高考数学 数列求通项与求和详解

数列通项公式的求法详解

n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）K ,1716

4,1093

,542,211（3）K ,5

2

,21,32

,1（4）K ,5

4

,43,32,21-- 答案：（1）110-=n

n a （2）;1

22++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+?

-=+n n

a n n .

公式法1：特殊数列

例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f

(x ) = (x －1)2

，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1

例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）

(A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n

(D)

例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

{}n b 的通项

公式.简析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴

q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2

13

21，故数列{}n b 是等比数列，易得)1()1(1+=?+=-q q q q q b n n n .点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差

或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.

公式法2： 知n s 利用公式 ???≥-==-2,1

,11n S S n s a n n

n .

例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式.（1）13-+=n n S n .

（2）12-=n s n 答案：（1）n a =3232

+-n n ，（2）???≥-==)

2(12)1(0

n n n a n 点评：先分n=1和2≥n 两种情况，然后验证

能否统一.

【型如)(1n f a a n n +=+的地退关系递推关系】

简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .

①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得

例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. .答案：

)

(52N n n a n ∈+=

例 6. 若在数列{}n a 中，31=a ，n

n n a a 21+=+，求通项n a .答案：

n a =12+n

例7.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()

1(1

1≥-+

=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：

a n 12-

=

【 形如1+n a =f (n)·n a 型】

（1）当f(n)为常数，即：

q a a n

n =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =1

1-?n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例8：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式.

例9： 已知数列{}n a 中，3

1

1=

a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a . . 答案：.)

12(12(1

-+=

n n a n 思考题1：已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通

项公式.分析：原式化为 ),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，累

积得解.

构造1：【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】 （1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若

d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.

方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得

)0(,1

≠-=

c c d

λ， 所以：)1(11-+=-+

-c d a c c d a n n ,即?

?????

-+1c d a n 构成以11

-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列. 例10：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a . 答案：

12-=n n a

构造2：相邻项的差为特殊数列

例11：在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 3

1

3212+=

++，求n a .提示：变为)(3

1

112n n n n a a a a --=-+++.

构造3：倒数为特殊数列【形如s

ra pa a n n n +=

--11

】

例12： 已知数列｛n a ｝中11=a 且1

1+=

+n n

n a a a （N n ∈），

，求数列的通项公式. 答案 n

b a n n 1

1==

例13：设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n

解析：设1

)1(-+-+=n n bq

d n a c 建立方程组，解得.

点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{n a 为等

差数列：则c bn a n +=，cn bn s n +=2（b 、ｃ为常数），若数列}{n a 为等比数列，则1

-=n n Aq a ，

)1,0(≠≠-=q Aq A Aq s n n .

例14：（1）数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n Λ,求数列{a n }的通项公式.

解析：由题得 ΛΛ)1(2121-=++++-n a a a a n n ① 2≥n 时，ΛΛ)2(2121-=+++-n a a a n ②

由①、②得???≥==2

,21,0n n a n .（2）数列{n a }满足11=a ,且2

121n a a a a n n =??-Λ,求数列{a n }的通

项公式

（3）已知数列}{n a 中，,2

1

21,211+=

=+n n a a a 求通项n a . 八、【讨论法-了解】（1）若d a a n n =++1（d 为常数），则数列{n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，

周期为

其通项分为奇数项和偶数项来讨论. （2）形如)(1n f a a n n =?+型①若p a a n n =?+1(p 为常数)，则数列

{n a }为“等

积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n 的函数（非常

数）时，可 通过逐差法得)1(1-=?-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 例15： 数列{n a }满足01=a ,21=++n n a a ,求数列{a n }的通项公式. 专题二：数列求和方法详解（六种方法）

1

、

等

差

数

列

求

和

公

式

：

d n n na a a n a a n a a n S n n n n 2

)

1(2)(2)(2)(123121-+==+=+=+=

--Λ 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

n

[例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 答案x

x x s n n --=1)1(

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *

,求1

)32()(++=

n n

S n S

n f 的最大值. 答案n ＝8时，

1)(max =

n f 方法简介：此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }

的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：1

32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①(1≠x )

解析：由题可知，{1

)12(--n x

n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通项之积：

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=…②

①－②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）再利用

等比数列的求和公式得：

n

n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----?+=--.∴

2

1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+.

