湖南省醴陵市2019届九年级上学期期末考试数学试题含答案

湖南省醴陵市2019届九年级上学期期末考试数学试题

一．选择题（共12小题，满分36分）

1．四个实数﹣2，0，﹣，﹣1中，最大的实数是（）

A．﹣2 B．0 C．D．﹣1

2．下列运算正确的是（）

A．992＝（100﹣1）2＝1002﹣1 B．3a+2b＝5ab

C．＝±3 D．x7÷x5＝x2

3．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（）

A．8×1012B．8×1013C．8×1014D．0.8×1013

4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝145°，则∠B是（）

A．45°B．55°C．65°D．75°

6．已知点（﹣2，y

1），（﹣1，y

2

），（1，y

3

）都在直线y＝﹣x+b上，则y

1

，y

2

，y

3

的值的大小关系是（）

A．y

1＞y

2

＞y

3

B．y

1

＜y

2

＜y

3

C．y

3

＞y

1

＞y

2

D．y

3

＞y

1

＞y

2

7．在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示

则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（）

A．4.65、4.70 B．4.65、4.75 C．4.70、4.75 D．4.70、4.70 8．下列说法正确的是（）

A．某工厂质检员检测某批灯泡的使用寿命采用普查法

B．已知一组数据1，a，4，4，9，它的平均数是4，则这组数据的方差是7.6

C．12名同学中有两人的出生月份相同是必然事件

D．在“等边三角形、正方形、等腰梯形、矩形、正六边形、正五边形”中，任取其中一个图形，恰好既是

中心对称图形，又是轴对称图形的概率是

9．某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人（）A．赚16元B．赔16元C．不赚不赔D．无法确定

10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝1，延长AD到点E，使DE＝AD，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（）

A．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4

B．四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2

C．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4

D．四边形ACEF是矩形，它的周长是4+4

11．如图，底面半径为5cm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8cm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（）

A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或8cm

12．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则cos∠CBE的值是（）

A．B．C．D．

二．填空题（满分18分，每小题3分）

13．因式分解：2a2﹣2＝．

14．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值

是．

15．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为cm．

16．如图将一直角三角板的直角顶点放置在两边互相平行的纸条的边上，若∠1＝35°，则∠2的大小为度．

17．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于．

18．经过定点A且半径为5cm的圆的圆心的轨迹是．

三．解答题（共2小题，满分12分，每小题6分）

19．（6分）计算：|﹣|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+3﹣1．

20．（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）

21．（8分）文化是一个国家、一个民族的灵魂，近年来，央视推出《中国诗词大会》、《中国成语大会》、《朗读者》、《经曲咏流传》等一系列文化栏目．为了解学生对这些栏目的喜爱情况，某学校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从《经曲咏流传》（记为A）、《中国诗词大会》（记为B）、《中国成语大会》（记为C）、《朗读者》（记为D）中选择自己最喜爱的一个栏目，也可以写出一个自己喜爱的其他文化栏目（记为E）．根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据图中信息解答下列问题：

（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？

（2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数；

（3）若选择“E”的学生中有2名女生，其余为男生，现从选择“E”的学生中随机选出两名学生参加座谈，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率．

22．（8分）如图，海中有一小岛P，在距小岛P的海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？

五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）

23．（9分）如图，⊙O的半径为6，点A，B，C为⊙O上三点，BA平分∠OBC，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）当sin∠OBC＝时，求BC的长；

（3）连结AC，当AC∥OB时，求图中阴影部分的面积．

24．（9分）某文具店购进A，B两种钢笔，若购进A种钢笔2支，B种钢笔3支，共需90元；购进A种钢笔3支，B种钢笔5支，共需145元．

（1）求该文具店购进A、B两种钢笔每支各多少元？

（2）经统计，B种钢笔售价为30元时，每月可卖64支；每涨价3元，每月将少卖12支，求该文具店B种钢笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？

