人教版 九年级数学讲义 圆及其基本性质(含解析)

第9讲圆及其基本性质

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初三，基础一般

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习圆及其基本性质，重点掌握圆的有关概念，能够对相关概念进行辨析，其次理解与圆有关的性质、定理及其推论，着重学习圆心角与弧、弦的关系以及圆周角定理，能够利用相关定理及推论进行解题，本章是中考重点内容之一，也是历年常考难点知识点之一，希望同学们认真学习，为后面的学习奠定良好的基础。

知识梳理

讲解用时：25分钟

圆的相关概念

（1）圆的定义

①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个

端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半

径，以O点为圆心的圆，记作“①O”，读作“圆O”；

①圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

（2）半径：联结圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径；

（3）直径：经过圆心，并与圆两端相交的线段叫做圆的直径；

（4）圆心角：以圆心为顶点并且两边都和圆相交的角叫做圆心角；

（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角；

（6）弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；

（7）半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都

叫做半圆；

（8）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

课堂精讲精练

【例题1】

如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B 的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（）。

A．1cm B．2cm C．4cm D．πcm

【答案】C

【解析】本题考查了圆的基本概念，

①AB=2cm，①圆的直径是4cm，故选：C．

讲解用时：2分钟

解题思路：根据圆的认识进行解答即可。

教学建议：根据圆的概念进行解答。

难度：2 适应场景：当堂例题例题来源：顺义区一模年份：2018【练习1】

如图，若点O为①O的圆心，则线段是圆O的半径；线段是圆O的弦，其中最长的弦是；是劣弧；是半圆。

【答案】OA、OB、OC；AC、AB、BC；AC；、；、；

【解析】本题考查弦、直径、半径、弧、半圆、劣弧等定义，

如图，若点O为①O的圆心，则线段OA、OB、OC是圆O的半径；

线段AC、AB、BC是圆O的弦，其中最长的弦是AC；、是劣弧；

、是半圆。

讲解用时：5分钟

解题思路：根据弦、直径、半径、弧、半圆、劣弧等定义解答即可

教学建议：熟练掌握基本知识。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：保亭县期中年份：2016秋

【例题2】

有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；①直径是弦；①弦是直径；①半圆是弧，但弧不一定是半圆。

其中错误说法的个数是（）。

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】本题考查了弦与直径、弧与半圆的区别及确定圆的条件，

①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；

①直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；

①弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；

①半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧，但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确。

其中错误说法的是①①两个，故选：B。

讲解用时：5分钟

解题思路：根据弦弧的定义以及确定圆的条件判断即可。

教学建议：不要将弦与直径、弧与半圆混淆。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：长清区期末年份：2016秋【练习2】

下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）半径相等的圆是等圆；（3）等弧能够重合；（4）半径是圆中最长的弦，其中正确的有（）。

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】本题考查了弦、弧以及半径等相关概念的理解，

（1）长度相等的弧是等弧，错误；

（2）半径相等的圆是等圆，正确；

（3）等弧能够重合，正确；

（4）半径是圆中最长的弦，错误；

其中正确说法有两个，故选：B。

讲解用时：3分钟

解题思路：根据等弧、等圆、弦的定义即可一一判断。

教学建议：熟练掌握基本概念。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：淮南月考年份：2017秋【例题3】

如图，在①ABC中，①ACB=90°，①A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB 于点D，连接CD，则①ACD= 。

【答案】10°

【解析】本题考查了三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质，

①①ACB=90°，①A=40°，①①B=50°，

①CD=CB，①①BCD=180°﹣2×50°=80°，

①①ACD=90°﹣80°=10°．

讲解用时：5分钟

解题思路：先求得①B，再由等腰三角形的性质求出①BCD，则①ACD与①BCD 互余。

教学建议：注意隐含条件CD=BC。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：陕西模拟年份：2017 【练习3】

如图，①O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，

①AOC=84°，则①E等于。

【答案】28°

【解析】本题考查了三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质，

连结OD，如图，

①OB=DE，OB=OD，①DO=DE，①①E=①DOE，

①①1=①DOE+①E，①①1=2①E，

而OC=OD，①①C=①1，①①C=2①E，

①①AOC=①C+①E=3①E，

①①E=①AOC=×84°=28°．

讲解用时：5分钟

解题思路：利用半径相等得到DO=DE，则①E=①DOE，根据三角形外角性质得①1=①DOE+①E，所以①1=2①E，同理得到①AOC=①C+①E=3①E，然后利用①E=①AOC进行计算即可。

