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函数的定义域、解析式、值域题型归纳最新

函数三要素题型归纳梳理

函数的定义域

定义域特指x 的值。函数题的解答不能不考虑函数的定义域，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。

基本解题思路：①注意“定义域优先”；

②不要对解析式化简变形；

③在解不等式组时要细心、快而准，分类讨论要全面，取交集时需要借助数轴； ④要注意端点值或边界值能否取到； ⑤定义域要用集合或者区间的形式写出； ⑥换元法要注意新变量的取值范围；

⑦注意对于指数不等式、对数不等式和分式不等式的解法的通用方法。

（一）单一函数经过四则运算结合求函数的定义域。 1、基本函数定义域的要求： (1)分式函数，分母不为0；

(2)偶次根式函数的被开方数为非负数； (不要忘记等号) (3)一次函数、二次函数的定义域为R ；

(4)0x 中的底数不等于0； (n x -中的底数也不等于0)

(5)指数函数x a y =定义域为R ，对数函数x y a log =定义域为0>x (注意0>a 且1≠a ) (6)x y sin =、x y cos =的定义域为R ；

x y tan =的定义域为},2

|{z k k x x ∈π

+π≠；x y cot =的定义域为},|{z k k x x ∈π≠；

(7)实际问题应考虑实际限制。

2、剥洋葱原理→一层一层→交集(同时成立) →最后把求定义域转化成解不等式。例1．函数3

21)(++

-=x x f x 的定义域为( )。 A 、]0,3()3,(---∞ B 、]1,3()3,(---∞ C 、]0,3(- D 、]1,3(-

【解析】?

??>+≥-030

21x x ，解得03≤<-x ，选C

变式．函数211

ln )(x x

x x f -++=的定义域为。【解析】

11>+=+x

x x 且0≠x 且012≥-x 解得10≤

由)(x f y =的定义域为A 求)]([x g f y =的定义域实质是A x g ∈)(，求x 的取值范围。例2．函数)(x f 的定义域为)0,1(-，则函数)12(+x f 的定义域为。【解析】0121<+<-x ，则2

<<-x 2、复合到单一，方法：换元法。规避易错点：新变量的取值范围。

由)]([x g f y =的定义域A ，求)(x f y =的定义域，实质是A x ∈，求)(x g 的取值范围，此取值范围就是

)(x f y =的定义域。实质就是换元法。

例3．已知函数)2(x f 的定义域是]1,1[-，则函数)(x f 的定义域为。【解析】设t x =2，∵11≤≤-x ，∴221

≤≤t ，故)(x f 的定义域为]2,2

1[ 3、复合到复合，找到“桥梁”。

由)]([x g f y =的定义域A ，求)]([x h f y =的定义域B ，须先求)(x f y =的定义域C 例4．若)1(+x f 的定义域是]2,2

1[-，则函数)(2x f 的定义域为。【解析】先求)(x f 的定义域，设t x =+1，∵221≤≤-

x ，∴321≤≤t ，即)(x f 的定义域为]3,2

[，再求)(2x f 的定义域，

2≤≤x ，解得223-≤≤-x 或322≤≤x （三）函数定义域逆向性问题。

例5．若函数1)(2++=ax x x f 的定义域为R ，则实数a 取值范围是( )。

A 、]2,2[-

B 、),2(+∞

C 、)2,(-∞

D 、)2,2(- 【解析】∵1)(2++=ax x x f 的定义域为R ，∴012≥++ax x 在R 上恒成立，

即方程012=++ax x 至多有一个解，∴042≤-=?a ，解得22≤≤-a ，则实数a 取值范围是]2,2[-，选A

变式．已知函数3

3)(2

-+-=

ax ax x x f 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是( )

A 、)0,12(-

B 、]0,12(-

C 、),31(+∞

D 、]3

,(-∞

【解析】∵3

3)(2

-+-=

ax ax x x f 的定义域为R ，∴只需分母不为0即可 ∴0=a 或??

?<-?-=?≠0

)3(40

a a a ，可得012≤<-a ，选B

巩固1．函数24)

1ln(1

)(x x x f -++=

的定义域为( )

A 、]2,2[-

B 、]2,0()0,2[ -

C 、]2,1(-

D 、]2,0()0,1( -

【解析】??