六．解答题（共2小题，满分10分）

25．（10分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y

═（x＞0）的图象上，点A′与点A

1

关于点O 对称，一次函数y 2＝mx +n 的图象经过点A ′． （1）设a ＝2，点B （4，2）在函数y 1、y 2的图象上． ①分别求函数y 1、y 2的表达式；

②直接写出使y 1＞y 2＞0成立的x 的范围；

（2）如图①，设函数y 1、y 2的图象相交于点B ，点B 的横坐标为3a ，△AA 'B 的面积为16，求k 的值；

（3）设m ＝，如图②，过点A 作AD ⊥x 轴，与函数y 2的图象相交于点D ，以AD 为一边向右侧作正方形ADEF ，试说明函数y 2的图象与线段EF 的交点P 一定在函数y 1的图象上．

26．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B （0，﹣1），抛物

线

经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C （4，n ）．

（1）求n 的值和抛物线的解析式；

（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0＜t ＜4）．DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；

（3）M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1．若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A 1的横坐标．

参考答案

一．选择题

1．解：∵﹣2，﹣，﹣1均为负数，负数小于零，

∴最大的实数是0，

故选：B．

2．解：A、992＝（100﹣1）2＝1002﹣200+1，错误；

B、3a+2b＝3a+2b，错误；

C、，错误；

D、x7÷x5＝x2，正确；

故选： D．

3．解：80万亿用科学记数法表示为8×1013．

故选：B．

4．解：第一个图是轴对称图形，是中心对称图形；

第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；

第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；

第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；

既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个，

故选：B．

5．解：在△ABC中，∵∠ACD＝∠A+∠B，∠A＝80°，∠ACD＝145°，∴∠B＝145°﹣80°＝65°，

故选：C．

6．解：∵直线y＝﹣x+b，k＝﹣1＜0，

∴y随x的增大而减小，

又∵﹣2＜﹣1＜1，

∴y

1＞y

2

＞y

3

．

故选：A．

7．解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70，4.75．

故选：C．

8．解：A、某工厂质检员检测某批灯泡的使用寿命时，检测范围比较大，因此适宜采用抽样调查的方法，故本选项错误；

B、根据平均数是4求得a的值为2，则方差为 [（1﹣4）2+（2﹣4）2+（4﹣4）2+（4﹣4）2+（9﹣4）2]＝7.6，

故本选项正确；

C、12个同学的生日月份可能互不相同，故本事件是随机事件，故错误；

D、在“等边三角形、正方形、等腰梯形、矩形、正六边形、正五边形”六个图形中有3个既是轴对称图形，

又是中心对称图形，所以，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是，故本选项错误．

故选：B．

9．解：设赚了25%的衣服的成本为x元，

则（1+25%）x＝120，

解得x＝96元，

则实际赚了24元；

设赔了25%的衣服的成本为y元，

则（1﹣25%）y＝120，

解得y＝160元，

则赔了160﹣120＝40元；

∵40＞24；

∴赔大于赚，在这次交易中，该商人是赔了40﹣24＝16元．

故选：B．

10．解：∵DE＝AD，DF＝CD，

∴四边形ACEF是平行四边形，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD＝CD，

∴AE＝CF，

∴四边形ACEF是矩形，

∵△ACD是等边三角形，

∴AC＝1，

∴EF＝AC＝1，

过点D作DG⊥AF于点G，则AG＝FG＝AD×cos30°＝，

∴AF＝CE＝2AG＝，

∴四边形ACEF的周长为：AC+CE+EF+AF＝1++1+＝2+2，

故选：B．

11．解：如图，已知OA＝5cm，AB＝8cm，OC⊥AB于D，求CD的长，理由如下：当油面位于AB的位置时

