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2011年高考数学能力备考“新概念、新题型、新试题、新信息”原创试题精编

新课标的考试大纲中，对能力要求有新的提法，“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活应用所学知识、思想和方法，进行独立的思考、探究和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题”。人教大纲版高考数学考试大纲也对试题的命制明确指出：试题注意“立意鲜明、背景新颖，设问灵活，层次清晰，新题不难，难题不怪”，在试卷中创设比较新颖的问题和情境，注重问题的多样化。综观近几年高考试题在能力立意的基础上大胆地进行了改革创新，出现了一些内容立意新、情境设置新，设问方式新、题型结构新和构思精巧的创新题。这类题目突出考查学生的探究能力，创新意识，充分体现了高考支持课改并服务于课改的指导思想，所以备受命题专家的青眯，因此，加强对情境创新题的题型研究和学习就显得十分必要，本文参考近几年全国各地高考试题为题源进行创新改编，以期对读者的2011年高考数学能力备考有所帮助。【例1】给定集合A 、B ，定义*{,,}A B x x

m n m A n B

==-∈∈，若{4,5,6},

A B ==，则集合A*B 中所有元素之和为

A ．6

B ．8

C ．10

D ．18

【分析及解】由已知*{1,2,3,4}A B =,∴集合A*B 中所有元素之和为10,故选C

【点评】本题通过定义新运算“*”，考生只需依据新的运算方式，结合课内知识集合中元素的互异性即可解决，是考生熟悉的，属于“旧”题穿“新”衣。

【例2】已知集合{}1,2,3,4M =，{}3,4,5N =，:f M N →，则能建立多少个定义域为Ｍ，值域为Ｎ的函数 A ．81 B ．72 C ．36 D ．18 【分析及解】Ｍ为定义域,Ｎ为值域,则Ｎ中每个元素必有原象,只需使Ｍ中的某2个元素对应Ｎ中的一个元素,且另两个元素各对应另外两个不同元素即可,这是从M N →的满射,共有

36232

43324=???=

?A C 个这样的函数. 故选C 【点评】本题主要以映射、函数的概念为载体，考查利用排列、组合知识来解决问题的能力，题目 “新”在命题的背景上，这是近几年高考命制题目一个新亮点，把“旧知识，老方法”放“新问题”中考查考生的数学能力。属于“旧”题“新”考。【例3】若)()()(b f a f b a f ?=+且f (1)＝2,则(2)(1)f f ＋(4)(3)f f ＋(6)(5)

f f ＋…＋(2008)

(2007)f f 等

于

A ．2006

B ．2007

C ．2008

D ．2009

【分析及解】令x a =，1=b ，则)1()1(]1)1[()(f x f x f x f ?-=+-=，

即

2)1()

1()

(==-f x f x f ,所以，原式=200810042=?，故选C

【例7】已知函数f (x )=x 5－5x 4+10x 3－10x 2+5x －1，则f (x )的反函数为

A ．)(1)(51

R x x x f

∈-=- B ．)(1)1()(51

R x x x f

∈--=-

C ．)(1)(51

R x x x f

∈+=- D ．)(1)2()(51

R x x x f

∈+-=-

【分析及解】由已知5)1()(-=x x f ，由5)1(-=x y ，得15+=y x ，所以，

)(1)(51R x x x f ∈+=-,故选C 【例8】函数2

|2|1)(2

---=x x x f 是

A ．偶函数

B ．奇函数

C ．偶函数且奇函数

D ．非偶函数非奇函数

【分析及解】由已知定义域为：]1,0()0,1[?-，所以x

x x f --=2

1)(，易知)()(x f x f =-

所以函数)(x f 为奇函数，故选B

【例9】如果)

1(log )

3(log ,)(220

f f C m m f n

i i n i 那么

∑==

等于

A ．2

B ．

1 C ．1

D ．3

【分析及解】因为n

i i n

m C m m f )1()(0

+==∑=，22log 4log )1(log )3(log 2222==n

f f ，故选A 【例10】2008年9月25日晚21：10分在酒泉卫星发射中心用长征二号F 型运载火箭将

“神舟”七号发射成功。已知火箭的起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量

m 和燃料重量x 之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x 的

函数关系为2ln 4)]2ln()[ln(+-+=m x m k y （其中0≠k ）。当燃料重量为

m e )1(-吨（e 为自然对数的底数，72.2≈e ）时，该火箭的最大速度为)/(4s km

（1）求火箭的最大速度为)/(s km y 与燃料重量x 之间的函数关系式)(x f y = （2）已知该火箭的起飞重量是544吨，那么，应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最

大速度达到s km /8，以便顺利地把飞船发送到预定的轨道？【分析及解】（1）依题意把m e x )1(-=，4=y 代入函数关系式

2ln 4)]2ln()[ln(+-+=m x m k y ，解之得8=k

∴所求的函数关系式为2ln 4)]2ln()[ln(8+-+=m x m y ，整理得：8

)ln(

x m y += （2）设应装载x 吨燃料方能达到预定速度，则x m -=544，8=y 代入函数关系式

8)ln(

m x m y +=，得1544544

ln =-x

，解之得344=x （t ），故应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道。

三:数列

【例11】图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含l 个、5个、l3个、25个第十九届北京奥运会吉

祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第”n 个图形包含)(n f 个“福娃迎迎”，则=)(n f .

