北师大数学选修22新素养应用案巩固提升：第五章 2.1 复数的加法与减法 2.2 复数的乘法与除法
[A 基础达标]
1．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( ) A ．1－3i B ．－2＋11i C ．－2＋i
D ．5＋5i
解析：选D.因为z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ， 所以z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i ， 又因为f (z )＝z ，
所以f (z 1－z 2)＝z 1－z 2＝5＋5i. 2．复数(3i －1)·i 的虚部是( ) A ．－1 B ．－3 C ．3
D ．1 解析：选A.(3i －1)·i ＝3i 2－i ＝－3－i ， 所以虚部为－1.故选A. 3．复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝( )
A ．－12－12i
B ．－12＋1
2i
C.12－12
i D.12＋12i 解析：选C.因为i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1， 所以i 2＋i 3＋i 41－i ＝－i 1－i
＝－i （1＋i ）2＝12－12i.
4．已知a ，b ∈R ，则(a ＋b i)(a －b i)(－a ＋b i)(－a －b i)等于( ) A ．(a 2＋b 2)2 B ．(a 2－b 2)2 C ．a 2＋b 2
D ．a 2－b 2 解析：选A.(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2，(－a ＋b i)(－a －b i)＝(－a )2＋b 2＝a 2＋b 2， 所以(a ＋b i)(a －b i)(－a ＋b i)(－a －b i)＝(a 2＋b 2)2.
5．设z 的共轭复数是z －，若z ＋z －＝4，z ·z －
＝8，则z －z 等于( )
A ．i
B ．－i
C ．±1
D ．±i
解析：选D.令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )则
???
??2x ＝4，x 2＋y 2＝8，得?????x ＝2，y ＝2或?????x ＝2，
y ＝－2.
不难得出z
－
z
＝±i ，故选D.
6．已知a 是实数，a ＋i
1－i
是纯虚数，则a 等于________．
解析：a ＋i 1－i
＝（a ＋i ）（1＋i ）2＝（a －1）＋（a ＋1）i 2是纯虚数，
则?????a －1＝0，
a ＋1≠0，
故a ＝1. 答案：1
7．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________． 解析：因为z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ，
所以?????x ＋3＝5，2－y ＝－6，即?????x ＝2，y ＝8.
所以z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，
所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 答案：－1＋10i
8．若z ＝－1－i 2，则z 2 016＋z 102＝________．
解析：z 2＝
?
????－1－i 22＝－i.
z 2 016＋z 102＝(－i)1 008＋(－i)51 ＝(－i)1 008＋(－i)48·(－i)3 ＝1＋i. 答案：1＋i
9．计算：(1)? ?
???1＋i 24n ＋? ??
??1－i 24n (n 是奇数)；
(2)（2＋2i ）3（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）
.
解：(1)? ????1＋i 24n ＋? ????1－i 24n
＝??????? ????1＋i 222n ＋????
??? ????1－i 222n
＝i 2n ＋(－i)2n ＝(－1)n ＋(－1)n ＝－2.
(2)（2＋2i ）3（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）
＝22（1＋i ）3（5－4i ）i （5－4i ）（1－i ）
＝22（1＋i ）4i 2＝2i(1＋i)4＝2i[(1＋i)2]2
＝2i(2i)2＝－42i.
10．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)． (1)求b ，c 的值；
(2)试说明1－i 也是方程的根吗？
解：(1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， 所以(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0， 即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.
所以?
????b ＋c ＝0，2＋b ＝0，得?????b ＝－2，c ＝2.
(2)由(1)得方程为x 2－2x ＋2＝0.
把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，所以1－i 也是方程的一个根．
[B 能力提升]
11．若? ????1＋i 1－i n ＋? ??
??1－i 1＋i n
＝2，n ∈N ＋
，则n 的值可能为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选A.因为1＋i 1－i ＝i ，1－i
1＋i
＝－i ，
所以i n
＋(－i)n
＝?????2，n ＝4k ，
0，n ＝4k ＋1，
－2，n ＝4k ＋2，0，n ＝4k ＋3
(k ∈N ＋
)，
所以n 的值可能为4. 12．已知z 1＝3
2
a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33
b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________．
解析：由条件，知z 1－z 2＝3
2
a ＋(a ＋1)i － [－33
b ＋(b ＋2)i]＝
3
2
a ＋33
b ＋(a －b －1)i ＝4 3. 所以?????32a ＋33b ＝43，
a －
b －1＝0.
所以?
????a ＝2，b ＝1.所以a ＋b ＝3.
答案：3
13．已知f (z )＝|1＋z |－z －
，且f (－z )＝10＋3i ，求复数z . 解：因为f (z )＝|1＋z |－z －
，
所以f (－z )＝|1－z |－(－z －
)＝10＋3i ， 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则|1－x －y i|＋x －y i ＝10＋3i ，
所以?????（1－x ）2＋（－y ）2＋x ＝10，－y ＝3，
所以?????x ＝5，y ＝－3，
所以z＝5－3i.
14．(选做题)已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋a i，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
解：(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，
所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应的向量为(－2，4＋a)，其模为4＋（4＋a）2＝20＋8a＋a2.
又复数z对应的向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得，20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，即－8≤a≤0，所以，实数a的取值范围是[－8，0]．