2021届湖南宁远县一中高三下学期模拟考试数学(理)试卷
2021年湖南宁远县一中高三下学期模拟考试数学（理）试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合A ={x|x 2+x ?2>0},B ={y|y =log 2x},则(C R A)∩B =（ ）
A ．(?2,1)
B ．[?2,1]
C ．(?∞,?2)∪(1,+∞)
D ．(?2,1]
2．已知i 是虚数单位,复数z 满足111111z i i z
+-=+--,则z =（ ） A ．1 B
C
D ．2
3．下列函数中,可以是单调递增函数的为（ ）
A ．f(x)=(x ?a)|x|,a ≠0
B ．f(x)=x 2+ax +1,a ∈R
C ．f(x)=log 2(ax ?1),a ∈R
D ．f(x)=ax 2+cosx,a ∈R
4．当今人口政策受到人们的广泛关注,下表是某大学人口预测课题组通过研究预测的1564~岁人口所占比例的结果：
已知所占比例y 关于年份代号t 的线性回归方程为 1.?7y
t m =-+,则m =（ ） A ．67.8 B ．68 C ．68.5
D ．68.7 5．如图所示,该程序框图的功能是计算数列{}12
n -的前6项和,则判断框内应填入的条件
为（ ）
A ．5i >
B ．5i ≥
C ．6i >
D ．6i ≥
6．设,m n 是两条不同的直线, ,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）
A ．若,,m n αβαβ⊥??,则m n ⊥
B ．若,,m n αβαβ??,则m n
C ．若,,m n m n αβ⊥??,则αβ⊥
D ．若,,m n m n αβ⊥则αβ⊥
7．已知实数x,y 满足{x ≤1y ≥232x ?y ≥0
,则目标函数z =x +y 的最小值为（ ）
A ．12
B ．1
C ．13
D ．23 8．已知向量a ，b 的夹角为60，且1a =，2b =，则2(a b += )
A B C ．D ．9．已知函数f(x)=Asin(ωx +π
6)?1(A >0,ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距
离为π2,且f(π6)=1,则对于区间[0,π
2]内的任意实数x 1,x 2,f(x 1)?f(x 2)的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
10．设1F ，2F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右两个焦点，若双曲线右支上
存在一点P ，使()220OP OF F P +?=（O 为坐标原点），且12PF =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．12
B 1
C
D 1
11．已知某正三棱锥的三视图如图所示,则该正三棱锥的侧视图的面积为（ ）
A ．9√2
B ．9
C ．3√3
D ．2√6
12．曲线y =1
e x (e 为自然对数的底数）在点M(1,1e )处的切线l 与x 轴和y 轴所围成的三角形的面积为（ ）
A ．1e
B ．2e
C ．e
D ．2e
二、填空题
13．已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ,过点F 作倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A,B 两点,则
的值等于 ．
14．设ABC ?中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若
()3cos cos ,ABC b c A a C S ?-=则BA AC = ． 15．已知函数f(x)=xe x +x+2
e x +1+sinx ,则f(?4)+f(?3)+f(?2)+f(?1)+f(0)+
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值是 ．
16．若()6x a +的展开式中3x 的系数为160，则
1a a x dx ?的值为__________.
三、解答题
17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足
2123724,1,,n n a S n a a a +=++-恰为等比数列{}n b 的前3项. （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；
（2）若()21
11log n n n n n c b a a +=--,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 18．为了解游客对2021年“十一”小长假的旅游情况是否满意,某旅行社从年龄（单位: 岁）
[22,52]在内的游客中随机抽取了1000人,并且作出了各个年龄段的频率分布直方图如图所示,同时对这1000人的旅游结果满意情况进行统计得到下表:
（1）求统计表中m 和n 的值；
（2）从年龄在[42,52]内且对旅游结果满意的游客中,采用分层抽样的方法抽取10人,再从抽取的10人中随机抽取4人做进一步调查,记4人中年龄在[47,52]内的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.
19．如图,四棱锥P ABCD -中,平面PAC ⊥底面1,2,23
ABCD BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=.
（1）证明：AP BD ⊥； （2）若7,AP AP =与BC 7,求二面角A BP C --的余弦值. 20．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左 、右焦点分别为F 1,F 2,以F 1,F 2及椭圆的一
个短轴端点为顶点的三角形是等边三角形,椭圆的右顶点到右焦点的距离为1.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）如图,直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点M ，且交y 轴于点P ,过点M 作垂直于l 的直线交y 轴于点Q ,求证：
五点共圆. 21．已知函数()()()123,,ln x f x x f x e f x x ===.