教学建议：连结OD，则CO=DO=BO=DE。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：平南县一模年份：2016 【例题4】

如图，AB是①O的直径，C、D是①O上的两点，若①ABC=70°，则①BDC的度数为。

【答案】20°

【解析】本题考查了圆周角定理，

①AB是①O的直径，①①ACB=90°，

①①ABC=70°，①①BAC=90°﹣①ABC=20°，

①①BDC=①BAC=20°．

讲解用时：5分钟

解题思路：由AB是①O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得①ACB=90°，又由①ABC=70°，即可求得①A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得①BDC的度数。

教学建议：注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：苏州模拟年份：2018 【练习4】

已知，如图，AB是①O的直径，点D，C在①O上，连接AD、BD、DC、

AC，如果①BAD=25°，那么①C的度数是。

【答案】65°

【解析】此题主要是考查了圆周角定理的推论的运用，

①AB是①O的直径，①①ADB=90°，

又①BAD=25°，

①①B=65°，①①C=65°．

讲解用时：3分钟

解题思路：根据直径所对的圆周角是直角得到①ADB=90°，再根据直角三角形的两个锐角互余求得①B=65°，再根据同弧所对的圆周角相等进行求解。

教学建议：注意①ABD=①ACD。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：长春一模年份：2018 【例题5】

如图，已知①O的弦AB，E，F是弧AB上两点，=，OE、OF分别交于AB 于C、D两点，求证：AC=BD。

【答案】连接OA、OB，

①OA=OB，①①A=①B，

①=，①①AOC=①BOD，

在①AOC和①BOD中，，

①①AOC①①BOD，①AC=BD

【解析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系以及三角形全等的判定和性质，连接OA、OB，

①OA=OB，①①A=①B，

①=，①①AOC=①BOD，

在①AOC和①BOD中，，

①①AOC①①BOD，①AC=BD．

讲解用时：8分钟

解题思路：连接OA、OB，根据半径相等得到①A=①B，根据等弧所对的圆心角相等得到①AOC=①BOD，根据三角形全等的判定定理证明①AOC①①BOD，根据全等三角形的性质证明结论。

教学建议：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等。

难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：溧水区期末年份：2017秋【练习5】

如图，①AOB=90°，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=CD。

【答案】连接AC，

①①AOB=90°，C、D是的三等分点，①①AOC=①COD=30°，

①AC=CD，又OA=OC，①①ACE=75°，

①①AOB=90°，OA=OB，

①①OAB=45°，①AEC=①AOC+①OAB=75°，

①①ACE=①AEC，①AE=AC，①AE=CD．

【解析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，

连接AC，①①AOB=90°，C、D是的三等分点，

①①AOC=①COD=30°，

①AC=CD，又OA=OC，①①ACE=75°，

①①AOB=90°，OA=OB，

①①OAB=45°，①AEC=①AOC+①OAB=75°，

①①ACE=①AEC，①AE=AC，①AE=CD．

讲解用时：10分钟

解题思路：连接AC，根据题意证明AE=AC，由AC=CD得到答案。

教学建议：灵活运用三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键，注意等量代换的运用。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：周村区一模年份：2015

【例题6】

如图，AB是①O的直径，C、D两点在①O上，若①C=45°，

（1）求①ABD的度数；

（2）若①CDB=30°，BC=3，求①O的半径。

【答案】（1）①ABD=45°；（2）3

【解析】本题考查了圆周角定理，

（1）①①C=45°，①①A=①C=45°，

①AB是①O的直径，①①ADB=90°，

①①ABD=45°；

（2）连接AC，

①AB是①O的直径，①①ACB=90°，

①①CAB=①CDB=30°，BC=3，①AB=6，

①①O的半径为3．

讲解用时：8分钟

解题思路：（1）求出①A的度数，继而在Rt①ABD中，可求出①ABD的度数；（2）连接AC，则可得①CAB=①CDB=30°，在Rt①ACB中求出AB，继而可得①O 的半径。

