2021届福建省厦门双十中学高三上学期中考试数学试题及答案

福建省厦门双十中学2021届高三上学期半期考试试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{

}

2

230A x x x =--=，{}

10B x ax =-=，若B A ?，则实数a 的值构成的集合是

A ．11,03??-????

，

B ．{}1,0-

C ．11,3??-????

D ．103??????

，

2．已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是 A ．

11b b a a +>+B ．11a b a b +>+C ．11a b b a +>+D ．11b a b a

->- 3．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是 A ．9

B ．10

C ．12

D ．13

4．已知函数()2428=

--+f x ax x a 1x ，[)21x ∈+∞,，都有不等式

()()1212

0f x f x x x ->-，则a 的取值范围是

A ．(]0,2

B ．[]2,4

C ．[)2,+∞

D ．[

)4,+∞ 5．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点

在圆锥底面上），圆锥底面直径为10 2 cm 2．打印所用原料密度为3

1 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（取π 3.14=，精确到0.1） A ．609.4g B ．447.3g C ．398.3g

D ．357.3g

6．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2

127m n a a a =，则

116m n

+的最小值为 A ．5

B ．

215

C ．

516

D ．

654

7．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为 A ．

127

B ．

83

C ．4

D ．6

8．已知()()sin 3cos 0x f x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离为π，把()f x 图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移

3

π

个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到()g x 的图象，若()g x 在[]

,a a -上单调递增，则a 的最大值为 A ．

12

π B ．

6

π C ．

4

π D ．

512

π 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 9．一副三角板由一块有一个内角为60?的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，

90,B F ∠=∠=?60,45,A D BC DE ∠=?∠=?=，现将

两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是

A ．直线BC ⊥面OFM

B ．A

C 与面OFM 所成的角为定值 C ．设面ABF

面MOF l =，则有l ∥AB D ．三棱锥F COM -体积为定值.

10．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)

2

1111n n a a -=+-，则关于数列{}n a 说法正

确的是 A ．28a =

B ．数列{}n a 为递增数列

C ．数列{}n a 为周期数列

D ．2

2n a n n =+

11．已知正数x ，y ，z 满足3212x y z ==，下列结论正确的有（） A ．623z y x >>

B ．

121x y z

+= C ．(322x y z +>+

D ．2

8xy z >

12．在ABC 中，已知cos cos 2b C c B b +=，且111

tan tan sin A B C

+=，则（） A ．a 、b 、c 成等比数列 B ．sin :sin :sin 22A B C =C ．若4a =，则7ABC S =△D ．A 、B 、C 成等差数列

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则6a 等于 ▲ . 14．若π1sin 33α-=??

???，则πcos 23α+=??

???

▲ ． 15．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60A ∠=，3BC =4PA =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 ▲ .

16．若对任意正实数,x y ，不等式()()2ln ln 1x

x y y x a

--+≤恒成立，则实数a 的取值范围a 为 ▲ .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在①1(1)(1)(41)n n n a n a n ++=+++；②112(11)n n n n a a a a ++-=++；③184n n a a n --=-（2n ≥）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解． 问题：已知数列{}n a 中，13a =，__________． （1）求n a ； （2）若数列1n a ???

???

的前n 项和为n T ，证明：11

32n

T ≤<． 18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 3cos sin b A a B a B =+. （1）求角B 的大小；（2）设点D 是AC 的中点，若3BD =a c +的取值范围. 19

．

如

图

,

矩

形

ADFE

和梯形

ABCD

所在平面互相垂

直,//AB CD ,90ABC ADB ?∠=∠=,1,2CD BC ==. （1）求证://BE 平面DCF ;

（2）当AE 的长为何值时,直线AD 与平面BCE 所成角的大小为45°? 20．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本

2

1()150600

p x x x =

++万元．

（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指

定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量()8

(60),130

15480,30

m m m q m m ?-?=??>?（单

位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？

21．已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的离心率为12，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是

椭圆上一点，且12PF F △的周长是6. （1）求椭圆C 的方程；

（2）设直线l 经过椭圆的右焦点2F 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

22．已知函数1

()211f x x a nx x

=--

+，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）当1a =时，正数1x ，2x 满足12()()2f x f x +=，证明：122x x +≥.