?≥-≠+>+0

411012

x x x 且，解得21≤<-x 且0≠x ，选D

巩固2．函数2

29)2lg()(x

x x x f --=

的定义域为

【解析】?????>->-0

2x x x ，解得03<<-x 或32<

巩固3．函数)4323ln(1

)(22+--++-?=

x x x x x

x f 的定义域为【解析】?

??????≠>+--++-≥+--≥+-0

043230

430232

2x x x x x x x x x ，解得14<≤-x 且0≠x

巩固4．函数)(x f 的定义域为]1,(-∞，则函数)]2([log 22-x f 的定义域为。【解析】1)2(log 22<-x ?2202<-

()2(x

f x f +的定义域为【解析】由

022>-+x

得22<<-x 故222<<-x 且22

2<<-x ，解得)4,1()1,4( --∈x

0)()(>x g x f ?0)()(>?x g x f 0)()

(

()

(≤x g x f ?0)()(≤?x g x f 且0)(≠x g 巩固6．已知函数)22(2+-x x f 的定义域是]3,0[，则函数)(x f 的定义域为【解析】设t x x =+-222，∵30≤≤x ，∴51≤≤t ，故)(x f 的定义域为]5,1[

巩固7．已知函数)(log 2x f y =的定义域为]1,4

1[，则函数)2(x f y =的定义域为( )。

A 、]0,1[-

B 、]2,1[-

C 、]1,0[

D 、]2,0[

【解析】由题意得，∵函数)(log 2x f y =的定义域为]1,4

1[，即]1,41

[∈x ，∴0log 22≤≤-x

令022≤≤-x ，解得01≤≤-x ，即函数)2(x f y =的定义域为]0,1[-，选A

函数的解析式

（一）已知函数类型，可设参，用待定系数法求解析式。

若已知函数形式(一次函数b kx y +=，0≠k ；二次函数c bx ax y ++=2，0≠a ；反比例函数x

y =

，0≠a ；指数函数x a y =，0>a 且1≠a ；x y a log =，0>a 且1≠a ；幂函数n x y =)，可用待定系数法求

解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式。已知函数图象，也用待定系数法求解析式。如果图象是分段的，要用分段函数表示。例1．已知函数x a a a x f ?+-=)33()(2是指数函数，则=)2(f ( )。

A 、0

B 、2

C 、4

D 、2a 【解析】∵)(x f 是指数函数，∴1332=+-a a ，即0232=+-a a ?0)1()2(=-?-a a

解得2=a (可取)或1=a (舍)，∴x x f 2)(=，∴4)2(=f ，选C

变式1．已知函数)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，则)(x f 的解析式为( )。

A 、32)(--=x x f

B 、12)(--=x x f

C 、12)(+=x x f

D 、32)(+=x x f 【解析】设b kx x f +=)((0≠k )，则b kb x k b b kx k b x f k x f f ++=++?=+?=2)()()]([

∴???=+=3

42b kb k ，解得???==12b k 或???-=-=32b k ，∴32)(--=x x f 或12)(+=x x f ，选AC

变式2．已知二次函数)(x f 满足1)0(=f ，且x x f x f 2)()1(=-+，则)(x f 的解析式为( )。

A 、1)(2--=x x x f

B 、1)(2+-=x x x f

C 、1)(2-+=x x x f

D 、1)(2++=x x x f 【解析】设c bx ax x f ++=2)(，0≠a ∵1)0(=f ，则1=c ，又∵x x f x f 2)()1(=-+

令0=x ，则0)0()1(=-f f ，∴1)1(=f ，即1=++c b a ，0=+b a 令1=x ，则2)1()2(=-f f ，3)2(=f ，即324=++c b a ，12=+b a

∴1=a ，1-=b ，1=c ，1)(2+-=x x x f ，选B

（二）方程组法求函数解析式。

若出现)(x f 与)1(x

f 的关系式、)(x f 与)(x f -的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可构造另一个等式，通过解方程组求解。

(1)互为倒数：)()1

()(x g x

f x f =+；

(2)互为相反数：)()()(x g x f x f =-+或)()()(x g x f x F +=()(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数)。例2．已知23)(2)(-=-+x x f x f ，则)(x f 的解析式为( )。

A 、323)(-

-=x x f B 、323)(+-=x x f C 、323)(-=x x f D 、3

23)(+=x x f 【解析】联立???--=+--=-+2

3)(2)(23)(2)(x x f x f x x f x f ，解方程组得32

3)(--=x x f ，选A 。

变式1．已知x x f x f 3)1

(2)(=+，则)(x f 的解析式为。

【解析】联立???????