【分析及解】由图易知1)1(=f ,3)31(2)2(-+?=f ,5)531(2)3(-++?=f ,

,7)7531(2)4(-+++?=f ,)12()]12(7531[2)(---+++++?=n n n f

即=)(n f 1222

+-n n ,

【例12】“神七”飞天，举国欢庆，据计算，运载飞船的为火箭，在点火1分钟通过的路程

为2km ，以后每分钟通过的路程增加2km ，在到达离地面240km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是 A ．10分钟 B ．13分钟 C ．15分钟 D ．20分钟

【分析及解】由已知点火后飞船通过的路程构成以2为首项,公差为2的等差数列,将此问题

转化为已知240=n S ,21=a ,2=d ,求n 的值问题,即22

)

1(2240?-+

=n n n ,整理得 02402=-+n n ,解之得15=n 或16-=n (舍去),故本题选C

【例13】若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知

537b a n n T S n n ，则+==（）

A ．7

B ．3

C ．8

D ．4

解法1：（赋值法）

∵

37+=

n n T S n n ∴4

1111==T S b a ∴1147b a = ① 又

222221112121==++=++T S d b d a b b a a

即21111428510d b d a +=+ ②

又6212

23322

333321112

1321321==++=?+?+

=++++T S d b d a d b d a b b b a a a

即 2111212166d b d a +=+ ③ 由①②③解之得：1174a b =， 112a d =，127

a d = ∴

421

1297874844111111211155==++=++=a a a a a a d b d a b a

∴本题选D

解法2：（基本量元素运算法）

等差数列{a n }，{b n }的公差分别为1d 和2d ，则

2111211121212)1(2)1(d n b d n a d n n nb d n n na T S n n -+-+=-+-+

= 则有372

121

1+=

-+-+n n d n b d n a ① 又由于

15544d b d a b a ++=

② 观察①，② 可在①中取9=n 得

3997442111=

+?=++d b d a 即

55=b a ∴本题选D

解法3：（等差中项法）

∵2121-+=

n n a a a 2

21-+=n n b b b

∴227143)12()12(72

))(12(2))(12(2212121

21121121121+-=

+--==+-+-=++=------n n n n T S b b n a a n b b a a b a n n n n n n n n ∴

211263252751455==+?-?=b a ∴本题选D 解法4：（前n 和公式特征法）

∵等差数列前n 项和bn an S n +=2 即)(a

n an S n += ∴根据已知，可设nkn S n 7=， kn n T n )3(+= ∴ k k k S S a 634)47(5)57(455=??-??=-=

k k k T T b 124)34(5)35(455=?+-?+=-=

126355===k k b a ∴本题选D 【例14】由正数组成的等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且

5132b a n n

T S n n ，则+=

A ．20

B ．14

C ．31

D ．20

解：可设kn n S n )2(=， kn n T n )13(+= ∴ k k k S S a 184)42(5)52(455=??-??=-=

k k k T T b 406)163(7)173(677=?+?-?+?=-= 20

401875=

==k k b a ∴本题选 D

【例15】由正数组成的等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且

51312T S n n b a n n ，则--==

A ．5

B ．14

C ．8

D ．20

思路1：由解法3知：

13121212--===--n n T S b a n n n n ∴取3=n ，则有8

13313255=-?-?=T S

思路1：设)12(-=n k a n )13(-=n k b n 则 k a =1，k b 21=，

∴2

)

2(2)]12([2)(1n kn n k k n a a n S n n =-+=+=

)

13(2)]13(2[2)(1+=-+=+=

n kn n k k n b a n T n n ∴

132+=n n T S n n 8

16101535255==+??=T S

【例16】若等差数列}{},{n n b a 的前n 项和为n

n n n n n n b a n n T S T S ∞→+=lim ,132,,则又

的值等于

A ．1

B ．

C ．5

D ．

4 解：∵

41)12(3)12(21212--=

+--===--n n n n T S b a n n n n 即

1312--=

n n b a n n ∴n

n n b a ∞→lim =32

∴本题选 B

四:三角函数

【例17】已知函数]4

,3[sin 2)(π

πω-

=在区间x x f 上的最小值为－2，则ω的取值范围是（）

A ．[)+∞??? ?

?-∞-,629, B ．??

????+∞??? ??-∞-,2329,

C ．(][)+∞-∞-,62,

D ．(]??