∵OC⊥AB根据垂径定理可得，∴AD＝4cm，

在直角三角形OAD中，

根据勾股定理可得OD＝3cm，

所以CD＝5﹣3＝2cm；

当油面位于A'B'的位置时，CD′＝5+3＝8cm．

故选：D．

12．解：根据题意，BE＝AE．设CE＝x，则BE＝AE＝8﹣x．

在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE2＝BC2+CE2，即（8﹣x）2＝62+x2

解得x＝，

BE＝，BC＝6，

∴cos∠CBE＝，

故选：D．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

13．解：原式＝2（a2﹣1）

＝2（a+1）（a﹣1）．

故答案为：2（a+1）（a﹣1）．

14．解：联立两函数解析式成方程组，得：，

解得：．

∴当x＜﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．∴函数y＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2．

故答案为：2．

15．解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．

②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长＝4+9+9＝22cm．

故填22．

16．解：∵将一直角三角板的直角顶点放置在两边互相平行的纸条的边上，

∴∠1+∠3＝90°，∠2＝∠3，

∵∠1＝35°，

∴∠3＝55°，

∴∠2＝∠3＝55°．

故答案为：55．

17．解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，

∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，

又∵四边形ABCD为矩形，

∴AB＝CD，

∴AE＝DC，

而∠AFE＝∠DFC，

∵在△AEF与△CDF中，

，

∴△AEF≌△CDF（AAS），

∴EF＝DF；

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，

∵Rt△AEF≌Rt△CDF，

∴FC＝FA，

设FA＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x，

在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，即x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝，

则FD＝6﹣x＝．

故答案为：

18．解：所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于5厘米的点的集合，因此应该是一个以点A为圆心，5cm为半径的圆，

故答案为：以点A为圆心，5cm为半径的圆．

三．解答题（共2小题，满分12分，每小题6分）

19．解：原式＝+1﹣2×+＝．

20．解：，

由①得，x＞﹣2；

由②得，x≥，

故此不等式组的解集为：x≥．

在数轴上表示为：．

四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）

21．解：（1）30÷20%＝150（人），

∴共调查了150名学生．

（2）D：50%×150＝75（人），B：150﹣30﹣75﹣24﹣6＝15（人）

补全条形图如图所示．

扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为．

（3）记选择“E”的同学中的2名女生分别为N

1，N

2

，4名男生分别为M

1

，M

2

，M

3

，M

4

，

列表如下：

∵共有30种等可能的结果，其中，恰好是同性别学生（记为事件F）的有14种情况，

∴．

22．解：过P作PB⊥AM于B，

在Rt△APB中，∵∠PAB＝30°，

∴PB＝AP＝×32＝16海里，

∵16＜16，

故轮船有触礁危险．

为了安全，应该变航行方向，并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径16海里，即这个距离至少为16

海里，

设安全航向为AC，作PD⊥AC于点D，

由题意得，AP＝32海里，PD＝16海里，

∵sin∠PAC＝＝＝，

∴在Rt△PAD中，∠PAC＝45°，

∴∠BAC＝∠PAC﹣∠PAB＝45°﹣30°＝15°．

答：轮船自A处开始至少沿南偏东75°度方向航行，才能安全通过这一海域．五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）

