概率统计习题1、2答案
习题1
2.设,,
A B C A B C中的一些事件的交及并的运算式表示下列事
A B C都是事件,试通过对,,,,,
件:
1) ,,
A B C中仅有A发生.
2) ,,
A B C中至少有两个发生.
3) ,,
A B C中至多两个发生.
4) ,,
A B C中恰有两个发生.
5) ,,
A B C中至多有一个发生.
答案1) ABC; 2) AB AC BC; 3) A B C (或ABC); 4) ABC ABC ABC;
5) ABC ABC ABC ABC.
3.袋中有四个球,其中有两个红球,一个黄球和一个白球.有放回地抽三次,求出现下列情况的概率:
A=“三次都是红的”,B=“三次颜色全同”,C=“三次颜色全不同”,D=“三次颜色不全同”,E=“三次中无红”,F=“三次中无红或无黄”.
解每次抽球都可以抽到4个球中的任意一个，有4钟可能，3次抽球共有3464
=种可能，因此样本空间含有64个样本点。
每次抽球都可以抽到2个红球中的任意一个，有2种可能，3次抽球都抽到紅球共有
3
=种可能，因此事件A含有8个样本点。
28
3次抽球都抽到紅球共有328
=种可能，3次抽球都抽到黄球共有311
=种可能，3次抽球都抽到白球共有311
++=个样本点。
=种可能，因此事件B含有81110
3种颜色的排列有333!6
A==种，对应于每一种排列，抽到的球有2112
??=种可能，因此事件C含有6212
?=个样本点。
因为事件B含有10个样本点，故事件D B
-=个样本点。
=含有641054
每次抽球都可以抽到黄球和白球中的任一个，有2种可能，3次抽球都抽不到紅球共有
3
=种可能，因此事件E含有8个样本点。
28
3次都抽不到红球有8种可能，3次都抽不到黄球有3327
=中可能，3次都抽不到红球和黄球有311
+-=个样本点。
=中可能，因此事件F含有827134
由上可得
()8/641/8P A ==， ()10/645/32P B ==， ()12/643/16P C ==， ()54/6427/32P D ==， ()8/641/8P E == ()34/6417/32P F ==。
7. 某小学六个年级各年级学生人数相同,从中任意抽出4名代表.求下列事件的概率. 1) 从一年级到四年级每个年级恰好有一名代表. 2) 每个年级的代表都至多有一名. 3) 三年级恰好有两名代表.
(设学生人数很多,抽出几个代表后各年级学生人数比例的变化可以忽略). 解：1）541
6!4)(4
==
Ω
=
A A P 2）18
56)(4
46
==
Ω=
A B B P 3）21625
6
5)(4224=
=Ω=C C
C P 答案 1) 1/54, 2) 5/18, 3) 125/392（？）.
10. 在8对夫妻中任意选出5人.求至少有一对夫妻被选中的概率. 解 设=A “没有一对选中” 39
16
1213141516810121416)(=????????=
Ω
=
A A P ，39/23)(=A P
答案 23/39.
11. 在今年元旦出生的婴儿中任选一人,又在今年头两天出生的婴儿中再任选一人.求这两人的出生时间相差不到半天的概率.
解 设第一个和第二个婴儿出生时间分别是元旦开始后的X 天和Y 天，则两人的出生时间相差不到半天当且仅当||1/2X Y -≤（如右图），从图中看到,矩形面积为2，阴影部分面积为7/8，故两人的出生时间相差不到半天的概率为
7/8
7/162
=。 13. 在一条线段上随意放两点把这条线段一分为三,求得到的三条线段能成为一个三角形的三条边的概率.
解 }10,10:),{(≤≤≤≤=Ωy x y x ，
}2/1,2/1:),{(≥-≥=x y y y x A }2/1,2/1:),{(≥-≥?y x x y x
4
1)(=
Ω
=
A A P 答案 1/4.