试一试1：求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 答案： 1

24-+-

=n n n S

方法简介：这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +，然后再除以2得解.

[例4] 求ο

ο

ο

ο

ο

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2++???+++的值 . 答案S ＝44.5

方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组；

[例5] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a

a a n ，… 答案 2

)13(11n

n a a a s n n -+--=-.

试一试1 求3

211

1111111111个n ???+???+++之和 .简析：由于与n k

k k a =-=????=???)110(9199999111111

1

43421321个个、分别求和.

方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）

分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）如：（1）

)

()1(n f n f a n -+= ； （2）

1

1++=

n n a n =

n

n -+1；（3）

ο

οο

οοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+；4）111)1(1+-=+=n n n n a n

（5）)1

21

121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

n n n n n a n . [例6] 求数列

???++???++,2

1,

,4

21,

3

11n n 的前n 项和.

[例7] 在数列{a n }中，11211++

???++++=

n n

n n a n ，又1

2+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 试一试1：已知数列{a n }：)

3)(1(8++=

n n a n ，求前n 项和. 试一试2：1003211

321121111+++++++++++ΛΛ..

方法简介：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因

此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

答案 0 [例9] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.（周期数列）

[例10] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值; 答案 10

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 （1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. （2）数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列 的通项公式. 注：①并非所有的数列都有通项公式； ②有的数列可能有不同形式的通项公式； ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式； ④注意区别数列的通项公式和递推公式. 题型归纳及思路提示 题型1 数列通项公式的求解 思路提示 常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法 根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式，可利用递推多式相加法求得n a ②叠乘法：形如1()n n a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式， 可用递推多式相乘求得n a ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列 构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法. 利用n S 与n a 的关系求解 形如 1(,)()n n n f S S g a -=的关系，求其通项公式，可依据 1* 1(1)(2,) n n n S n a S S n n N -=? =?-≥∈?，求出n a 观察法 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n -或者1 (1) n -- 部分.②考虑各项的变化 规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2 n 、{}2n 与(1) n -有 关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式： （1）325374 ,,,,,,;751381911 - --L

求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)

求数列通项公式和前n 项和的常用方法 一、求数列通项公式的常用方法 1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。 2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。 3.累乘法:利用3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递 推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，转化为等比数列求解。 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ） 。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 解法：先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。 类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：1.利用?? ?≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法 二、数列求和的常用方法 1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和 （1）等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 2.错位相减法 设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。 3.裂项求和法 （1）1 1 1)1(1+- =+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

数列的通项公式与求和的常见方法

数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++， 求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；

数列求通项公式及求和9种方法

【方 a n a S n 数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型 亠、S n 是数列｛a n ｝的前n 项的和 S i (n 1) S n S n 1 (n 2 ) S n 1 ”代入消兀消a n 【注意】漏检验n 的值(如n 1的情况 ［例 U . ( 1)已知正数数列｛a n ｝的前n 项的和为S n , 且对 任意的正整数n 满足2\金 如1 ,求数列｛a n ｝的 通项公式。 (2)数列｛a n ｝中，印1对所有的正整数n 都有 a 1 a 2 a 3 L a n 『， 求数列 ｛a n ｝ 的通项公式 【作业一】 2 n 1 n * 1 — 1 ■数列 a n 满足 a 1 3a 2 3 a 3 L 3 a n - (n N ) , 求数列a n 的通项公式. (二).累加、累乘 a 型如 a a f(n) , am f (n )

型一：a n a n 1 f (n)，用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 a n a n 1 f(n), a n 1 a n 2 f(n 1), a2 a1 f (2) n 2, 从而a n a1 f (n) f(n 1) L f (2),检验n 1 的情况型二：|电f(n)，用累乘法求通项公式(推导等比a n1 数列通项公式的方法) 【方法】n 2，亘也L邑f(n) f(n 1) L f(2) a n 1 a n 2 a i 即色f(n) f(n 1) L f(2)，检验n 1的情a1 况 【小结】一般情况下，“累加法”(“累乘法”)里只有n 1个等式相加(相乘). 1 1 【例2】.(1)已知a1 2，a n a n1 ■n^[(n 2)，求 a n ■ n 2 (2)已知数列a n满足a n1 - 2a n，且a1 n 2 3 求a n .