教学建议：熟练掌握圆周角定理的内容是解题的关键。

难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：铜陵县一模年份：2018 【练习6】

如图，点B，C为①O上一动点，过点B作BE①AC，交①O于点E，

点D为射线BC上一动点，且AC平分①BAD，连接CE。

（1）求证：AD①EC；

（2）连接EA，若BC=6，则当CD=时，四边形EBCA是矩形．

【答案】（1）证明：①AC平分①BAD，①①BAC=①DAC，

①①E=①BAC，①①E=①DACM

①BE①AC，①①E=①ACE，

①①ACE=①DAC，①AD①EC．

（2）CD=6

【解析】本题考查圆周角定理、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，（1）证明：①AC平分①BAD，①①BAC=①DAC，

①①E=①BAC，①①E=①DACM

①BE①AC，①①E=①ACE，

①①ACE=①DAC，①AD①EC．

（2）解：当四边形ACBE是矩形时，①ACB=90°，

①①ACB=①ACD=90°，

①①BAC=①DAC，①①ABD=①D，

①AB=AD，①BC=CD=6．

讲解用时：10分钟

解题思路：（1）欲证明AD①EC，只要证明①ACE=①DAC即可；（2）当四边形ACBE是矩形时，①ACB=90°，根据等腰三角形的性质即可解决问题。

教学建议：（2）根据等腰三角形的性质即可解决问题。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：尉氏县一模年份：2018 【例题7】

如图，AB是①O的直径，C是的中点，CE①AB于点E，BD交CE于点F。（1）求证：CF=BF；

（2）若CD=6，AC=8，求①O的半径及CE的长。

【答案】（1）证明：①AB是①O的直径，

①①ACB=90°，①①A=90°﹣①ABC，

①CE①AB，①①CEB=90°，

①①ECB=90°﹣①ABC，①①ECB=①A，

又①C是的中点，①=，

①①DBC=①A，①①ECB=①DBC，①CF=BF；

24

（2）半径为5，CE=

5

【解析】此题考查了圆周角定理、弧、弦的关系、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，

（1）证明：①AB 是①O 的直径，

①①ACB=90°，①①A=90°﹣①ABC ，

①CE①AB ，①①CEB=90°，

①①ECB=90°﹣①ABC ，①①ECB=①A ，

又①C 是的中点，①=，

①①DBC=①A ，①①ECB=①DBC ，

①CF=BF ；

（2）解：①=，①BC=CD=6，

①①ACB=90°，①AB=10862222=+=+AC BC ，

①①O 的半径为5，

①S ①ABC =AB?CE=BC?AC ，①CE=

==． 讲解用时：10分钟 解题思路：（1）要证明CF ﹦BF ，可以证明①ECB=①DBC ；AB 是①O 的直径，则①ACB ﹦90°，又知CE①AB ，则①CEB ﹦90°，则①ECB=①A ；再利用C 是的中点，①①DBC=①A ，得证；（2）在直角三角形ACB 中，AB 2=AC 2+BC 2，又知，BC=CD ，所以可以求得AB 的长，即可求得圆的半径，再利用面积法可以求出CE 的长度。

教学建议：灵活运用圆的基本性质解答。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：下城区期中 年份：2016秋

【练习7】

如图，以①ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作①A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断弧和弧是否相等，并说明理由。

【答案】

【解析】本题考查了平行四边形性质、平行线性质、圆心角和弧

与弦的关系定理等知识点的应用，

=，理由：连接AE，

①AB=AE，①①B=①AEB，

①四边形ABCD是平行四边形，①AD①BC，

①①B=①GAF，①FAE=①AEB，①①GAF=①FAE，

①．

讲解用时：8分钟

解题思路：要证明=，则要证明①DAF=①GAD，由AB=AF，得出①ABF=①AFB，平行四边形的性质得出，①AFB=①DAF，①GAD=①ABF，由圆心角、弧、弦的关系定理得出=。

教学建议：关键是求出①DAF=①GAD。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：西城区校级期中年份：2016秋

