2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编(四)
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（四）
一．选择题（共27小题）
1．（2020秋?香坊区校级期末）已知函数f （x ）={1+lnx ，0＜x ≤1
12
x?1，x ＞1
，若方程f 2（x ）+（1﹣a ）f （x ）﹣a
＝0恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0）
B ．（0，1）
C ．（1，+∞）
D ．（0，+∞）
2．（2020秋?南岗区校级期末）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且a n +1=a
n a n
+1，n ∈N *，令b n =(√n +1?
√n)√a n a n+1，数列{b n }的前n 项和T n ，则满足T n ＞2
3的最小正整数n 的值为（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
3．（2020秋?南岗区校级期末）如图，F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的交点，若∠AF 1B =2π
3，则C 1与C 2的离心率之积的最小值为（ ）
A ．1
2
B ．
√3
2
C ．
√52
D ．
√62
4．（2020秋?南岗区校级期末）定义在R 函数f （x ）满足f （x ）＝f （﹣x ），且对任意不相等的实数x 1，x 2∈[0，+∞），有
f(x 1)?f(x 2)x 1?x 2
＞0成立，若关于x 的不等式f （mx ﹣lnx ﹣3）+f （﹣mx +lnx +3）≤2f （3）在[1，
e 2]恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1
2e ，
8
e 2
] B ．[1e ，7
e ]
C ．[
2
e 2
，6] D ．[1
e ，
8e 2
] 5．（2020秋?营口期末）若函数f （x ）=1
2（cos x ﹣sin x ）（cos x +sin x ）+3a （sin x ﹣cos x ）+（4a ﹣1）x 在区间[7
4π，2π]上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[0，1
7
]
B ．[?16
9，0]
C ．（﹣∞，1
7
]
D ．（﹣∞，0]
6．（2020秋?海原县校级期末）若（m +1）x 2﹣（m ﹣1）x +3（m ﹣1）＜0对任意实数x 恒成立，则实数m
的取值范围是（ ） A ．m ＞1 B ．m ＜﹣1 C ．m ＜?
1311
D ．m ＞1或m ＜?
1311
7．（2021?团风县校级模拟）已知动点P （x ，y ）在椭圆x 225
+
y 216
=1上，若A 点坐标为（3，0），|AM →
|=1，且
PM →
?AM →
=0，则|PM →
|的最小值是（ ） A ．√2
B ．√3
C ．2
D ．3
8．（2020秋?贵阳期末）已知函数f （x ）=
2e x+1
e x+1+1
与g （x ）＝mx +m +1（m 为常数），若函数F （x ）＝f （x ）
﹣g （x ）恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）＝（ ） A ．e
B ．e ﹣
1
C ．1
D ．3
9．（2020秋?佛山期末）已知函数f （x ）=14
x 4+12
ax 2+ax ，则下列结论中正确的是（ ） A ．存在实数a ，使f （x ）有最小值且最小值大于0 B ．对任意实数a ，f （x ）有最小值且最小值大于0
C ．存在正实数a 和实数x 0，使f （x ）在（﹣∞，x 0）上递减，在（x 0，+∞）上递增
D ．对任意负实数a ，存在实数x 0，使f （x ）在（﹣∞，x 0）上递减，在（x 0，+∞）上递增
10．（2020秋?白银区校级期末）已知椭圆C 1：x 217+y 2=1，双曲线C 2：x 2a 2?y 2b
2=1(a ＞0，b ＞0)，若以
C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则双曲线C 2的离心率为（ ） A ．4
B ．
4√1313
C ．√2
D ．
1+√5
2
11．（2021?大观区校级模拟）偶函数f （x ）定义域为（?π
2，0）∪（0，π2
），其导函数是f ′（x ），当0＜x ＜π
2时，有f ′（x ）cos x +f （x ）sin x ＜0，则关于x 的不等式f （x ）＞√2f （π
4）cos x 的解集为（ ）
A ．（π4
，π
2
）
B ．（?π
2，?π4
）∪（ π4
，π
2
）
C ．（?π
4，0）∪（0，π4
） D ．（?π
4，0）∪（π4
，π
2
）
12．（2021?山东模拟）已知椭圆C ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1，(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上异
于长轴端点的一点，△MF 1F 2的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若|MI||IE|
=2，则椭圆C 的离心率是（ ）
A ．
√22
B ．1
2
C ．
√32
D ．1
3
13．（2020秋?丰台区期末）在平面直角坐标系中，A ，B 是直线x +y ＝m 上的两点，且|AB |＝10．若对于任意点P （cos θ，sin θ）（0≤θ＜2π），存在A ，B 使∠APB ＝90°成立，则m 的最大值为（ ） A ．2√2
B ．4
C ．4√2
D ．8
14．（2020秋?丰台区期末）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为y ={0.1t ，0≤t ≤10(12
)t 10?a ，t ＞10
（a 为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么
开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
A ．9：40
B ．9：30
C ．9：20
D ．9：10
15．（2020秋?冀州区校级期末）已知双曲线x 216
?