=+=+x x f x

f x x

f x f 3

)(2)1(3)1(2)(，解方程组得x x x f -=2)(，(0≠x )。

变式2．设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，1

)()(+=

+x x g x f ，求)(x f 与)(x g 的解析式。【解析】)()(x f x f =-，)()(x g x g -=-，∴1

)()()()(+-=-=-+-x x g x f x g x f ，

与原题中方程联立，解得1

)(2-=x x f (1-≠x 、0≠x 、1≠x )，

x x g -=2

)((1-≠x 、0≠x 、1≠x )。

（三）已知)(x f 求复合函数)]([x g f ，或已知复合函数)]([x g f 的解析式求)(x f 的解析式，可用换元法、配凑法。

即令t x g =)(，反解出x ，然后代入)]([x g f 中求出)(t f ，从而求出)(x f ，注意新变量的取值范围。

例3．已知x x

f 2)12

(=-，则)(x f 的解析式为。

【解析】令12-=x t ，则1

+=t x ，∴122)(+=t t f ，即12

2)(+=x x f (1-≠x )

变式．已知x x x f 2)1(+=+，则)1(+x f 的解析式为。

【解析】令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ，∴1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

∴1)(2-=x x f (1≥x )，∴x x x x f 21)1()1(22+=-+=+(0≥x )

（四）代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 1、关于点对称：),(11y x A 关于点),(00y x B 对称的)2,2(1010y y x x A --'；特殊点：点),(11y x 关于原点)0,0(对称的点),(11y x A --'→奇函数。 2、关于线对称

(1)特殊线：),(11y x A 关于x 轴对称),(11y x A -'；

关于y 轴对称),(11y x A -'→偶函数；关于x y =对称),(11x y A '→反函数；关于x y -=对称),(11x y A --'。

(2)一般直线：构建等量关系抓两个关键点：垂直和中点。

点),(11y x A 关于直线0=++c by ax 对称的点),(22y x A '，则

b a x x y y -=--1212；02

212=++++c y y b x x a 。

例4．函数)(x f 关于原点对称且当0>x 时，x

x x f 1

)(2+

=，求函数在0

x x f 1

)(2+-=。

变式．与方程122+-=x x e e y (0≥x )的曲线关于直线x y =对称的曲线的方程是( )。

A 、)1ln(x y +=(0≥x )

B 、)1ln(x y -=(0≥x )

C 、)1ln(x y +-=(0≥x )

D 、)1ln(x y --=(0≥x ) 【解析】2)1(-=x e y ，0≥x ，∴1≥x e ，∴0≥y ，即y e x +

∴)1ln(y x +

=?)1ln(x y +=(0≥x )，选A

（五）赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例5．已知1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，)12()()(+-?-=-y x y x f y x f 恒成立，则)(x f 的解析式为。

【解析】令0=x ，则有1)1(1)(2+-=+-?-=-y y y y y f ，再令x y =-，则1)(2++=x x x f 。巩固1．已知函数)(x f 是一次函数，且4104)(3)]([22+-=-x x x f x f ，则)(x f 的解析式为( )。

A 、42)(--=x x f

B 、42)(+-=x x f

C 、12)(-=x x f

D 、12)(+=x x f 【解析】设b kx x f +=)((0≠k )，

则41043)32()(3)()(3)]([222222+-=-+-+=+-+=-x x b b x k kb x k b kx b kx x f x f ，

∴???

??=--=-=4

3103242

2b b k kb k ，解得2-=k ，4=b ，或2=k ，1-=b ，故42)(+-=x x f 或12)(-=x x f ，选BC 。

巩固2．已知函数)(x f 满足1)(2)(2++-=+x x f x x f ，则)(x f 的解析式为。【解析】在1)(2)(2+-=--x x x f x f ①中，用x -代替x 得1)(2)(2++=--x x x f x f ②，

②2?得222)(4)(22++=--x x x f x f ③，

把③代入①得33)(32++=-x x x f ，解得131

)(2---=x x x f 。

巩固3．已知函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且1)1

(2)(-?=x x f x f ，则)(x f 的解析式为。

【解析】在1)1(2)(-?=x x

f x f ①中，用x 1

代替x 得11)(2)1(-?

