高一数学一元二次不等式解法经典例题
知识改变命运
例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01
a
[ ]
A a x
B x a
．＜＜
．＜＜1
1
a a
C x a
D x x a
．＞或＜．＜或＞x a
a
1
1
分析比较与的大小后写出答案． a 1
a
解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．
选．
0a 1a a x A 11
a a
例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6
分析 求算术根，被开方数必须是非负数．
解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．
例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．
分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．
解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知
知识改变命运
-=-+=-=-=-??
?????b
a
a ()()1211122×得 a
b =
=-121
2
，． 例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)
(4)3x 2-+--+-3132
511
3
12
2x x x x x x ＞＞()()
分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．
答 (1){x|x ＜2或x ＞4}
(2){x|1x }≤≤3
2
(3)?
(4)R (5)R
说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．
例不等式＋＞的解集为5 1x 1
1-x
[ ]
A ．{x|x ＞0}
知识改变命运
B ．{x|x ≥1}
C ．{x|x ＞1}
D ．{x|x ＞1或x ＝0}
分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．
解不等式化为＋－
＞，通分得＞，即＞，
1x 0001
11122
----x
x x x x
∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．
说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．
例与不等式
≥同解的不等式是6 0x x
--3
2 [ ]
A ．(x －3)(2－x)≥0
B ．0＜x －2≤1
C ．
≥23
0--x
x D ．(x －3)(2－x)≤0
解法一原不等式的同解不等式组为≥，
≠．
()()x x x ---???32020
故排除A 、C 、D ，选B ．
解法二≥化为＝或－－＞即＜≤ x 3
20x 3(x 3)(2x)02x 3--x
两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”．
知识改变命运
例不等式
＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax
x -1
[ ]
A a
B a
C a
D a ．＜
．＞
．＝
．＝－
1
21
21
2
1
2
分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-11
1
[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}
可知－＜，即＜，且－
＝，∴＝．a 10a 12a 1112
a - 答 选C ．
说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．
例解不等式
≥．8 237
23
2x x x -+-
解 先将原不等式转化为
37
23
202x x x -+--≥
即≥，所以≤．
由于＋＋＝＋＋＞，
---+-+++-21232123
147
8
2222x x x x x x x x 002x x 12(x )022
∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0， 即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝．
说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．
例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a
知识改变命运
＋2
≤，若，求的范围．0}B A a ?
分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关
系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ?
解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)
(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得??
4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．
(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：? 应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12?
12a 12042a 4a 2014
12a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a
--?
????
??22187
综上所述得的范围为－＜≤
．a 1a 18
7
说明：二次函数问题可以借助它的图像求解． 例10 解关于x 的不等式
知识改变命运
(x －2)(ax －2)＞0．
分析 不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论． 解 1° 当a ＝0时，原不等式化为 x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；
2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解
集为
22
a a
{x|2
a
x 2}＜＜； 3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解
集为
22
a a
{x|x 2x }＜或＞；2
a
4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；
5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解
集是
22
a a
{x|x x 2}＜或＞．2
a
从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；
a 0{x|2
a
x 2＜时，＜＜｝；
0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2
a
a ＝1时，{x|x ≠2}；
a 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2
a
知识改变命运
说明：讨论时分类要合理，不添不漏．
例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．
分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：
解法一 由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：
－＝α＋β，＝α·β．b
a
c a
??