y 220
=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上
一点，且PF 2的中点M 在以O 为圆心，OF 1为半径的圆上，则|PF 2|＝（ ） A ．12
B ．6
C ．4
D ．2
16．（2020秋?兴宁区校级期末）在如图所示的平面四边形ABCD 中，AB ＝4，∠CAB ＝30°，AC ⊥CB ，∠ADC ＝120°，则DA 2+DC 2的最小值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．4√3
D ．8√2
17．（2020秋?益阳期末）已知函数f(x)=
cosθx
2?1+2cosθx +1+sinθ+cosθ，θ∈(0，π
2)，若存在x ∈（0，1），使不等式f （x ）＜0成立，则θ的取值范围为（ ）
A．(0，π
12
)B．(5π12，π2)
C．(0，π
12
)∪(5π12，π2)D．(π12，5π12)
18．（2020秋?东城区期末）某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：
①10人（含）以上团体购票9折优惠；
②50人（含）以上团体购票8折优惠；
③100人（含）以上团体购票7折优惠；
④购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）．
现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（）
A．1090元B．1171元C．1200元D．1210元
19．（2020秋?三明期末）已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）在区间(1
2，
3
2
)是单调函数，若f(12)=2，且
f(0)+f(32)=0．将曲线y＝f（x）向右平移1个单位长度，得到曲线y＝g（x），则函数y＝xg（x）﹣2在区间[﹣4，4]上的零点个数为（）
A．3B．4C．5D．6
20．（2020秋?黔南州期末）已知点M为双曲线C：x2?y2
3
=1的右顶点，过M的直线l与C的两条渐近线
分别交于A，B两点．若A，B分别在第一、第四象限内，且|MA|＝3|MB|，则l的方程为（）A．y＝2√3x?2√3B．y＝2√3x+2√3
C．y=5√3
3
x?5√33D．y=?5√33x+5√33
21．（2020秋?黔南州期末）定义域为R的函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝﹣1，函数g(x)=
2?x
2(x?1)．若
y＝f（x）与y＝g（x）的图象有4个交点，且每个交点的横坐标之和与纵坐标之和分别为M，N，则M+N ＝（）
A．﹣2B．0C．2D．4
22．（2020秋?昌平区期末）斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列{a n}可以用如下方法定义：a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*），a1＝a2＝1．若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{b n}，则b2021＝（）
A．1B．2C．3D．5
23．（2020秋?鹿城区校级期末）已知空间内a →
，b →
，c →
为三个两两垂直的单位向量，若x +y +z ＝1，pqr ＝0，则|x a →
+2y b →
+3z c →
|+|（x +p ）a →
+（2y +q ）b →
+（3z +r ）c →
|的最小值为（ ） A ．
2√55
B ．
3√1010
C ．
2449
D ．1
24．（2020秋?鹿城区校级期末）点F 为抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，l 为其准线，过F 的一条直线与抛物线交于A ，B 两点，与1交于C ．已知点B 在线段CF 上，|BF |，|AF |，|BC |可以排成一个等差数列，则
|BC||BF|
所有可能值的和为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
25．（2020秋?鹿城区校级期末）非负实数列{a n }前n 项和为S n （S n ＞0）．若分别记{n 2a n }与{a
n n
2}前n 项和为T n 与R n ，则T 5R 5
S 52
的最大值与最小值的差为t ，则√|t|=（ ）
A ．2
B ．
125
C ．3
D ．
165
26．（2020秋?安徽期末）已知a 1=4，a n a n+1=2?a n+1，b n =|a n ?1
a n
+2|，n ∈N ?，设数列{b n }的前n 项和
为S n ，则S 100＝（ ） A ．1?
12
99 B ．1?
1
2
101
C ．1?
1
2
100
D ．1?
1
2
102
27．（2020秋?天津期末）已知函数f(x)=e 2x
|x|（e 为自然对数的底数），关于x 的方程[f （x ）]2﹣2af （x ）+a
﹣2＝0（a ∈R ）恰有四个不同的实数根，则a 的取值范围为（ ） A ．（1，+∞） B ．（2，+∞） C ．(e 2
2e?1，+∞) D ．(4e 2?2
4e?1，+∞)
二．多选题（共3小题）
28．（2020秋?佛山期末）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，M 为BB 1的中点，过B 1M 作长方体的截面α交棱CC 1于N ，则（ ）
A ．截面α可能为六边形
B ．存在点N ，使得BN ⊥截面α
C ．若截面α为平行四边形，则1≤CN ≤2
D ．当N 与C 重合时，截面面积为
3√6
4
29．（2020秋?三明期末）设F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过F 且斜为√3的直线与抛物线的一个交点为A ．半径为|F A |的圆F 交抛物线的准线于B ，C 两点，且B 在C 的上方，B 关于点F 的对称点为D ．以下结论正确的是（ ） A ．线段CD 的长为8 B ．A ，C ，F 三点共线
C ．△CDF 为等边三角形
D ．四边形ABCD 为矩形
30．（2020秋?三明期末）设f （x ）＝e [sin x ]+e [cos x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数．如[2.6]＝2，[﹣3.2]＝﹣4．以下结论正确的是（ ） A ．f （x ）是偶函数 B ．f （x ）是周期函数
C ．f （x ）的最小值是2
e
D ．f （x ）的最大值是2e
三．填空题（共20小题）
31．（2020秋?南岗区校级期末）已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点P （4，0）的直线l 与抛物线交于A ，B 两点． （1）OA →
?OB →
= ；
（2）以AB 为直径的圆与直线x ＝1交于M ，N ，则|MN |的最小值为 ． 32．（2020秋?营口期末）双曲线
x 2a 2
?