??+∞-∞-,2

32, 【分析及解】① 当0>ω时， 4

≤

≤-x ∴4

ωπ

ωωπ

≤

≤-

x ，由已知结合图像

得 2

ωπ

≤-

∴ 23≥

ω ② 当0<ω时， 4

3ππ≤≤-x ∴3

ωπ

ωωπ

≤≤x ，由已知结合图像得

ωπ

≤ ∴ 2-≤ω 综上知：

),2

[]2,(+∞--∞∈ ω 故选D 。

【例18】设]4

,3[)sin(2)(0π

πωω-

=>在，函数x x f 上是增函数，那么（） A ．230≤<ω B ．20≤<ω C ．7

0≤<ω D ．2≥ω

【分析及解】由 ππωππk x k 2222+≤≤- 得ω

ωπωωπωπk x k 2222+≤≤-（)0>ω

由已知]4,3[ππ-

必然在上述0=k 的区间]2,2[ω

ωπ-的子区间，即 ]2,2[]4,3[ωπωπππ-

?- ?????≥-≤-4

232πωππωπ

解之得：230≤<ω，故选A 。五:平面向量

【例19】已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C ，是平面上不共线三个点，动点P 满足

),0(cos ||cos ||(

+∞∈+

+=λλC

AC B

AB ，则动点P 的轨迹一定通过△

ABC 的

（）

A ．重心

B ．垂心

C ．外心

D ．内心

【分析及解】由已知

cos ||cos ||C AC B

AB +

=λ两边同向量BC 取数量积

得)||(BC +-λ.BC AP +

=λ==0

故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心。∴选B

【例20】已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C ，是平面上不共线三个点，动点P 满足

),0((

+∞∈+

+=λλOA OP ，则动点P 的轨迹一定通过△

ABC 的（） A ．重心 B ．垂心 C ．外心 D ．内心

【分析及解】设ABC ?的BC 边上的高为h ，BC 边上的中点为D ，则由已知

),(h

即,2h

∴向量AP 与向量AD 共线。故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心。∴选A

【例21】已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C ，是平面上不共线三个点，动点P 满足

),0(+∞∈+

+=λλOA OP ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的

（）

A ．重心

B ．垂心

C ．外心

D ．内心

【分析及解】设ABC ?的BC 边上中点为D ，e e μλ=+=)(21，其中21,e e 分别是向量AB 和AC 的单位向量。∴向量AP 与向量AD 共线。故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，∴选D

【例22】已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C ，是平面上不共线三个点，动点P 满足

),0(cos ||cos ||(2+∞∈+++=

λλC

AC B AB ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的

A ．重心

B ．垂心

C ．外心

D ．内心

【分析及解】设BC 的中点为,D 则由已知得cos ||cos ||(

AC B AB +

=λ两边同向

量BC 取数量积得)cos ||cos ||(

AC B

AB +

=λ=)|||(BC BC +-λ=0

故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心。∴选C 【例23】如图所示，我国发射的“神舟”七号载人飞船在地球

上空km 1600处沿着圆形的轨道飞行，每2小时沿轨道绕地球飞行一周，假设飞船于中午12点整通过飞船跟踪站

A 点的正上空，地球的半径约为km 6400。

（1）若跟踪站的天线瞄准的方向与水平线的夹角成0

30，那么什么时候飞船能收到跟踪站天线发出的指令信号？（2）若要求飞船恰在中午12点整收到跟踪站发出的指令信号，

求跟踪站与A 点的最远距离，（跟踪站的天线瞄准方向可以自由调节，参考数据：

69.044sin 0=，60.036sin 0=，结果精确到km 1）。

【分析及解】（1）如图，设飞船在B 点与跟踪站天线所发出的无线电指令信号相遇，在ABO ?中，

6400=OA ，800016006400=+=OB ，设0001209030=+=∠=OAB α，

ABO ∠=β，AOB ∠=γ，由正弦定理，得

βsin sin OB OA =，即 0120sin 8000

sin 6400=β

∴69.035

sin ≈=

β，求得044=β，00001644120180=--=γ O

A D C

水平线

因此飞船绕O 转过γ角所用时间为3.5360

120≈?

（分钟）。飞船收到指令信号的时间为

分钟小时分钟小时7.54113.512=-。即飞船在秒分钟点425411收到指令信号。

（2）设飞船在A 点正上空的点为C ，跟踪站与A 的最远点为D ，由平面几何知识可知，

CD 应为圆周的切线，即OD CD ⊥，

在ODC Rt ?中，8.05

80006400cos ====

∠OC OD COD ， 6.0cos 1sin 2=∠-=∠COD COD

∴0

36=∠COD ，弧AD 长为

6406400360

=?（km ）即跟踪站与A 点的最大球面距离为km 640。

六:不等式

【例24】对于使2

2x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做2

2x x

-+的上确界，若,,1a b R a b +

∈+=且，则12

2a b

-的上确界为 (A )－3 (B )4- (C )－41 (D )9

【分析及解】由题意知相当于求b

a 2

21--

的最大值, 又2

9225)22(25)(22221-=--≤+--=+-+-=--

b a a b b b a a b a b a ,故选(D ) 【例25】对于函数)(x f ，在使M x f ≤)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值称为