????? 即＝－α＋β＜，＝α·β＞．b
a c a
()00??????? ∵a ＜0，∴b ＞0，c ＜0．
又
×，b a a c b c
= ∴
＝－α＋β①
由＝α·β，∴＝α·β②
b c c a a c (1)111
对＋＋＜化为＋
＋＞，cx bx a 0x x 022b c a
c
由①②得
α，β是＋＋＝两个根且α＞β
＞，1111
x x 002b c a c ∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β
．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11
解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程．
知识改变命运
且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，
∴＋＋＜的解集为＞
α或＜β
．cx bx a 0{x|x x } 211
说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．
例解关于的不等式：
＜－∈．12 x 1a(a R)x
x -1
分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．
解原不等式变为
－－＜，即＜， (1a)00x x ax a x -+--111
进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0． (1)当a ＞0时，不等式化为
(x )(x 1)01{x|a 1
a x 1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；
a a a a ---11
(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；
(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－
·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．
a a a a
a a
---11
1
综上所述，原不等式解集为：
当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|a 1
a
x 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a
1
例13 (2001年全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________．
分析 可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元
知识改变命运
二次不等式．
由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)
答 填{x|x ＜－1或x ＞4}．
例14 (1998年上海高考题)设全集U ＝R ，A ＝{x|x 2－5x －6＞0}，B ＝{x||x －5|＜a}(a 是常数)，且11∈B ，则
[ ]
A ．(
U
A)∩B ＝R
B ．A ∪(U
B)＝R
C ．(
U
A)∪(U
B)＝R
D ．A ∪B ＝R
分析 由x 2－5x －6＞0得x ＜－1或x ＞6，即
A ＝{x|x ＜－1或x ＞6}由|x －5|＜a 得5－a ＜x ＜5＋a ，即
B ＝{x|5－a ＜x ＜5＋a} ∵11∈B ，∴|11－5|＜a 得a ＞6 ∴5－a ＜－1，5＋a ＞11 ∴A ∪B ＝R ． 答 选D ．
说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查 高者未必贤，下者未必愚
基本不等式经典例题精讲
新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式） 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜3 1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1［ 2) 31(3x x -+］2= 12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x= 6 1时，等号成 立.∴x= 6 1时，函数取得最大值 12 1 . 解法二：∵0＜x ＜3 1,∴ 3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3［ 23 1x x -+ ］2= 12 1，当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时，等号成立. ∴x= 6 1时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1? =2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+ x 1=-［(-x)+ ) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数.
(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)
初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7． 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值
高一数学集合练习题及答案-经典
升腾教育高一数学 满分150分 姓名 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-，B=} { 2 20x x ax b -+=，若B ≠?，且A B A ?= 求实数 a ， b 的值。
初中数学 一元二次不等式解法
2.3.2 一元二次不等式解法 二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知 当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0； 当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0； 当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0． 这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么一元二次方程 x2－x－6＝0 的解就是 x1＝－2，x2＝3； 同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到 一元二次不等式 x2－x－6＞0 的解是 x＜－2，或x＞3； 一元二次不等式 x2－x－6＜0 的解是
－2＜x＜3． 上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集． 那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解． 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解． （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知 不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x＜x1，或x＞x2； 不等式ax2＋bx＋c＜0的解为 x1＜x＜x2． （2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c ＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－b 2a，由图2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x≠－b 2a； 不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
基本不等式练习题及标准答案
基本不等式练习题及答案
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双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ．
高考不等式经典例题
高考不等式经典例题 【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )， 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组 成多少个正确命题？ 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0，
高一数学圆的方程经典例题
典型例题一 例1圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x上到直线0 11 4 3= - +y x的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线 1 l、 2 l的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x的圆心为)3,3( 1 O，半径3 = r． 设圆心 1 O到直线0 11 4 3= - +y x的距离为d，则3 2 4 3 11 3 4 3 3 2 2 < = + - ? + ? = d． 如图，在圆心 1 O同侧，与直线0 11 4 3= - +y x平行且距离为1的直线 1 l与圆有两个交点， 这两个交点符合题意． 又1 2 3= - = -d r． ∴与直线0 11 4 3= - +y x平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线0 11 4 3= - +y x，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为0 4 3= + +m y x，则1 4 3 11 2 2 = + + = m d， ∴5 11± = + m，即6 - = m，或16 - = m，也即 6 4 3 1 = - +y x l：，或0 16 4 3 2 = - +y x l：． 设圆9 )3 ( )3 (2 2 1 = - + -y x O：的圆心到直线 1 l、 2 l的距离为 1 d、 2 d，则 3 4 3 6 3 4 3 3 2 2 1 = + - ? + ? = d，1 4 3 16 3 4 3 3 2 2 2 = + - ? + ? = d． ∴ 1 l与 1 O相切，与圆 1 O有一个公共点； 2 l与圆 1 O相交，与圆 1 O有两个公共点．即符合 题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)
基本不等式 一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二．考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定 三相等 一正： 指的是注意,a b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题： 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞
例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥， 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内 解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。