（1）设函数()()()13h x mf x f x =-,若()h x 在区间上单调,求实数m 的取值范围；
（2）求证：()()()()2310,,2'x f x f x f x ?∈+∞>+.
22．选修4-1：几何证明选讲
如图, AB 是O 的直径, ,C D 是O 上的点, AD 是BAC ∠的平分线,过点D 作DE AC ⊥,交AC 的延长线于点E .
（1）求证： 2·DE EC EA =；
（2）过D 点作DF AB ⊥,垂足为F ,求证：
AF CE AE FB
=. 23．选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,x 轴非负半轴为极轴,在两种坐标系中取相同的单位长度,已
知直线l 的方程为ρcosθ?πsinθ?1=0(ρ>0),曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα
(α为参数）,点M 是曲线C 上的一动点.
（1）求线段OM 的中点P 的轨迹方程；
（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值.
24．选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)={x,x ≥21x ,0 （2）当a =1时, 求函数y =g(x)的最小值. 参考答案 1．B 【解析】 试题分析：因 或,故,应选B. 考点：集合的运算. 2．A 【解析】试题分析：因,即,也即,故,所以 ,则,应选A. 考点：复数的运算. 3．C 【解析】 试题分析：因为函数f(x)=(x ?a)|x|,a ≠0,f(x)=x 2+ax +1,a ∈R ,f(x)=ax 2+cosx,a ∈R ,无论取何值都不单调,所以当 时,函数f(x)=log 2(ax ?1),a ∈R 可 以是单调递增函数,应选C. 考点：复合函数的单调性. 4．D 【解析】 试题分析：因 ,故,即 ,应选D. 考点：线性回归方程及运用. 5．C 【分析】 按流程图依次做循环运算到第六次后继续运算得到7i =，退出循环.故判断框为6i >. 【详解】 第一次运算：01,211,2A i A A i ===+==，； 第二次运算: 2121,3A A i =+=+=； 第三次运算：221221,4A A i =+=++=; 第四次运算：32212221,5A A i =+=+++=； 第五次运算：4322122221,6A A i =+=++++=； 第六次运算：543221222221,7A A i =+=+++++=；退出循环. 即当6i >时正好求出数列{}1 2 n -的前6项和.应选C. 【点睛】 本题考点：算法流程图的识读、理解与运用. 6．D 【解析】试题分析： m α⊥， ,n βαβ∴⊥,故选D. 考点：点线面的位置关系. 7．B 【解析】 试题分析：画出不等式组所表示的区域如图,因 ,故结合图形可知当动直线 经过点时在轴上的截距最小,应选B. 考点：线性规划的知识和运用. 【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识及综合运用.解答时先依据题设条件画出不 等式组{x ≤1y ≥232x ?y ≥0 表示的平面区域如图, 借助题设条件搞清楚中的几何意义是动直线在轴上的截距.则问题转化为求的最小值问题,即是求最小值问题.通过观察可以看出当动直线经过点时,动直线在轴上的截距取最小值,取最小值为 .即的最小值为. 8．D 【解析】 因11212 a b ?=??=，故222(2)4444412a b a a b b +=+?+=++=，则 212a b +==D ． 9．B 【解析】 试题分析：由题设 ,所以,因,故,, ,所以 .应选B. 考点：三角函数的图象和性质. 【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的图形信息,待定函数解析式中的参数 即可获解.从图中提供的信息可得函数的周期和最大值,从而进一步可以确定函数的解析式为 ,然后算出该函数的最大值和最小值分别为 ,从而求出. 10．D 【分析】 取2PF 的中点A ，利用22OP OF OA +=，可得2OA F P ⊥，从而可得12PF PF ⊥，利用双 曲线的定义及勾股定理，可得结论． 【详解】 取2PF 的中点A ，则22OP OF OA +=，()220OP OF F P +?=，2 20OA F P ∴?=. 2OA F P ∴⊥，O 是12F F 的中点，1OA PF ∴，12PF PF ∴⊥， 12PF =，)12221a PF PF PF ∴=-=， 222 124PF PF c +=，2c PF ∴=，1c e a ∴= ==. 故选：D ． 【点睛】 本题考查了双曲线的离心率，确定12PF PF ⊥是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力。 11．A 【解析】 试题分析：从三视图所提供的信息可以看出该几何体的底面边长和高分别为,故底面正三角形的高 ,所以侧视图的面积.应选A. 考点：三视图的识读和理解. 12．B 【解析】 试题分析：因 ,故,切线方程,令得;令得;故,应选B. 考点：导数的几何意义和运用. 