=x x f x f ②， ②x 2?得x x f x x

f 2)(4)1

(2-=?③，

把③代入①得12)(4)(--=x x f x f ，解得3

132)(+=

x x f 。巩固4．已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足2)()(+-=+-x x a a x g x f (0>a 且1≠a )，若

a g =)2(，则=)2(f ( )。

A 、2

B 、

C 、4

D 、a 【解析】∵2)()(+-=+-x x a a x g x f ，又)()(x f x f --=，)()(x g x g -=，

则2)()()()(+-=+--=-+--x x a a x g x f x g x f ，联立后可得：2)(=x g ，又∵a g =)2(，故2=a ， ∴4234162222)2()2(2222=-

=+-=+-=+--a a g f ，∴4

2423)2(423)2(=-=-=g f ，选B 。

巩固5．已知221

)1(x

x x x f +=+(0>x )，则)(x f 的解析式为。

【解析】∵2)1

(1)1(222-+=+=+x x x

x x x f ，21≥+x x ，∴2)(2-=x x f (2≥x )。

巩固6．已知：函数x x y +=2与)(x g y =的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式。【解析】设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(111y x M 为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点，

则???????=+-=+3

11y y x

x ，解得：???-=--=y y x x 6411，∵),(111y x M 在x x y +=2上，

则)4()4(62--+--=-x x y ，整理得67)(2---==x x y x g 。

巩固7．已知)(x f 是定义在+N 上的函数，且满足1)1(=f ，对任意的自然数a 、b 都有)()()(b a f b f a f +=+

ab -，则)(x f 的解析式为。

【解析】令x a =，1=b ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，∴1)()1(+=-+x x f x f ，

∴x x x x x x f 2

212)1(21)(2+=+=

+???++=，(+∈N x )。函数的值域

（一）直接法

1、观察法：通过观察如c b ax x f ++=)(，b ax x f +=2)(或a

x b

x f +=2

)(等函数的定义域及性质，结合函数的解析式，应用不等式性质，可直接求得函数的值域。例1．函数x x f 323)(-+=的值域为( )。

A 、),0[+∞

B 、),1[+∞

C 、),2[+∞

D 、),3[+∞ 【解析】032≥-x ，故3323≥-+x ，∴)(x f 值域为),3[+∞，选D 。

2、利用配方法：型如c bx ax x f ++=2)((0≠a )型或可转化为二次型的函数，用此种方法，注意自变量x 的范围。

例2．函数x x x f 2)(2+=的值域为( )。

A 、),1[+∞-

B 、),0[+∞

C 、),1[+∞

D 、),2[+∞ 【解析】1)1()(2-+=x x f ，∴)(x f 值域为),1[+∞-，选A 。

3、数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键。例3．函数2)2(|1|)(-++=x x x f 的值域为( )。

A 、),0[+∞

B 、),1[+∞

C 、),2[+∞

D 、),3[+∞

【解析】原函数化为??

??>-≤<--≤+-=2,1221,31,12)(x x x x x x f ，

其图像如图，原函数值域为),3[+∞，选D 。

例4．在实数的原有运算中定义新运算“⊕”如下：当b a ≥时，a b a =⊕；当b a <时，2b b a =⊕。设函数

)2()1()(x x x x f ⊕-?⊕=，]2,2[-∈x ，则)(x f 的值域为( )。

A 、]1,4[--

B 、]6,4[-

C 、]0,1[-

D 、]6,0[ 【解析】由题意知??

?≤<-≤≤--=2

1,212,2)(3

x x x x x f

即当12≤≤-x 时]1,4[)(--∈x f ，即当21≤

（二）利用分离常数法： 1、型如b ax d cx x f ++=

)(时，可化简成b ax m

k x f ++=)(的格式，∵分母不为零，∴k y ≠ 例5．函数1

)(+-=

x x x f 的值域为( )。 A 、),3[]1,(+∞--∞ B 、),1()1,(+∞--∞ C 、),1()1,(+∞-∞ D 、),2[+∞ 【解析】1

1141)(+-

=+-+=

x x x x f ，∴原函数的值域为),1()1,(+∞-∞ ，选C 2、型如f ex dx c bx ax x f ++++=22)(的函数，可化简成f

ex dx f

k x f +++=2)(的格式，再求值域

例6．函数2

11)(x x x f +-=的值域为( )

A 、]0,1[-

B 、]1,1(-

C 、),1[+∞

D 、),2[+∞

【解析】1121)1(2)(222-+=++-=x x x x f ，∵112

≥+x ，∴21202

≤+

，∴原函数的值域为]1,1(-，选B

（三）利用基本不等式： 1、型如k

x b

x f +=

2)(时，直接应用不等式性质。例7．函数2

)(2+=

x x f 的值域为( )。 A 、]2,(-∞ B 、]2,0( C 、]4,2( D 、]4,0( 【解析】∵222≥+x ，∴22

≤+<

x ，∴)(x f 值域为]2,0(，选B 2、(1)型如x x x f 1)(+=：①若0>x ，则2)(≥x f (当且仅当x

x 1

=即当1=x 时取“=”)，

②若0

x 1

=即1-=x 时取“=”)；

(2)型如x b ax x f +

=)((0>a ，0>b )：①若0>x ，则ab x f 2)(≥(仅当x

ax =即a b x =时取“=”)

②若0

ax =

即a b x -=时取“=”)

例8．函数x

x x f 4

)(+

=的值域为 A 、),4[]4,(+∞--∞ B 、),2[]2,(+∞--∞ C 、),3[]1,(+∞--∞ D 、),0()0,(+∞-∞

【解析】若0>x ，442)(=?

≥x x x f ，0

2)(-=?-≤x

x x f ，∴)(x f 值域为),4[]4,(+∞--∞ 3、型如b x n mx x x f +++=2)(时，应先应用分离常数法化简成d b

x c

b x a x f ++++=)()(的格式，再利用均值

不等式求值域。

例9．函数12

2)(2+++=x x x x f 的值域为

【解析】1

)1(11)1()(2++

+=+++=x x x x x f ，∴值域为),2[]2,(+∞--∞ 4、型如n mx x bx

x f ++=2)(时，应讨论0=x 时)(x f 的值域，再讨论0≠x 化简成m x

n x b x f ++=)(型，最后

利用均值不等式求值域。例10．函数1

)(2

x x

x f 的值域为( )。 A 、),2[]2,(+∞--∞ B 、),1[]1,(+∞--∞ C 、),21[]21,(+∞--∞ D 、]2

1,21[- 【解析】当0=x 时，0=y ，

当0≠x 时，x

x x f 11)(+=

，0>x 时21

≥+

x x ，21110≤+<

x ， 0

-≤+

x ，01121<+≤

-x

x ，∴)(x f 的值域为]21,21[-，选D 。（四）利用换元法：型如d cx b ax x f +±+=)(型，可用此法求其值域。例11．函数x x x f 21)(--=的值域为( )。

A 、]1,(--∞

B 、]21

,(-∞ C 、),1[]1,(+∞--∞ D 、),2

1[]21,(+∞--∞

【解析】法一(换元法)：令x t 21-=，则0≥t 且212t x -=，则1)1(2

21)(22++-=--=t t t t f ，

∵0≥t ，∴2

1)(≤x f ，∴)(x f 的值域为]21

,(-∞，选D 。

法二(单调性法)：容易判断)(x f 为增函数，而其定义域应满足021≥-x ，即2

≤x ，

∴2

)21()(=≤f x f ，∴)(x f 的值域为]21,(-∞，选B 。

（五）利用函数的单调性：若函数)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数，则)(a f 、)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大)值、最大(小)值。

例12．已知0133

222≤++--x x x x ，且满足1=+y x ，则函数x xy z 3+=的值域为( )。

A 、]415,5[-

B 、]21,2[-

C 、)1,1(-

D 、),2

(+∞

【解析】∵0132>++x x ，则原式与0322≤--x x 同解，解之得2

1≤≤-x ，

又1=+y x ，将x y -=1代入x xy z 3+=中，得4)2(422+--=+-=x x x z 且]2

,1[-∈x ，

函数z 在区间]2

,1[-上连续且单调递增，故只需比较边界的大小，

当1-=x 时，5-=z ；当23=x 时，415

=z ，∴函数z 的值域为]415,5[-，选A 。

（六）判别式法：型如2

121)(c x b x a c x b x a x f ++++=(1a 、2a 不同时为零)及e dx cx b ax x f ++±+=2)(的函数求值域，通常把其转化成关于x 的一元二次方程0),(=y x F ，由判别式0≥?，求得y 的取值范围，即为原函数的值域。

例13．函数1

)(22+--=x x x

x x f 的值域为( )。

A 、),2()2,(+∞--∞

B 、),1()1,(+∞--∞

C 、)1,3

1[- D 、),1(+∞ 【解析】法一(配方法)：1

11)(2+--

=x x x f ，又4343)21(122

≥+-=+-x x x ，

∴431102≤+-

1312<+--≤-x x ，∴)(x f 值域为)1,31[-，选C 。

法二(判别式法)：由1

)(22+--==x x x

x x f y ，R x ∈，得0)1()1(2=+-+-y x y x y ，

∵1=y 时?∈x ，∴1≠y ，

又∵R x ∈，∴0)1(4)1(2≥---=?y y y ，∴13

<≤-y ，

∴)(x f 值域为)1,3

1[-，选C 。

（七）反函数法：

1、直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例14．函数654

3)(++=

x x x f 值域为( )。 A 、),5

()53,(+∞-∞ B 、),1()1,(+∞--∞ C 、)1,1(- D 、),1(+∞

【解析】设6543++=x x y ，则4365+=+x y xy ?y y x 5346--=，分母不等于0，即5

≠y 。

即函数)(x f 的值域为),5

3()53

,(+∞-∞ 。

注意：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

2、直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

例15．函数1

)(+-=x x e e x f 的值域为

【解析】设1

+-=x x e e y ，由原式得011>-+=

y y e x ，∴11<<-y ，即函数)(x f 的值域为)1,1(- （八）倒数法：有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况。例16．函数3

)(++=

x x x f 的值域为( )。 A 、),0(+∞ B 、),0[+∞ C 、]2

1,0[ D 、]3,2[ 【解析】设3

++=

x x y ，当2-=x 时，0=y ，当2-≠x 时，22

122121≥+++=+++=

x x x x y ，∴21

0≤

∴综上21

0≤

≤y ，即函数)(x f 的值域为]2

1,0[，选C 。（九）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值，然后求出值域。例17．函数x x x f ln 2)(2-=的值域为( )。

A 、),2(+∞-

B 、),0[+∞

C 、),1[+∞

D 、),(+∞e 【解析】)(x f 的定义域为),0(+∞，x

x x f 2

2)(-

='，令0)(='x f ，解得1=x ，当10<x 时，0)(>'x f ，则)(x f 在),1(+∞内单调递增，

∴当1=x 时，)(x f 取极小值(极小值唯一)也即最小值1)1(=f ，即函数)(x f 的值域为),1[+∞，选C 。

（十）多种方法综合运用：总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

巩固1．函数x

x x f 1

)(-

=(1>x )的值域为( )。 A 、),1(+∞- B 、),0(+∞ C 、),2(+∞ D 、),22[+∞ 【解析】x

x x f 1

)(-

=在区间),1(+∞内单调递增，则)(x f 值域为),0(+∞，选B 。巩固2．函数x x x f 2)(2+=(]3,0[∈x )的值域为( )。

A 、),1[+∞-

B 、]2,1[-

C 、]15,1[-

D 、]15,0[ 【解析】1)1()(2-+=x x f ，∴)(x f 在),1[+∞-内单调递增，

则30≤≤x 时)(x f 的值域为]15,0[，选D 。

巩固3．函数x x x f 2)(2+=(]3,3[-∈x )的值域为( )。

A 、),1[+∞-

B 、]2,1[-

C 、]15,1[-

D 、]15,0[ 【解析】1)1()(2-+=x x f ，∴)(x f 在]1,(--∞内单调递减，在),1[+∞-内单调递增，

则33≤≤-x 时)(x f 的值域为]15,1[-，选C 。

注意：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

巩固4．对a 、R b ∈，记?

??<≥=b a b b

a a

b a ,,],max[，则函数|]2||,1max [|)(-+=x x x f (R x ∈)的值域是( )。

A 、),21

[+∞ B 、),1[+∞ C 、),2

3[+∞ D 、),2[+∞

【解析】原函数化为???

???