课后作业

【作业1】

下列说法错误的是（）。

A．圆有无数条直径

B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦

C．过圆心的线段是直径

D．能够重合的圆叫做等圆

【答案】C

【解析】本题考查了弦与直径，弧与半圆之间的关系，

A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；

B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；

C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；

D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确，故选：C．

讲解用时：4分钟

难度：3 适应场景：练习题例题来源：单县期末年份：2017春【作业2】

如图，①O是①ABC的外接圆，已知①ACO=30°，则①B的度数是（）。A．30°B．45°C．60°D．75°

【答案】C

【解析】本题考查了圆周角定理及三角形内角和定理的知识，

连接OA，如图，

①OA=OC，①ACO=30°，①①ACO=①CAO=30°，

①①AOC=120°，①①B=60°，故选：C．

讲解用时：4分钟

难度：3 适应场景：练习题例题来源：顺德区模拟年份：2018 【作业3】

如图，AB、CD是①O的直径，弦CE①AB，弧CE的度数为40°，

求①AOC的度数。

【答案】70°

【解析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，

连接OE，如图，

①弧CE的度数为40°，①①COE=40°，

①OC=OE，①①OCE=①OEC，

①①OCE=（180°﹣40°）÷2=70°，

①弦CE①AB，①①AOC=①OCE=70°．

讲解用时：5分钟

难度：4 适应场景：练习题例题来源：盐都区期中年份：2015秋

初三数学圆的经典讲义

圆 目录 圆的定义及相关概念 垂经定理及其推论 圆周角与圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 圆内接四边形 会用切线, 能证切线 切线长定理 三角形的内切圆 了解弦切角与圆幂定理（选学） 圆与圆的位置关系 圆的有关计算 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法：

求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d＞r；②点在圆上?d=r；③点在圆内? d＜r； 【典型例题】 例1 在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD是直径，? = ∠84 EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 M A B C

人教版九年级上册数学培优体系讲义

第二十一章 一元二次方程 1．一元二次方程 预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ． 例题讲解 【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数． 基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．

初三数学讲义

初三数学讲义（10）（圆） 知识梳理： 1.圆定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合 2. 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。（不能 直接用）即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 3. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 4. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ B D

圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 5. 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 6. 切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。7、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ B A

人教版 九年级数学 相似形及比例线段讲义 (含解析)

第16讲相似形及比例线段 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用，通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础。其次主要讲解比例线段的有关概念和性质，重点在于理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题。最后学习平行线分线段成比例定理，为下面相似三角形的学习奠定基础。 知识梳理 讲解用时：30分钟 相似形的概念及性质 1、相似形的概念 把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形。 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边 的长度成比例；当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比 值为1。

比例线段相关概念及性质 1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作:a b （或表示为a b ）；如果::a b c d =（或a c b d = ），那么就说a 、b 、c 、d 成比例。 2、比例的性质 （1）基本性质： 如果a c b d =，那么ad bc =； 如果a c b d = ，那么b d a c =，a b c d =，c d a b =． （2）合比性质： 如果a c b d = ，那么a b c d b d ++=； 如果a c b d =，那么a b c d b d --=． （3）等比性质： 如果a c k b d ==，那么a c a c k b d b d +===+（如果是实数运算，要注意强 调0b d +≠）。 3、比例线段的概念 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a c b d = ），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 4、黄金分割 如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中， 51 0.6182 AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数。 A P B

2017-2018九年级数学上册 圆中的基本概念及定理讲义 (新版)新人教版

圆中的基本概念及定理（讲义） 课前预习 在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为 ． 在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径． 一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形．顶点在圆心的角叫做圆心角．

知识点睛 1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个 端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作，读作“圆O”． 2.圆中概念： 弧：，弧包括和； 弦：； 圆周角：； 圆心角：； 弦心距：； 等圆：； 等弧：． 3.圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是； 圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理： *（1）垂径定理： ．推论： ．（2）四组量关系定理：在中，如果 、、、 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． （3）圆周角定理：．推论1：． 推论2：， ．推论3：． 注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 圆中处理问题的思路： ①找圆心，连半径，转移边； ②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧．

C D A R B 精讲精练 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立 的是（ ） ︵ ︵ A ．CM =DM B ． C B =B D C ．∠ACD =∠ADC D ．OM =MB 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为 ． ，则⊙O 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为 ． 5. 如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ， CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2 ，则∠BCD = ． 6 3

新人教版九年级数学上册讲义

九年级上册数学讲义 姓名： 电话：

第二十一章 一元二次方程 1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如 ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中ax bx c 2，，分别叫做 一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。 如：24102 x x -+=满足一般形式ax bx c a 2 00++=≠（），2412 x x ，，-分别是二次项、一 次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。 注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。 ●夯实基础 例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。 （1） 272y y =- （2） ()()512152y y y +-=- （3）()m x n mx x 2 2 10++-=（是未知数） 例2 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 例3 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． ●能力提升 例4若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数 ●培优训练 例5 m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程． 第一讲 一元二次方程的定义