【易错点晴】本题设置的是一道不等式恒成立条件下求参数的取值范围问题.解答时要先搞清函数y =1e x (e 为自然数的底数）在点M(1,1e )处的导数的几何意义,求出切线的斜率,写出切线的方程为,分别求出切线在轴上的截距,通过直角三角形面积公式算出其面积为 ,从而使得问题获解. 13．3 【解析】 试题分析：设直线与C:y 2=2px(p >0)联立可得 ,设,则, 故,所以,即,解之得 或（舍）,所以,应填3. 考点：直线与抛物线的位置关系及运用． 【易错点晴】抛物线是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先建立过点 的直线方程 ,再与抛物线的方程联立求得坐标之间的关系为,运用抛物线的定义与几何性质将其转化为求的值的问题,然 后借助 和完全平方公式求出. 14．1- 【解析】 试题分析：由正弦定理可得C A A C A B cos sin cos sin cos sin 3+=,即 B A B sin cos sin 3=,故322sin 31cos =?= A A ,又因232221=?bc ,即3=bc ,所以13 13cos -=?-=-=?A bc ,应填1-. 考点：正弦定理向量的数量积公式及运用． 15．9 【解析】试题分析：f(x)= x(e x +1)+2e x +1+sinx =x +sinx +2e x +1∴f(x)+f(?x)=2e x +1+2 e ?x +1=2 ∴f(?4)+f(4)=f(?3)+f(3)=f(?2)+f(2)=f(?1)+f(1)=2 ∵f(0)=1∴原式的值为9 考点：分组求和 16．73 【详解】 试题分析：因336160C a =，即320160a =，故38a =，所以2a =，故 ()2 23211 117|81333x dx x ==-=?，故答案为73. 考点：1、二项展开式定理；2、定积分的应用. 17．（1）1n a n =+,n n b 2=；（2）1(121222(2n n n T n n n n -?+??=?++?-+?+? 数）为奇数）为偶. 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用等差数列等比数列的通项公式求解；（2）借助题设条件运用分类整合思想和裂项相消法求解. 试题解析： （1）()221124,2142n n n n a S n a S n n +-=++∴=+-+≥,两式相减得 ()222221121,211n n n n n n n a a a a a a a ++-=+∴=++=+, {}n a 是各项均为正数的数列, 所以11n n a a +-=,又()()()()223272221,115a a a a a a =-∴+=-+,解得123,2a a ==,所以 {}n a 是以2为首项,1为公差的等差数列,所以1n a n =+.由题意知 1232,4,8,2n n b b b b ===∴=. （2）由（1）得()()() ()()()21 11log 211212n n n n c n n n n n =--=--++++, 故()()()12111...123...1...233412n n n T c c c n n n ????=+++=-+-++--+++??????+?+? ? 设()123...1n n F n =-++++-,则当n 为偶数时,()()()1234...12n n F n n =-++-+++--+= ????, 当n 为奇数时,()()11122 n n n n F F n n --+-=+-=-=, 设()() 111...233412n G n n =+++??+?+, 则1111111.1122342..23n G n n n = -+-++=-+-++,所以1(121222(2n n n T n n n n -?+??=?++?-+?+? 数）为奇数）为偶. 考点：等差数列等比数列的通项公式及分类整合思想和裂项相消法等有关知识的综合运用． 18．（1） ；（2）分布列见解析，. 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用频率分布直方图和分布表求解；（2）借助题设条件运用古典概型的计算公式及数学期望的公式求解. 试题解析： （1）根据题意可得,年龄在[37,42)内的频率为1?(0.01+0.02×2+0.03×2)×5=0.45,故年龄在[37,42)内的人数为450,则m =432450=0.96,年龄在[27,32)内的人数为1000×0.02×5=100,故n =100×0.95=95. （2）因为年龄在[42,47)内且满意的人数为员144,年龄在[47,52]内且满意的人数为96,因此采用分层抽样的方法抽取的10人中,年龄在[42,47)内且满意的人数与年龄在[47,52]内且满意 的人数分别为6.4.依题意可得X =0,1,2,3,4. P(X =0) =C 64C 40C 104=15210=114;P(X =1) =C 63C 41C 104=80210=821;P(X =2)=C 62C 42C 104=90210=37 P(X =3)=C 61C 43C 104=24 210=435;P(X =4)=C 60C 44C 104=1210. X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 114 821 37 435 1210 EX =0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85. 