函数)(x f 的“上确界”，则函数1

)1()(22++=x x x f 上的“上确界”为

（ C ）

A ．

1 B ．

1 C ．

2 D ．4

【分析及解】由题意知相当于)(x f 的最大值,

又21

211

211)1()(22

2≤+

+=++=++=x

x x x

x x x f ,故选C

七:直线与圆的方程

【例26】已知)0,1(=i ,)1,0(=,经过原点O 以j m i u +=为方向向量的直线与经过定点

)1,0(A ,以m -=为方向向量的直线相交于P ,其中R m ∈,当P 变动时,试问是否存在

一个定点Q ,使得||PQ 为定值?若存在,求出Q 的坐标,若不存在,说明理由. 【分析及解】由题意知:),1()1,0()0,1(m m j m i u =+=+=,

)1,()1,0()0,1(-=-=-=m m m ,设),(y x P ,则),(y x =,)1,(-=y x

∵//,//,∴0=-y mx ,0)1(=+-x y m ,消去m 得4

1)2

1(2

-+y x 即2

1(2

-+y x ,故存在一个定点)21,0(Q ,,使得||PQ 为定值21,所以存在)21,0(Q

【例27】直线01:111=++y b x a l 和直线01:222=++y b x a l 的交点为)3,2(,则过两点

),(111b a Q ,),(222b a Q 的直线方程为_____________.

【分析及解】∵)3,2(为两直线21,l l 的交点, ∴013211=++b a ,013222=++b a 由此可知,点),(111b a Q ,),(222b a Q 都在直线0132=++y x 上,又∵1l 与2l 是两条不同的直线, ∴1a 与2a ,1b 与2b 不可能全相同,因此1Q ,2Q 为不同的两点, ∴过两点1Q ,2Q 的直线方程为0132=++y x . 八:圆锥曲线

【例28】我国2008年9月25日发射的“神七”载人飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面为m 千米，远地点距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为

A ．))((2R n R m ++

B ．))((R n R m ++

C ．mn

D ．mn 2

【分析及解】由已知R m c a +=-，R n c a +=+，解之得22R n m a ++=

，2

n c -=，

计算得：))((R n R m b ++=，故长轴长为))((2R n R m ++，∴本题选A

【例29】图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234e e e e ﹑﹑﹑，其大小关系为（C ）

A ．

1234e e e e <<< B ．2134e e e e <<< C ．1243e e e e <<<

D ．2143e e e e <<<

【分析及解】∵椭圆离心率的变化反映了椭圆的扁平程度, 又由椭圆②较椭圆①更“扁平”，可知椭圆②的离心率大于椭圆①的离心率，即12e e >,又∵双曲线的离心率是描述双曲线“开口”大小的一个重要数据,由1>=a

e 可推出e 越大, 双曲线的“开口”就越开阔. ∴34e e <,故1243e e e e <<<,∴选C

【例30】设“神舟”七号飞天前，空间科学与科技实验小组在计算机上模拟“神七”变

轨返回试验，设计方案如图所示，航天器运行（按顺时针方向）的轨迹为

125

1002

2=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，

0(M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D ，观察点)0,4(A 、)0,6(B 同时跟踪航天器。

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（2）试问：当航天器在x 轴上方时，

观测点A 、B

应向航天器发出变轨指令？

【分析及解】（1）设曲线方程为7

+=ax y ，由)0,8(D 在曲线上：∴7

64640+

=a ，即 71-=a ， ∴所求曲线方程为712+-=x y （2）设变轨点为),(y x C ，根据题意可知???

????+-==+764711

2510022

2x y y x 消去x 得：

036742

=--y y ，解之得：4=y 或4

=y （不合题意，舍去）将4=y 代入7

64712+-

=x y 得6=x 或6-=x （不合题意，舍去）， ∴C 点的坐标为)4,6(，∴52||=AC ，4||=BC

故当观测点A 、B 测得AC 、BC 距离分别为52、4时，应向航天器发出变轨指令

【例31】已知抛物线24x y =，过定点0(0,)(0)M m m >的直线l 交抛物线于A 、B 两点. （Ⅰ）分别过A 、B 作抛物线的两条切线，A 、B 为切点，求证：这两条切线的交点00(,)

P x y 在定直线y m =-上.

（Ⅱ）当2m >时，在抛物线上存在不同的两点P 、Q 关于直线l 对称，弦长|PQ|中是否

存在最大值？若存在，求其最大值（用m 表示），若不存在，请说明理由. 【分析及解】(Ⅰ)由214y x =

，得1

y x =，设1122(,),(,)A x y B x y 过点A 的切线方程为：1111

()2

y y x x x -=-，

即112()x x y y =+

同理求得过点B 的切线方程为：222()x x y y =+ ∵直线PA 、PB 过00(,)P x y ， ∴10012()x x y y =+,20022()x x y y =+

∴点1122(,),(,)A x y B x y 在直线002()xx y y =+上， ∵直线AB 过定点0(0,)M m ， ∴002()y m =+，即0.y m =-

∴两条切线PA 、PB 的交点00(,)P x y 在定直线y m =-上.

（Ⅱ）设3344(,),(,)P x y Q x y ，

设直线l 的方程为：y kx m =+，则直线PQ 的方程为：1

y x n k

+， 2214404y x n x x n k k x y

?=-+?

?+-=?

?=?

， 34344,4x x x x n k ∴+=-?=-，2

4160n k ??

?=+> ???