人教版九年级数学上册讲义(全册)

人教版九年级数学上册讲义（全册） 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）． （3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·； =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点 1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神． 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式3课时 21．2 二次根式的乘法3课时 21．3 二次根式的加减3课时 教学活动、习题课、小结2课时

沪科版数学 九年级下册 -圆 讲义

圆 考点1：圆以及与圆有关的概念 考点2：圆的性质定理垂径定理 圆周角定理 切线长定理 三角形的内切圆和外接圆 圆的内接多边形定理 圆 相离 考点3：与圆有关的位置关系外切 相交 内切 内含 考点4：与圆有关的计算弧长，扇形面积的计算 圆柱，圆锥相关计算 考点一：圆以及与圆有关的概念 【笔记】知识点一圆的定义

（1）在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段叫做半径； （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 知识点二与圆有关的概念 （1）半径：圆心到圆周的距离；直径：经过圆心的弦叫做直径。直径是半径的2倍。（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。弦心距：从圆心到弦的距离叫圆心距。 （3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧．都叫做半圆。 等弧 ．．：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。 （4）圆周角：顶点在圆周上，两条边都与圆相交的角。 （5）圆心角：顶点在圆心上，以半径为两条边的角。 （6）切线：直线和圆有唯一公共点时，这条直线是圆的切线。在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （7）弓形：由弦及其所对的弧 ．．．．．．组成的图形叫做弓形。（一弦对两弧） （8）同心圆：圆心相同，半径不相等 ．．．．．的两个圆叫做同心圆。 【例1】下列判断中正确的是( ) A. 长度相等的弧是等弧 B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【答案】C 【例2】下列说法中：(1)圆心角相等，所对的弦相等。(2)过圆心的线段是直径。(3)长度相等的弧是等弧。(4)弧是半圆。(5)三点确定一个圆。(6)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。(7)弦的垂直平分线必经过圆心正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【例3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心， CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为() A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°

精品 九年级数学上册 圆的基本性质讲义+同步练习题

圆的基本性质 知识点 圆的定义 几何定义：线段OA，绕O点旋转一周得到的图形，叫做圆。其中，O为圆心，OA为半径。 集合定义：到定点等于定长的所有点的集合。其中，定点为圆心，定长为半径。 圆的书写格式： 圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 与圆有关的线段 半径：圆上一点与圆心的连线段。确定一个圆的要素是圆心和半径。 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。 弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 劣弧：小于半圆周的圆弧叫做劣弧。表示方法： 优弧：大于半圆周的圆弧叫做优弧。表示方法： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 注意：同弧或等弧对应的弦相等。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意:定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧. 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 在下列五个条件中:①CD是直径;②CD⊥AB;③AM=BM;④AC=BC;⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. 注意：(1)在圆中，与已知弦（非直径）相等的弦共有条；共端点且相等的弦共有条。 （2）在圆中，与已知弦（非直径）平行的弦共有条；平行且相等的弦共有条。 例1.如图：OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD=BC.

精品 2014年九年级数学圆的基本性质 圆周角圆心角讲义+同步练习题

九年级数学 圆周角 圆心角 知识点： 圆心角： 弧度： 圆周角： 圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。 例1.如图，已知P 是O 外任意一点，过点P 作直线PAB ，PCD ，分别交O 于点A ，C ，D ． 求证：1 2 P ∠= （BD 的度数AC -的度数）． 例2.如图①，点A 、B 、C 在⊙O 上，连结OC 、OB ： ⑴ 求证：∠A=∠B+∠C ；⑵ 若点A 在如图②的位置，以上结论仍成立吗？说明理由。 例3.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=300 ,求弦DC 的长. 30? D C B A O

例4.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO=∠BCD ；（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 例5.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD. (1)P 是CAD 上一点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的大小关系, 并说明理由. (2)点P / 在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP / D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论. D C B P A O 例6.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC 的长. D C B A O 例7.如图所示，在△ABC 中，∠BAC 与∠ABC 的平分线AE 、BE 相交于点E ，延长AE 交△ABC 的外接圆于 D 点，连接BD 、CD 、C E ，且∠BDA=600 . (1)求证△BDE 是等边三角形；(2) 若∠BDC=1200 ，猜想BDCE 是怎样的四边形，并证明你的猜想。