<-≥+=21|,2|21|,1|)(x x x x x f ，

其图像如图，原函数值域为),2

[+∞，选C 。

巩固5．函数1

2)(+-=

x x x f 的值域为( )。 A 、),3[]1,(+∞--∞ B 、),1()1,(+∞---∞ C 、),1()1,(+∞-∞ D 、),2()2,(+∞-∞ 【解析】1

1141)(+-

=+-+=

x x x x f ，∴原函数的值域为),2()2,(+∞-∞ ，选D 。巩固6．函数2

)(++=x x x f 的值域为( )。

A 、),2[]6,(+∞--∞

B 、),4[]4,(+∞--∞

C 、),2[]2,(+∞--∞

D 、),3[]1,(+∞--∞

【解析】2]2

)2[()(-++

+=x x x f ，若02>+x ，424)2(224)2(=+?+≥++

+x x x x ，若02<+x ，42

)2(224)2(-=+?+-≤++

+x x x x ， ∴)(x f 值域为),2[]6,(+∞--∞ ，选A 。

巩固7．函数4

)(++

=x x x f 的值域为( )。 A 、),26[]26,(+∞----∞ B 、),23[]23,(+∞----∞ C 、),2[]2,(+∞--∞ D 、),3[]3,(+∞--∞

【解析】2)4

242(

)(-+++=x x x f ，当042>+x ，62232422423242=+?+≥+++x x x x ，当042<+x ，

2422423242-=+?+-≤+++x x x x ， ∴值域为),26[]26,(+∞----∞ ，选A 。

巩固8．函数x x x f 41552)(-+-=的值域为( )。

A 、),4[]2,(+∞--∞

B 、]3,(-∞

C 、]0,(-∞

D 、),2[+∞

【解析】x t 415-=，4152t x -=(0>t )，则3)1(2

)(2+--=t x f ，原函数的值域为]3,(-∞，选D 。

巩固9．函数x

x x

x x f ---+=10101010)(的值域为( )。

A 、),3[]1,(+∞--∞

B 、),1()1,(+∞--∞

C 、),1()1,(+∞-∞

D 、),2[+∞

【解析】设x

x x x y ---+=10101010，由原式得01110>-+=y y x

，∴1-y ，

即函数)(x f 的值域为),1()1,(+∞--∞ ，选B 。

函数的定义域、解析式、值域综合

一、选择题 1．函数4

3)1ln()(2

+--+=

x x x x f 的定义域为( )。

A 、)1,1(-

B 、),1(+∞-

C 、]1,0(

D 、),1(+∞

【解析】?

??>+-->+0430

12x x x ，解得11<<-x ，选A 。

2．已知1

)(+=

x x f ，则函数)]([x f f 的定义域是( )。 A 、}2|{-≠x x B 、}1|{-≠x x C 、}12|{-≠-≠x x x 且 D 、}12|{-≠-≠x x x 或

【解析】???≠+≠+01)(01x f x ，即???

??-≠+-≠11

x x ，即???-≠-≠21x x ，选C 。

3．函数2)(2++-=x x x f 的值域为( )。

A 、),0[+∞

B 、]2,1[

C 、]23

,0[ D 、]4

9,0[

【解析】由022≥++-x x 求定义域]2,1[-∈x ，∴]4

,0[49)21(222∈+--=++-x x x ，

∴)(x f 值域是]2

,0[，选C 。

4．若20π≤

x x f sin 4sin )(+=的最小值为( )。 A 、2 B 、222- C 、4 D 、5 【解析】令t x =sin ，20π

≤

t y 4+=在]1,0(上单调递减， ∴1=t 时5min =y ，选D 。

5．已知2

11)11(x x x x f +-=+-，则)(x f 的解析式为( )。 A 、212x x +-(1≠x ) B 、21x x +-(1-≠x ) C 、21x x +(1

≠x ) D 、212x x +(1-≠x ) 【解析】令t x x =+-11(1-≠t )，则t t x +-=11，222

12)

11(1)

11(

1)(t t t

t t t t f +=+-++--=，则212)(x x x f +=(1-≠x )，选D 。【秒解】)11(x

x f +-中令0=x ，则1)1(=f ，A 中1)1(-=f ，B 中21)1(-=f ，C 中21

)1(=f ，D 中1)1(=f ，

选D 。 6．函数2

)

1ln(1)(-+=

x x f (1>x )关于直线x y =对称的函数的解析式是( )。 A 、1)(12-=-x e x f (0>x ) B 、1)(12+=-x e x f (0>x ) C 、1)(12-=-x e x f (R x ∈) D 、1)(12+=-x e x f (R x ∈) 【解析】由原函数的定义域1>x 求得01>-x ，R x ∈-)1ln(，∴R y ∈，

