2017 年高考数学空间几何高考真题
一.选择题(共9 小题)
1.如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB 与平面MNQ 不平行的是()
A.B.C.D.
2.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()
A.πB.C.D.
3.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E 为棱CD 的中点,则()
A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC
4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()
A.60 B.30 C.20 D.10
5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm2)
是()
A.+1 B.+3 C.+1 D.+3
6.如图,已知正四面体D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R 分别为AB、BC、CA 上的点,AP=PB,==2,分别记二面角D﹣PR﹣Q,D﹣PQ﹣R,D﹣QR﹣P 的平面角
为α、β、γ,则()
A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,
该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()
A.90π B.63π C.42π D.36π
1.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()
A.10 B.12 C.14 D.16
2.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
二.填空题(共5 小题)
8.已知三棱锥S﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC 的体积为9,则球O 的表面积为
.9.长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为.10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.
11.由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.
12.如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O 的体积为V2,则的值是.
三.解答题(共9 小题)
13.如图,在四棱锥P﹣ABCD 中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P﹣ABCD 的体积为,求该四棱锥的侧面积.
14.如图,四棱锥P﹣ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,
AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)证明:直线BC∥平面PAD;
(2)若△PCD 面积为2,求四棱锥P﹣ABCD 的体积.
15.如图四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD=CD.
(1)证明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD 是直角三角形,AB=BD,若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且
AE⊥ EC,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.
16.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB 和AC 的长分别为4 和2,侧棱AA1的长为5.
(1)求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积;
(2)设M 是BC 中点,求直线A1M 与平面ABC 所成角的大小.
17.如图,在三棱锥P﹣ABC 中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D 为线段AC 的中点,E 为线段PC 上一点.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE 时,求三棱锥E﹣BCD 的体积.
18.如图,在四棱锥P﹣ABCD 中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(Ⅰ)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值;
(Ⅱ)求证:PD⊥平面PBC;
(Ⅲ)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.
19.如图,已知四棱锥P﹣ABCD,△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E 为PD 的中点.
(Ⅰ)证明:CE∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.
20.由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示,四
边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A1E⊥平面ABCD,(Ⅰ)证明:A1O∥平面B1CD1;
(Ⅱ)设M 是OD 的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
21.如图,在三棱锥A﹣BCD 中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E 与A、D 不重合)分别在棱AD,BD 上,且
EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
3.如图,在四棱锥P﹣ABCD 中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C 的余弦值.
4.如图,四棱锥P﹣ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°,E 是PD 的中点.
(1)证明:直线CE∥平面PAB;
(2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°,求二面角M﹣AB﹣D 的余弦值.
5.如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC 的平面交BD 于点E,若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两
部分,求二面角D﹣AE﹣C 的余弦值.
6.如图,在四棱锥P﹣ABCD 中,底面ABCD 为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,
点M 在线段PB 上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(1)求证:M 为PB 的中点;
(2)求二面角B﹣PD﹣A 的大小;
(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值.
7.如图,在三棱锥P﹣ABC 中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N 分别为
棱PA,PC,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N 的正弦值;
(Ⅲ)已知点H 在棱PA 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为,求线段AH 的长.
8.如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G 是的中点.
(Ⅰ)设P 是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP 的大小;
(Ⅱ)当AB=3,AD=2 时,求二面角E﹣AG﹣C 的大小.
2017 年高考数学空间几何高考真题
参考答案与试题解析
一.选择题(共7 小题)
1.如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB 与平面MNQ 不平行的是()
A.B.C.D.
【解答】解:对于选项B,由于AB∥MQ,结合线面平行判定定理可知B 不满足题意;
对于选项C,由于AB∥MQ,结合线面平行判定定理可知C 不满足题意;
对于选项D,由于AB∥NQ,结合线面平行判定定理可知D 不满足题意;
所以选项A 满足题意,
故选:A.
2.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()
A.πB.C.D.
【解答】解:∵圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上,
∴该圆柱底面圆周半径r= = ,
∴该圆柱的体积:V=Sh= =
.故选:B.
3.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E 为棱CD 的中点,则()
A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC
【解答】解:法一:连B1C,由题意得BC1⊥B1C,
∵A1B1⊥平面B1BCC1,且BC1?平面B1BCC1,
∴A1B1⊥BC1,
∵A1B1∩B1C=B1,
∴BC1⊥平面A1ECB1,
∵A1E?平面A1ECB1,
∴A1E⊥BC1.
故选:C.
