苏科版九年级上册期末数学试题(含答案)
苏科版九年级上册期末数学试题(含答案)
一、选择题
1．如图，△ABC 的顶点在网格的格点上，则tanA 的值为（ ）
A ．
12
B ．
10 C ．
3 D ．
10 2．如图，已知点D 在ABC ?的BC 边上，若CAD B ∠=∠，且:1:2CD AC =，则
:CD BD =（ ）
A ．1:2
B ．2:3
C ．1:4
D ．1:3 3．已知△ABC ，以AB 为直径作⊙O ，∠C ＝88°，则点C 在（ ）
A ．⊙O 上
B ．⊙O 外
C ．⊙O 内
4．已知⊙O 的半径是4，圆心O 到直线l 的距离d ＝6．则直线l 与⊙O 的位置关系是
（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法判断 5．下列方程有两个相等的实数根是（ ）
A ．x 2﹣x +3＝0
B ．x 2﹣3x +2＝0
C ．x 2﹣2x +1＝0
D ．x 2﹣4＝0
6．如图，△ABC 内接于⊙O ，连接OA 、OB ，若∠ABO ＝35°，则∠C 的度数为（ ）
A ．70°
B ．65°
C ．55°
D ．45°
7．已知点O 是△ABC 的外心，作正方形OCDE ，下列说法：①点O 是△AEB 的外心；②点O 是△ADC 的外心；③点O 是△BCE 的外心；④点O 是△ADB 的外心.其中一定不成立的说法是（ ） A ．②④
B ．①③
C ．②③④
D ．①③④
8．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）
A ．3：4
B ．9：16
C ．9：1
D ．3：1 9．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥1
B ．m≤1
C ．m ＞1
D ．m ＜1
10．在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
11．把函数2
12
y x =-
的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()2
1112
y x =-
-+的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 12．cos60?的值等于（ ） A ．
12
B ．
22
C ．
32
D ．
33
13．袋中装有5个白球，3个黑球，除颜色外均相同，从中一次任摸出一个球，则摸到黑球的概率是（ ） A ．
35
B ．
38
C ．
58
D ．
34
14．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）
A ．
4233
π
- B ．
8433
π
- C ．
8233
π
- D ．
843
π
- 15．将抛物线2
3y x =先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（ ）
A ．23(1)2y x =++
B ．23(1)2y x =+-
C ．23(1)2y x =-+
D ．23(1)2=--y x
二、填空题
16．若方程2410x x -+=的两根12,x x ，则122(1)x x x 的值为__________． 17．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =30°，BC =4，则⊙O 的直径为___．
18．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段
AP =______.（结果保留根号）
19．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为___．
20．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为______．
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为_____．
22．如图，平行四边形ABCD中，60
A
∠=?，
3
2
AD
AB
=
.以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于点E，以D为圆心，DE为半径画弧，交CD于点F.若用扇形ABE围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为1r；若用扇形DEF围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为2r，则1
2
r
r的值为______.
23．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是__________________________．
24．如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，
∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q，且PQ=OQ，则满足条件的∠OCP的大小为_______．
25．如图，圆锥的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm，则该圆锥的侧面积是_____cm2．
26．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是
__．
x+＝x这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝27．像23
3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x1＝3时，9＝3满足题意；当x2＝﹣1时，1＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x＝3．运用以上x+＝1的解为_____．
经验，则方程x+5
28．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．
29．如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝3：4：5，⊙O沿着△ABC的内部边缘滚动一圈，若⊙O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，则△ABC的周长为_____．
，且30．甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是2S甲、2S
乙22
>
S S
，则队员身高比较整齐的球队是_____．
甲乙
三、解答题
31．为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y 与x的函数图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？
32．某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y （个）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y 与x 的函数关系式；
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元 （3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
33．如图，在矩形 ABCD 中，CE ⊥BD ，AB=4，BC=3，P 为 BD 上一个动点，以 P 为圆心，PB 长半径作⊙P ，⊙P 交 CE 、BD 、BC 交于 F 、G 、H （任意两点不重合）， （1）半径 BP 的长度范围为 ；
（2）连接 BF 并延长交 CD 于 K ，若 tan ∠KFC = 3 ，求 BP ； （3）连接 GH ，将劣弧 HG 沿着 HG 翻折交 BD 于点 M ，试探究PM
BP
是否为定值，若是求出该值，若不是，请说明理由.
34．（如图 1，若抛物线 l 1 的顶点 A 在抛物线 l 2 上，抛物线 l 2 的顶点 B 也在抛物线 l 1 上（点 A 与点 B 不重合）．我们称抛物线 l 1，l 2 互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友 好”抛物线可以有多条．
（1）如图2，抛物线 l 3：21
(2)12
y x =
-- 与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对
称轴对称，则点 D 的坐标为 ；
（2）求以点 D 为顶点的 l 3 的“友好”抛物线 l 4 的表达式，并指出 l 3 与 l 4 中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物线 y ＝a 1(x －m)2＋n 的任意一条“友好”抛物线的表达式为 y ＝a 2(x －h)2＋k ， 写出 a 1 与a 2的关系式，并说明理由．
35．已知二次函数2
23y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P
是直线AC 上方的抛物线上的动点.