双十中学2021届高三上学期半期考试参考答案

1．A2．C3．A4．B5．C6．A7．D8．A9．ABC10．ABD11．BCD12．BC ； 13．3214．7

9

-

15．32π16．(]0,1； 17．（本小题满分10分） （1）选①：

由1(1)(1)(41)n n n a n a n ++=+++可得

1141

1++++=+n n a a n n n

， 即

111

41+++-=+n n a a n n

， 又

1141+=a ，所以1n a n +??

????

是首项为4，公差为4的等差数列，

所以

1

4+=n a n n

，所以241=-n a n ； 选②：

由112(11)n n n n a a a a ++-=+++，13a =可得11211

n n n n a a ++=+++，

即1112n n a a ++-+=， 又112a +=，所以

{

}

1n a +是首项为2，公差为2的等差数列，

所以12n a n +=，所以2

41=-n a n ； 选③：

由184n n a a n --=-（2n ≥）可得： 当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+

(84)(812)123n n =-+-+

++[(84)12](1)

32

n n -+-=

+241n =-，

当1n =时，13a =，符合2

41=-n a n ，

所以当*n N ∈时，2

41=-n a n ； （2）证明：由（1）得

2111114122121n a n n n ??==- ?--+??

， 所以111111

1213352121n T n n ??????

??=-+-++- ? ? ???-+????

????

111221n ??=- ?

+??11242n =-+， 因为

1

042n >+，所以12

n T <， 又因为11242n T n =

-+随着n 的增大而增大，所以11

3n T T ≥=， 综上1132

n T ≤<．

18．（本小题满分12分） （1）在ABC 中， 由正弦定理

sin sin a b

A B

=，可得sin sin b A a B =，

因为2sin 3cos sin b A a B a B =+，

所以sin cos()6

b A a B π=-， 所以sin cos()6

a B a B π

=-

，

即sin cos()6B B

π

，即3

1

sin cos sin 2

B B B ，可得tan 3B =， 又因为(0,)B π∈，所以3

B π

=

.

（2）如图，延长BD 到E ，满足DE BD =，连接AE CE ，，

则ABCE 为平行四边形，且223,,,3

BE BAE AB c AE BC a π

=∠=

===， 在BAE △中，由余弦定理得222

2(23)2cos 3

a c ac π=+-，

即2212a c ac ++=，可得2

()12a c ac +-=，即2

()12ac a c =+-， 由基本不等式得：2

2

()12()2

a c ac a c +=+-≤， 即

23

()124

a c +≤，即2()16a c +≤，可得4a c +≤ （当且仅当2a c ==取等号号） 又由AE AB BE +>，即23a c +> 故a c +的取值范围是(23,4]. 19．（本小题满分12分）

(1)(法一)如图,以D 为原点,AD 所在直线为x 轴,BD 所在直线为y 轴,DF 所在直线为z 建系.

设AE h =,由1CD =,2BC =,90ADB ?∠=,依据三角形相似可得

5AB =,故由勾股定理可知5AD =在CBD 中,可得5BD =所以各点坐标为(0,0,0),(25,0,0),5,0),,(25,0,),(0,0,)55D A B C E h F h ?

? ???

.

(2)BE h =,设面CDF 的法向量为(,,)n x y z

=,

所以00x y z ?+=?

??=?

, 化简得20

y x

z =??

=?,令1x =

得(5,2n =，得0BE n ?=,故BE n ⊥.

又BE 不在面CDF 上,所以//BE 面CDF .

(法二)因为矩形HDEF ,故//AE DE .又//AB CD ,且AB

AE A =,CD DF D ?=,

AB ?AE 在面ABE 上,CD ?DF 在面CDF 上,故面//ABE 面CDF .

又BE 在面ABE 上，且BE 不在面CDF 上,故//BE 面CDF .

(2)(25,0,0),,(25,)DA BC BE h ??=-= ?

??