考点：频率分布直方图古典概型及数学期望的计算公式等有关知识的综合运用． 19．（1）证明见解析；（Ⅱ） 42. 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用线面垂直的性质定理推证；（2）借助题设条件运用空间向量的数量积公式求解. 试题解析： （1）如图,连接BD 交AC 于点O .BC CD =,即BCD ?为等腰三角形, 又AC 平分BCD ∠,故AC BD ⊥,平面PAC ⊥底面ABCD ,平面PAC 底面ABCD AC =,BD ∴⊥平面PAC ,因AP ?平面PAC ,所以AP BD ⊥. （2）作PE AC ⊥于点E ,则PE ⊥底面ABCD ,PE BD ⊥,以O 为坐标原点,,OB OC EP 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O xyz -, 则 cos 133OC CD ππ==,而4AC =,得3AO AC OC =-=,又sin 33OD CD π= =故( ))()()0,3,0,,0,1,0,A B C D -. 设()0, ,P y z ,则由AP = ,得()2237y z ++=,所以()()0,3,,3,1,0AP y z BC =+=-, 由7cos ,AP BC =, =得1,y z =-=,所以()()() 3,3,0,3,1,3,3,1,0AB BP BC ==--=-, 设平面ABP 的法向量为()1111,,n x y z =, 平面BCP 的法向量为()2 222,, n x y z = ,由1100n AB n BP ?=??=??,得1 111100 y y +=-=??,因此可取13,n ? =- ? .由2200n BP n BC ?=??=??,得2 2222 00y y ?+=??-+=??,因此可取(23,3,n =, 从而法向量12,n n 的夹角的余弦值为12 12122cos ,4 n n n n n n ==. 由图可知二面角A BP C --是钝角,故二面角A BP C --的余弦值为4- . 考点：直线与平面垂直的判定和空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用． 20．（1）x 24+ y 23=1；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件建立方程求解；（2）借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系求解. 试题解析： （1）设A 为椭圆E 的上顶点，连接AF 1,AF 2，则ΔF 1,F 2是等边三角形，所以a =2c .又因为椭圆的右顶点到右焦点的距离为1,所以a ?c =1,所以a =2,c =1,从而b =√3,故椭圆E 的方程为x 24+y 2 3=1. （2）连接PF 1,PF 2,QF 1,QF 2,由题意,直线l 的斜率存在且不为0,设直线l 的方程为y =kx +m . 由{x 24+y 23=1y =kx +m ,得(4k 2+3)x 2+8mkx +4m 2?12=0,令Δ=0,得64m 2k 2?16(4k 2+3)(m 2?3)=0,化简得m 2=4k 2+3>0,设M(x 1,y 1),则{x 1=?4mk 4k 2+3y 1=3m 4k 2+3 ,即{x 1=?4k m y 1=3m ,即M(?4k m ,3m ), 又因为直线MQ ⊥PM ,所以直线MQ 的方程为y ?3m =?1k (x +4k m ),由{y ?3m =?1k (x +4k m )x =0 , 得Q(0,1m ),又由{y =kx +m x =0 ,得P(0,m).由（1）知F 1(?1,0),F 2(1,0),∴PF 2??????? =(1,?m),QF 2??????? =(1,1m ),PF 1??????? =(?1,?m),QF 1??????? =(?1,1m ), ∴PF 2??????? ·QF 2??????? =1+(?m)× 1m =0,PF 1??????? ·QF 1??????? =1+(?m)×1m =0,∴PF 2??????? ⊥QF 2??????? ,PF 1??????? ⊥QF 1??????? . 又PM ⊥QM ,所以点都在以PQ 为直径的圆上,即 五点共圆. 考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用． 【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件建立方程, 然后求得椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.第二问的求解过程中,先将直线与椭圆方程x 24+y 2 3=1联立方程组,消去变量求得64m 2k 2?16(4k 2+ 3)(m 2?3)=0,由此可得m 2=4k 2+3>0,再利用题设条件证明点 都在以PQ 为直径的圆上,从而使得问题获解. 21．