a &su; = e ? |a| = 1 或|a|=2 (1) 其次来证明a &su;= e ? a = (2) 事实上, 若a &su;= e. 则 反之, 若 a = , 则 a &su; = a a = a = e. 故(2)式得证。由(1)和(2)可知: a = ? |a| = 1 或|a|=2. 因此, G中阶大于2的任何元素a, 必有 a ≠. 又因|a|=||, 故G中阶大于2的元素必定成对出现, 从而G中阶大于2的元素必有偶数个(若G中无阶大于2的元素,则为0个, 也是偶数). 11.设G是非交换群，则G中存在非单位元a和b，a=!b且ab=ba’ 证明：设存在|b|=k k>1 b^k=a^-1 b^k a =(a^-1 b a)^k 当k>2时|b^-1|=|b|=k 且b^-1 =!b (否则b^2=b b^-1=e，k=2，矛盾)，所以b^-1 b =b b^-1=e 否则所有k<=2，由例题可指G是交换群,矛盾，所以G中存在非单位元a和b，a=!b且ab=ba

高中数学备考资料：高考数学选择题十大万能解题方法

高中数学备考资料：高考数学选择题十大万能解题方法1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。 2.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。 3.剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。 4.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。 5.递推归纳法：通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。

6.顺推破解法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。 7.逆推验证法(代答案入题干验证法)：将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。 8.正难则反法：从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。 9.特征分析法：对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。 10.估值选择法：有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。

代数系统证明题

问答题： 1：是一个代数系统，*是A 上的一个二元运算，如何根据运算表看出是否有①封闭性；②可交换性；③等幂元；④零元；⑤幺元。 ）①封闭性：A 中的每个元素都在运算表中；②可交换性：运算表关于主对角线是对称的；③等幂性: 运算表中主对角线中的元素等于它所在行和列的表头元素；④零元：该元素所在行和所在列的元素值都与该元素相同；⑤幺元: 该元素所在的行和列依次与运算表中的行和列相同。 2：请叙述群的定义。 设是一个代数系统，其中G 是非空集合，*是G 上一个二元运算，如果 （1） 运算*是封闭的。 （2） 运算*是可结合的。 （3） 存在幺元e 。 （4） 对于每一个元素x ∈G,存在着它的逆元x-1。 则称是一个群。 证明题： 1: 在R 上定义运算：。证明是独异点。 证明过程： （1）∵对于任意a,b ∈R 显然a*b=a+b+ab ∈R ， ∴*运算满足封闭性 （2）对于任意a,b,c ∈R 有 (a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c =a+b+c+ab+ac+bc+abc 而a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc) =a+b+c+bc+ac+ab+abc ∴(a*b)*c=a*(b*c) ∴*运算满足结合性 （3）设对任意元素a ∈R ，则有 a*0=a+0+a ×0=a 0*a=0+a+0×a=a 即有 a*0=0*a=a ∴0是幺元 由于中*运算封闭，满足结合律，有幺元，所以是独异点。 2: 设是一个群，证明是阿贝尔群的充要条件是对于任意的a ，b ∈G 有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。 证明过程： 证明：充分性证明： 设对任意,,a b G ∈有(*)*(*)(*)*(*)a b a b a a b b = 因为 ab b a b a ++=*