①

设弦PQ 的中点55(,)G x y ，则345552212

,2x x x y x n n k k k

=-=-+=+

∵弦PQ 的中点55(,)G x y 在直线l 上，

∴

222()n k m k k

+=?-+，即22222

()2n k m m k k k

=?-+-=-- ②

②代入①中，得2

2242116(2)0 2.m m k k k ??

+-->?<- ??? ③

342||||1(2)

PQ x x m k =-====<-

由已知2m >，当20

2330m m m ->??<

时，弦长|PQ|中不存在最大值.

当3m >时，这时3

m m -->

，此时，弦长|PQ|中存在最大值，即当

21302

m k -=>时，弦长|PQ|中的最大值为2(1).m - 【例32】如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且AB OD ⊥，Q 为线段

OD 的中点，已知4||=AB ，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持

||||PB PA +的值不变

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点D 的直线l 和曲线C 相交于不同的两点

M 、N ，且M 在D 、N 之间，

设DN

λ ，求λ的取值范围解法1：（Ⅰ）以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，

∵4||52||||||||=>=+=+AB QB QA PB PA ∴曲线C 是以A 、B 为焦点的椭圆，∴5=

a ，2=c ，1=b

故曲线C 的方程为：15

=+y x A

O D Q

（Ⅱ）由已知DN

λ，则DN DM λ=，即λ=，当直线l 与x 轴重合时，易得3

λ ，当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为2+=kx y 。

由?????=++=15

2y x kx y 消去y 并整理得：01520)15(22=+++kx x k 。由判别式0>? 可得：5

k 设),(),,(2211y x N y x M ，则1520221+-=

+k k x x ，1

515

21+=k x x ① ∵M 在D 、N 之间，故012<>x x ∴10<<λ 由条件λ=，21x x λ=，代入①（1520)122+-

=+k k x λ ② 1

51522

+=k x λ ③ ②2

/③得：.3158021

22+=++k k λλ 由532

>k ，得

1631580422<+

<λλ解之得：33

<<λ且1≠λ

又<01<λ，所以.131<<λ 综上所述， 13

<≤λ

解法2：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）由已知得10<<λ，设M(x 1，y 1)，N （x 2，y 2），)2,0(D

由λ=，???-=-=)2(221

1y y x x λλ可得，即???+-==222121λλλy y x x

∵M 、N 在椭圆上

???????=+-+=+∴1)22(5

)(15222

2λλλy x y x 消去2x 得：2222221)22(λλλλ-=-+-y y

利用

λ43

52-=

y 1,33

,1|435|

,1||2≠≤≤≤-∴≤λλλλ且解得y . 又10<<λ 综合可得λ的取值范围是[3

，1）

【例33】设点F （0，32），动圆P 经过点F 且和直线y ＝－3

2相切．记动圆的圆心P

的轨迹为曲线W ．

（Ⅰ）求圆心P 的轨迹W 的方程;

（Ⅱ）过点F 作直线l 交曲线W 于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作曲线W 的切线l 1，

l 2，求证：直线l 1，l 2的交点Q 永远在一条定直线上．【分析及解】（Ⅰ）过点P 作PN 垂直直线3

y =-

于点.N 依题意得||||PF PN =.

所以动点P 的轨迹为是以30,

2F ??

为焦点，直线32y =-为准线的抛物线. 即曲线W 的方程是26.x y = （Ⅱ）依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为3

y kx =+，将3

y kx =+

代入26x y =，化简得2690x kx --=. 设1122() () A x y B x y ，，

，，则12126 9.x x k x x +==-，设Q 的坐标为（x,y ）,对6

x y =求导得.3x y ='

∴过A 点的切线方程为 ,63)(32

11111x

x x y x x x y y -=-=-即（1）

同理，过B 点的切线方程为 ,6

22x

x x y -=（2）

（1）-（2）得;32

1k x x x =+=

（1）+（2）得;3362)(3)(6322

1212212212

121-==-+-+=+-+=x x x x x x x x x x x x x y 所以Q 的轨迹方程为x 3k,3y .2ì=??

?í?=-???

（k 为参数）

即Q 的永远在一条定直线2

=y 上. 九:立体几何

【例34】正四棱锥ABCD V -的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为

62,则此球的表面积为

A E B

图2

B C

图1

（A ） π18 （B ）π36 （C ） π72 （D ） π9 【分析及解】如图,设球的半径为R

E 为正方形ABCD 中心,在直角三角形VAE 中

有222222)22()()62(++=?+=OE R AE VE VA 在直角三角形OAE 中有:

222222)22(+=?+=OE R AE OE OA

两式联立解得3=R ,故球的表面积为πππ3634422=?==R S 球,故选（B ）【例35】如图1，平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC

面积所成的比

S S BEC AEC =??，把这个结论类比到空间：在

三棱锥A-BCD （如图2）中，平面DEC 平分二面角A-CD-B

且与AB 相交于E ，则类比的结论是．

【分析及解】利用类比的思想可得结论:

BDC

ACD

CDE B CDE A S S V V ??--=

十:排列,组合,二项式定理

【例36】体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每个箱子放球

的个数不少于其编号，则不同的放球方法有（） A ．8种 B ．10种 C ．12种 D ．16种【分析及解】先在2号盒子里放1个小球，在3号盒子里放2个小球，余下的6个小球排