y 2b 2
=1的左右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线右支上一点，I 为△PF 1F 2
的内心，PI 交x 轴于Q 点，若|F 1Q |＝|PF 2|，且PI ：IQ ＝2：1，则双曲线的离心率e 的值为 ． 33．（2020秋?佛山期末）已知四棱锥P ﹣ABCD 的顶点都在球O 上，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝1，AD ＝2√6，AC ＝5，平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ⊥PD ，则球O 的体积为 ．
34．（2020秋?白银区校级期末）已知函数f （x ）＝（x ?1
2）3+1，则f （﹣2017）+f （﹣2016）+…+f （﹣1）+f （0）+f （1）+…+f （2018）＝ ．
35．（2021?山东模拟）已知函数f （x ）={|x|，x ≤m x 2
?2mx +4m ，x ＞m ，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x
的方程f （x ）＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 ．
36．（2020?临沂三模）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，AF ⊥BF ，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，则
|AB||MN|
的最小值为 ．
37．（2020秋?丰台区期末）对于平面直角坐标系内的任意两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），定义它们之间的
一种“距离”为||PQ ||＝|x 2﹣x 1|+|y 2﹣y 1|．已知不同三点A ，B ，C 满足||AC ||+||CB ||＝||AB ||，给出下列四个结论：
①A ，B ，C 三点可能共线；
②A ，B ，C 三点可能构成锐角三角形； ③A ，B ，C 三点可能构成直角三角形； ④A ，B ，C 三点可能构成钝角三角形． 其中所有正确结论的序号是 ．
38．（2020秋?冀州区校级期末）已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ﹣ABC 的高为2√2，且∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝4，则球O 的表面积为 ．
39．（2020秋?兴宁区校级期末）在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2+y 2＝1与x 轴，y 轴的正方向分别交于点A ，B ，点P 为劣弧AB 上一动点，且OQ →
=OA →
+OP →
，当四边形OAQP 的面积最大时，|OQ →
|的值为 ． 40．（2020秋?东城区期末）已知函数f （x ）＝2[sin x ]+3[cos x ]，x ∈[0，2π]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数．例如：[1]＝1，[0.5]＝0，[﹣0.5]＝﹣1． ①f （
2π3
）＝ ；
②若f （x ）＞x +a 对任意x ∈[0，2π]都成立，则实数a 的取值范围是 ． 41．（2020秋?东城区期末）已知双曲线M ：
x 2a 2
?
y 2b 2
=1（a ＞0，b ＞0），△ABC 为等边三角形．若点A 在
y 轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为△ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为 ． 42．（2020秋?三明期末）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱长为2√3，底面为等边三角形．若球O 与该三棱柱的各条棱都相切，则球O 的体积为 ．
43．（2021?海口模拟）设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，S n 为其前n 项和，则数列{a n+1S n S n +1
}的前9项和T 9
＝ ．
44．（2020秋?鹿城区校级期末）以（﹣1，0）与（1，0）为两个焦点，经过点（1﹣cos2α，2cos 2α）的椭圆的离心率的最大值为 ：当离心率取最大值时，椭圆方程为 ． 45．（2020秋?鹿城区校级期末）函数f(x)=ln(
x 4+1
x 2+1
+m)的值域为R ，则m 的取值范围为 ． 46．（2020秋?鹿城区校级期末）已知△ABC 中，3(sin 2A +sin 2B)=sinC(sinC +2√3sinAsinB)，则sin （x +A ）+sin （x +B ）+sin （x +C ）的最大值为 ，最小值为 ．
47．（2020秋?鹿城区校级期末）a →
，b →
，c →
为平面内三个向量，满足＜a →
，b →
＞=π
3，a →⊥（a →?c →
），且b →⊥（2b →
?
c →
），若c →=λa →
+μb →
（μ＜2），则λ+μ的最大值为 ．
48．（2020秋?鹿城区校级期末）若不等式|
1x+a
?x 2|+ax ≥0在x 的定义域内恒成立，则a 3的取值范围是 ．
49．（2020秋?安徽期末）抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为9π，则p ＝
50．（2020秋?天津期末）如图，在圆锥SO 中，SO =√2，圆锥的侧面积为√3π，△ABC 是圆锥底面圆O 的内接正三角形，P 为SO 上一点，且∠APC ＝90°，则圆锥SO 的体积为 ，三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 ．