14. 某城市的调查表明,该城市的家庭中有65%订阅日报,有55%订阅晚报,有75%订阅杂志,有30%既订阅日报又订阅晚报,有50%既订阅日报又订阅杂志,有40%既订阅晚报又订阅杂志,有20%日报晚报和杂志都订阅.该城市的家庭中至少订阅有一份报纸或杂志的家庭占百分之几?
解 设A =“订阅日报”，B =“订阅晚报”，C =“订阅杂志”,则至少订阅有一份报纸或杂志的家庭所占的百分数为
()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ 65%55%75%30%50%40%20%95%=++---+=。
17. 掷五枚硬币.已知至少出现两个正面,问正面数刚好是三个的条件概率是多少? 解 掷五枚硬币，有5232=种结果，样本点总数是32。则i A =“恰好出现i 个正面”，
0,1,2,3,4,5i =。在5枚硬币中选出i 个，有5
i
C 种可能，选种的硬币出现正面，其余的硬币出现反面，有1种可能。故事件i A 含有5i
C 个样本点。设B =“至少出现两个正面”，则B 的
对立事件B =“至多出现一个正面”0
1A A =含有01
5
56C C +=个样本点，事件B 含有32626-=个样本点。因而
()26/3213/16P B ==.
又3A 含有3
5
10C =个样本点，故 3()10/325/16P A ==。
从而所求的条件概率为
333()()10/32
(|)5/13()()26/32
P A B P A P A B P B P B =
===。 19.投掷一个骰子两次.
1) 已知第一次是6点,求两次都是6点的条件概率.
2) 已知两次中至少有一次是6点,求第二次是6点的条件概率. 3) 已知两次中至多有一次是6点,求第二次是6点的条件概率.
4) 已知两次中恰好有一次是6点,求第二次是6点的条件概率. 解 =A 第一次得6点，=B 第二次得6点。 1）6/1)(/)(=A P AB P .
2)36/1136/16/16/1)()()()(=-+=-+=?AB P B P A P B A P
11/636
/116
/1)()()(==?=
?B A P B P B A B P
3) B A B A B A C ++=, B A BC =
7/1)
6/5)(6/5()6/1)(6/5()6/5)(6/1()
6/1)(6/5()(=++=
C B P
4) B A B A C +=,B A BC =
2/1)6/1)(6/5()6/5)(6/1()
6/1)(6/5()(=+
+=
C B P
答案 1/6 6/11 1/7 1/2.
21. 已知某种病菌在全人口的带菌率为10%.在检测时,带菌者呈阳性和阴性反应的概率分别为95%和5%,而不带菌者呈阳性和阴性反应的概率分别为20%和80%. 1) 随机地抽出一个人进行检测,求结果为阳性的概率.
2) 已知某人检测的结果为阳性,求这个人是带菌者的条件概率. 解 1.0)(1=B P ,9.0)(2=B P
95.0)(1=B A P ,20.0)(2=B A P
275.02.09.095.01.0)(=?+?=A P
55/19275.0/95.01.0)(1=?=A B P
答案 1) 0.275, 2) 19/55.
22. 张先生给李小姐发出电子邮件,但没有收到李小姐的答复.如果李小姐收到电子邮件一定会用电子邮件答复,而电子邮件丢失的概率是p .求李小姐没有收到电子邮件的条件概率. 解 设A =”李小姐没有收到电子邮件”,B =“张先生没有收到李小姐的答复”.则
()P A p =，(|)P B A p =，(|)1P B A =。
()()(|)1
(|)()()(|)()(|)(1)2P AB P A P B A p P A B P B P A P B A P A P B A p p p p
=
===
++--。
26. 设,,A B C 都是事件.又A 和B 独立,B 和C 独立,A 和C 互不相容.()1/2P A =,
()1/4P B =,()1/8P C =.求概率()P A B C .