成一排为：OOOOOO ，只需在6个小球的5个空位之间插入2块挡板，如：

OO OO OO ||，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为1025=C 种. 故选B

【例37】将13个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，每个盒中放入的小球数

不少于盒子的编号数，则不同的放法共有种.（用数字作答）

【分析及解】先在2号盒子里放1个小球，在3号盒子里放2个小球，在4号盒子里放3个小球，余下的7个小球排成一排为：OOOOOOO ，只需在7个小球的6个空位之间插入3块木板，如：O OOO OO O |||，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为

2036=C 种. 故应填20

【例38】用数字5,4,3,2,1,0可以组成没有重复数字，并且不大于4310的四位偶数共有 A ．110种 B ．109种 C ．108种 D ．107种【分析及解】（1）查首位：只考虑首位比４小的数，可分3种情况，① ???1型，因为偶

数要求个位可排4,2,0，有2413A A 种；② ???2型，此种情况个位只能排4,0且千位上不能排０，有2412A A 种；③ ???3型，此种情况个位可排4,2,0，所以有2413A A 种。

（2）查前２位：只考虑前“２”位中比３小的数，可分3种情况，① ??40型，此种情况

个位只能排2，有13A 种；② ??41型，此种情况个位只能排2,0，有1312A A 种；③ ??42型，此种情况个位只能排0，有13A 种。

（3）查前３位：只考虑前“3”位中比１小的数，只有?430型，此种情况个位只能排2，故只有4302一种，在结合题目条件不大于4310，其自身4310也满足。故共有：

11022213121324122413=++++A A A A A A A ，故选A

【例39】将5个数2,2,1,3

,2-分别写在卡片上,然后不放回地抽取出来,依据抽取的顺序,这5张卡片上的数字依次作为减函数kx y =的系数k ,二次函数2ax y =的首项系数a ,椭圆的离心率1e ,双曲线的离心率2e ,抛物线的离心率3e ,其中恰好有两个数字对应正确的抽取方法有______种.

【分析及解】5个数中有2个对应正确,可能性有1025=C 种,另三个对应不正确,有2种对

应方法,由分步计数原理知,共有20210=?种.

【例40】地面上有D C B A ,,,四个科研机构在接收嫦娥卫星发回的某类信息,它们两两之间可以互相接发信息,由于功率限制,卫星只能随机地向其中一个科研机构发送信息,每个科研机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息,某日四个机构之间发送了三次信息后,都获得了卫星发回的同一条信息,那么是A 接收到该信息后互相联系的方式共有（A ） 16种（B ）17种（C ） 34种（D ） 48种【分析及解】本题分类求解.

第一类:A 直接发送给D C B ,,三处,有13

3=C 种.

第二类:A 直接发送给D C B ,,中的两处,再由其中一处通知第四处,有61223=?C C 种. 第三类:A 直接发送给D C B ,,中的一处,再由该处通知另两处,有9)1(1213=+?C C 种.

∴共有16961=++种不同的方式.故选（A ）

【例41】n x

x )1

的各项系数之和大于8,小于32,则展开式中系数最大的项是（A ） 36x （B ）x 4 （C ） 64x x （D ）

4或64x x

【分析及解】在n x

x )1

展开式中的项的系数即是该项的二项式系数,即3228<

53<

366)1

(

)(x x x

x C T =?=?=,故选（A ）

十一:概率

【例42】抛一枚均匀硬币,正,反面出现的概率都是

,反复投掷,数列}{n a 定义如下: ??

?-=)(1)(1次投掷出现反面

第次投掷出现正面

第n n a n ,若)(21?∈+++=N n a a a S n n ,则事件04>S 的概率为（A ）

161 （B ）41 （C ） 165 （D ） 2

【分析及解】04>S ,则4次投掷中至少有3次出现正面, 故所求概率16

1()2

+=C C P ,故选（C ）【例43】抛掷一枚骰子,当它每次落地时,向上的点数称为该次抛掷的点数,可随机出现1到6点中的任一个结果,连续抛掷三次,将第一次,第二次,第三次抛掷的点数分别记为c b a ,,,求长度为c b a ,,的三条线段能构成等腰三角形的概率.

【分析及解】连续抛掷三次, 点数分别为c b a ,,的基本事件总数为216666=?? 长度为c b a ,,的三条线段能构成等腰三角形有下列两种情形

①当c b a ==时, 能构成等边三角形,有;1,1,1;2,2,2; 6,6,6共6种可能. ②当c b a ,,恰有两个相等时,设三边长为z y x ,,,其中}6,5,4,3,2{∈x ,且y x ≠;

若2=x ,则y 只能是1或3,共有2种可能; 若3=x ,则y 只以是5,4,2,1,共有4种可能; 若6,5,4=x ,则y 只以是集合}6,5,4,3,2,1{中除x 外的任一个数,共有53?种可能; ∴当c b a ,,恰有两个相等时,符合要求的c b a ,,共有63)5342(3=?++?