法二:以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD1为z 轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,
则A1(2,0,2),E(0,1,0),B(2,2,0),D(0,0,0),C1(0,2,2),A(2,0,0),C (0,2,0),
=(﹣2,1,﹣2),=(0,2,2),=(﹣2,﹣2,0),
=(﹣2,0,2),=(﹣2,2,0),
∵?=﹣2,=2,=0,=6,
∴A1E⊥BC1.
故选:C.
4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()
A.60 B.30 C.20 D.10
【解答】解:由三视图可知:该几何体为三棱锥,
该三棱锥的体积==10.
故选:D.
5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm2)是()
A.+1 B.+3 C.+1 D.+3
【解答】解:由几何的三视图可知,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,
圆锥的底面圆的半径为1,三棱锥的底面是底边长 2 的等腰直角三角形,圆锥的高和棱锥的高相等均为3,
故该几何体的体积为××π×12×3+ ×× × ×3=+1,
故选:A
6.如图,已知正四面体D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R 分别为AB、BC、CA 上的点,AP=PB,==2,分别记二面角D﹣PR﹣Q,D﹣PQ﹣R,D﹣QR﹣P 的平面角
为α、β、γ,则()
A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α
【解答】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系.设底面△ABC 的中心为O.不妨设OP=3.则O(0,0,0),P(0,﹣3,0),C(0,﹣6,0),D(0,0,6),Q ,R ,
= ,=(0,3,6),=(,5,0),= ,= .
设平面PDR 的法向量为=(x,y,z),则,可得,
可得= ,取平面ABC 的法向量=(0,0,1).
则cos ==,取α=arccos
.同理可得:β=arccos.γ=arccos.
∵>>.
∴α<γ<β.
解法二:如图所示,连接O P,O Q,O R,过点O 分别作垂线:OE⊥PR,OF⊥PQ,OG⊥ QR,垂足分别为E,F,G,连接DE,DF,DG.
设
OD=h.则
tanα=.
同理可得:tanβ=,tanγ=.
由已知可得:OE>OG>OF.
∴tanα<tanγ<tanβ,α,β,γ 为锐角.
∴α<γ<
β.故选:
B.
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()
A.90π B.63π C.42π D.36π
【解答】解:由三视图可得,直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的
一半,
V=π?32×10﹣?π?32×6=63π,
故选:B.
1.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()
A.10 B.12 C.14 D.16
【解答】解:由三视图可画出直观图,
该立体图中只有两个相同的梯形的面,
S 梯形=×2×(2+4)=6,
∴这些梯形的面积之和为6×2=12,
故选:B
2.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
【解答】解:【解法一】如图所示,设M、N、P 分别为AB,BB1和B1C1的中点,则AB1、BC1夹角为MN 和NP 夹角或其补角
(因异面直线所成角为(0,]),
可知MN= AB1= ,
NP= BC1=;
作BC 中点Q,则△PQM 为直角三角形;
∵PQ=1,MQ= AC,
△ABC 中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC
=4+1﹣2×2×1×(﹣)
=7,
∴AC= ,
∴MQ=;
在△MQP 中,MP= =;
在△PMN 中,由余弦定理得
cos∠MNP== =﹣;
又异面直线所成角的范围是(0,],
∴AB1与BC1所成角的余弦值为.
∴cos∠BC1D= =.
【解法二】如图所示,
补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,求∠BC1D 即可;
BC1=,BD= =,
C1D= ,
∴+BD2= ,
∴∠DBC1=90°,
二.填空题(共5 小题)
8.已知三棱锥S﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC 的体积为9,则球O 的表面积为36π.【解答】解:三棱锥S﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径,
若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC 的体积为9,
可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形,设球的半径为r,
可得,解得r=3.
球O 的表面积为:
4πr2=36π.故答案为:36π.
9.长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为14π.
【解答】解:长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O 的球面上,可知长方体的对角线的长就是球的直径,
所以球的半径为:=.
则球O 的表面积为:4×
=14π.故答案为:14π.
10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.
【解答】解:设正方体的棱长为a,
∵这个正方体的表面积为18,
∴6a2=18,
则a2=3,即a=,
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上,
∴正方体的体对角线等于球的直径,
即a=2R,
即R=,
则球的体积V=π?()3=;
故答案为:.
1.由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为2+ .
【解答】解:由长方体长为2,宽为1,高为1,则长方体的体积V1=2×1×1=2,圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的体积V2=×π×12×1= ,
则该几何体的体积V=V1+2V1=2+,
故答案为:2+.
12.如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O 的体积为V2,则的值是.
【解答】解:设球的半径为R,则球的体积为:R3,
圆柱的体积为:πR2?2R=2πR3.
则= =
.故答案为:.
三.解答题(共9 小题)
13.如图,在四棱锥P﹣ABCD 中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.