人教版九年级数学上培优讲义精编

一元二次方程 概念、解法、根的判别式（讲义） 一、知识点睛 1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成 _______________（____________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 思考次序：______________、__________、_______________． 2. 我们把____________________（____________________）称为一元二次方程 的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数． 3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要 解法有：________________，________________，_____________，_____________等． 4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是_____________； 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根． 5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此 _________被称作根的判别式，用符号记作_________；当__________时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，方程有两个相等的实数根（有一个解）； 当__________时，方程没有实数根（无根或无解）． 二、精讲精练 1. 下列方程：①3157x x +=+；② 21 10x x +-=； ③2 5ax bx -=（a ，b 为常数）；④322 =-m m ；⑤2 02 y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________． 2. 方程221x =-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是 ______． 3. 若关于x 的方程2 1(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为 ___________．

人教版数学九年级上册 课程讲义第二十一章：21.2 解一元二次方程-解析版

解一元二次方程 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础一般 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是一元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法，为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。 知识梳理 讲解用时：30分钟

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．无实数根 【答案】D 【解析】考查了直接开平方法解一元二次方程， 由原方程得到：（x﹣2019）2=﹣2019， ①（x﹣2019）2≥0， ﹣2019＜0，①该方程无解，故选：D. 讲解用时：2分钟 解题思路：先移项，然后利用直接开平方法解方程。 教学建议：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：余干县校级期末年份：2019秋【练习1】 已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须（）。 A．n=0 B．mn同号C．n是m的整数倍D．mn异号【答案】D 【解析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，

n， mx2+n=0，则mx2=﹣n，即x2=﹣ m ①x2≥0，m≠0，①mn异号，故选：D. 讲解用时：2分钟 n，再解题思路：由mx2+n=0移项得mx2=﹣n，再两边同时除以m，可得x2=﹣ m 根据偶次幂的非负性可得mn异号。 教学建议：解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解。 难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：海原县校级期中年份：2019秋【例题2】 在实数范围内定义运算“①”，其规则为a①b=a2﹣b2，则方程（4①3）①x=13的根为。 【答案】x1=6，x2=﹣6 【解析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程， 根据新定义可以列方程： （42﹣32）①x=13，则72﹣x2=13， ∴49﹣x2=13，则x2=36， ①x1=6，x2=﹣6，故答案为：x1=6，x2=﹣6.

初三数学圆的经典讲义

圆 目录 一．圆的定义及相关概念 二．垂经定理及其推论 三．圆周角与圆心角 四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形 六．会用切线 , 能证切线 七．切线长定理 八．三角形的内切圆 九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系 十一．圆的有关计算 十二．圆的基础综合测试 十三．圆的终极综合测试

一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）

固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。

考点5 点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆内? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

新人教版九年级数学讲义

义务教育课程标准人教版 数学讲义 九年级上册 2015—2016学年度第一学期

2010—2011学年度第一学期九年级数学教学进度表 说明：2011年1月22日（农历十二月十九日，星期六）寒假开始，2月12日（农历正月初十日，星期六）寒假结束。2011年2月13日（农历正月十一日，星期日）春季开学，2月14日（农历正月十二日，星期一）正式上课，共21周。

目录 第二十一章二次根式 21.1二次根式 (1) 21.2二次根式的乘除（第1课时） (3) 21.2二次根式的乘除（第2课时） (5) 21.2二次根式的加减（第1课时） (7) 21.2二次根式的加减（第2课时） (9) 小结 (11) 第二十二章一元二次方程 22.1 一元二次方程 (13) 22.2.1配方法(第1课时) (15) 22.2.1配方法(第2课时) (17) 22.2.1公式法 (19) 22.2.3因式分解法 (21) 22.2.4 一元二次方程的根与系数关系 (23) 22.3 实际问题与一元二次方程（第1课时） (25) 22.3 实际问题与一元二次方程（第2课时） (27) 小结 (29) 第二十三章旋转 23.1 图形的旋转(1) (33) 23.1 图形的旋转(2) (36) 23.1 图形的旋转(3) (39) 23.2.1中心对称(1) (42) 23.2.1中心对称(2) (45) 23.2.1中心对称(3) (48) 22.2 中心对称图形，关于原点对称的点的坐标 (51) 23.3 课题学习图案设计 (55) 小结 (57)