故所求概率为7223

66363

=+=P

【例44】一只蚂蚁在边长分别为5,4,3的三角形的边上爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的三

个顶点的距离均不小于1的概率是__________

【分析及解】如图，当某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离

均不小于1时,蚂蚁只能在线段DE ,FG ,HM 上,所以所求概率为

2112312=++=++++=CA BC AB HM FG DE P

十二:概率与统计

【例45】一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数54321a a a a a A =,其中A 的各位数字中,11=a ,)5,4,3,2(=k a k 出现0的概率为

31,出现1的概率为3

,例如:10001=a ,其中151==a a ,0432===a a a ,记54321a a a a a ++++=ξ,当启动一次仪器时,

(1)求3=ξ的概率 (2) 求ξ的概率分布列

【分析及解】(1)由题意得:27

8)32()31()3(222

==C P ξ

(2) ξ的取值为5,4,3,2,1 811)31()1(404===C P ξ,81

8)31)(32()2(3

14===C P ξ

278)3(==ξP ,8132)31()32()4(334===C P ξ,81

16)32()5(4

44===C P ξ

故ξ的概率分布列为

【例46】已知从“神七”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为

，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立。假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差

? ??? ????

? ? ? ?A F G B

C D E

的绝对值

（1）求随机变量ξ的数学期望E ξ；

（2）记“关于x 的不等式012>+-x x ξξ的解集是实数集R ”为事件A ，求事件A 发生

的概率P （A ）。

【分析及解】（1）由题意知Ｌξ的可能取值为0，2，4

”0“=ξ 指的是实验成功2次，失败2次. 81

24)311()31()0(23

24=-==∴C P ξ

”2“=ξ指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次. 81

40)311)(31()311()31()2(314334=-+-==∴C C P ξ ”4“=ξ指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次. 8117)311()31()4(40

4444=-+==∴C C P ξ

148

811748140281240=?+?+?=∴ξE

故随机变量ξ的数学期望为81

148

（2）由题意知：“不等式012

>+-x x ξξ的解集是实数R ”为事件A. 当0=ξ时，不等式化为1>0，其解集是R ，说明事件A 发生；当2=ξ时，不等式化为01222

>+-x x

04<-=? ，所以解集是R ，说明事件A 发生；

当4=ξ时，不等式化为0)12(01442

2>-?>+-x x x 其解集?

?????≠

∈21x R x x ，说明事件A 不发生.

∴81

6481408124)2()0()(=+=

=+==ξξP P A P 【例47】已知集合{,,},{1,0,1}A a b c B ==-，建立从A 到B 的映射f ，记

()()()

f a f b f c ξ=?? （1）求ξ的分布列（不要求计算过程）；（2）求ξ的数学期望和方差．

高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考2月月考试题

高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考2月月考试题一选择题（5?10=50分） 1．已知集合()(){}{} 120,13,A x x x x B x x x R =--==+<∈，则A B = ( ) A ．{}0,1 B ．{}0,1,2 C ．{} 42x x -<< D ．{} 02x x << 2.复数z 满足 1+)2i z =（，则=z （） A ．1i -- B ．1i - C ． 1+i D ．1+i - 3.阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为（） A ． 11 B ． 10 C ． 9 D ．8 4. 下列四个函数中，图象既关于直线π125= x 对称，又关于点?? ? ??06， π对称的是( ) A ?? ? ? ? + =32sin πx y B ?? ? ? ?-=32sin πx y C ?? ? ? ?-=64sin πx y D ?? ? ? ? +=64sin πx y 5.已知(),p x y 是不等式组10300x y x y x +-≥?? -+≥??≤? 的表示的平面区域内的一点，()1,2A ，O 为坐标原点，则OA OP ?的最大值( ) A.2 B.3 C.5 D.6 6.“命题“q p ∨”为假”是“命题“q p ∧”为假”的( ) A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知12,F F 是双曲线22 221x y a b -=，()0,0a b >>的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线bx y a = 对称，则该双曲线的离心率为（） A. 5 2 258. 某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成.其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数是 A. 24 B.36 C. 48 D.64

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

天一高考数学原创试题(理科)

天一原创试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合{}2log 2A x x =≤，{}1B x x =>-则A B =（） A ．{14}x x -<≤ B ．{14}x x -<< C ．{04}x x <≤ D ．{4}x x ≤ 【答案】D 【解析】根据题意可得{}{}2log 204x A x x x ≤<=≤=，因为A B ={04}x x <≤，故选 C ． 2．以下四个命题中，真命题的个数是 ① 存在正实数,M N ,使得log log log M N MN a a a +=; ② 若函数满足(2018)(2019)0f f ?<，则()f x 在（2018,2019）上有零点的逆命题； ③ 函数(21)()log x a f x -=(0a >≠且a 1)的图像过定点（1,0） ④ “x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】根据对数运算法则知①正确；函数()f x 在（2018,2019）上有零点时，函数()f x 在x =2018和x =2019处的函数值不一定异号，故逆命题错误，故②错误；因为无论a 取何值(1)0f =,所以函数()f x 的图像过定点（1,0），故③正确；当x ＝－1时，x 2－5x －6＝0；x 2－5x －6＝0时，x ＝－1或x ＝6，所以是充分不必要条件，故④错误；故选B 3．若,,,a b c R a b ∈>，则下列不等式成立的是 A ．22ac bc > B ．a c b c > C.1 1()()22a b > D.2211 a b c c >++ 【答案】D 【解析】对于A ，当c=0，显然不成立；对于B ，令a ＝1，b ＝－2，c ＝0，错误；对于C ，根据指数函数的单调性应为11()()22a b <；对于D ，∵a>b ，c 2＋1>0，∴2211 a b c c >++，故选D. 4．已知函数,0()(),0 x e x f x g x x ?≥=???