解 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P A P B P A P C ==++-- 1/21/41/8(1/2)(1/4)(1/2)(1/8)13/16=++--=。
29. 设线路中有元件,,,,A B C D E 如图 6.1,它们是否断开是独立的,断开的概率分别是0.6,0.5,0.4,0.3,0.2.求线路断开的概率.
解 设A A =“断开”,B B =“断开”, C C =“断开”, D D =“断开”,E E =“断开”, T =“线路断开”.则()0.6P A =,()0.5P B =,()0.4P C =,()0.3P D =,()0.2P E =. (){[()]}[()]()[()]P T P A B CD E P A B CD P E P A B CDE ==+- ()()()()()()()P ACD P BCD P ABCD P E P ACDE P BCDE P ABCDE =+-+--+ 0.60.40.30.50.40.30.60.50.40.30.20.60.40.30.2=??+??-???+-??? 0.50.40.30.20.60.50.40.30.2-???+????
0.0720.0600.03600.2000.01440.01200.00720.2768=+-+--+=
解2 ()()()()0.50.60.50.60.8P A B P A P B P AB =+-=+-?=, [()]()()()0.80.40.30.096P A B CD P A B P C P D ==??=,
(){[()]}[()]()[()]()P T P A B CD E P A B CD P E P A B CD P E ==+- 0.0960.20.0960.20.2768=+-?=.
35*. 同时投掷4个骰子,求掷出的4个面的点数之和是12的概率.
解 求4
6
2
)...(x x x +++中12
x 的系数，即4
4
6
4
5
2
)
1()1()...1(---=++++x x x x x 中
8x 的系数.
....41)1(646+-=-x x
...)165...1041()1(824+++++=--x x x x
故系数为165－40＝125
1296125
6
125)(4
==
Ω
=
A A P 习题2
4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面都出
现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布.
解 对于2,3,
k =,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出
现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布
11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,
k =.
5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.
第1个能正确回答的概率是5/8,
第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=.
设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布
6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.
解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算
3
1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k
k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑.
2) 用泊松近似律计算
3
31004
100
004
(4)1(4)10.04(10.04)10.5665!
k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑
∑
.
8. 设X 服从泊松分布,分布律为
(),0,1,2,
!
k
P X k e k k λλ-==
=.
问当k 取何值时{}P X k =最大？ 解 设()/(1)k a P X k P X k ===-,1,2,
k =,则
1/!/(1)!k k k e k a k
e k λλλλλ+--==-,
数列{}k a 是一个递减的数列. 若11a <,则(0)P X =最大.
若11a ≥,则当1k a ≥且11k a +≤时,{}P X k =最大. 由此得
1) 若1λ<,则(0)P X =最大.
2) 若1λ≥,则{}/1/(1)11P X k k k k λλλλ=?≥+≤?-≤≤最大且. 由上面的1)和2)知,无论1λ<或1λ≥,都有
[]
{}1P X k k λλλλλ?=?=?-?
不是整数最大或是整数.
12. 设随机变量X 的概率密度为[0,1)[1,2]()()(2)()p x xI x x I x =+-.求X 的分布函数()F x ,并作出()p x 与()F x 的图形. 解 ()
(,0)[0,1)0
()()()0()
0x x
x
F x p v dv I x dv I x dv vdv -∞-∞
-∞
-∞
==?+?+?
??
?
()01
[1,2)1()0(2)x I x dv vdv x dv -∞
-∞
+?++-?
?
?
()
12[2,)
1
2
()0(2)0I x dv vdv v dv dv +∞
+∞-∞
+?++-+??
???
()()
1
1
2
[0,1)[1,2)[2,)0
1
1
()()
(2)()
(2)x x
I x vdv I x vdv v dv I x vdv v dv +∞=++-++-??
??
?
22[0,1)[1,2)[2,)(/2)()(2/21)()()x I x x x I x I x +∞=+--+.
11. 设随机变量X 的概率密度为[0,10]()()p x cxI x =.求常数c 和X 的分布函数,并求概率(16/10)P X X +≤.