数列的通项公式与求和的常见方法

常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，1 3n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-，13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=* ()n N ∈，求数 列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++* ()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足2 11=a ，n a a n n 21+=+，* ()n N ∈求 数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2 51n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可得数列 λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{} n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列 {}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-* ()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数 列。 例：已知数列{}n a 满足11a =，122 n n n a a a += +*()n N ∈， 求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已 知 数 列 {} n a 满 足 11 a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， * ()n N ∈，求数列{}n a 的 通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{} n b （0n b ≠* n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b =求数列{}n c 的通 项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ=-++11，即数列? ? ????n n p a 为以p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数 列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1 15 5+++=n n n a a ，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的 前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2232221n a a a a ++++Λ. 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 232 1 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 2 1 )12(+ +=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求ο ο ο ο 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2+???+++ο 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设n n n b a c = ，求数列}{n c 的前n 项和n T . 类型五：裂项相消法 例.已知数列}{n a 中，) 2(1 += n n a n ，求n S . 1.求数列 1 1 ,,321,211++???++n n 的前n 项和. 2.在数列}{n a 中，1 1211++???++++=n n n n a n ， 又1 2 +?=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项的和. 3.求和 求数列的通项与求和作业 1.已知数列}{n a 的首项11=a （1）若12n n a a +=+，则n a =__________； （2）若12n n a a +=，则n a =_________ 1 11{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式

数列求通项公式及求和9种方法

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数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a 的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都 有2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =

1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??，检验1n =的情况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知2 11=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列 {}n a 满足1 2 n n n a a n +=+，且32 1=a ，求n a .

求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)

数列的通项公式与求和 1 练习1数列佝｝的前n项为S n，且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,) 3 (1) 求a2,a3, a4B值及数列｛a n｝的通项公式. (2) 求a2a4一-玄 n ■ 2 练习2 数列｛a n｝的前n项和记为S n，已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)?证明: n (1) 数列｛§L｝是等比数列； n (2) S n 1 = 4a n 1 * 练习3 已知数列｛a n｝的前n项为S n，S n = —@n -1)(门，N ) 3 (1)求耳忌 ⑵求证：数列｛a n｝是等比数列.

1 1 已知数列｛a n ｝满足 @ = — ,a n1 =a n ? - ,求a n . 2 n +n 练习5 已知数列 ｛an ｝ 满足?岭…&an,求歸 5 1 1 n * 练习6已知数列?｝中,印 ,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2 练习7已知数列｛a n ｝满足:a n 色^ , a , =1,求数列｛a n ｝的通项公式 3色」+1 ｛ ｝ 2 十2十2+…十2 等比数列 ｛a n ｝ 的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2 a 3 a n 5 (10n -1) 练习 9 求和：5, 55, 555, 5555，…，9 练习4 练习

练习10 求和： + +… + 1 4 4 7 (3n - 2) (3n 1) ’ 1 1 1 1 练习11 求和： 1 2 12 3 12 3 n 练习12 设 ｛a n ｝ 是等差数列， ｛b n ｝ 是各项都为正数的等比数列，且 = b^=1 , fa 1 a 5 b 3 =13 (I)求 ｛a n ｝ , ｛ b n ｝ 的通项公式；(H)求数列? 的前门项和S n . Sb = 21

数列的通项及求和公式

数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法：等差数列，等比数列。 例1、（1）若{}n a 是等差数列，公差0d ≠， 236,,a a a 成等比，11a =，则n a =_________。 （2）若{}n a 是等比数列，243,,a a a 成等差， 13a =，则n a =_________。 二、已知n S 求n a ：11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。 类型1、（1）已知2 1n S n n =++，求n a 。 （2）已知101n n S =-，求n a 。 类型2、（1）已知32n n S a =-，求n a ； （2）已知3 32 n n S a =-，求n a ； （3）已知22n n S a +=，求n a 。 类型3、（1）2 24n n n a a S +=，0n a >，求n a ； （2）2 1056n n n S a a =++，0n a >，求n a ； （3）2111 424 n n n S a a = ++，0n a >，求n a 。 类型4、（1）11a =，12n n a S +=，求n a ； （2）11a =，12n n S a +=，求n a ； （3）13a =，11n n S a +=+，求n a 。