2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编(五)(原卷版)

2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（五）一．选择题（共25小题） 1．（2021?全国模拟）已知抛物线22y px =上三点(2,2)A ，B ，C ，直线AB ，AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为( ) A ．210x y ++= B ．3640x y ++= C ．2630x y ++= D ．320x y ++= 2．（2021?全国模拟）已知5a <且55a ae e =，4b <且44b be e =，3c <且33c ce e =，则( ) A ．c b a << B ．b c a << C ．a c b << D ．a b c << 3．（2020秋?静安区期末）在平面直角坐标系xOy 中，α、β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点)O 于A 、B 两点．若A 、B 两点的纵坐标分别为正数a 、b ，且cos()0αβ-，则a b +的最大值为( ) A ．1 B C ．2 D ．不存在 4．（2020秋?杨浦区校级期末）已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆22143 x y +=上，设它的三条边AB 、BC 、 AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为 1 、2 、 3 ，且 1 、 2 、 3 均不为0．O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为1．则 1 2 3 1 1 1 (+ += ) A ．4 3 - B ．3- C ．1813- D ．32 - 5．（2020秋?大兴区期末）已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，若*n N ?∈，24n n a S λ+恒成立，则实数 λ的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．（2020秋?大兴区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则椭圆C 的离心率为 ( ) A B C ． 23 D 7．（2020秋?大通县期末）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(3,2)-，M 在抛物线C 上，若点(2,4)N ，则||||MF MN +的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．（2020秋?大通县期末）已知点A ，B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右顶点，1F ，2F 是双曲线

2020高考数学专题复习《平面向量基本概念》练习题

O 第二章平面向量 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念班级姓名学号得分一、选择题 1 ．下列物理量中，不能称为向量的是（） A ．质量 B ．速度 C ．位移 D ．力 2 ．设 O 是正方形 ABCD 的中心，向量（） AO 、OB 、CO 、OD 是 A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量3．下列命题中，正确的是（） A ．|a | = |b | ? a = b B ．|a |> |b | ? a > b C ．a = b ? a 与 b 共线 D ．|a | = 0 ? a = 0 4．在下列说法中，正确的是（） A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同; B ．模为 0 的向量与任一非零向量平行; C ．向量就是有向线段; D ．若|a |=|b |，则 a =b 5．下列各说法中，其中错误的个数为（）（1）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等;（2）两个非零向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行 A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 *6．△ABC 中，D 、E 、F 分别为 BC 、CA 、AB 的中点，在以 A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与 EF 共线的向量有（） A ．2 个 B ．3 个 C ．6 个 D ．7 个二、填空题 7. 在(1)平行向量一定相等；(2)不相等的向量一定不平行；(3)共线向量一定相等；(4)相等向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是． 8. 如图，O 是正方形 ABCD 的对角线的交点，四边形 OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中，（1）与 AO 相等的向量有；（2）与 AO 共线的向量有；（3）与 AO 模相等的向量有；（4）向量 AO 与CO 是否相等？答：． 9．O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且 AO = a ， OB = b ， AB = c ，在以 A 、B 、C 、D 、E 、 F 、O 为端点的向量中： E D （1）与 a 相等的向量有；（2）与 b 相等的向量有； F （3）与 c 相等的向量有． *10．下列说法中正确是（写序号）（1）若 a 与 b 是平行向量，则 a 与 b 方向相同或相反； A B （2）若 AB 与CD 共线，则点 A 、B 、C 、D 共线；（3）四边形 ABCD 为平行四边形，则 AB = CD ；（4）若 a = b ，b = c ，则 a = c ；（5）四边形 ABCD 中， AB = DC 且| AB |=| AD | ，则四边形 ABCD 为正方形；（6）a 与 b 方向相同且|a | = |b |与 a = b 是一致的；三、解答题

【必考题】数学高考试题(及答案)

【必考题】数学高考试题(及答案) 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10 B ．11 C ．12 D ．15 3．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 4．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ． 13 B ． 12 C ． 23 D ． 56 5．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22 221x y a b += (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( ) A ．2,13?? ???? B ．1,32???? C ．1,13?? ???? D ．10,3 ?? ?? ? 6．函数3 2 ()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,2) 7．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2} 8．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（） A ．7，5，8 B ．9，5，6 C ．7，5，9 D ．8，5，7 9．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和3 4 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A ． 12 B ． 512 C ． 14 D ． 16 10．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )