第11-17届初一华杯赛试题及答案
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
（初一组）
（时间2006年3月18日10：00～11：00）
一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。（每小题6分）
1、下面用七巧板组成的六个图形中，有对称轴的图形为（）个（不考虑拼接线）
（A）5 （B） 2 （C）3 （D）4
2、有如下四个命题：
①最大的负数是－1；②最小的整数是1；
③最大的负整数是－1；④最小的正整数是1；
其中真命题有（）个
（A）1个（B）2 个（C）3个（D）4个
3 、如果a，b，c均为正数，且a（b＋c）＝152，b（c＋a）＝162，c（a＋b）＝170，那么abc 的值是（）
（A）672 （B）688 （C）720 （D）750
4、下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和右视图，图中单位为厘米。立体图形的体积为（）立方厘米。
（A）2π（B）2.5π（C）3π（D）3.5π
5、甲、乙两轮船在静水中航行的速度分别为是v1，v2，(v1＞v2)，下游的A港与上游的B港间的水路路程为150千米。若甲船从A港，乙船从B港同时出发相向航行，两船在途中的C点相遇。若乙船从A港，甲船从B港同时出发相向航行，两船在途中D点相遇,已知C、D间的水路路程为21千米。则v1∶v2等于（）
（A ）4155 （B ）4357 （C ）4559 （D ）4761
6、有一串数：1，22，，33，44，……，20042004，20052005，20062006。大明从左往右依次计算前面1003个数的末位数字之和，并且记为a ，小光计算余下的1003个数的末位数字之和，并且记为b ,则a －b =（ ）。
（A ）－3 （B ）3 （C ）－5 （D ）5
二、A 组填空题（每小题8分）
7、如图，以AB 为直径画一个大半圆。BC =2AC
分别以AC ，CB 为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积之比等于___。
8 计算：
（1+311?）?（1+421?）?（1+531?）?（1+641?）?…?（1+99971?）?（1+100981
?）=__ ______
9、加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧，A 到MN 的距离大于B 到MN 的距离，AB =7米，一个行人P 在马路MN 上行走，问：当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于___ ___
米。
10. 如果y
x 43-=42，51≤-x ，,42≤+y 那么x ＋y =____ _
三、B 组填空题（每题两个空，每个空4分）
11、列车提速后，某次列车21：00从A 市出发，次日7：00正点到达B 市，运行时间较提速前缩短了2小时，而车速比提速前平均快了20千米/小时，则提速前的速度平均为 千米/小时，两市相距 千米。
12、在算式
第十一届
＋华杯赛
２００６
中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1～9中的9个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立。则不同的填法共有；三位数华杯赛的最大可能值为。
13、在由x、y、z构成的单项式中，挑出满足下列条件的单项式：
1）系数为1；
2）x、y、z的幂次之和小于等于5；
3）交换x和z的幂次，该单项式不变。
那么你能挑出这样的单项式共有个。在挑出的单项式中，将x的幂次最低的两两相乘，又得到一组单项式，将这组单项式相加（同类项要合并）得到一个整式，那么该整式是个不同的单项式之和。
14、下图中有个正方形，有个三角形。
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛，初一组试题答案
一、选择题
1.D ②③⑤ 6
2.B 最大的负整数是-1和最小的正整数是1正确。
3.C ab+ac=152 （1），bc+ab=162 （2），ac+bc=170 （3）
（2）－（1）得（b-a）c=10 （4）
（3）÷（4）得（a+b）/（b-a）=17 即a=8b/9 （5）
（3）－（2）得a（c-b）=8 （6）
（1）÷（6）得（b+c）/（c-b）=19 即c=10b/9 （7）
（6）和（7）代入（3）（8b/9）×（10b/9）+b×（10b/9）=170
得b=9，可知a=8，c=10，abc=720
4.A π×（2/2）^2×1+1/2×π×（2/2）^2×2=2π
5.B 150V1/（V1－a+V2+a）-150V2/（V1+a+V2-a）=21，（V1-V2）/（V1+ V2）=7/50
V1：V2=57：43
6.C 第4项至第1003项的末位数字之和和第1004项至第2003项末位数字之和相同
a-b≡1+2^2+3^3-（2004^2004+2005^2005+2006^2006）≡1+4+7-（6+5+6）≡-5（mod10）
二、A组填空题
7.4/9 设AB=2r 则{πr^2/2-[π（r/3）^2/2+π（2r/3）^2/2]}/ (πr^2/2)=1-（1/9+4/9）=4/9
8.1.98 原式=[2^2/（1×3）]×[3^2/（2×4）] ×[4^2/（3×5）] ×[5^2/（4×6）] ×[6^2/（5×7）] ×……×[98^2/（97×99）] ×[99^2/（98×100）]=2×99/100=1.98
9.7 三角形两边之差小于第三边，当P在AB延长线与MN交点的位置时PA-PB=7最大。
10.0 由|x-1|≤5知-4≤x≤6，-12≤3x≤18
由|y+2|≤4知-6≤y≤2，-8≤-4y≤24
由|3x-4y|=42，知3x=18，-4y=24，此时x=6，y=-6，x+y=0
三、B组填空题
11．100，1200(注:组委会提供的标准答案是120,1200,此答案有部分错误)
设提速前的速度平均为V千米/小时，两市相距S千米。
S/（V+20）=10 （1）
S/V=10+2 （2）
由（1）（2）得V=100，S=1200
12．16，659
被加数千位是1，被加数与加数个位分别是7和9，被加数与加数十位数字之和是9，被加数百位与加数百位数字之和是9，有3+6=9与4+5=9。加法算式从右至左选择数字有2×1×4×1×2×1×1=16（种）不同填法。三位数华杯赛最大可以是659
13．12，9
一.⑴1 ⑵y ⑶y^2 ⑷y^3 ⑸y^4 ⑹y^5 ⑺xz ⑻xyz ⑼xy^2z ⑽xy^3z ⑾x^2z^2 ⑿x^2yz^2
二.y,y^2,y^3,y^4,y^5,y^6,y^7,y^8,y^9 共9项
14. 95，155
①边长是1，2，3，4，5，6的正方形有6X6+5X5+4X4+3X3+2X2+1X1=（6×7×13）/6=91（个），对角线长是2的正方形有4个，共95个。
②直角边为1的三角形有36×2=72（个）；斜边长是2的三角形，1-6行依次有4+4+4+3+1+4=20（个），1-6列依次3+3+3+2+3+3=17（个），共20+17=37（个）；直角边长是2的1-2行8个，2-3行6个，3-4行2个，4-5行8个，5-6行6个，共8+6+2+8+6=30（个）；直角边长是3的1-3行4个，3-5行2个，4-6行4个，共4+2+4=10（个）；斜边长是4的1-4行1个，2-5行2个，4-5行1个，共1+2+1=4（个）；直角边长是4的3-6行2个。共72+37+30+10+4+2=155（个）
第十一届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛
决赛试卷(初一组) （红色字为参考答案）
(时间2006年4月22日10:00~l l :30〉
一、.填空
1、计算：243331(0.25)(2)3()5(2)168??????
---?-÷?-+÷-=?????????
???（ 47 ）
2、当2m π=时，多项式31am bm ++的值是0，则多项式31
452
a b ππ++=（ 5 ）
3、将若干本书分给几名小朋友,如果每人分4本书,就还余下20本书,如果每人分8本书,就剩有1名小朋友虽然分到了一些书,但是不足8本,则共有( 6 )名小朋友
4、图l 中的长方形ABCD 是由四个等腰直角三角形和一 个正方形EFGH 拼成.己知长方形ABCD 的面积为120
平方厘米,则正方形EFGH 的面积等于( 10 )平方厘米
5、满足方程|||x-2006|-1|+8|=2006的所有x 的和为( 4012 )
6、一个存有一些水的水池,有一个进水口和若干个口径相同的山水口,进水口每分钟进水3立方米.若同时打开进水口和三个出水口,池中水16分钟放完;若同时 打开进水口与五个出水口,池中水9分钟放完.池中原有水( 288 )立方米
7、已知120052006123420052006
(1)24816222
k k k S +=-+-++-++- ，则小于S 的最大的整数是( 0 )
8.如图2,数轴上标有2n+1个点,它们对应的整数是: ,(1),,2,1,0,1,2,,1,n n n n ------
为了确保从这些点中可以取出2006个,其中任何两个点之间的距离都不等于4,则n 的最小值是( 2005 )
二.解答下列各题,要求写出简要过程
图1图2n n-10-1-2-(n-1)-n
9、如图3,ABCD 是矩形,BC=6cm,AB =10cm,AC 和 BD 是对角线.图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周,则阴影 部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?(z 取3.14) 解: ①设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立 体的体积是S,S 等于高为10厘米,底面半径是6厘米的 圆锥的体积减去2个高为5厘米,底面半径是3厘米的圆
锥的体积.
②即:
S=13×26×10×π-2×1
3
×23×5×π=90π, 2S=180π=565.2(立方厘米).
答:体积是565.2立方厘米.
10、将21个整数10,9,8,,3,2,1,0,1,2,3,,8,9,10------
分为个数不相等的六组数,分别计算各组的平均值,那么这六个平均值的和最大是多少? 解:①分为个数不相等的6组,整数的个数分别为1、2、3、4、5、6. ②应当将数值大的分在整数个数少的组中.所以,可以如下分组:
第一组 10 第二组 9
8 第三组 7
6 5 第四组 4
3 2 1 第五组 0
-1 -2 -3 -4 第六组 -5 -6 -7 -8 -9 -10
③计算它们的平均值的和:
109876543210123456789101171234562
++++++----------+++++= 答:最大的和是1
172
。
11、当m =-5，-4，-3，-1，0，1，3，23，124，1000时,从等式(2m+1)x+(23M)y+1-5m =0 可以得到10个关于x 和y 的二元一次方程,问这10个方程有没有公共解?如果 有,求出这些公共解. 解:①分别取m =0和m =1,得到两个方程:
210
340
x y x y ++=??
--=? 先求两个方程的公共解,把它们看作二元一次方程组,解得:x =1,y =-1.
②把x=1,y =-1代入(2m+l)x+(2-3m)y+1-5m,值恒为0.此即意味着: 当m =-5,一4,一3,一1,0,1,3,23,124,1000时,(2m+l)x+(2-3m)y+l-5m=0成立所以, x=1,y =-1是对应的10个方程的的公共解.
答:这些方程的公共解是x=1,y =-1.
图3
12、平面上有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有
一个角不超过36度,请说明理由. 解:①在平面上任取一点。,过O 点作已知的5条直线的平行线123
45,,,,l l l l l
②将O 为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角,这10个小角的 和恰等于3600,所以,至少有一个小角不超过360。
三.解答下列各题,要求写出详细过程
13.如图4,A 、B 和C 是圆周的三等分点,甲、乙、丙 三只蚂蚁分别从A 、B 、C 三个点同时出发,甲和乙 沿圆周逆时针爬行,丙顺时针爬行.己知甲、乙、 丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8:6:5,求出三只蚂蚁 所有的会合地点.
解: ①设圆周周长为3L,甲、乙、丙的速度分别为8ν、6ν、5ν;
②甲第一次追上乙时爬行的时间=862L L
v v v =-，
甲第一次追上乙时爬行的路程=842L
v L v
=
甲第k+1次追上乙时爬行的时间=322L kL v v +,
甲第k+1次追上乙时爬行的路程=3()83(14)22L kL v L k L v v
+
?=+?+ 因为3×(l+4k)L 是圆周周长的整数倍,所以,甲总在B 点追上乙
③在时刻322L kL v v +,丙爬行的路程=331
()536()2222
L kL k v L kL L v v +
?=++- 当k=1时,上式是3()5922L kL
v L L v v
+
?=+。因为丙是从C 出发顺时针爬行，所以 丙爬行至B 处,意味甲、乙、丙能够在B 点会合. 答:甲、乙、丙仅仅在B 处或合.
14、己知m ，n 都是正整数,并且
111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233A m m =-+-+-+ ，
111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233B n n
=-+-+-+
①证明:12m A m +=，1
2
n B n +=
②若1
26A B -=，求m 和n 的值.
解:①111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233A m m =-+-+-+
111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2323m m
=---+++
图4
θ10θ9θ8
θ7θ6
θ5θ4
θ3θ2θ1
l 5
l 4l 3l 2
l 1
121341123232m m m m m m -++=???????= 同样,1
2n B n
+=
②由题设,
11111222226m n A B m n m n ++-=-=-=，11113m n -=，111131313n
m n n +=+=
所以,1313n
m n =+，
1313(1313)131313131313n n m n n n +-?===-+++
即13+n 是13×13的因数,
13×13只有3个因数:1，13，132所以,
13+n=132, n=132-13=156, m=12.
求出正整数m,n 另一方法:使
11111222226m n A B m n m n ++-=-=-=，111
13
m n -=
设m =K α, n=Kb, (α,b)=1, 代入上式, 11132b a Ka Kb Kab
--== (b 一α)和α,b 都互质,一定整除K. 记K
d b a
=-是正整数, b a >则有
1113
dab = 由上式和b >α,b=13, α=1,d=l 所以,K=12,m 和n 有唯一解 m=13 n =156.
答:m=13n =156.
特别说明: 因给各题的解答未必唯一,上述解答仅供参考.
第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题及参考答案（初一组）
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
复赛试卷（初一组）
（时间2007年4月21日10：00～11：30）
一、填空（每题10分，共80分） 1、计算：=??
?
??-???? ??--?
-3553134217685.17 。 2、“b 的相反数与a 的差的一半的平方”的代数表达式为 。
3、规定符号“⊕”为选择两数中较大者，规定符号“⊙”为选择两数中较小者，
例如：3⊕5=5，3⊙5=3，则
1322=+n m ，那么 4、已知 5-=-n m ，44n m += 。
5、用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图1，从正面看这个立体，如图2，则这个立体的表面积最多是 。
图1（从上向下看）
图2（从正面看）
6、满足不等式|13|22|1|3+>--n n n 的整数n 的个数是 。
7、某年级原有学生280人，被分为人数相同的若干个班。新学年时，该年级人数增加到585人，仍被分为人数相同的若干个班，但是多了6个班，则这个年级原有 个班。 8、如果锐角三角形的三个内角的度数均为整数，并且最大角是最小角的5倍，那么这个三角形的最大角的度数是 。
二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9、已知a ，b ，c 都是整数，当代数式 c b a 327++ 的值能被13整除时，那么代数式 c b a 2275-+的值是否一定能被13整除，为什么？ 10、如图3所示，在四边形ABCD 中，ND MN AM ==，
FC EF BE ==，四边形ABEM ，MEFN ，NFCD 的面积分别
记为1S ，2S 和3S ，求 3
12
S S S +=？
（提示：连接AE 、EN 、NC 和AC ）
11、图4是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格
的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数。请写出这个9位数，简单说明理由。
12、平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有
公共顶点，
∶∶∶∶∶∶∶∶∶装
∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶订
∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线
∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶
最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）
三、详答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13、壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小29岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”。已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁。请回答：谁是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁？ 14、请回答：81
能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？8
1能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由。
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
复赛试题参考答案（初一组）
9、解：设x ，y ，z ，t 是整数，并且假设
)(13)327(2275tc zb ya c b a x c b a +++++=-+ （1） 比较上式a ，b ，c 的系数，应当有 5137=+y x
7132=+z x （2） 22133-=+t x
取 3-=x ，可以得到 2=y ，1=z ，1-=t ，则有
c b a c b a c b a 2275)327(3)2(13-+=++--+ （3）
既然 )327(3c b a ++和)2(13c b a -+都能被13整除，c b a 2275-+就能被13整除。 【说明】 c b a 2275-+表式为均能被13整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：取10=x ，则有 5-=y ，1-=z ，4-=t ，则有
)45(13)327(1022
75c b a c b a c b a ++-++=-+ 实际上，（2）是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到 k x 133+-=，k y 72-=，这里k 是任意整数， 将 k x 133+-=代入其余方程，解得
k z 21-=，k t 31--=，这里k 是任意整数， 则可以有
])31()21()72[(13)327)(133(2275c k b k a k c b a k c b a --+-+-++++-=-+ 评分参考：有类似于（3）的代数表达式，给10分。 10、解：如图3a ，连接AE 、EN 和NC ，易知
由 MEN AEM S S ??=， E F N C N F S S ??=， 上面两个式子相加得
2S S S CNF AEM =+?? （1）
并且四边形AECN 的面积=22S 。
连接AC ，如图3b ,由三角形面积公式，易知 A E C A B E S S ??=21， CNA CDN S S ??=2
1 上面两个式子相加得
2
1=+??C D N A B E S S 四边形AECN 的面积=2S （2）
将（1）式和（2）相加，得到
22S S S S S C D N ABE CNF AEM =+++????， 既然
1S S S A B E A E M =+??， 3S S S ABE CNF =+?? 因此 图3b 2312S S S =+， 2
1
312=+S S S 。 答：
2
1
312=+S S S 评分参考：①能利用三角形面积公式导出结果（1），
给4分；②能利用三角形面积公式导出结果（2），给4分；③正确给出答案，给2分。
11、解答：填数的方法是排除法，用（m ，n ）表示位于第m 行和第n 列的方格。
第七行、第八行和第3列有9，所以，原题图4左下角的“小九宫”格中的9应当填在（9，2）格 图4a 子中；第1列、第2列和第七行有数字5，所以，在图4右下角的“小九宫”格
中的数字5只能填在（9，3）中；第七行、第八行有数字6，图4中下部的“小九宫”格的数字6应当填在（9，6）；此时，在第九行尚缺数字7和3，由于第9列有数字7，所以，7应当填在（9，8）；3自然就填在（9，9）了，填法见图4a 。 九位数是 495186273。
评分参考：①正确给出答案，给5分；②对图4左边中间的“小九宫”格的5个空格的填法，能说明理由，给5分，每个空格给1分；③即使最后答案不正确，对于推理正确的空格填法，要适当给分； 12、解答：
（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点，有4种取法。因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出1个三角形。但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，三个点相同的取法有3×2×1=6种，所以，以这6个点为顶点可以构造
201
234
56=????个不同的三角形。
（2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形。 （3）用英文大写字母A 、B 、C 、D 、E 、F 记这6个点，假设可以选出两两没有公共边的5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母。这里不同的英文大写字母仅有6个。因此，这5个三角形中至少有3个三角形有同一个顶点，无妨设为A 。根据假设，这3个
三角形两两没有公共边，即除去公共顶点A 之外，其余6个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同。但是，除A 之外，我们仅有5个不同的字母。所以，不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边。
又显然ABC ?，ADE ?，BDF ?和CEF ?这4个三角形两两没有公共边。所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边。
评分参考：①回答第一问正确给3分；②回答第二问正确给2分；③第三问，回答正确给2分，能解释理由再给2分。
三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程） 13、解：设刘芳的年龄为x 岁。
① 刘芳和路路的年龄和是36岁，是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数，而路路和妈妈的年龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳。注意到菲菲比刘芳小29岁，菲菲的妈妈不是刘芳，所以，壮壮的妈妈是刘芳。
②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为()272-x
路路)36(x -岁，他的妈妈应当是 )2736(+-x 岁，和为 )299(x - 菲菲)29(-x 岁，她的妈妈应当是 )2729(+-x 岁，和为 )312(-x 由于6个人共105岁，所以，
105)312()299()272(=-+-+-x x x 。
③解出x =32,菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁；路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁。
答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁。
评分参考：①第一步，能判断出壮壮的妈妈是刘芳，给5分；②能正确回答谁是路路的妈妈，给5分；③能正确回答3个孩子的年龄，给5分。 14、解：
（1）由于1613
12
1=+
+，故有 4812411616131218181++
=??? ??++?=。所以，8
1
能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）。
（2）不妨设c b a <<，现在的问题就是寻找整a ，b ，c ，满足
22211181c
b a ++= 由
c b a <<，则有
222111a b c <<，从而 22223
11181a
c b a <++=,
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