由原函数解得112+=-y e x ，即1)(121+=--x e x f ，又原函数的值域为反函数的定义域，∴选D 。

【秒解】原函数和反函数关于x y =对称，通过对称点的特征求出。 7．下列函数中，对于任意R x ∈，不满足)(2)2(x f x f =的是( )。

A 、||)(x x f =

B 、||)(x x x f -=

C 、1)(+=x x f

D 、x x f -=)( 方法一：∵kx x f =)(与||)(x k x f ?=均满足)(2)2(x f x f =，∴A 、B 、D 满足条件；对于C 项，若1)(+=x x f ，则22)(212)2(+=≠+=x x f x x f ，选C 。方法二：对于A 项，||2)2(x x f =，||2)(2x x f =，可得)(2)2(x f x f =，成立；

对于B 项，||22)2(x x x f -=，||22)(2x x x f -=，可得)(2)2(x f x f =，成立；对于C 项，12)2(+=x x f ，22)(2+=x x f ，可得)(2)2(x f x f ≠，不成立；对于D 项，x x f 2)2(-=，x x f 2)(2-=，可得)(2)2(x f x f =，成立，选C 。

8．函数4)5(16)3()(22+-+++=x x x f 的值域为( )。

A 、),0[+∞

B 、),2[+∞

C 、),6[+∞

D 、),10[+∞ 【解析】原式可转化为2222)20()5()40()3()(-+-+-++=x x x f ，

则其几何意义为：平面内一点)0,(x P 到两点)4,3(-A 、)2,5(B 距离之和就是y 的值，由平面几何知识可知，找到B 关于x 轴的对称点)2,5(-'B ，

连接B A '交x 轴于一点P 即为所求的点，最小值1068||22=+='=B A d ，即函数的值域为),10[+∞，选D 。

9．函数11)(--+=x x x f 的值域为( )。

A 、]2,2[-

B 、]2,1[

C 、]2,0(

D 、]22,2[

【解析】)(x f 的定义域为),1[+∞，且1

11)

11)(11()(-++=

-++--+-++=

x x x x x x x x x f ，

∵1+x 与1-x 均在),1[+∞上是增函数，∴11-++x x 在),1[+∞上是增函数，又11-++x x 在),1[+∞上恒不等于0，则

-++x x 在),1[+∞上是减函数，

则)(x f 的最大值为2)1(=f ，)(x f 的最小值为x 最大时，此时)(x f 无限接近与0， ∴)(x f 的值域为]2,0(，选C 。

10．已知函数52)(2+-=ax x x f (1>a )，x x g 3log )(=，若函数)(x f 的定义域与值域都是]1[a ，，则对于

任意的]1

[1a x ，∈，]11[2+∈a x ，时，总有12|)()(|221-+≤-t t x g x f 恒成立，则t 的取值范围为( )。 A 、)1[]3(∞+--∞，， B 、)3[]1(∞+--∞，， C 、]13[，- D 、]31[，- 【解析】225)()(a a x x f -+-=的对称轴1>=a x ，∴)(x f 在]1[a ，上单调递减，

又定义域与值域都是]1[a ，，则a a f =+-=521)1(，解得2=a ，∴54)(2+-=x x x f ，

则对于任意的]21

[1，∈x ，]31[2，∈x ，都有2)(11≤≤x f ，1)(02≤≤x g ， 2|)()(|12max 212=-≥-+x g x f t t ，即0322≥-+t t ，解得3-≤t 或1≥t ，选A 。

11．已知函数)32(log )(24++=x ax x f ，若当)(x f 的定义域为R 时实数a 的取值范围为集合A ，当)(x f 的值域为R 时实数a 的取值范围为集合B ，则下列说法正确的是( )。

A 、)31(∞+=，A

B 、]31,0(=B

C 、}3

{=B A D 、)0[∞+=，

B A 【解析】∵)(x f 的定义域为R ，∴0322>++x ax 对任意R x ∈恒成立，显然0=a 时不合题意，

从而必有???00a ，即?

??<->01240a a ，解得31>a ，即)31(∞+=，A ，

∵)(x f 的值域为R ，∴设322++=x ax t ，则t 能取到)0(∞+，上所有的数，显然0=a 时符合题意，