第二十四章圆 24.1.1 圆 (59) 24．1．2 垂直于弦的直径 (62) 24．1．3 弧、弦、圆心角 (66) 24.1.4 圆周角 (70) 24.2.2 直线和圆的位置关系 (77) 24.2.3 圆和圆的位置关系 (80) 24．3 正多边形和圆 (85) 24.4圆锥的侧面积和全面积 (90) 小结 (93) 第二十五章概率 25.1.1随机事件(第一课时) (96) 25.1.1 随机事件（第二课时） (98) 25.1.2 概率的意义 (100) 25.2 用列举法求概率(第一课时) (104) 25.2 用列举法求概率(第二课时) (107) 25.2 用列举法求概率(第三课时) (109) 25.3.1利用频率估计概率 (111) 25.3.2利用频率估计概率 (113) 25.4课题学习键盘上字母的排列规律 (115) 小结 (117)

第24章圆第10课时弧长和扇形面积-人教版九年级数学上册讲义(机构专用)

人教版九年级数学上册讲义 第二十四章圆 第10课时弧长和扇形面积 教学目的掌握运用扇形面积公式进行一些有关的计算． 教学重点掌握运用扇形面积公式进行一些有关的计算． 教学内容 知识要点 1．弧长的计算公式 公式：(n°表示圆心角的度数，R为半径)． 2．扇形的面积公式 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．计算公式：(1)S扇形＝(n°表示圆心角的度数，R为半径)； (2)S扇形＝(其中l为扇形的弧长，R为半径)． 对应练习 1．半径为8cm的圆中，72°的圆心角所对的弧长为______； 2．半径为5cm的圆中，若扇形面积为 2 cm 3 π 25 ，则它的圆心角为______． 3．若半径为6cm的圆中，扇形面积为9πcm2，则它的弧长为______． 4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( )． A． π 4 25 B． π 8 25 C． π 16 25 D． π 32 25

5．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为( )． A ．2 πcm 100 B ．2 πcm 3400 C ．2 πcm 800 D ．2 πcm 3800 6．如图，△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ， 点P 是⊙A 上一点，且∠EPF=40°，则圆中阴影部分的面积是( )． A ． 9π4- B ． 9π84- C ．94π 8- D ． 98π 8- 7．已知：如图，在边长为a 的正△ABC 中，分别以A ，B ，C 点为圆心，a 21长为半径作 ，，，求阴影部分的面积． 8．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，,34=BC 以A 点为圆心，AC 长为半径作，求∠ B 与 围成的阴影部分的面积． 课堂总结 扇形面积有关的计算主要是要灵活运用公式转换圆心角、半径、弧的表示方法 不规则面积解题思路：把不规则图形面积转换成几个规则图形面积的和或者差 课后练习

人教版九年级上册数学 讲义 二次函数的图像与性质

第三讲二次函数的图像与性质 一、知识点梳理： 2、函数性质（函数增减性）：当a>0时，且x>h，y随x的增大而增大（对称轴右边的图象从左自右上升），当xh，y随x的增大而减小（对称轴右边的图象从左自右下降），当x

人教版 九年级数学 圆及其基本性质讲义 (含解析)

第8讲圆及其基本性质 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习圆及其基本性质，重点掌握圆的有关概念，能够对相关概念进行辨析，其次理解与圆有关的性质、定理及其推论，着重学习圆心角与弧、弦的关系以及圆周角定理，能够利用相关定理及推论进行解题，本章是中考重点内容之一，也是历年常考难点知识点之一，希望同学们认真学习，为后面的学习奠定良好的基础。 知识梳理 讲解用时：25分钟 圆的相关概念 （1）圆的定义 ①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个 端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做 半径，以O点为圆心的圆，记作“①O”，读作“圆O”； ①圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）半径：联结圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径； （3）直径：经过圆心，并与圆两端相交的线段叫做圆的直径； （4）圆心角：以圆心为顶点并且两边都和圆相交的角叫做圆心角； （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角； （6）弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧； （7）半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫 做半圆； （8）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

课堂精讲精练 【例题1】 下列说法错误的是（）。 A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧 C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧 【答案】B 【解析】本题考查了与圆有关的概念， A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误； C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确； D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确，故选：B． 讲解用时：3分钟 解题思路：根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；根据半圆和等弧的定义对D进行判断。 教学建议：基础概念题，必须熟练掌握。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：江阴市期末年份：2017 【练习1】 下列说法正确的是（）。 A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆 C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等【答案】B 【解析】本题考查了与圆有关的概念， A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误； B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确； C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误； D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误，故选：B．