解 10
2
100
1()502
cx p x dx cxdx c +∞
-∞
===
=?
?
, 1/50c =.
2[0,10)[10,)[0,10)[10,)0
()()()()()()50100
x
x
v x F x p v dv I x dv I x I x I x +∞+∞-∞
==+=+?
?
. 2(16/10)(10160)(28)P X X P X X P X +≤=-+≤=≤≤
8
2
8
8
2
22
()3/550100x x p x dx dx ====?
?.
15. 设随机变量X 的密度为2
x x
ce -+.求常数c .
解 222
1/2(1/2)1/41/41/1x t x x
x t ce
dx c e dx ce e dt ce =++∞+∞+∞-+--+--∞
-∞-∞
====?
?
?
.
由上式得1/41/2c e π--=.
15. 离散型随机向量(,)X Y 有如下的概率分布:
求边缘分布.又问随机变量,X Y 是否独立？ 解 X 有分布
Y 有分布
因为
0(2,0)(2)(0)0.30.1P X Y P X P Y ===≠===?,
所以X ,Y 不独立.
18． 设随机向量(,)X Y 服从矩形{(,):12,02}D x y x y =-≤≤≤≤上的均匀分布,求条件概率
(1|)P X X Y ≥≤.
解 1
()(622)/62/32P X Y ≤=-??=,
1
(,1)(11)/61/122
P X Y X ≤≥=??=,
(,1)1/12
(1|)1/8()2/3
P X Y X P X X Y P X Y ≤≥≥≤===≤.
22. 随机向量(,)X Y 有联合密度
(,)(,)E p x y x y ,
其中222{(,):0}E x y x y R =<+≤.求系数c 和(,)X Y 落在圆222{(,):}D x y x y r =+≤内的概率. 解
(
)
2
2
2
cos sin 200
01(,)2x r y r R
x y R
p x y dxdy d cdr cR θ
θ
π
θπ==+∞+∞
-∞
-∞
<+≤==
=
=????
??
因而12c R
π=
.而
222
{(,)}(,)D
x y r P X Y D p x y dxdy +≤∈==
????
()
cos sin 20
1
/2x r y r r
d dr r R R θθ
πθπ===
=??
.
27. 设2~(,)X N μσ,分别找出i k ,使得()i i i P k X k μσμσα-<<+=.其中1,2,3i =,
10.9α=,20.95α=,30.99α=.
解1
22()/(2)()i i k x i i i k P k X k dx μσμσμσ
αμσμσ+---=-<<+=?
2/2
()()2()1i
i
x t k t i i i k
dt k k k σμ
=+--=
=Φ-Φ-=Φ-?. ()(1)/2i i k αΦ=+.
代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=.
解2 设1
~(0,1)2
X Z N -=
,则~(0,1)Z N . ()i i i i i k k X P k X k P μσμμσμμαμσμσσσσ--+--??
=-<<+==<<
???
()()()2()1i i i i i P k Z k k k k =-<<=Φ-Φ-=Φ-. ()(1)/2i i k αΦ=+.
代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=.
28. 某商品的每包重量2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什么范围内. 解 设200
~(0,1)X Z N σ
-=
,则~(0,1)Z N .
195200
205200{195205}(5/)(5/)2(5/)1P X P Z σσσσσ--??<<=≤≤=Φ-Φ-=Φ- ???
.
{195205}0.982(5/)10.98P X σ<<≥?Φ-≥
15/(0.99) 2.335/2.33 2.15σσ-?≥Φ=?≤=.
28. 设X 服从自由度为k 的2χ分布,即X 有密度
/21/2(0,)/2
1()()2
(/2)
k x X k p x x e I x k --+∞=
Γ.
求Y =. 解1
当0y <时,()())0Y F y P Y y P y =≤==,()()0Y Y p y F y '==.
当0y >时,22()())()()Y X F y P Y y P y P X ky F ky =≤==≤=, 222/21/2
2(0,)/2
1()()2()2()()2(/2)
k ky Y Y X k p y F y kyp ky ky ky e I ky k --+∞'===?
Γ ()
()
2/2
1/22/2/2k k ky k y e k --=
Γ. 因而
()
()
2
/2
1/2
(0,)2/2()()/2k k ky
Y k p y y e I y k --+∞=
Γ.
解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.
设()y f x ==x V ∈,则f 有反函数
12()f y ky ?-==, y G ∈,
其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ??'=
22/21/22(0,)/21
2()()2(/2)
k ky k ky ky e I ky k --+∞=?Γ()()2/2
1/22/2/2k k ky k y e k --=
Γ.
29. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell )分布,即密度为
2
2
2
/(0,)
()()x
X p x I x α-+∞=
.
其中参数0α>.求分子的动能2/2Y mX =的密度. 解1
当0y <时,2()()(/2)0Y F y P Y y P mX y =≤=≤=,()()0Y Y p y F y '==.
当0y >时,2()()(/2)(Y X F y P Y y P mX y P X F =≤=≤=≤=,
22/()
(0,)
()()y m Y Y X p y F y p I α-+∞'==
=
222/()2/()
y m y m αα--==
. 因而
22/()
(0,)()()y m Y p y I y α-+∞=
.
解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.
设2()/2y f x mx ==, x V ∈,则f 有反函数
1
()f y ?-==y G ∈,
其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ??'=
22/()
(0,)
y m X p I α-+∞=
=
22/()
(0,)()y m I y α-+∞=.
30. 设X 服从[1,2]-上的均匀分布,2Y X =.求Y 的分布.
解 X 有密度[1,2}1
()()3X P x I x -=.Y 有分布函数
()()Y F y P Y y =≤ 2()P X y =≤
[0,)()(I y P X +∞=
[0,)()()X
I y p x dx +∞=
[0,)[1,2]
()()I y x dx +∞-=
[0,1)[1,4)[4,)1()()()3
I y I y I y dy +∞-=++
[0,1)[1,4)[4,)()()()y y I y +∞=+.
31. 质点随机地落在中心在原点,半径为R 的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.
解 设落点极坐标是(,)R Θ,则Θ服从[0,2]π上的均匀分布,有密度
[0,2]1
()()2p I πθθπ
Θ=
. 设落点横坐标是X ,则cos X R =Θ,X 的分布函数为
()()(cos )X F x P X x P R x =≤=Θ≤.
当1x <-时,()0X F x =.当1x >时,()1X F x =.当11x -≤≤时
1()(cos )arccos 2arccos arccos X x x x F x P R x P R R R πππ?
???=Θ≤=≤Θ≤-=- ? ??
???.
因而落点的横坐标X 有概率密度
(1,1)
()()()X X
p x F x x -'=.
.
34. 设随机变量X 服从在[0,1]上的均匀分布,求ln Y X =-的分布. 解 设(0,1)V =,则()1P X V ∈=.
设()ln y f x x ==-, x V ∈,则f 有反函数
1()y f y e ?--==, y G ∈,
其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度
[0,1](0,)(0,)()|()|(())()()()()y y y Y X G p y y p y I y e I e I y e I y ??---+∞+∞'===.
36. 设X 和Y 独立,密度分别为[0,1]()()X p x I x =和(0,)()()y Y p y e I y -+∞=,求Z X Y =+的密度.
解 ()()()Z X Y p z p x p z x dx +∞-∞
=-?
()[0,1](0,)()()z x I x e I z x dx +∞--+∞-∞=-? ()[0,1](,)()()z x z I x e I x dx +∞---∞-∞
=?
1
()()[0,1)[1,)0
()()z
z x z x I z e dx I z e dx ----+∞=+??
[0,1)[1,)()(1)(1)()z z I z e e e I z --+∞=-+-.
37. 设系统L 由两个相互独立的子系统12,L L 联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用
(当系统1L 损坏时,系统2L 开始工作),如图7.1所示.1L 和2L 的寿命为X 和Y ,分别有密度
(0,)()()x X p x e I x αα-+∞=和(0,)()()y Y p y e I y ββ-+∞=,其中0,0αβ>>且αβ≠.请就这三种联
接方式分别写出系统L 的寿命Z 的密度.
解 X ,Y 独立,分别服从参数为α和β的指数分布,因此分别有分布函数
(0,)()(1)()x X F x e I x α-+∞=-
和
(0,)()(1)()y Y F y e I y β-+∞=-.
1) 联接的方式为串联时,min{.}Z X Y =, (){min(,)}1{min(,)}S F z P X Y z P X Y z =≤=->
()(0,)1()()1[1()][1()](1)()z X Y P X z P Y z F z F z e I z αβ-++∞=->>=---=-,
()(0,)()()()()zs Z Z
p z F z e I z αβαβ-++∞'==+. 2) 联接的方式为并联时,max{.}Z X Y =,
(){max(,)}()()()()Z X Y F z P X Y z P X z P Y z F z F z =≤=≤≤= (0,)(1)(1)()r b r e e I z αβ--+∞=--,
()(0,)()()(())()z z z Z Z
p z F z e e e I z αβαβαβαβ---++∞'==+-+. 3) 联接的方式为备用时,Z X Y =+, ()(0,)(0,)()()()()()x z x Z X Y p z p x p z x dx e I x e I z x dx αβαβ+∞+∞---+∞+∞-∞-∞
=-=?-?
?
()()(0,)(0,)0
()()z
z x z x z x I z e e dx e I z e dx αββαβαβαβ------+∞+∞==??.
因此,
当αβ≠时, (0,)()()()z z Z p z e e I z αβαβ
βα
--+∞=
--, 当αβ=时, 2(0,)()()z Z p z ze I z αα-+∞=.
38. ,X Y 相互独立,1~(,)X αβΓ,2~(,)Y αβΓ.证明12~(,)Z X Y a αβ=+Γ+.(提示:称1
110(,)(1)s t B s t u u dx --=-?为β函数,由微积分的知识知(,)()()/()B s t s t s t =ΓΓΓ+)
解 (见命题A .2.1)
43. 设12,,
,n X X X 独立,都服从参数为,m η的威布尔分布,即都有密度
()/1(0,)()()m
x m m
m
p x x e I x η
η--+∞=
.
证明12min(,,,)n X X X 仍服从威布尔分布.
证 i X 1,
i n =有分布函数
()/1(0,)0
()()m
x v m m
m
F x I x v e dv ηη
--+∞=?
, ()()()
///(0,)(0,)0
()(1)()m m
m
v t
x x t
I x e dt e
I x ηηη=--+∞+∞=
=-?
.
设
12min(,,,)n Z X X X =,
则Z 有分布函数
11()()(min(,,))1(min(,
,))Z n n F z P Z z P X X z P X X z =≤=≤=-≤
11()
()1[1()]n n P X z P X z F x =->>=--.
()()//(,0](0,)(0,)1()()1()m
mn n
x x I x e I x e I x ηη---∞+∞+∞??=-+=- ???
,
接下来的证明过程可以有两种。 其一：
()Z F z 与()F x 有相同的形式，从而12min(,,,)n Z X X X =仍服从威布尔分布.
其二：
因而Z 有密度函数
()1
/(0,)()()()mn x Z Z
p z F z mne I x η--+∞'==,
从而12min(,,,)n Z X X X =仍服从威布尔分布.