，

设面BCE 法向量为

(,,)n x

y z =,所以0

0x y hz ?=???-+=?,

化简得2x y z =-??

?=

??,令y h =,得(2,n h

h =-.

由题得||cos452|

|||2DA n n DA ?

?=

==

.

故h =因为h 为正,所以AD h ==. 20．（本小题满分12分）

（1

）由总成本2

1()150600

p x x x =

++,可得 每台机器人的平均成本2

1150

()1150600112

600x x p x y x x x x ++===++≥=, 当且仅当1150600x x

=,即300x =时,等号成立, ∴若使每台机器人的平均成本最低,则应买300台；

（2）引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量8

(60)(130)

()15480

(30)m m m q m m ?-≤≤?=??>?,

当130m ≤≤时,300台机器人的日平均分拣量为()2

160601609600m m m m -=-+,

∴当30m =时,日平均分拣量有最大值144000； 当30m >时,日平均分拣量为480300144000?=,

∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件． 若传统人工分拣144000件,则需要人数为

144000

1201200

=（人）．

∴日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少1203090-=． 21．（本小题满分12分）

（1）由椭圆的定义知12PF F △的周长为22a c +，所以226a c +=，

又因为椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的离心率12c e a ==，

所以2a c =，联立解得2a =，1c =，

所以b =

=

所求椭圆方程为22

143

x y +=.

（2）若存在满足条件的点(),0Q t .

当直线l 的斜率k 存在时，设()1y k x =-，联立22

143

x y +=，

消y 得(

)2

2

223484120k

x

k x k +-+-=.

设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，2

122

41234k x x k -=+x ， ∵()()()()()()

122112

121211QM QN

k x x t k x x t y y k k x t x t x t x t --+--+=+=---- ()()()()2

2221212222

2

121222

818242212343441283434k t k t kx x k t x x kt k k k k k x x t x x t t t

k k +--+-+++++==?--++-+++ ()()()

()()()

2222

22222

2

82481234644128344134k k t t k k t k k k t t k t k t --+++-=?

=

--++-+-，

∴要使对任意实数k ，QM QN k k +为定值，则只有4t =，此时，0QM QN k k +=. 当直线l 与x 轴垂直时，若4t =，也有0QM QN k k +=.

故在x 轴上存在点()4,0Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0. 22．（本小题满分12分）

（1）由题意，函数1

()211f x x a nx x

=--

+的定义域为(0,)+∞， 可得222

2121

()1a x ax f x x x x

-+'=-+=， 令()2

21h x x ax =-+，则()()2

44411a a a ?=-=-+.

①当11a -≤≤时，0?≤，可得()0f x '≥对(0,)x ?∈+∞恒成立， 则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.

②当1a <-或1a >时，>0?，令()0f x '=，得1x a =，2x a =+ （i ）当1a <-时，120x x <<，

所以()0f x '≥对(0,)x ?∈+∞恒成立.则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. （ⅱ）当1a >时，120x x <<.

若1(0,)x x ∈，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 若12(,)x x x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 若2(,)x x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增.

综上所述：当1a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当1a >时，在(0,a 和

()

a +

+∞，上()f x 单调递增；在(a a +()f x 单调递减.

（2）当1a =时，函数1

()2ln 1f x x x x

=--

+， 由（1）可知()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，

又易知()11f =，且12()()2f x f x +=，不妨设1201x x <≤≤， 要证122x x +≥，只需证212x x ≥-，

只需证21()2()f x f x ≥-，即证11()2()2f x f x -≥-，

即证11())220(f x f x -+-≤，

构造函数()()()22g x f x f x =-+-﹐(0,1]x ∈，

所以11

()22ln(2)2ln 2g x x x x x

=---

---，(]0,1x ∈， 则323

222222

21214(331)4(1)()2(2)(2)(2)x x x x g x x x x x x x x x --+---'=--+==----， 当(0,1]x ∈时，()0g x '≥，所以函()g x 数在区间（0，1]上单调递增， 则()()10g x g ≤=，

所以11())220(f x f x -+-≤得证，从而122x x +≥.