类型5、（1）122n n a a a ++???+=，则n a =_____ （2）123n a a a a n ?????=，则n a =_____ （3）12323n a a a na n +++???+=，则n a =_____ （4） 3 12123n a a a a n n +++???+=，则n a =_____ （5）231233333n n a a a a n +++???+=，n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式，使用累加法。 例1、（1）数列{}n a 中满足12a =，1n n a a n +=+，求n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 中满足13a =， 12n n n a a +=+，求n a 的通项公式。 （3）求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。 四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式，使用累乘法。 例1、（1）数列{}n a 中满足15a =，12n n n a a +=?， 求n a 的通项公式。 （2）数列{}n a 中满足14a =，11 n n n a a n +=?+，求n a 的通项公式。 （3）112a = ，111 n n n a a n --=+（2n ≥），求n a 的通项公式。 五、构造法 例1、（1）14a = 2=，求n a ； （2）14a =，22 12n n a a +-=，求n a ； （3）14a =， 144 2n n a a +-=，求n a ； （4）12a =，112(1)n n a a +-=-，求n a ； （5）11a =，1(1)3n n n a na ++=，求n a ； （6）11a =，121n n a a n n +-=+，求n a 。

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－ 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通 项公式．

（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比 数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥， 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-??

数列通项公式与求和的常见解法

数列通项公式的十种求法 ｛a n ｝的通项公式。 二、累加法 例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2n 1， 3 (n 1)(n 2 n 、公式法 例1已知数列｛a n ｝满足a n 1 2a n 3 2n ， a i 2，求数列｛a n ｝的通项公式。 解：a n 1 2a n 3 2n 两边除以2n 1，得開 a n 3 a n 1 a n 3 2^ 2，人」2门1歹 2， 得鱼 2n 以岂 2 1为首项，以-为公差的等差数列，由等差数列的通项公式, 21 2 2 故数列｛》｝是 1(n 丐， 3 1 所以数列｛a n ｝的通项公式为a n ( n -)2n 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n1 2a n 2n 转化为開 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 a n 1)3，进而求出数列 -，说明数列 2 解：由a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1则 a n (a n [2(n 2[(n 2^ a n 1 ) (a n 1) 1) 1)n 2 1 a n 2 ) 1] [2(n 2) (n 2) 1] I 2 1] @3 a 2) L (2 2 1) 1 (a 2 a 1 ) 4 1) (2 1 1) 1 (n (n 1) 所以数列｛a n ｝的通项公式 为 a n 评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a n 2n 1转化为a n 1 a n 2n 1，进而求 出(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L (a 3 a 2) (a ?印) a 1，即得数列｛a n ｝的通项公 式。 求数列｛a n ｝的通项公式。 1) 1

求数列通项公式及求和的基本方法

求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项 公式？ 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +?? =+ ??? *()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=.

4.构造新数列: 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足2 11=a ，n n a a n n ++ =+211 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解： 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足3 21=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解： 变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的 通项1___n a ?=?? 12 n n =≥ 2!n a n =)2(≥n 解

数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧 关键词：数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、 等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 自然数方幂和公式： 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0 ∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3 评注： (1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本 题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论． (2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1 2 2 2-?+n ），……的前顶和为 n s ，则 n s 的值。 二、错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方

求数列通项公式累乘和累加法

全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解） 1 专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法 学习目标 1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法； 2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法； 3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。 ________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。 例：已知数},{n a 其中,, 111n a a a n n +==+ ① 求它的通项n a 。 变题1：把①式改为;11+=+n n a a 变题2：把①式改为;21 n n n a a +=+ 小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？ 变题3：把①式改为;11n n a n n a += + 变题4：把①式改为;21 n n a a =+ 小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？ 挑战高考题： 1.(2015.浙江.17）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2,211==+，)*∈N n （。 （1）求n a 2.（2008.江西.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211n a a a n n ++==+，则=n a （ ）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++ 你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？ 通过本节课的学习你收获了什么？

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细） 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法 二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑

例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +，得 111 21 3333n n n n n a a +++=++， 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故 11223211 2232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1 333333 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++

求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的１1种方法方法 总述：一.利用递推关系式求数列通项的11种方法: 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法)、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号)、 数学归纳法(少用) 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式)、 特征根法 二.四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等级差数列或等比数列。 四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1.适用于:1()n n a a f n +=+ －--－------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2.若1()n n a a f n +-=(2)n ≥, 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，,求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3 2(3333)(1)3 3(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=++ +++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +,得 11 121 3333 n n n n n a a +++=++， 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故