概率论与数理统计复习题带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(A－B)=（）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击 中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可 表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障 的概率依次为，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二 次的概率为（）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为 （ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可 表示为（AB AC BC）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=, P(B) = , 则 P(A|B)= （）；
9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（ ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A -)= （ ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的 概率依次为，，，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ ）。 12. 若事件 A ? B 且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )=（ ）; 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )= （ ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =（ S ） 15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 （ ABC ABC ABC ++ ） 16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =则(|)P AB A B =（ ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ） 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概 率为（ 1 10000 ）。 二、选择填空题
概率统计习题及答案
1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8
02197概率论与数理统计(二)(试题+答案)-201204
页眉内容 2012年4月全国自考概率论与数理统计（二）参考答案 ()()()()() ()()()()()() (){}{}{}{}{} ()()()()() {}{}()()()() ()()()()()[]()()()()()()()()()()()() n x D n x C x B x A x X x x x N X D C B A X Y X D X D X D C B A p n X D X E p n B X y f x f D y f x f C y f x f B y f x f A Y X y f x f Y X D C B A Y X Y X D C B A X P X P N X x x e X F D x x e X F C x x e X F B x x e X F A X X X P D X P C X P B X P A X P x x f X AB P B P A P D AB P B P A P C AB P A P B B P A P A B A P B A A D A C B B B A A AB B A B A n XY Y X Y X Y X Y X Y X x x x x 92 .32.92.32 ....32~.102.1.0.1-.0.98.03.3.08.4.06.6.04. 44.14.2~.8.2 1..21. .75,1.5,0.1,1.10.~ 12.684.0.68.0.32.0.16.0.084.042~.5.0001..0001..0001..000..472.53.54.21.43. 06331.3....2.....12122-----=>==+++-≤=≤???≤>+=???≤>-=???≤>-=???≤>=≤<≤<≤<≤<≤
概率统计试题库及答案
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
2概率论与数理统计试卷及答案
第1页 第2页 概率论与数理统计试卷（20170225） 一、单项选择(每小题3分，共30分，答案按左侧学号规则连线成数码数字，不可涂改，否则影响自动评分 ) 1.每次试验的成功概率为)10(<
ε，下列不等式中正确的是( ) (1) 98)91(≥<
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
概率统计习题含答案
作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ .
概率统计试题及答案
<概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分
概率统计练习题答案
概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ
A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ -
概率论与数理统计(二)试题及答案
概率论与数理统计B 一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12 () ,()23 P A P B == 则()P AB 可能为（）(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（） (A) 12; (B) 225; (C) 4 25 ; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ）(A) 518; (B) 13; (C) 1 2 ; (D)以上都不对 4．某一随机变量的分布函数为()3x x a be F x e += +，(a=0,b=1)则F (0)的值为（ ）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对 5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ） (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对 二．填空题（每小题3分，共15分） 1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = . 2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξ ξξ==，则n =______. 3．随机变量ξ的期望为() 5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2()E ξ=_______. 4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为 2 ()22 a f x x x = ++，a 为常数，则P (ξ≥0)=_______. 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为 , 03()10, x<0x>3 A x f x x ?? =+???当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望. 五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是 (1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξ η?的分布及()E ξη?； 六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？ 七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望. 八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？(注：(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=) 九．(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立，试证明A B 与 C 相互独立. 某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为________. 十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：
概率统计试题及答案
西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤
概率统计习题及答案
1、 已知P （A ）=0.7. P （B ）=0?8,则下列判断正确的是（ D ）o A. A.B 互不相容 B. A.B 相互独立 C.Ac B D. A.B 相容 2、 将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X=3的概率为（C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、 某人进行射击，设射击的命中率为02独立射击100次，则至少击中9次的概率为（B ） 100 9 C ?工 C ；(x )°?2'°?98 叫' D. 1 - 工(7爲020?98叫' (-10 1-0 4、设 E(X,)= 9-3/(/= 1,2,3),则 E(3X 1+-X 2+-X 3) = ( )B 2 3 A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本来自N （0, 1）,常数c 为以下何值时，统计Me- t 1 —— ■ Jx + x + x 服从t 分布。（C ） A. 0 B. 1 C. 6、设则其概率密度为（A ） 7. X P X 2.X 3为总体的样本，下列哪一项是“的无偏估计（A ） A.-X, + —X. +-X. 5 10「2 C. -X.+-X.+ —X. 3 1 2 ■ 12 3 8、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P C 1/4 1/8 则常数（2为（ C ） A.C ；；X )0.290.9891 KX) B ?工 Goo 020.98 "I D.-l c. D 詁+朴+朴 (x-vTJ)2 3Q D.