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

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解高考数学选择题的常用方法和解答技巧

解高考数学选择题的常用方法和解答技巧 云南省文山州砚山一中，（663100） 马兴奎 趣题引入 正三棱锥BCD A -中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，并使 λ==FD CF EB AE )0(>λ，设α为异面直线EF 与AC 所成的角，β为异面直线EF 与BD 所成的角，则βα+的值是 （ ） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 分析：解本题通常方法是画一个图，但不容易求解，只有紧紧抓住λ的两个极端值才能快速获解。 解：当0→λ时，A E →，且C F →，从而AC EF →。因为BD AC ⊥（正三棱锥中对棱互相垂直），排除选择支C B A ,,。故选D （或+∞→λ时的情况，同样可排除C B A ,,） 技巧精髓 一、选择题中的题干、选项和四选一的要求都是题目给出的重要信息，答题时要 充分利用。 二、解答选择题的基本原则是小题不能大做，小题需小做、繁题会简做、难题要 巧做。求解选择题的基本方法是以直接思路肯定为主，间接思路否定为辅，即求解时出了用直接计算方法之外还可以用逆向化策略、特殊化策略、图形化策略、整体化策略等方法求解。 三、解答选择题应注意以下几点：认真审题、先易后难、大胆猜想、小心验证。 1、逆向化策略 在解选择题时，四个选项以及四个选项中只有一个答案符合题目要求都是做题的重 要信息，逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息。解题时，要“盯住选项”，着重通过对选项的分析、考查、验证、推断而进行肯定或否定，或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选，从而迅速找到所要选择的、符合题目的选项。 【例1】（2005年，天津卷）设)(1x f -是函数)1( )(2 1)(>-=-a a a x f x x 的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为 （ ） A ．),21(2+∞-a a B ． )21,(2a a --∞ C ． ),21(2a a a - D ． ),[+∞a 【绿色通道】本题用直接法求解是先求出反函数，然后带入已知1)(1>-x f 得到一个不等

几何重数小于等于代数重数证明

几何重数小于等于代数重数证明及P190.3 设T是n维欧氏空间V上的一个线性变换， λ是T的一个特征值， 试证： λ的几何重数小于等于代数重数. 设ε1，ε2,ε3,ε4是线性空间ε的一组基，已知线性变换ε在这组基下的矩阵为 A=( 1021?1213 1255 2?21?2 ) 求 (1) ε在基ε1=ε1?2ε2+ε4；ε2=3ε2? ε3?ε4；ε3=ε3+ε4；ε4=2ε4下的矩阵； （2）ε的核与值域； （3）在ε的核中选取一组基，把它扩充为V的一组基，并求ε在这组基下的矩阵；（4）在ε的值域中选取一组基，把它扩充为V的一组基，并求ε在这组基下的矩阵。

解：（1） 因为(ε1，ε2,ε3, ε4)=(ε1，ε2,ε3, ε4)( 1 0 0 0 ?2 3 0 0 0 ?1 1 01 ?1 1 2)= (ε1，ε2,ε3, ε4)ε 所以 ε（ε1，ε2,ε3, ε4)=ε(ε1，ε2,ε3, ε4)ε=(ε1，ε2,ε3, ε4)εε=(ε1，ε2,η3, ε4)ε?1εε 故ε在基 ε1，ε2,ε3, ε4 下的矩阵为ε?1εε, 因此， ε?1εε= ( 1 0 0 0 23 13 0 0 23 13 1 0 ?12 0 ?12 12 ) ( 1 0 2 1?1 2 1 3 1 2 5 5 2 ?2 1 ?2)( 1 0 0 0 ?2 3 0 0 0 ?1 1 01 ?1 1 2) =13( 6 ?9 9 6 2 ?4 10 10 8 ?16 40 40 0 3 ?21 ?24 ) （2） 解：(2)设44332211εεεεαx x x x +++= ∈ε,则A α=0,故 A (ε1ε2 ε3ε4 )=0 计算知,2)(=A r 且上述齐次线性方程组的基础解系为T T )1,0,2,1(,)0,1,2 3 ,2(--- -,因而 421232112,2 3 2εεεαεεεα+--=+--= 是ker (ε)的一组基,ker (ε)=L (ε1,ε2). 显然,矩阵A 的前两列线性无关,构成矩阵A 的列向量组的一个极大无关组,因而 ε(ε)=εV =L (εε1,εε2,εε3,εε4)=L ( εε1,εε2) 其中εε1=ε1?ε2+ε3+2ε4,εε2=2ε2+2ε3?2ε4是εV的一组基. (3) 取ker (ε)的基21,αα把它扩充成V 的基2121,,,ααεε,