人教版 九年级数学 实际问题与一元二次方程讲义 (含解析)

第3讲实际问题与一元二次方程 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们重点学习根与系数的关系以及一元二次方程在实际问题中的应用，能够熟练使用根与系数的关系进行代数式的求解，对常见的一元二次方程的应用有一定的了解，本节课的难点在于实际问题中的一元二次方程的构造，是中学阶段关于应用题部分常考的一个知识点，希望同学们认真学习，为后面的二次函数的学习奠定良好的基础。 知识梳理 讲解用时：25分钟 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况， 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系： △当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； △当△=0时，方程有两个相等的两个实数根； △当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立。

课堂精讲精练 【例题1】 已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n-3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，则x1x2=。 【答案】﹣1 【解析】本题主要考查了根与系数的关系， △x1，x2是关于x的方程x2+nx+n﹣3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2， △﹣n=﹣2，即n=2，△x1x2=n﹣3=2﹣3=﹣1． 讲解用时：2分钟 解题思路：利用根与系数的关系求出n的值，再利用利用根与系数的关系求出两根之积即可。 教学建议：熟练运用根与系数的关系。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：潜江模拟年份：2018 【练习1】 设x1、x2是方程x2-x-2017=0的两实数根，则x12+x1x2+x2-2=。 【答案】﹣1 【解析】本题主要考查了根与系数的关系， △x1、x2是方程x2﹣x﹣2017=0的两实数根， △x12﹣x1﹣2017=0，x1+x2=1，x1?x2=﹣2017， △x12=x1+2017， △x12+x1x2+x2﹣2 =x1+2017+x1x2+x2﹣2 =x1+x2+x1x2+2015 =1﹣2017+2015 =﹣1．

人教版 九年级数学讲义 与圆有关的位置关系(含解析)

第12讲与圆有关的位置关系 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础一般 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定定理以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。 知识梳理 讲解用时：30分钟 与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d， 则有： ⊙点P在圆外⊙d＞r ⊙点P在圆上⊙d=r ⊙点P在圆内⊙d＜r 注意： 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆 心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。

课堂精讲精练 【例题1】 到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）。 A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆 【答案】D 【解析】此题考查圆的认识以及点与圆的位置关系， 根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合； 圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合； 所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）， 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：根据圆是到定点距离等于定长的点的集合以及点和圆的位置关系即可解决。 教学建议：理解圆上的点、圆内的点和圆外的点所满足的条件。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：盱眙县校级月考年份：2016秋 【练习1】 关于半径为5的圆，下列说法正确的是（）。 A．若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外 B．若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5 C．圆上任意两点之间的线段长度不大于10 D．圆上任意两点之间的部分可以大于10π 【答案】C 【解析】此题主要考查了点与圆的位置关系以及弦长概念， A、关于半径为5的圆，有一点到圆心的距离为5，则该点在圆上，故此选项错误； B、关于半径为5的圆，若有一点在圆外，则该点到圆心的距离大于5，故此选

人教版本初中九年级的数学上册的讲义全册.docx

人教版九年级数学上册讲义( 全册 ) 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的 ,它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （ 2）理解 a （a≥0）是一个非负数,（ a ）2=a（a≥0）,a2=a（a≥0）． （ 3）掌握 a · b ＝ab （a≥0,b≥0）,ab = a · b ； a =a （a≥0,b>0）, a = a （a≥0,b>0）． b b b b （ 4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题 ,让学生探讨、分析问题 ,师生共同归纳 ,得出概念． ?再对概念的内涵进行分析 ,得出几个重要结论 ,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． （2）用具体数据探究规律 ,用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定,?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维 ,?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果 ,抓住它们的共同特点 ,?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念 ,来对相同的二次根式进行合并 ,达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点 1．二次根式a（ a≥0）的内涵．a（ a≥ 0）是一个非负数；（a）2＝ a（ a≥ 0）；a2 =a（ a≥ 0） ? 及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对 a （a≥0）是一个非负数的理解；对等式（ a ）2＝a（a≥0）及a2=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力,突出重点 ,突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力,?培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分