(1)求直线AC 的解析式.
(2)当P 是抛物线顶点时，求APC ?面积. (3)在P 点运动过程中，求APC ?面积的最大值.
四、压轴题
36．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD 内接于
O ，对角线AC BD =，且AC BD ⊥．
（1）求证：AB CD =； （2）若
O 的半径为8，弧BD 的度数为120?，求四边形ABCD 的面积；
（3）如图2，作OM BC ⊥于M ，请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论．
37．如图，在平面直角坐标系中，直线l
：y＝﹣1
3
x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，
以AB为斜边作等腰直角△ABC，使点C落在第一象限，过点C作CD⊥AB于点D，作
CE⊥x轴于点E，连接ED并延长交y轴于点F．
（1）如图（1），点P为线段EF上一点，点Q为x轴上一点，求AP+PQ的最小值．（2）将直线l进行平移，记平移后的直线为l1，若直线l1与直线AC相交于点M，与y轴相交于点N，是否存在这样的点M、点N，使得△CMN为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
38．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且
sinα=1
3，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：
构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥
AB于D．设∠BAC=α，则sinα=
1
3
BC
AB
，可设BC=x，则AB=3x，…．
【问题解决】
（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）
（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=3
5，求sin2β的值．
39．已知抛物线y＝﹣1
4
x2+bx+c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点B 的坐标；
（2）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，连接AC ，过A 作AD ⊥x 轴于点D ，E 是线段AC 上的动点（点E 不与A ，C 两点重合）；
（i ）若直线BE 将四边形ACOD 分成面积比为1：3的两部分，求点E 的坐标； （ii ）如图2，连接DE ，作矩形DEFG ，在点E 的运动过程中，是否存在点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE 的长；若不存在，请说明理由．
40．如图 1，抛物线2
1:4C y ax ax c =-+交x 轴正半轴于点()1,0,A B ，交y 轴正半轴于
C ，且OB OC =．
（1）求抛物线1C 的解析式；
（2）在图2中，将抛物线1C 向右平移n 个单位后得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线1C 在第一象限内交于一点P ，若CAP ?的内心在CAB △内部，求n 的取值范围
（3）在图3中，M为抛物线1C在第一象限内的一点，若MCB
∠为锐角，且3
tan MCB
∠＞，直接写出点M横坐标M x的取值范围___________
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得BD、AD的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．【详解】
解：如图作CD⊥AB于D,
22,
tanA=
21
2
22
CD
AD
==,
故选A.
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据两角对应相等证明△CAD∽△CBA，由对应边成比例得出线段之间的倍数关系即可求解.【详解】
解：∵∠CAD=∠B，∠C=∠C,
∴△CAD∽△CBA,
∴
1
2 CD CA
CA CB
,
∴CA=2CD,CB=2CA,∴CB=4CD,
∴BD=3CD,
∴
1
3 CD
BD
.
故选：D.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，得出线段之间的关系是解答此题的关键.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可知当∠C=90°时，点C在圆上，由由题意∠C＝88°，根据三角形外角的性质可知点C在圆外.
【详解】
解：∵以AB为直径作⊙O，
当点C在圆上时,则∠C=90°
而由题意∠C＝88°，根据三角形外角的性质
∴点C在圆外．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理及三角形外角的性质，掌握直径所对的圆周角是90°是本题的解题关键.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据直线和圆的位置关系的判定方法，即圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离进行判断.