9、设随机变量X?N(4,25),X1、X2、X3-Xn是来自总体X的一个样本,则样本均值乂近 似的服从( B ) (A) N (4, 25) (B) N (4, 25/n) (C) N (0.1) (D) N (0, 25/n) 10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设 H。：“ =，则在显著水平a=0.01下，(B ) A.必接受 B.可能接受，也可能拒绝 C.必拒绝 D.不接受，也不拒绝77。 二、填空题(每空1.5分，共15分) 1、 A.B.C为任意三个事件，则A, B, C至少有一个事件发生表示为：_AUBUC __________ : 2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0.8, 06,则密码能被破译的槪 率为 ____ 0.92 ___ : 3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx (Y> v x V +s)，贝ij A=_1/2 _____ , B=_1/3.14 _______ : 4、随机变量X 的分布律为P(X =x) = C(-)k, k =1,2,3, 则C=_27/13 ____________ ; 5、设X?b (n,p)o 若EX=4, DX=2.4,贝ij _______ 10 ____ , p= ____ 0.4 _____ 0 6、X为连续型随机变量, 1 , 0
概率论与数理统计试题及答案2[1]
概率论与数理统计B 二．填空题（每小题3分，共15分） 1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = . 2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξ ξξ==，则n =______. 3．随机变量ξ的期望为() 5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2()E ξ=_______. 4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为 2()22 a f x x x = ++，a 为常数，则P (ξ ≥0)=_______. 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为 , 03()10, x<0x>3 A x f x x ?? =+???当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望. 五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是 (1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξη?的分布及()E ξη?； 六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？ 七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望. 八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？ (注：(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=) 九．(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立，试证明A B 与C 相互独立. 某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为 ________. 十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）： 1820，1834，1831，1816，1824 假定重复测量所得温度2~(,)N ξ μσ.估计10σ=，求总体温度真值μ 的0.95的置信区间. (注：
概率统计习题带答案
概率统计习题带答案 概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C 亦必相互独立。3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：恰好第三次打开房门锁的概率？三次内打开的概率？如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白
球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率：仓库发生意外时能及时发出警报；乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)；
概率论与数理统计练习题及答案
概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2
概率论与数理统计考试试卷与答案
0506 一.填空题(每空题2分，共计60 分) 1、A、B 是两个随机事件，已知p(A) 0.4,P(B) 0.5,p(AB) 0.3 ，则p(A B) 0.6 , p(A -B) 0.1 ，P(A B)= 0.4 , p(A B) 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3 。(2)若有放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25 。( 3)若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55 。 3、设随机变量X 服从B(2，0.5)的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分 布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ， 方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、 0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取 一件。 ( 1)抽到次品的概率为：0.12 。 2)若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 6、若随机变量X ~N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则P{ 2 X 4} 0.815 ， Y 2X 1,则Y ~ N( 5 ，16 )。
7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1 ，D(Y)=2, 且 X、Y 相互独立，则：E(2X Y) - 4 ，D(2X Y) 6 。 8、设D(X) 25 ，D( Y) 1，Cov( X ,Y) 2，则D(X Y) 30 9、设X1, , X 26是总体N (8,16)的容量为26 的样本，X 为样本均值，S2为样本方 差。则：X~N(8 ，8/13 )，25S2 ~ 2(25)，X 8 ~ t(25)。 16 s/ 25 10、假设检验时，易犯两类错误，第一类错误是：”弃真” ,即H0 为真时拒绝H0, 第二类错误是：“取伪”错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然增大另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之