高一数学集合典型例题、经典例题
《集合》常考题型 题型一、集合元素的意义+互异性 例.设集合 ｛0｝ 例.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________ 解：∵A∩B＝{2，5}，∴5∈A. ∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2. ①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去． ②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去． ③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}． 题型二、空集的特殊性 例.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且BA ， 则实数m 的取值范围为_____________ 例.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{} 0≥=x x B ，且φ=B A I ， 求实数a 的取值范围。 解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=ΦI ； ②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=ΦQ I ，A ∴=Φ或关于x 的方程2 10ax x ++=的根均为负数. （1）当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根， 140a ?=-<，所以14a > . （2）当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时， 12121401010a x x a x x a ???=-≥??+=-?? 140a a ?≤?????>?104a <≤. 综上所述，实数a 的取值范围为{0}a a ≥. 题型三、集和的运算 例.设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a 如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解：对于高中“解一元二次不等式”这一块， 通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零， 等价于以下两个不等式组： （1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方， 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会：以上三种解法，都是死板板地去解； 至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)， 显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时， 图像在x 轴的上方； 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0， 即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。 领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。 无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。 5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新???? 一．不等式的性质： 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 三．重要不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 (2 22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取等号）； 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号； 变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 函 数 练 习 题 班级 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，数m 的取值围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y =⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； 一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范. 均值不等式应用（技巧）技巧一：凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 （x > 3）的最小值 2、已知x > 3 2 ，求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ，求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二：凑系数 4、当0 < x < 4时，求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时，求y = 4x(3 - 2x)的最大值，并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时，求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时，求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三：分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 （x > -1）的值域； 9、求y = x2 + 3x + 1 x （x > 0） 的值域 10、已知x > 2，求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c，求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1，求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四：应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2，则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2，求1 x + 1 y 的最小值，并求x、y的值。 技巧六：整体代换 16、已知x > 0，y > 0，且1 x + 9 y = 1，求x + y的最小值。 17、若x、y∈R+且2x + y = 1，求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a，b，x，y∈R+ 且a x + b y = 1，求x + y的最小值。 19、已知正实数x，y满足2x + y = 1，求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x，y，z满足x + y + z = 1，求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七：取平方 21、已知x，y为正实数，且x2 + y2 2 = 1，求x 1 + y2的最大值。 22、已知x，y为正实数，3x + 2y = 10，求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x（1 2 < x < 5 2 ）的最大值。 技巧八：已知条件既有和又有积，放缩后解不等式 24、已知a，b为正实数，2b + ab + a = 30，求函数y = 1 ab 的最小值。 全方位教学辅导教案 例1：(2)1 2,33 y x x x =+>-。 变式：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值 。 技巧二：凑系数 例1.当 时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此 题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将 (82)y x x =-凑上一个系数即可。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：1、设2 3 0< 新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) ? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点， 记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度 的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 基本不等式专题 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当 b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 第9课基本不等式 ◇考纲解读 ①了解基本不等式的证明过程． ②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． ◇知识梳理 1．常用的基本不等式和重要的不等式 ①0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当，②22,______,2a b a b ab ∈+≥则 ③,_____a b ∈，则ab b a 2≥+，④222)2 (2b a b a +≤+ 2．最值定理:设,0,x y x y >+≥由 ①如积(xy P x y =+定值），则积有______②如积2(2S x y S x y += 定值），则积有______（） 运用最值定理求最值的三要素： ________________________________________________ ◇基础训练 1．若1a b +=，恒有 （） A ．41 ≤ab B ．41≥ab C ．1622≤b a D ．以上均不正确 2．当1 2x >时，821 y x x =+-的最小值为. 3．已知01x <<，则(12)y x x =-的最大值为. 4．实数,a b 满足22a b +=，则39a b +的最小值为. ◇典型例题 例1．求函数(5)(2)(1)1x x y x x ++= >-+的最小值. 例2．已知+∈R b a ,，且191,a b +=求a b +最小值. ◇能力提升 1．若+∈R b a ,，1)(=+-b a ab ，则b a +的最小值是（） A ．222+ B.25+ C.222- D.22 2.下列命题中正确的是() A .x x y 1+=的最小值是2 B .2 322++=x x y 的最小值是2 C .45 22++=x x y 的最小值是25D .x x y 432--=的最大值是342- 3.若+∈R b a ,满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是________________. 4.若1x >时，不等式11x a x + ≥-恒成立，则实数a 的取值范围是____________. 5.若(4,1)x ∈-,求2221 x x x -+-的最大值.如何解一元二次不等式
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