23．解：（1）∵BA平分∠OBC，

∴∠OBA＝∠CBA．

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB．

∴∠OAB＝∠CBA．

∴AO∥BC，

∵AD⊥BC，

∴AD⊥AO，

∴直线AD是⊙O切线；

（2）过O点作OE⊥BC于点E，得BC＝2BE，

在Rt△OBE中，

∵sin∠OBC＝，

∴，OB＝6．

∴OE＝4，

∴BE＝

∴；

（3）连结OC，

∵AO∥BC，AC∥OB，OA＝OB，

∴四边形OACB是菱形．

∴OA＝AC＝OC＝6．

∴∠AOC＝∠OAC＝60°，

∴∠DAC＝30°，

∴在Rt△ADC中，CD＝6sin30°＝3，

∴AD＝，

∴．24．解：（1）设文具店购进A种钢笔每支m元，购进B种钢笔每支n元，

根据题意，得：，

解得：，

答：文具店购进A种钢笔每支15元，购进B种钢笔每支20元；

（2）设B种钢笔每支售价为x元，每月获取的总利润为W，

则W＝（x﹣20）（64﹣12×）

＝﹣4x2+264x﹣3680

＝﹣4（x﹣33）2+676，

∵a＝﹣4＜0，

∴当x＝33时，W取得最大值，最大值为676，

答：该文具店B种钢笔销售单价定为33元时，每月获利最大，最大利润是676元．六．解答题（共2小题，满分10分）

═（x＞0）的图象上

25．解：（1）①由已知，点B（4，2）在y

1

∴k＝8

＝

∴y

1

∵a ＝2

∴点A 坐标为（2，4），A ′坐标为（﹣2，﹣4） 把B （4，2），A （﹣2，﹣4）代入y 2＝mx +n

解得

∴y 2＝x ﹣2

②当y 1＞y 2＞0时，y 1＝图象在y 2＝x ﹣2图象上方，且两函数图象在x 轴上方 ∴由图象得：2＜x ＜4

（2）分别过点A 、B 作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连BO

∵O 为AA ′中点

S △AOB ＝S △ABA ′＝8

∵点A 、B 在双曲线上 ∴S △AOC ＝S △BOD ∴S △AOB ＝S 四边形ACDB ＝8

由已知点A 、B 坐标都表示为（a ，）（3a ，）

∴

解得k ＝6

（3）由已知A （a ，），则A ′为（﹣a ，﹣）

把A ′代入到y ＝

﹣

∴n ＝

∴A′D解析式为y＝

当x＝a时，点D纵坐标为

∴AD＝

∵AD＝AF，

∴点F和点P横坐标为

∴点P纵坐标为

═（x＞0）的图象上

∴点P在y

1

26．解：（1）∵直线l：y＝x+m经过点B（0，﹣1），

∴m＝﹣1，

∴直线l的解析式为y＝x﹣1，

∵直线l：y＝x﹣1经过点C（4，n），

∴n＝×4﹣1＝2，

∵抛物线y＝x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣1；

（2）令y＝0，则x﹣1＝0，

解得x＝，

∴点A的坐标为（，0），

∴OA＝，

在Rt△OAB中，OB＝1，

∴AB＝＝＝，

∵DE ∥y 轴， ∴∠ABO ＝∠DEF ，

在矩形DFEG 中，EF ＝DE ?cos ∠DEF ＝DE ?

＝DE ，

DF ＝DE ?sin ∠DEF ＝DE ?＝DE ，

∴p ＝2（DF +EF ）＝2（+）DE ＝DE ，

∵点D 的横坐标为t （0＜t ＜4），

∴D （t ， t 2﹣t ﹣1），E （t ， t ﹣1），

∴DE ＝（t ﹣1）﹣（t 2﹣t ﹣1）＝﹣t 2+2t ，

∴p ＝

×（﹣t 2+2t ）＝﹣t 2+

t ，

∵p ＝﹣（t ﹣2）2+

，且﹣＜0，

∴当t ＝2时，p 有最大值

；

（3）∵△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°， ∴A 1O 1∥y 轴时，B 1O 1∥x 轴，设点A 1的横坐标为x ，

①如图1，点O 1、B 1在抛物线上时，点O 1的横坐标为x ，点B 1的横坐标为x +1，

∴x 2﹣x ﹣1＝（x +1）2﹣（x +1）﹣1，

解得x ＝，

②如图2，点A 1、B 1在抛物线上时，点B 1的横坐标为x +1，点A 1的纵坐标比点B 1的纵坐标大，

∴x 2﹣x ﹣1＝（x +1）2﹣（x +1）﹣1+，

解得x ＝﹣

，

综上所述，点A 1的横坐标为或﹣

．