（1） [)1,2,2 ??-∞+∞ ???； （2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用导数求解；（2）借助题设条件构造函数运用导数的知识求解. 试题解析： （1）由题意得()()1111ln ,',2,222h x mx x h x m x x x =-∴=- <≤∴≤<, 若函数()h x 在区间1,22?? ???上单调递增, 则()'0h x ≥在1,22?? ??? 上恒成立, 即1m x ≥在1,22?? ??? 上恒成立,所以2m ≥.综上,实数m 的取值范围为[)1,2,2??-∞+∞ ???. （2）设()()()()2312'ln 2x g x f x f x f x e x =--=--,则()1'x g x e x =- ,设()1x x e x ?=-,则()()211'0,x x x e x e x x ??=+ >∴=-在()0,+∞上单调递增,由()10,102????<> ???得, 存在唯一01,12x ??∈ ??? 使得()0001 0x x e x ?=-=,所以在()00,x 上有()()00x x ??<=,在()0,x +∞上有()()00x x ??>=,所以()g x 在()00,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增,()()00000min 00 111ln 2ln 220x x g x g x e x x x e x ==--=--=+-> 所以()0,g x >()()()()2310,,2'x f x f x f x ?∈+∞>+. 考点：导数的有关知识及综合运用． 【易错点晴】导数是高中数学的重要内容,也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时,一定要先求导,再对求导后的导函数的解析式进行变形（因式分解或配方）,其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号,以便确定其单调性,这是解答这类问题容易忽视的.本题第一问的求解过程则是运用分类讨论的思想方法求出实数m 的取值范围.第二问则借助题设条件构造函数()()()()2312'ln 2x g x f x f x f x e x =--=--,运用导数的知识二次求导进行推证的. 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用切割线定理推证；（2）借助题设条件运用相似三角形的性质推证. 试题解析： （1）连接,,.OD OA OD ODA OAD AD =∴∠=∠是BAC ∠的平分线, ,,DAC OAD ODA DAC OD AE ∴∠=∠∴∠=∠∴. ,,AE ED OD ED ED ⊥∴⊥∴是 圆O 的切线,由切割线定理得2·DE EC EA =. （2）AD 平分,,,EAB DF AB DE AE DE DF ∠⊥⊥∴=.由（1）知2· DE EC EA =,又ADB ?为直角三角形,且2,?,?· DF AB DF AF FB AF FB EC EA ⊥∴=∴=,即AF CE AE FB =. 考点：圆幂定理等有关知识的综合运用． 23．（1）x 2+(y ?1)2=1；（2） 3√22?2. 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件消去参数即可；（2）借助题设条件借助直角坐标公式和几何图形进行求解. 试题解析： （1）设中点P 的坐标为(x,y),依据中点公式有{x =cosαy =1+sinα (α为参数）,消参得点P 的直角坐 标方程为x 2+(y ?1)2=1. （2）直线l 的普通方程为x ?y ?1=0,曲线C 的普通方程为x 2+(y ?2)2=4,表示以(0,2)为圆心,以2为半径的圆, 故所求距离的最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径.设所求最小距离为d ,则d =√1+1?2=3√22?2,因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为3√2 2?2. 考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用． 24．（1）[?2,+∞)；（2） . 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用绝对值的几何意义求解；（2）借助题设条件运用分类整合的思想及基本不等式求解. 试题解析： （1）当a =0时,g(x)=?|x ?3|,∴当x >0时,g(x)≤|x ?1|+b ??b ≤|x ?1|+|x ?3|. ∵|x ?1|+|x ?3|≥|(x ?1)(x ?3)|=2,当且仅当1≤x ≤3时等号成立, ∴实数b 的取值范围是[?2,+∞). （2）当a=1时,g(x)={1 x +x?3,0 2x?3,2≤x≤3 3,x>3 , 当0 x +x?3≥2√x·1 x ? 3=?1,当且仅当x=1时取等号；当x≥2时,g(x)≥1, 当且仅当x=2时取等号成立.故当x=1时,函数y=g(x)取得最小值?1. 考点：绝对值不等式及基本不等式等有关知识的综合运用．