【详解】
解：∵圆心O到直线l的距离d=6，⊙O的半径R=4，
∴d>R，
∴直线和圆相离．
故选：A．
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系的判定．掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系是解答此题的关键.．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据方程求出△的值，再根据根的判别式的意义判断即可．
【详解】
A、x2﹣x+3＝0，
△＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，
所以方程没有实数根，故本选项不符合题意；
B、x2﹣3x+2＝0，
△＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、x2﹣2x+1＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
所以方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；
D、x2﹣4＝0，
△＝02﹣4×1×（﹣4）＝16＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的意义是解此题的关键．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O的度数，再进一步根据圆周角定理求解．
【详解】
解：∵OA=OB，∠ABO=35°，
∴∠BAO=∠ABO=35°，
∴∠O=180°-35°×2=110°，
∴∠C=1
2
∠O=55°．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据三角形的外心得出OA=OC=OB，根据正方形的性质得出OA=OC＜OD，求出
OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可．
【详解】
解：如图，连接OB、OD、OA，
∵O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA＝OC＝OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OA ＝OC ＜OD ， ∴OA ＝OB ＝OC ＝OE ≠OD ，
∴OA ＝OC ≠OD ，即O 不是△ADC 的外心， OA ＝OE ＝OB ，即O 是△AEB 的外心， OB ＝OC ＝OE ，即O 是△BCE 的外心， OB ＝OA ≠OD ，即O 不是△ABD 的外心， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了正方形的性质和三角形的外心.熟记三角形的外心到三个顶点的距离相等是解决此题的关键.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】
∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴DC ∥AB ， ∴△DFE ∽△BFA ， ∵DE ：EC=3：1， ∴DE ：DC=3：4， ∴DE ：AB=3：4， ∴S △DFE ：S △BFA =9：16． 故选B ．
9．D
解析：D 【解析】
分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．
详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根， ∴()2
240m =-->， 解得：m ＜1． 故选D ．
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
10．C
解析：C 【解析】
x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解． 【详解】
x=0时，两个函数的函数值y=b ，
所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B 、D 选项错误； 由A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a ＞0，
所以，一次函数y=ax+b 经过第一三象限， 所以，A 选项错误，C 选项正确． 故选C ．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项． 【详解】 抛物线212y x =-
的顶点坐标是00（，），抛物线线()2
1112
y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数2
12
y x =-
的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()2
1112y x =-
-+的图象． 故选：C ． 【点睛】 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据特殊角的三角函数值解题即可． 【详解】 解：cos60°=12
. 故选A. 【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值.
解析：B
【解析】
【分析】
先求出球的总个数，根据概率公式解答即可．
【详解】
因为白球5个，黑球3个一共是8个球，所以从中随机摸出1个球，则摸出黑球的概率是3
8
．
故选B．
【点睛】
本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：连接OD，
在Rt△OCD中，OC＝1
2
OD＝2，
∴∠ODC＝30°，CD＝2223
OD OC
+=
∴∠COD＝60°，
∴阴影部分的面积＝
2
60418
223=23 36023
π?
-??π-，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．15．A
解析：A
【解析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 【详解】
抛物线23y x =先向左平移1个单位得到解析式：()2
31y x =+，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：()2
312y x =++． 故选：A ． 【点睛】
此题考查了抛物线的平移变换以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
二、填空题 16．5 【解析】 【分析】
根据根与系数的关系求出，代入即可求解． 【详解】 ∵是方程的两根 ∴=-=4，==1 ∴===4+1=5， 故答案为：5． 【点睛】
此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是
解析：5 【解析】 【分析】
根据根与系数的关系求出12x x +，12x x ?代入即可求解． 【详解】
∵12,x x 是方程2410x x -+=的两根 ∴12x x +=-
b a =4，12x x ?=
c a
=1 ∴122(1)x x x =1122x x x x ++=1212x x x x ++=4+1=5， 故答案为：5． 【点睛】
此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知12x x +=-
b a ，12x x ?=c
a
的运用． 17．8 【解析】
连接OB，OC，依据△BOC是等边三角形，即可得到BO=CO=BC=BC=4，进而得出⊙O的直径为8．
【详解】
解：如图，连接OB，OC，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=
解析：8
【解析】
【分析】
连接OB，OC，依据△BOC是等边三角形，即可得到BO=CO=BC=BC=4，进而得出⊙O的直径为8．
【详解】
解：如图，连接OB，OC，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
又∵BC=4，
∴BO=CO=BC=BC=4，
∴⊙O的直径为8，
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
18．【解析】
【分析】
根据黄金比值为计算即可.
【详解】
解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）
∴
故答案为：. 【点睛】
本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.
解析：2
【解析】 【分析】
根据黄金比值为1
2
计算即可. 【详解】
解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）
∴1
AP 22
AB =
?=
故答案为：2. 【点睛】
本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.
19．【解析】 【分析】
根据弧长的公式列式计算即可． 【详解】
∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°， ∴此扇形的弧长为=π． 故答案为：π． 【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键． 解析：π
【解析】 【分析】
根据弧长的公式列式计算即可． 【详解】
∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°， ∴此扇形的弧长为603
180
π?=π． 故答案为：π． 【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键．
20．4
【分析】
根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==4．
故答案为4．
解析：4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=1
2
BC=3，
∵OB=1
2
AB=5，
∴
在Rt△OBD中，=4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
21．2﹣2
【解析】
【分析】
取BC中点G，连接HG，AG，根据直角三角形的性质可得HG＝CG＝BG＝BC＝2，根据勾股定理可求AG＝2，由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG，当点H在线段AG上时，
解析：2
【解析】
【分析】
取BC中点G，连接HG，AG，根据直角三角形的性质可得HG＝CG＝BG＝1
2
BC＝2，根据
勾股定理可求AG＝，由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG，当点H在线段AG上时，可求AH的最小值．